ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 27

Задание №3038

Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 12 и 16. Радиус описанной окружности равен 10. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции

Решение

Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO

KO=8

HO=6

Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=8+6=14

Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии

Ответ: 14

Задание №1151

Площадь параллелограмма ABCD равна 143. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35,75

Ответ: 35,75

Задание №4321

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 50 и 16, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника

Решение

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно.

Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=16

Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=132+32=164

Ответ: 164

Задание №3424

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 44. Вычислите длину средней линии трапеции

Решение

Периметр - сумма сторон трапеции

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = 44 / 4 = 11

Ответ: 11

Задание №4162

Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 47° и 120°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея)

угол противоположный углу 47 градусов равен 180-47=133 градусов

угол противоположный углу 120 градусов равен 180-120=60 градусов

Больший из неизвестных углов 133 градусов

Ответ: 133

Задание №5634

Площадь треугольника АВС равна 119. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

Решение

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=89,25

Ответ: 89,25

Задание №1651

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 33, периметр P= 144 . Рассчитайте длину стороны CD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Значит P / 2 = AB + CD

CD = P/2-AB=39

Ответ: 39

Задание №1490

Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 40+20√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение

Радиус r=20

Ответ: 20

Задание №5841

Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 17, 43, 61. Рассчитайте периметр данного треугольника

Решение

EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

=17+43+61=121

Ответ: 121

Задание №4247

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 144 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Рассчитайте боковую сторону

Решение

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB

Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

По найденной формуле вычисляем, что AD=80

Ответ: 80

Задание №3297

Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 105, AB= 107 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD)

P = 424

Ответ: 424

Задание №5300

Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4,

трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=102

Ответ: 102

Задание №1786

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 17, BC=5, CD=40. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Сторона AD=AB+CD-BC=17+40-5=52

Ответ: 52

Задание №5823

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 24 и 32 . Рассчитайте среднюю линию трапеции

Решение

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 56 / 2 = 28

Ответ: 28

Задание №1724

В треугольнике ABC BC=36, AC=15, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение

Радиус r=6

Ответ: 6

Задание №5638

Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 84, большая боковая сторона трапеции равна 38 . Рассчитайте радиус окружности

Решение

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

R = 2

Ответ: 2

Задание №5712

Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 150°. Рассчитайте число вершин многоугольника

Решение

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин)

Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=150

180*n – 360 = 150 * n

n=12

Ответ: 12

Задание №5423

Периметр правильного шестиугольника равен 234. Найдите диаметр описанной окружности

Решение

Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, значит:

AB / 6 = P / 6 =234 / 6 = 39

Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда

Диаметр D=2R=2AB=2*39=78

Ответ: 78

Задание №1815

Дан равнобедренный треугольник. Боковые стороны равны 80, основание равно 96 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Решение

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=3072

Подствавим значения и найдём полупериметр P=128

Тогда:

Подствавим значения и найдём радиус r=3072/128=24

Ответ: 24

Задание №3058

Площадь параллелограмма ABCD равна 116. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

Решение

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8,

параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD

По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=58

Ответ: 58

содержание .. 25 26 27 28 ..