содержание .. 3 4 5 6 ..
ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные - часть 5
Задание №1593
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 134. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=100,5 Ответ: 100,5
Задание №2057
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 16+8√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=8 Ответ: 8
Задание №3129
В треугольнике ABC AC=10, BC=24, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=4 Ответ: 4
Задание №4486
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 58, 82. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=22+58+82=162 Ответ: 162
Задание №5713
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 8, BC=2, CD=17. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=8+17-2=23 Ответ: 23
Задание №4325
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 31 и 11, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=11 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=84+22=106 Ответ: 106
Задание №1431
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 110, основание равно 132 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=5808 Подствавим значения и найдём полупериметр P=176 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=5808/176=33
Ответ: 33
Задание №2837
Площадь параллелограмма ABCD равна 126. Точка E – середина стороны BC. Рассчитайте площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=94,5 Ответ: 94,5
Задание №4535
Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 270. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=180 Ответ: 180
Задание №1815
У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 67, большая боковая сторона трапеции равна 30 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 1,75 Ответ: 1,75
Задание №5621
Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 42. Радиус описанной окружности равен 35. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=28 HO=21 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=28+21=49 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 49
Задание №1237
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 47, AB= 60 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 214 Ответ: 214
Задание №4963
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 160°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160 180*n – 360 = 160 * n n=18 Ответ: 18
Задание №3795
Периметр правильного шестиугольника равен 246. Найдите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =246 / 6 = 41 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*41=82 Ответ: 82
Задание №4883
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 41. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 41 / 4 = 10,25 Ответ: 10,25
Задание №5916
Площадь параллелограмма ABCD равна 122. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=30,5 Ответ: 30,5
Задание №2050
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 160, стророна AB= 37 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=43 Ответ: 43
Задание №4772
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 32° и 136°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 32 градусов равен 180-32=148 градусов угол противоположный углу 136 градусов равен 180-136=44 градусов Больший из неизвестных углов 148 градусов Ответ: 148
Задание №3286
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 8 и 14 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 22 / 2 = 11 Ответ: 11
Задание №3828
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 132. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=66 Ответ: 66
содержание .. 3 4 5 6 ..