ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ МАТЕРИАЛОВ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Статистические методы применяются при обработке материалов психологических исследований для того, чтобы извлечь из тех ко­личественных данных, которые получены в экспериментах, при оп­росе и наблюдениях, возможно больше полезной информации. В ча­стности, в обработке данных, получаемых при испытаниях по пси­хологической диагностике, это будет информация об индивидуаль­но-психологических особенностях испытуемых. Вообще психологи­ческие исследования обычно строятся с опорой на количественные данные. Вот пример.

К школьному психологу обратился шестиклассник Саня Ю. с прось­бой испытать его двигательный темп. Саню очень интересовал бас­кетбол, и он собирался вступить в баскетбольную команду, а бас­кетболист, несомненно, должен иметь высокий двигательный темп. Психолог разработал план небольшого исследования. Он начал с того, что попросил Саню так быстро, как он только может, ставить точки в центре кружков, нарисованных на листке бумаги. За одну минуту Саня поставил 137 точек. Насколько этот темп характерен для Сани? Чтобы установить это, психолог попросил Саню повто­рить эту пробу 25 раз. Действительно, некоторые результаты пре­вышали первоначально полученное число, но некоторые оказались и поменьше. Психолог просуммировал все полученные за 25 проб ре­зультаты, а сумму разделил на 25 — таким путем он получил сред­нее арифметическое по всем пробам. Это среднее арифметическое составило 141. Таков по этой пробе максимальный темп Сани. Можно ли считать этот темп высоким? Потребовался еще один шаг в исследовании. Психолог сформировал группу из 50 шестиклассни­ков, не отличающихся ни от Сани, ни друг от друга по возрасту бо­лее чем на полгода. С этими ребятами психолог также провел сна­чала по несколько тренировочных проб, чтобы получить надежные данные об их темпе, и, наконец, последнюю пробу, для обработки.

Все эти экспериментальные данные в виде средних арифметиче­ских были построены в один порядковый ряд, который был разбит по десяткам (по децилям). Санины данные вышли в десятку с наи­более быстрыми результатами. По этим количественным данным психолог сделал вывод о том, что Саня обладает сравнительно вы­соким двигательным темпом, о чем и было ему сообщено.

Современная математическая статистика представляет собой большую и сложную систему знаний. Нельзя рассчитывать на то, что каждый психолог, сделавший диагностику своей специально­стью, овладеет этими знаниями. Между тем статистика нужна пси­хологу постоянно в его повседневной работе. Специалисты-статис­тики разработали целый комплекс простых методов, которые со­вершенно доступны любому человеку, не забывшему то, что он вы­учил еще в средней школе.

В зависимости от требований, которые предъявляют к статистике различные области науки и практики, создаются пособия по геоло­гической, медицинской, биологической, психологической статисти­ке. (См., например: Суходольский Г.В. Основы математической ста­тистики для психологов. Л., 1972). В этой главе даются простейшие методы статистики для психологов. Все необходимые для их приме­нения вычисления можно выполнять на ручном компьютере, а то и на простых счетах. Уместное, грамотное применение этих методов позволит практику и исследователю, проведя начальную обработку, получить общую картину того, что дают количественные результаты его исследований, оперативно проконтролировать ход исследований. В дальнейшем, если возникнет такая необходимость, материалы ис­следований могут быть переданы для более глубокой разработки специалисту-статистику на большой компьютер.

Статистические шкалы. Применение тех или других статисти­ческих методов определяется тем, к какой статистической шкале относится полученный материал. С. Стивене предложил различать четыре статистические шкалы: шкалу наименований (или номина­тивную), шкалу порядка, шкалу интервалов и шкалу отношений.

Зная типические особенности каждой шкалы, нетрудно устано­вить, к какой из шкал следует отнести подлежащий статистической обработке материал.

Шкала наименований. К этой шкале относятся материалы, в которых изучаемые объекты отличаются друг от друга по их каче­ству. При обработке таких материалов нет никакой нужды в том, чтобы располагать эти объекты в каком-то порядке, исходя из их характеристик. В принципе объекты можно располагать в любой последовательности. Вот пример: изучается состав международной научной конференции. Среди участников есть французы, англичане, датчане, немцы и русские (рис. 1). Имеет ли значение порядок, в котором будут расположены участники при изучении состава кон­ференции? Можно распо­ложить их по алфавиту, это удобно, но ясно, что ника­кого принципиального зна­чения в этом расположении нет. При переводе этих ма­териалов на другой язык (а значит, и на другой алфа­вит) этот порядок будет нарушен. Можно располо­жить национальные группы по числу участников. Но при сравнении этого материала с материалом другой конференции найдем, что вряд ли этот порядок окажется таким же. Отнесенные к шкале на­именований объекты можно размещать в любой последовательности в зависимости от цели исследования.

При статистической обработке такого рода материалов нужно считаться с тем, каким числом единиц представлен каждый объект. Имеются весьма эффективные статистические методы, позволяю­щие по этим числовым данным прийти к научно значимым выводам (например, метод хи-квадрат).

Шкала порядка. Если в шкале наименований порядок следова­ния изучаемых объектов практически не играет никакой роли, то в шкале порядка — это видно из ее названия — именно на эту по­следовательность переключается все внимание. К этой шкале в ста­тистике относят такие исследовательские материалы, в которых рассмотрению подлежат объекты, принадлежащие к одному или не­скольким классам, но отличающиеся при сравнении одного с другим: больше—меньше, выше—ниже и т.п.

Проще всего показать типические особенности шкалы порядка, если обратиться к публикуемым итогам любых спортивных соревно­ваний. В этих итогах последовательно перечисляются участники, занявшие соответственно первое, второе, третье и прочие по поряд­ку места. Но в информации об итогах соревнований нередко отсут­ствуют или отходят на второй план сведения о фактических дости­жениях спортсменов, а на первый план ставятся их порядковые места. Допустим, шахматист Д. занял в соревнованиях первое ме­сто. Каковы же его достижения? Оказывается, он набрал 12 очков. Шахматист Е. занял второе место. Его достижение — 10 очков.

Третье место занял Ж. с 8 очками, четвертое — З. с 6 очками и т.д. В сообщениях о соревновании разница в достижениях при разме­щении шахматистов отходит на второй план, а на первом остаются их порядковые места. В том, что именно порядковому месту отво­дится главное значение, есть свой смысл. В самом деле, в нашем примере 3. набрал 6, а Д. — 12 очков. Это абсолютные их дости­жения — выигранные ими партии. Если попытаться истолковать эту разницу в достижениях чисто арифметически, то пришлось бы признать, что 3. играет вдвое хуже, чем Д. Но с этим нельзя согла­ситься. Обстоятельства соревнований не всегда просты, как не все­гда просто и то, как провел их тот или другой участник. Поэтому, воздерживаясь от арифметической абсолютизации, ограничиваются тем, что устанавливают: шахматист 3. отстает от занявшего первое место Д. на три порядковых места.

Заметим, что в других соревнованиях расклад абсолютных дос­тижений может быть иным: занявший первое место может всего на пол-очка опережать ближайших участников. Важно, что он набрал наибольшее количество очков. Только от этого зависит его порядко­вое место.

Шкала интервалов. К ней относятся такие материалы, в которых дана количественная оценка изучаемого объекта в фиксированных еди­ницах. Вернемся к опытам, которые провел психолог с Саней. В опытах учитывалось, сколько точек может поставить, работая с максимально доступной ему скоростью, сам Саня и каждый из его сверстников. Оценочными единицами в опытах служило число точек. Подсчитав их, исследователь получил то абсолютное число точек, которое оказалось возможным поставить за отведенное время каждому участнику опытов. Главная трудность при отнесении материалов к шкале интервалов со­стоит в том, что нужно располагать такой единицей, которая была бы при всех повторных измерениях тождественной самой себе, т.е. одина­ковой и неизменной. В примере с шахматистами (шкала порядка) такой единицы вообще не существует.

В самом деле, учитывается число партий, выигранных каждым участником соревнований. Но ясно, что партии далеко не одинако­вы. Возможно, что участник соревнований, занявший четвертое ме­сто — он выиграл шесть партий, — выиграл труднейшую партию у самого лидера! Но в окончательных итогах как бы принимается, что все выигранные партии одинаковы. В действительности же этого нет. Поэтому при работе с подобными материалами уместно их оценивать в соответствии с требованиями шкалы порядка, а не шкалы интервалов. Материалы, соответствующие шкале интерва­лов, должны иметь единицу измерения.

Шкала отношений. К этой шкале относятся материалы, в ко­торых учитываются не только число фиксированных единиц, как в шкале интервалов, но и отношения полученных суммарных итогов между собой. Чтобы работать с такими отношениями, нужно иметь некую абсолютную точку, от которой и ведется отсчет. При изуче­нии психологических объектов эта шкала практически неприменима.

О параметрических и непараметрических методах стати­стики. Приступая к статистической обработке своих исследований, психолог должен решить, какие методы ему более подходят по осо­бенностям его материала — параметрические или непараметриче­ские. Различие между ними легко понять. Вспомним, что говори­лось об измерении двигательной скорости шестиклассников. Как обработать эти данные? Нужно записать все произведенные изме­рения — в данном случае это будет число точек, поставленных ка­ждым испытуемым, — затем требуется вычислить для каждого ис­пытуемого среднее арифметическое по результатам опытов. Далее следует расположить все эти данные в их последовательности, на­пример, начиная с наименьших к наибольшим. Для облегчения обо­зримости этих данных их обычно объединяют в группы; в этом слу­чае можно объединить по 5—9 измерений в группе. Вообще же при таком объединении желательно, если общее число случаев не более ста, чтобы общее число групп было порядка двенадцати. Получи­лась такая таблица (с. 249).

Далее нужно установить, сколько раз в опытах встретились чи­словые значения, соответствующие каждой группе. Сделав это, нужно для каждой группы записать ее численность. Полученные в такой таблице данные носят название распределения численностей. Рекомендуется представить это распределение в виде диаграммы — полигона распределения. Контуры этого полигона помогут решить вопрос о статистических методах обработки. Нередко они напоми­нают контуры колокола, с наивысшей точкой в центре полигона и с симметричными ветвями, отходящими в ту и другую сторону. Такой контур соответствует кривой нормального распределения. Это поня­тие было введено в математическую статистику К.Ф. Гауссом (1777—1855), поэтому кривую именуют также кривой Гаусса. Он же дал математическое описание этой кривой. Для построения кри­вой Гаусса (или кривой нормального распределения) теоретически требуется очень большое количество случаев. Практически же при­ходится довольствоваться тем фактическим материалом, который накоплен в исследовании. Если данные, которыми располагает ис­следователь, при их внимательном рассмотрении или после перено­са их на диаграмму, лишь в незначительной степени расходятся с кривой нормального распределения, то это дает право исследовате­лю применять в статистической обработке параметрические методы, исходные положения которых основываются на нормальной (О математически обоснованных способах определения того, можно ли считать данное распределение нормальным, см., например, в кн.: Урбах В.Ю. Математиче­ская статистика для биологов и медиков. М., 1963. С. 66) кривой распределения Гаусса. Нормальное распределение называют пара­метрическим потому, что для построения и анализа кривой Гаусса достаточно иметь всего два параметра: среднее арифметическое, значение которого должно соответствовать высоте перпендикуляра, восстановленного в центре кривой, и так называемое среднее квад-ратическое, или стандартное, отклонение — величины, характери­зующей размах колебаний данной кривой; о способах вычисления той и другой величины будет далее рассказано.

Параметрические методы обладают для исследователя многими преимуществами, но нельзя забывать о том, что применение их правомерно только тогда, когда обрабатываемые данные показывают распределение, лишь несущественно отличающееся от гауссова.

При невозможности применить параметрические методы, надлежит обратиться к непараметрическим. Эти методы успешно разрабаты­вались в последние 3—4 десятилетия, и их разработка была вызва­на прежде всего потребностями ряда наук; в частности, психологии. Они показали свою высокую эффективность. Вместе с тем они не требуют сложной вычислительной работы.

Современному психологу-исследователю нужно исходить из того, что «существует большое количество данных либо вообще не под­дающихся анализу с помощью кривой нормального распределения, либо не удовлетворяющих основным предпосылкам, необходимым для ее использования» (Рунион Р. Справочник по непараметриче­ской статистике. М., 1982. С. 11.).

Генеральная совокупность и выборка. Психологу постоянно придется иметь дело с этими двумя понятиями. Генеральная сово­купность, или просто совокупность, — это множество, все элемен­ты которого обладают какими-то общими признаками. Так, все под­ростки-шестиклассники 12 лет (от 11,5 до 12,5) образуют совокуп­ность. Дети того же возраста, но не обучающиеся в школе, или же обучающиеся, но не в шестых классах, не подлежат включению в эту совокупность.

В ходе конкретизации проблем своего исследования психологу неизбежно придется обозначить границы изучаемой им совокупно­сти. Следует ли включать в изучаемую совокупность детей того же возраста, но обучающихся в колледжах, гимназиях, лицеях и других подобных учебных заведениях? В ответе на этот и на другие такие же вопросы может помочь статистика.

В подавляющем большинстве случаев исследователь не в состоя­нии охватить в изучении всю совокупность. Приходится, хотя это и связано с некоторой утратой информации, взять для изучения лишь часть совокупности, ее и называют выборкой. Задача исследователя заключается в том, чтобы подобрать такую выборку, которая репре­зентировала бы, представляла совокупность; другими словами, при­знаки элементов совокупности должны быть представлены в выбор­ке. Составить такую выборку, в точности повторяющую все разно­образные сочетания признаков, которые имеются в элементах сово­купности, вряд ли возможно. Поэтому некоторые потери в инфор­мации оказываются неизбежными. Важно, чтобы в выборке были сохранены существенные, с точки зрения данного исследования, признаки совокупности. Возможны случаи, и для их обнаружения есть статистические методы, когда задачи исследования требуют создания двух выборок одной совокупности; при этом нужно уста­новить, не взяты ли выборки из разных совокупностей. Эти и дру­гие подобные казусы нужно иметь в виду психологу при обработке результатов выборочных исследований.

Следует рассмотреть типы задач, с которыми чаще всего имеет дело психолог. Соответственно приводятся и статистиче­ские методы, которые приложимы для обработки психологических материалов, направленных на решение этих задач.

Первый тип задач. Психологу нужно дать сжатую и достаточ­но информативную характеристику психологических особенностей какой-то выборки, например, школьников определенного класса. Чтобы подойти к решению этой задачи, необходимо располагать ре­зультатами диагностических испытаний; эти испытания, разумеется, следует заранее спланировать так, чтобы они давали информацию о тех особенностях группы, которые в этом конкретном случае инте­ресуют психолога. Это могут быть особенности умственного разви­тия, психофизиологические особенности, данные об изменении ра­ботоспособности и т.д.

Получив все экспериментальные результаты и материалы наблю­дений, следует подумать о том, как их подать пользователю в ком­пактном виде, чтобы при этом свести к минимуму потерю информа­ции. В перечне статистических методов, используемых при решении подобных задач, обычно находят свое место и параметрические и непараметрические методы, о возможностях применения тех и дру­гих, как было сказано выше, судят по полученному материалу. Об этих статистических методах и их использовании пойдет речь ниже.

Второй тип задач. Это, пожалуй, наиболее часто встречающие­ся задачи в исследовательской и практической деятельности психолога: сравниваются между собой несколько выборок, чтобы установить, являются ли выборки независимыми или принадлежат одной и той же совокупности. Так, проведя эксперименты в восьмых классах двух раз­личных школ, психолог сравнивает эти выборки между собой.

К этому же типу относятся задачи с определением тесноты связи двух рядов показателей, полученных на одной и той же выборке; в такой обработке чаще всего применяют метод корреляций.

Третий тип задач — это задачи, в которых обработке подлежат временные ряды, в них расположены показатели, меняющиеся во времени; их называют также динамическими рядами. В предшест­вующих типах задач фактор времени не принимался во внимание и ма­териал анализировался так, как будто он весь поступил в руки иссле­дователя в одно и то же время. Такое допущение можно оправдать тем, что за тот короткий период времени, который был затрачен на собира­ние материала, он не потерпел существенных изменений. Но психологу приходится работать и с таким материалом, в котором наибольший ин­терес представляют как раз его изменения во времени. Допустим, пси­холог намерен изучить изменение работоспособности школьников в те­чение учебной четверти. В этом случае информативными будут показа­тели, по которым можно судить о динамике работоспособности. Берясь за такой материал, психолог должен понимать, что при анализе дина­мических рядов нет смысла пользоваться средним арифметическим ря­да, так как оно замаскирует нужную информацию о динамике.

В предыдущих главах упоминалось о лонгитюдинальном исследо­вании, т.е. таком, в котором однообразный по содержанию психоло­гический материал по одной выборке собирается в течение дли­тельного времени. Показатели лонгитюда — это также динамиче­ские ряды, и при их обработке следует пользоваться методами, предназначенными для таких рядов.

Четвертый тип задач — задачи, возникающие перед психоло­гом, занимающимся конструированием диагностических методик, проверкой и обработкой результатов их применения. Отчасти об этих задачах уже говорилось в других главах, но не уделялось вни­мания специально статистике. Психологическая диагностика, в осо­бенности тестология, имеет целый ряд канонических правил, при­менение которых должно обеспечивать высокое качество информа­ции, получаемой посредством диагностических методик. Так, мето­дика должна быть надежной, гомогенной, валидной. По упрочив­шимся в тестологии правилам, все эти свойства проверяются стати­стическими методами.

Здесь уместно высказать некоторые соображения о возможностях статистики в проведении психологического исследования.

Статистика как таковая не создает новой научной информации. Эта информация либо содержится, либо не содержится (к сожале­нию, и так бывает) в полученных исследователем материалах. На­значение статистики состоит в том, чтобы извлечь из этих материа­лов больше полезной информации. Вместе с тем статистика показы­вает, что эта информация не случайна и что добытые данные имеют определенную и значимую вероятность.

Статистические методы раскрывают связи между изучаемыми явле­ниями. Однако необходимо твердо знать, что как бы ни была высока вероятность таких связей, они не дают права исследователю признать их причинно-следственными отношениями. Статистика, как о ней пи­шут известные английские ученые Д.Э. Юл и М.Дж. Кендэл (Теория статистики. М., 1960. С. 18—19.), «вынуждена принимать к анали­зу данные, подверженные влиянию множества причин». Статистика, например, утверждает, что существует значимая связь между дви­гательной скоростью и игрой в теннис. Но отсюда еще не вытекает, будто двигательная скорость и есть причина успешной игры. Нель­зя, по крайней мере в некоторых случаях, исключить и того, что сама двигательная скорость явилась следствием успешной игры.

Чтобы подтвердить или отвергнуть существование причинно-следственных отношений, исследователю зачастую приходится про­думывать целые серии экспериментов. Если они будут правильно построены и проведены, то статистика поможет извлечь из резуль­татов этих экспериментов информацию, которая необходима иссле­дователю, чтобы либо обосновать и подтвердить свою гипотезу, ли­бо признать ее недоказанной.

Вот что нужно знать при использовании статистики.

Итак, были перечислены типы задач, с которыми чаще всего встречаются психологи. Теперь перейдем к изложе­нию конкретных статистических методов, которые способ­ствуют успешному решению перечисленных задач.

Первый тип задач. Статистические методы, примеры их при­менения для принятия решения.

Допустим, школьному психологу нужно представить краткую ин­формацию о развитии психомоторных функций учащихся 6-х классов, в которых обучается 50 учеников. В процессе выполнения своей про­граммы психолог провел диагностическое изучение двигательной ско­рости, применив методику, которая была описана выше (С. 240).

Для реализации своей программы психологу надлежало получить количественные характеристики, свидетельствующие о состоянии изучаемой функции — ее центральной тенденции, величины, пока­зывающей размах- колебаний, в пределах которого находятся все данные отдельных учеников, и то, как распределяются эти данные.

Какими методами вести обработку — параметрическими или непара­метрическими? Визуальное ознакомление с полученными данными по­казывает, что возможно применение параметрического метода, т.е. бу­дут вычислены среднее арифметическое, выражающее центральную тенденцию, и среднее квадратическое отклонение, показывающее раз­мах и особенности варьирования экспериментальных результатов.

Нельзя ограничиться вычислением только среднего арифметиче­ского, так как оно не дает полных сведений об изучаемой выборке. Вот пример. В одном купе вагона поместилась бабушка 60 лет с че­тырьмя внуками: 4 лет, двое по 5 и 6 лет. Среднее арифметическое возраста всех пассажиров этого купе 80/5 = 16.

В другом, купе расположилась компания молодежи: двое 15-летних, 16-летний и двое 17-летних. Средний возраст пассажиров этого купе также равен 16. Таким образом, по средним арифмети­ческим пассажиры этих купе как бы и не различаются. Но если об­ратиться к особенностям варьирования, то сразу можно установить, что в одном купе возраст пассажиров варьирует в пределах 56 еди­ниц, а во втором — в пределах 2.

Для вычисления среднего арифметического применяется формула:

а для среднего квадратического отклонения формула:

В этих формулах х означает среднее арифметическое, х — каж­дую величину изучаемого ряда, Z — сумму; s — среднее квадрати­ческое отклонение; п — число членов изучаемого ряда.

Вернемся к опыту с проверкой двигательной скорости учащихся (С. 244).

В опытах участвовали 50 испытуемых. Каждый из них выполнил по 25 проб, по 1 минуте каждая. Вычислена средняя каждого испы­туемого. Полученный ряд упорядочен и все индивидуальные резуль­таты представлены в последовательности от меньшего к большему:

85— 93— 93— 99— 101—105—109—110—111—115—

115— 116— 116— 117— 117— 117— 118— 119— 121 —121 —

122 — 124 — 124 — 124 — 124 — 125 — 125 — 125 — 127 —127 —

127 — 127 — 127 — 128 — 130 — 131 — 132 — 132 — 133 — 134 —

134 — 135 — 138 — 138 — 140 — 143 — 144 — 146 — 150 — 158

Для дальнейшей обработки удобнее эти первичные данные со­единить в группы, тогда отчетливее выступает присущее данному ряду распределение величин и их численностей. Отчасти упрощается и вычисление среднего арифметического и среднего квадратического отклонения. Этим искупается несущественное искажение/ информации, неизбежное при вычислениях на сгруппированные данных.

При выборе группового интервала следует принять во внимание такие соображения. Если ряд не очень велик, например содержит до 100 элементов, то и число групп не должно быть очень велико, например порядка 10—12. Желательно, чтобы при группировании начальная величина — при соблюдении последовательности от меньшей величины к большей — была меньше самой меньшей ве­личины ряда, а самая большая — больше самой большой величины изучаемого ряда. Если ряд, как в данном случае, начинается с 85, группирование нужно начать с меньшей величины, а поскольку ряд за­вершается числом 158, то и группирование должно завершаться большей величиной. В ряду, который нами изучается, с учетом высказанных со­ображений можно выбрать групповой интервал в 9 единиц и произвести разбиение ряда на группы, начав с 83. Тогда последняя группа будет за­вершаться величиной, превышающей значение последней величины ряда (т.е. 158). Число групп будет равно 9 (табл. 1).

Вычисление среднего арифметического и среднего квадратическо-го отклонения.

Таблица 1

Группы	Средние значе­ния	Резуль­тат раз­носки	Итоги разнос­ки	f•x	x – x	(х - x )2	f •( x -х)2
83—91	87	/	1	87	36	1296	1296
92—100	96	u	3	288	27	729	2187
101—109	105	LJ	3	315	18	324	972
110—118	114	QQ	10	1140	9	81	810
119—127	123	1300/	16	1968	0	0	0
128—136	132	Ш	9	1188	9	81	729
137—145	141	Я	5	705	18	324	1620
146—154	150	L	2	300	27	729	1458
155—163	159	/	1	159	36	1296	1296
n = 50	Σf • x = 6150	Σf •( x -х)2 = =10368

1-й столбец — группы, полученные после разбиения изучаемого ряда.

2-й столбец — средние значения каждой группы; этот столбец показывает, в каком диапазоне варьируют величины изучаемого ря­да, т.е. х.

3-й столбец показывает результаты «ручной» разноски величин ряда или иксов: каждая величина занесена в соответствующую ее значению группу в виде черточки.

4-й столбец — это итог подсчета результатов разноски.

5-й столбец показывает, сколько раз встречалась каждая величи­на ряда — это произведение величин второго столбца на величины 4-го столбца по строчкам. Итоги 4-го и 5-го столбцов дают суммы, необходимые для вычисления среднего арифметического.

6-й столбец показывает разность среднего арифметического и значения x по каждой группе.

7-й столбец — квадрат этих разностей.

8-й столбец показывает, сколько раз встречался каждый квадрат разности; суммирование величин этого столбца дает итог, необхо­димый для вычисления среднего квадратического отклонения.

В заголовках 5-го и 8-го столбцов указывается, насколько часто встречается та или другая величина. Частота обозначается буквой f (от английского слова frequency).

Включение буквы f , означающей, насколько часто встречалась та или другая величина, ничего не изменяет в формулах среднего арифметического и среднего квадратического отклонения.

Поэтому формулы

вполне тождественны.

Рис.2

Остается показать, как вы­числяются по формулам сред­нее арифметическое и среднее квадратическое отклонение. Обратимся к величинам, полу­ченным в таблице:

x = 6150 : 50 = 123. При составлении таблицы это число было заранее вычислено, без него нельзя было бы полу­чить числовые значения 6, 7, 8-го столбцов таблицы.

При обработке изучаемого ряда оказалось возможным примене­ние параметрического метода, так как визуально в этом ряду рас­пределение численностей приближается к нормальному. Это под­тверждается и графиком (рис. 2, с. 251).

Нормальное распределение обладает некоторыми весьма полезными для исследователя свойствами. Так, в границах x ± s находится при­мерно 68% всего ряда или всей выборки, в границах х ± 2s — пример­но 95%, а в границах x ± 3s — 97,7% выборки. В практике иссле­дований часто берут границы — x ±2/3s. В этих границах при нор­мальном распределении будут находиться 50% выборки; распреде­ление это симметрично, поэтому 25% окажутся ниже, а 25% выше границ x ±2/3s. Все эти расчеты не требуют никакой дополни­тельной проверки при условии, что изучаемый ряд имеет нор­мальное распределение, а число элементов в нем велико, поряд­ка нескольких сотен или тысяч. Для рядов, которые распределе­ны нормально или имеют распределение, мало отличающееся от нормального, вычисляется коэффициент вариации по такой фор­муле:

В примере, который был рассмотрен выше,

V = (100-14,4)/123 = 11,7.

Выполнив все эти вычисления, психолог может представить инфор­мацию об изучении двигательной скорости с помощью примененной методики в 6-х классах. Согласно результатам изучения в 6-х классах получены: среднее арифметическое — 123; среднее квадратическое от­клонение — 14,4; коэффициент вариативности — 11,7.

Непараметрические методы. Ранжирование, медиана, квартиль. Далеко не все материалы, получаемые в психологиче­ских исследованиях, подлежат обработке параметрическими мето­дами. Если после ознакомления с изучаемым рядом исследователь убеждается в том, что этот ряд не имеет свойств нормального рас­пределения, ему остается перейти на методы непараметрической статистики. С их помощью могут быть получены и центральная тенденция изучаемого ряда — медиана — и величина, позволяющая судить о диапазоне варьирования и о строении изучаемого ряда — квартильное отклонение.

Вот пример. После диагностических испытаний уровня умствен­ного развития учеников 6-го класса полученные данные были упо­рядочены, т.е. расположены в последовательности от меньшей ве­личины к большей. Испытания проходили 18 учащихся (табл. 2).

Таблица 2

Примечание. Буквами обозначены учащиеся, числами — полученные ими баллы по тесту.

Процедура ранжирования состоит в следующем. Все числа ряда в их последовательности получают по своим. порядковым местам присваи­ваемые им ранги. Если какие-нибудь числа повторяются, то всем по­вторяющимся числам присваивается один и тот же ранг — средний из общей суммы занятых ими ранговых мест. Так, числу 28 в изучаемом ряду присвоен ранг 2. Затем следуют трижды повторяющиеся числа 39. На них приходятся занятые ими ранговые места 3, 4, 5. Поэтому этим числам присваивается один и тот же средний ранг, в дан­ном случае — 4. Поскольку места до 5-го включительно заняты, то следующее число получает ранг 6 и т.д.

При обработке ряда, не имеющего признаков нормального рас­пределения — непараметрического ряда, — для величины, которая выражала бы его центральную тенденцию, более всего пригодна ме­диана, т.е. величина, расположенная в середине ряда. Ее определя­ют по срединному рангу по формуле M_e = (п + 1)/2, где M_e — оз­начает медиану, п — как в ранее приводившихся формулах — число членов ряда. При нечетном числе членов ряда ранговая медиана — целое число, при нечетном число — с 0,5. Заметим, что числовое значение медианы может и не быть в составе самого обрабатывае­мого ряда.

Возьмем к примеру ряд в семь членов: 3—5—6—7—9—10—11.

Проранжировав его, имеем: 1—2—3—4—5—6—7.

Ранговая медиана в таком ряду равна: M_e = (7 + 1)/2 = 4, этот ранг приходится на величину 7.

Возьмем ряд в восемь членов: 3—5—6—7—9—10—11—12.

Проранжировав его, имеем: 1—2—3—4—5—6—7—8.

Ранговая медиана в этом ряду равна: M_e = (8 + 1)/2 = 4,5.

Этому рангу соответствует середина между двумя величинами, имеющими ранг 4 и ранг 5, т.е. между 7 и 9. Медиана этого ряда равна: M_e = (7 + 9)/2 = 8.

Следует обратить внимание на то, что величины 8 в составе ряда нет, но таково значение медианы этого ряда.

Вернемся к изучаемому ряду. Он состоит из 18 членов. Его ран­говая медиана равна: M_e = (18 + 1)/2 = 9,5.

Она расположится между 9-й и 10-й величиной ряда. 9-я величи­на — 52, 10-я — 68. Медиана занимает срединное место между ними, следовательно, M_e = (52 + 68)/2 = 60.

По обе стороны от этой величины находится по 50% величин ряда.

Характеристику распределения численностей в непараметриче­ском ряду можно получить из отношения его квартилей. Квартилью называется величина, отграничивающая 1/4 всех величин ряда. Квартиль первая — ее обозначение Q ₁ — вычисляется по формуле:

Это полусумма первого и последнего рангов первой — левой от медианы половины ряда;

квартиль третья, обозначаемая Q ₃ вычисляется по формуле:

т.е. как полусумма первого и последнего рангов второй, правой от ме­дианы, половины ряда. Берутся порядковые значения рангов по их по­следовательности в ряду. В обрабатываемом ряду Q ₁ = (1+9)/2 = 5, Q ₃ = (10 + 18)/2 = 14.

Рангу 5 в этом ряду соответствует величина 39, а рангу 14 — 70. Следовательно, в данном ряду Q ₁ = 39, а Q ₃ ⁼ 70.

Для характеристики распределения в непараметрическом ряду вычисляется среднее квартильное отклонение, обозначаемое Q . Формула для Q такова: Q = (Q ₃ - Q ₁ )/2. Для обрабатываемого ряда Q = (70 - 39)/2 = 15,5. Были рассмотрены статистическая обработка параметрического ряда (x и s), статистическая обработка непараметрического ряда ( M _е и Q ). Параметрический ряд относится к шкале интервалов, не­параметрический — к шкале порядка. Но встречаются также ряды, относящиеся к шкале наименований. Наиболее краткая характери­стика такого ряда может быть получена с помощью моды, величи­ны, которая выражает наивысшее числовое значение величин дан­ного ряда, при п — числе членов ряда. Следует заметить, что моду можно лишь условно считать выражением центральной тенденции в ряду, относящемуся к шкале наименований. Она выражает наибо­лее типичную величину ряда.

Рассмотрим подробнее пример, приведенный выше (С. 242). Там речь шла об участниках некой конференции; в их числе были 3 англичанина, 2 датчанина, 5 немцев, 3 русских и 1 француз. Мода в данном ряду приходится на участников конференции — немцев. Число членов ряда равно — 13, а мода — M_o = 5.

Итак, мы рассмотрели статистические методы, применяющиеся для задач первого типа.

Второй тип задач. Психологу в его повседневной практической и исследовательской работе приходится искать ответы на различные вопросы. Предположим, что проведены диагностические испытания умственного развития у школьников шестых классов городской и сельской школ: можно ли в дальнейшем рассматривать обе школь­ные выборки как принадлежащие одной совокупности? По поводу неодинаковых условий обучения в городской и сельской школах вы­сказано немало противоречивых суждений. Психолог в данном слу­чае намерен опираться на экспериментальные факты. Чтобы прийти к какому-то решению, целесообразно проанализировать полученный экспериментальный материал. Это достаточно часто встречающаяся задача, встречаются и такие, где приходится решать тот же вопрос относительно нескольких, а не двух выборок. Это и есть задачи второго типа.

Перед психологом два ряда численностей. Прежде всего нужно установить, на какие статистические методы опираться — на пара­метрические или непараметрические? Применять параметрические методы следует в том случае, если оба ряда имеют распределение, не отличающееся от нормального. Если же один из рядов не соот­ветствует этому требованию, то применение параметрических мето­дов противопоказано.

Положим, оба ряда показывают распределение, допускающее применение параметрических методов. Сравнение величин цен­тральных тенденций — в данном случае их представляют средние арифметические — не даст ответа на вопрос о том, относятся ли выборки к одной совокупности. Почти безошибочно можно утвер­ждать, что средние арифметические не будут тождественными, но этого явно недостаточно для ответа на поставленный вопрос, ответ не был бы получен, даже если бы средние арифметические оказа­лись равными. Для данного случая более всего подходит сравнение выборок по критерию t Стьюдента.

Перед тем как ознакомиться с техникой вычислений и интерпре­таций результатов, получаемых при работе с критерием t Стьюден­та, необходимо остановиться на некоторых статистических терми­нах; они постоянно встречаются в прикладной статистике.

В том разделе статистики, где заходит речь о проверке гипотез, постоянно приходится иметь дело с нуль-гипотезой, или нулевой гипотезой. При сравнении двух выборок нуль-гипотеза формулиру­ется следующим образом: между изучаемыми выборками нет разли­чия или, иначе, различие между ними несущественно. Все даль­нейшие расчеты направлены на то, чтобы прийти к заключению верна ли нуль-гипотеза или от нее нужно отказаться, и в действи­тельности существенная разница между выборками имеется. В дру­гих случаях в зависимости от содержания материала меняются формулировки, но вычисления показывают, какова вероятность нуль-гипотезы. Для обозначения нуль-гипотезы используется символ h ₀ .

Допустим, что разница между выборками имеется. Исследователь встает перед вопросом, насколько существенна эта разница, как часто будет обнаруживаться она в последующем, когда придется работать с подобными же выборками. Самые общие соображения при этом таковы: если разница получена на небольшом материале (числе случаев, охваченных той или другой выборкой), то при по­вторном изучении таких же выборок разницу, возможно, найти и не удастся. Другое дело, если изучаемые выборки не малы. Далее важно, оказалась ли обнаруженная разница значительной. Это рас­суждение и следует иметь в виду, когда в статистике речь идет об уровне значимости полученного коэффициента, параметра и пр. Уровни значимости представлены в специальных таблицах, которые обычно даются в учебниках статистики, есть такие таблицы и в конце этой главы. Какой уровень значимости можно признать удов­летворительным? В психологии и педагогике минимально допусти­мым для отказа от Н₀ уровнем значимости признается 0,95. Это значит, что расчеты, основанные на математической теории вероят­ности, дают основание утверждать, что при проведении таких же исследований, по крайней мере в 95% случаев, будет получен та­кой же результат, возможно, лишь с несущественными отклонения­ми. В некоторых работах удается получить и более высокие уровни значимости — 0,990 и даже 0,999 (эти же уровни значимости мож­но записать: 0,05; 0,01; 0,001. Записывая уровень 0,95, имеют в ви­ду, что полученные параметры повторяются в 95% случаев, а запи­сывая 0,05, что в 5% случаев они не повторятся; смысл в том и другом случае один и тот же).

А если не получен уровень значимости 0,95? Тогда нужно при­знать, что нуль-гипотезу не следует отвергать. Впрочем, иногда, по задачам исследования признается достаточным и более низкий уро­вень. В некоторых исследованиях цель состоит в том, чтобы прийти к утверждению нуль-гипотезы.

Обращаясь к таблицам уровней значимости, исследователь обна­руживает во многих из них специальный столбец с указанием сте­пеней свободы, относящихся к полученному параметру или коэф­фициенту. Уровень значимости прямо зависит от того, каким чис­лом степеней свободы обладает данный коэффициент или параметр. Число независимых величин, участвующих в образовании того или другого параметра, называется числом степеней свободы этого па­раметра. Оно равно общему числу величин, по которым вычисляет­ся параметр, минус число условий, связывающих эти величины (Урбах В.Ю. Указ. соч. С. 161). Число степеней свободы и способы его определения всегда даются в окончательных формулах, которы­ми пользуется исследователь при статистической обработке своих материалов.

Рассмотрим пример с двумя выборками, которые, по мнению ис­следователя, можно рассматривать как подлежащие обработке па­раметрическим методом.

Двум группам шестиклассников по 6 человек было дано задание бросать мяч в корзину. Группы обучались по разным программам. Можно ли считать, что разница в программах сказалась на конеч­ной результативности школьников? Для сравнения было взято чис­ло попаданий в корзину. Всего было дано по 10 проб.

Формула вычисления t :

где

Материал, подлежащий обработке:

первая выборка, п = 6

Исп.	х	x - x	(x - x)2
А	2	-1	1
Б	4	1	1
В	6	3	9
Г	4	1	1
Д	1	-2	4
Е	1	-2	4

вторая выборка, п = 6

Исп.	х	x - x	(x - x)2
Ж	5	—	—
3	4	-1	1
И	2	-3	9
К	8	3	9
Л	6	1	1
М	5	—	—

Ход вычислений показывает:

fd (число степеней свободы) =n₁ -n₂ -2=6+6-2= 10. По таблице уровней значимости t Стьюдента находим t _0,95 = 2,223. Существенность различия не доказана, хотя полученное значение t = 1,9 очень близко к требуемому уровню. Принимается Н_о . Нель­зя утверждать, что выборки существенно различаются.

Для вычисления t существует несколько формул, различающихся только техникой расчетов.

Сравниваемые выборки могут быть неодинаковыми по объему. Применять параметрические методы можно лишь к материалу, об­ладающему определенными свойствами, о которых говорилось ра­нее. В других случаях следует обращаться к непараметрическим методам.

Ниже будет рассмотрена техника применения критерия Манна— Уитни, непараметрического метода, часто используемого в психоло­гических исследованиях.

Предположим, что психологу нужно решить такую задачу. Есть ли различия между выборками школьников одного и того же клас­са, если одна выборка включает школьников, которые после кон­трольной работы проходили дополнительное обучение по коррекционным программам, другая — школьников, такого обучения не про­ходивших? Обе выборки малы, поэтому для проверки гипотез о су­ществовании различий между выборками следует взять мощный критерий. Мощность критерия — это вероятность принятия при его применении правильного решения для отклонения h_o ; чем выше эта вероятность, тем больше мощность критерия. Мощность любого критерия увеличивается вместе с увеличением объема сравниваемых выборок, а также со снижением того уровня зна­чимости, на который ориентируется исследователь. Другими словами, если выборки велики, то принятие правильного реше­ния относительно h_o увеличивается. Ориентация на высокий уровень значимости, например 0,990 или 0,999, предполагает применение достаточно мощного критерия. В рассматриваемом примере выборки малы, а при установлении существенной раз­ницы между ними, т.е. при отказе от h_o желательно, чтобы уро­вень значимости был как можно выше, но не ниже 0,95.

Формула вычисления критерия Манна—Уитни такова:

или:

В примере сравнению подлежат результаты контрольной работы выборки A из 4 школьников, проходивших обучение по коррекционным программам, и выборки Б, состоящей из 7 школьников, никако­го коррекционного обучения не проходивших. Последовательность действий, предусматриваемых вычислением всех нужных для реше­ния задачи величин, такова.

1. Выписать в любом порядке число успешно решенных заданий школьниками сначала выборки А, затем выборки Б.

2. Проранжировать число успешно решенных заданий, объединив обе выборки.

3. Найти сумму рангов выборок А и Б раздельно.

Эти три действия дадут все необходимые для вычисления крите­рия данные.

Для проверки расчетов вычисляется:

R _A + R _B = N /2(1 + N ); т.е. 37 + 29 = 11/2(1 + 11), т.е. 66 = 66.

Имея величины U ₁ и U ₂ , следует обратиться к таблице уровня значимости. На совмещение строки четвертой со столбцом седьмым находим 3/25. По условиям таблицы, U ₁ должно быть меньше верх­ней, aU ₂ — больше нижней величины. Полученные величины по­казывают, что h _o отвергается. Можно утверждать, что между вы­борками имеется существенное различие: результаты свидетельст­вуют о преимуществе выборки A .

Попарное сравнение. В предыдущем материале исследователь имел дело с двумя выборками. В обработку они поступают как два ряда чисел; каждый ряд есть результат экспериментов, проведенных с данной выборкой. Однако часто приходится встречаться с мате­риалом, в котором даны два числовых ряда, но оба они получены на одной выборке; сюда относятся исследования, когда эксперименты проводятся до и после какого-то специального воздействия. Цель такого исследования состоит в том, чтобы установить, есть ли дос­таточно существенные изменения и можно ли утверждать, что спе­циальное воздействие имело существенное значение.

Например, психологу было предложено ответить на такой вопрос:

влияют ли занятия физкультурой на общее самочувствие занимаю­щихся школьников? Исследование он построил так: школьников просили отмечать на линейной шкале свое самочувствие до занятий физкультурой и после них.

Статистической обработке подлежат попарные сравнения показа­ния одного и того же испытуемого до и после воздействия:

Нуль-гипотеза формулируется так: сравнение рядов до и после воздействия не дает оснований утверждать, что по измеряемому признаку произошли существенные изменения.

Выборка, подвергнутая изучению, состояла из 8 человек. Начнем с параметрического метода. Будет применен критерий t Стьюдента, его формула для попарного сравнения такова:

Нужно вычислить все величины, входящие в эту формулу. Для получения S используется формула:

Извлекая корень из полученной величины, узнаем значение S. Остается произвести по формуле все вычисления.

Ниже приводятся ряды, полученные в эксперименте (числа заимст­вованы из кн.: Бейли Н. Статистические методы в биологии. М., 1964).

При вычислении t при попарном сравнении число степеней сво­боды равно п -1. По таблице уровней значимости для t находим, что для 7 степеней свободы t _0,95 должно быть не менее 2,36. По­скольку получена большая величина, следует признать, что налицо статистически значимое влияние занятий физкультурой на самочув­ствие школьников.

Из непараметрических методов для попарного сравнения удобен для пользования критерий Уилкоксона, правда, на небольших вы­борках этот критерий оказывается недостаточно мощным; его лучше применять на выборках объемом от 12 и более элементов.

Небольшие по объему выборки, однако, удобны для наглядного последовательного изложения техники расчетов.

Для использования этого критерия (его называют также знаково-ранговым) следует проранжировать, сначала не обращая внимания на знаки, весь перечень разностей между рядами «до» и «после». Если разность у отдельных испытуемых и в отдельных случаях ну­левая, то она из ранжирования исключается и не входит в сумму рангов. В этом примере таких разностей (равных нулю) не встреча­ется.

Далее нужно суммировать раздельно ранги разностей с положи­тельным знаком и ранги разностей с отрицательным знаком. Значе­ние критерия Т равно меньшей по абсолютной величине сумме рангов.

В этом примере Т = 3,5.

Скобками указаны ранги разностей с отрицательными значениями. Но прежде чем отыскивать уровень значимости Т, нужно обра­тить внимание на то, что в данном случае критерий Уилкоксона — это двусторонний критерий. Как это понимать? Различают односто­ронние и двусторонние критерии. Отвергая нуль-гипотезу, выдвигают альтернативную ей гипотезу. При этом возникает вопрос: в ка­кую сторону направлено отличие альтернативной гипотезы от H _o — в положительную или отрицательную. Если исследование предпола­гает равно возможными и ту, и другую направленности, следует принять двусторонний критерий. Возможна вместе с тем такая по­становка исследования, когда учитывается лишь одна направлен­ность результатов. Так, сравнивая две выборки учащихся по освое­нии ими научных химических понятий, исследователь ставит огра­ниченную задачу — рассмотреть только возможность преобладания в этом освоении одной выборки над другой. В этом исследовании применим односторонний критерий.

При описании статистических методов всегда указывается, какого рода критерий подлежит применению — односторонний или двусто­ронний. В таблицах уровней значимости обычно значения для односто­роннего и для двустороннего критериев даются либо в особых столб­цах, либо в таблице указывается, какому значению одностороннего критерия соответствует значение двустороннего, и наоборот.

Возвращаясь к рассматриваемому примеру, следует признать, что для него при обработке с помощью критерия Уилкоксона применим двусторонний критерий: различия между показателями «до» и «пос­ле» в одних строках положительные, в других отрицательные, учи­тываются те и другие.

В таблице уровней значимости для критерия Т, имея в виду, что критерий двусторонний, находим, что для 0,95 уровня значение Т должно быть не более 3. Поскольку получено значение Т = 3,5, h _o не следует отклонять.

Следовательно, критерий t Стьюдента свидетельствует о том, что H _o подлежит отклонению, а T -критерий Уилкоксона свидетель­ствует о том, что нуль-гипотезу отвергать не следует. Такого ро­да расхождения, особенно при работе с небольшими выборками, вполне возможны. То, что критерий Уилкоксона Т всего на 0,5 превысил установленный уровень значимости, говорит о том, что при увеличении объема выборки в 1,5 или в 2 раза критерий Т также окажется значимым. В параграфе, где пойдет речь о пла­нировании эксперимента, еще предстоит рассмотреть вопрос об объеме выборок.

Сравнение нескольких выборок по Уилкоксону. Иногда ис­следователю приходится сравнивать не две, а несколько выборок:

три, четыре и более. В таких случаях следует обратиться к просто­му и достаточно мощному непараметрическому критерию, пред­ставляющему собой модификацию критерия Уилкоксона. Метод позволяет сравнивать выборку с любой другой — вторую с третьей, первую с четвертой и т.д. Нужно, чтобы выборки были равными по численности.

Допустим, что учащимся 8-х классов четырех различных школ был предложен тест умственного развития. В школах использова­лись различные методы обучения и воспитания. Умственное разви­тие, как можно полагать, формировалось в каждой выборке в осо­бых условиях. Эти условия и могли определить различия между выборками. Взято по 10 учеников из каждой школы. Их результаты и даны в таблице (табл. 3).

Таблица 3

Объединим результаты четырех школ в один ряд и проранжируем его. Для этого расположим ряд в порядке его возрастания и перене­сем полученные ранги в таблицу (табл. 4).

Таблица 4

Подсчитаем сумму рангов по каждой школе.

åR = 258 + 284,5 + 156,5 + 121 = 820.

Проверочная формула: åR = N /2( N + 1) = 820, где N — общее число элементов, включающее все выборки. В этом примере оно равно 40.

Далее суммы рангов по выборкам размещаются в матрице.

На пересечении строк и столбцов указываются разности, показы­вающие, насколько отличается сумма рангов каждой выборки от других выборок.

По таблице значимости устанавливается, что при n = 10 (учиты­вается объем отдельной выборки) и при четырех условиях достига­ют уровня значимости 0,95 — величина 134 и более, а уровня зна­чимости 0,99 — величина 163 и более. Следовательно, существен­ное статистически значимое различие имеется между 1-й и 4-й вы­борками и между 2-й и 4-й выборками; в последнем случае на уров­не значимости 0,99.

Корреляции. В примере, рассмотренном выше (С. 260), сравни­вались два ряда чисел, представляющие два ряда показателей одной и той же выборки; по смыслу задачи нужно было установить, суще­ственная ли разница между этими рядами. Это были ряды, взятые из ситуации «до» и «после». Есть, однако, и многочисленные ситуа­ции, когда исследователь заинтересован не в том, чтобы найти сте­пень существенности разницы между вариационными рядами, а в том, чтобы найти, насколько тесно эти ряды связаны между собой, какова направленность этой связи. Так, группе школьников были предложены два теста, задания которых были построены на мате­риале школьных дисциплин гуманитарного цикла — литературы и истории. Но в первом тесте для выполнения заданий требовалась актуализация умственного действия аналогии, а во втором — умст­венного действия классификации. Данные тестирования представ­лены в двух числовых рядах. Исследователю нужно ответить на во­прос, насколько тесно связаны эти два ряда. При строгой постанов­ке эксперимента это исследование должно было пролить свет на то, какую роль играют умственные действия, указанные выше, на ус­воение знаний в гуманитарном цикле.

Пример. Исследовалась выборка из 15 школьников. Для вычисления коэффициента корреляции, отражающего тесноту связи между двумя рядами, используются как параметрические, так и непараметрические методы.

До перехода к расчетам полезно рассмотреть любые корре­лируемые ряды в их размещении в корреляционной решетке. По оси абсцисс размещаются показатели одного, а по оси ординат — дру­гого ряда.

Теснота связи между рядами благодаря этой решетке становится легко обозримой. На рис. 3 схематически изображены различные виды соотношения коррелируемых рядов. Как видно, схемы отра­жают всего пять различных соотношений.

Рис. 3

На схемах можно усмотреть как тесноту связи, так и ее направлен­ность. Схема 3 демонстрирует полное отсутствие связи между рядами; на схеме 5 показана нелинейная связь между рядами, та ее форма, ко­торая показана на этой схеме лишь одна из возможных.

Коэффициент корреляции принимает значение от -1 (схема 4) до +1 (схема 1). В этих пределах возможны все числовые значения коэф­фициента корреляции. Если никакой связи между рядами не суще­ствует, то коэффициент равен 0 (схема 3). В подавляющем боль­шинстве случаев коэффициент составляет величину, не достигаю­щую 1. При положительной корреляции при увеличении числовых значений одного ряда соответственно увеличиваются числовые зна­чения другого ряда. При отрицательной корреляции увеличению чи­словых значений одного ряда соответствует уменьшение числовых значений другого ряда.

Если исследователь убежден в том, что оба коррелируемых ряда можно рассматривать как ряды параметрические, то для вычисле­ния коэффициента корреляции применяется параметрический метод по формуле Пирсона:

Существует много различных видов этой формулы, представляю­щих собой ее преобразования. Исследователь сам выбирает удоб­ную для себя формулу. Об уровне значимости коэффициента корре­ляции судят по табл. 5, причем для г число степеней свободы fd = п - 2, где п — объем выборки.

Вычисление коэффициента корреляции по Пирсону. Ко­эффициент показывает тесноту связи между выполнением задач в тестах «Аналогии» и «Классификации». Данные по тесту «Аналогии» обозначены х, а по тесту «Классификации» — у.

Для упрощения расчетов введены некоторые тождества.

Число степеней свободы fd = п - 2 = 15 - 2 = 13. По таблице уровней значимости находим, что при 13 степенях свободы r _0,999 = = 0,760. Сравниваем это значение с полученным коэффициентом:

0,76 < 0,96.

Полученный коэффициент корреляции показывает, что между ре­зультатами в тестах «Аналогии» и «Классификации» имеется связь. Высокий уровень значимости свидетельствует о том, что эта связь с высокой вероятностью будет воспроизводиться в таких же экспери­ментах.

Вычисление коэффициента корреляции по Спирмену (коэффициент ранговой корреляции).

Исследовательское задание указано на с. 266. Формула ранговой корреляции такова:

где d — разность рангов ряда х и ряда у т.е. ( R_x - R_y ).

Таблица 6

fd = п - 2 = 15 - 2 = 13.

Производится раздельное ранжирование ряда х и ряда у. Вычис­ляется разность рангов d попарно. Знак разности не существенен, так как по формуле нужно возвести d в квадрат. Далее действия определяются формулой:

По таблице уровней значимости r > r_0,99 (0,98 > 0,70).

Коэффициенты, вычисленные двумя разными способами, как и нужно было ожидать, чрезвычайно близки друг к другу; отличаются они на 0,02, что никакого значения практически не имеет.

Нельзя трактовать коэффициент корреляции как величину, озна­чающую процент взаимозависимых связей вариант двух коррели­руемых рядов, т.е. например, коэффициент 0,50 трактовать как 50% таких связей этих рядов. Это далеко не так. Об этом проценте во­обще по коэффициенту корреляции судить нельзя. Возведенный в квадрат коэффициент корреляции называется коэффициентом детерми­нации (r ² или r² ). Он показывает, сколько процентов вариант обоих рядов оказались взаимозависимыми. При коэффициенте 0,50 процент таких взаимозависимых вариант составит 0,50² , т.е. 0,25 ( Heinz A ., Ebner С. GrundlagenderStatistikfiirPsychologen, PadagogenundSoziologen. Berlin, 1967. S. 112). Для коэффициента 0,98 коэффици­ент детерминации составит 0,98² = 0,9604. Следовательно, взаимо­зависимы примерно 96% вариант обоих рядов.

Корреляция как метод статистического анализа в психологиче­ских исследованиях применяется очень часто. Всем, кто работает с применением корреляционного анализа, т.е. выясняет посредством этого метода тесноту связи двух рядов, следует напомнить, что ко­эффициент, как бы высок он ни был, нельзя интерпретировать как показатель наличия причинной связи между коррелируемыми ряда­ми. Если коэффициент и может быть как-то использован в обсуж­дении вопроса о возможных причинных связях, то только в том случае, когда содержательная логика исследования и выдвигаемые при этом теоретические соображения позволяют опереться как на один из аргументов и на значение коэффициента корреляции.

В изложении метода корреляции речь шла исключительно о ли­нейных корреляциях, которые изображены на схемах №1,2, 4. Но там же приведена схема криволинейной корреляции (№ 5). Вообще говоря, вероятно, и в психике человека протекают процессы, взаи­мосвязь которых не имеет линейного вида. Вычисление нелинейных корреляций и, главное их истолкование не относятся к простейшим статистическим методам, о которых говорится в этой главе. Но об их существовании следует знать.

Наконец, полезно напомнить, что корреляции по Пирсону (с оп­ределенными ограничениями и в определенных сочетаниях) создают ту базу, на которой открываются возможности перехода к так назы­ваемому факторному анализу. (Наиболее ясное изложение сути факторного анализа см.: Теплов Б.М. Типологические особенности в н.д. человека. М., 1967. Т. 5. С. 239).

Метод определения меры различия между наблюдаемыми и предполагаемыми (теоретическими) численностями — хи-квадрат.

Ранее были рассмотрены различные отношения между выборка­ми: количественное преобладание какого-то признака, представлен­ного в одной из выборок, теснота связи между выборками. Но есть еще одно важное отношение между ними: количественная разница распределений, благодаря которой при сопоставлении выборок от­крывается возможность прийти к содержательным выводам. Это от­ношение обнаруживается при сопоставлении распределений численностей. Допустим, что сравниваются две выборки, выпускников двух школ. Часть выпускников каждой школы сдавали экзамены в вузы. Из первой школы сдавали экзамены 100 человек, из них 82 успешно, не сдали 18. Таково распределение численности в первой выборке. Из второй школы сдавали экзамены в вузы 87 человек, выдержали 44 человека, не сдали — 43. Таково распределение численностей во второй выборке. Достаточно ли этих данных, чтобы утверждать, что подготовленность к вузовским экзаменам выпуск­ников этих школ неодинакова? На первый взгляд, разница налицо:

лучше подготовлены выпускники первой школы. Однако при таком раскладе численностей возможно влияние случайности. Поэтому встает вопрос, можно ли, считаясь с представленными распределе­ниями, прийти к статистически обоснованному выводу о мере под­готовленности к экзаменам в вузы той и другой выборки.

Метод, с помощью которого подвергаются статистическому ана­лизу описанные распределения численностей, получил название хи-квадрат, его обозначают греческой буквой x ² с показателем степе­ни. Он был разработан математиком Пирсоном. Метод x ² весьма универсален, применим во многих исследованиях, пригоден для ста­тистического анализа распределения численностей разнообразных количественных материалов, относящихся ко всем статистическим шкалам, в том числе и к шкале наименований.

Техника вычисления хи-квадрата довольно проста. Рассмотрим пример со сдачей экзаменов в вузы выпускниками первой и второй школ. В условии сказано, что всего намерены были сдавать экзаме­ны 187 человек: 100 учащихся (53,5%) из первой школы и 87 (46,5%) из второй. Предположим, что выпускники обеих школ под­готовлены одинаково, тогда и доли сдавших и не сдавших будут та­кие же, как доли их представленности в общем числе сдающих. Всего сдало экзамены 126 выпускников (82 + 44). Согласно выска­занному предположению, 53,5% от этого числа должны бы были прийтись на 1-ю школу — это составит 66,9 от 126 — и 46,5% на 2-ю школу, что составит 58,9 от 126. Такое же рассуждение повторяем и относительно несдавших. Их всего 61 человек (18 + 43). На 1-ю школу, как нам известно, должно, по предположению, прийтись 53,5% от этого числа, т.е. 33,0 от 61, а на долю 2-й школы — 46,5%, т.е. 28,1 от 61. Нуль-гипотеза, имеющая в данном раскладе тот смысл, что между выпускниками нет различия, при таком соот­ношении сдавших и несдавших подтвердилась бы. Однако в услови­ях этого исследования показано другое распределение. Количество выпускников 1-й школы, сдавших экзамены, составляет 82, а не 66,9, как можно было бы предположить, исходя из нуль-гипотезы. Соот­ветственно количество выпускников 2-й школы, сдавших экзамены, составляет в действительности всего 44, а не 58,9. Точно также, сравнивая количество несдавших (по условию с предполагаемым распределением) найдем по 1-й школе 18, а не 33, а по 2-й школе — 43, а не 28,1.

Расхождения между действительными распределениями и рас­пределениями, которые могли бы иметь место, если исходить из нуль-гипотез, налицо. Они-то и учитываются при вычислении x ² . Все сказанное удобно представить в виде таблицы-графика распре­деления численностей (табл. 7). Количества, которые были бы по­лучены при принятии нуль-гипотезы, заключены в скобки. В правом углу буквенное обозначение клетки.

Таблица 7

Получены разности по клеткам (знак разности несущественен). Клетки:

А f_A = 82—66,9= 15,1;

В f_B = 18 — 33 = 15,0;

С f_C = 44 — 58,9 = 14,9;

Д f_D = 43—28,1= 14,9. Формула хи-квадрат:

где f ₀ — наблюдаемые численности; f _e — предполагаемые (теоре­тические) численности.

В рассмотренном материале x ² = 15,1² /66,9 + 15² /33 + 14,9² /58,9 + 14,9² /28,1= 288/66,9 + 225/33 + 222/58,9 + 222/28,1= 3,4 + 6,8 + 3,8 + 7,9 = 21,9

Для получения числа степеней свободы нужно воспользоваться формулой (только для хи-квадрат): fd = ( k - 1)(с - 1) = (2 - 1) х (2 - 1) = 1 степень свободы, где k — число столбцов, с — число строк в таблице с анализируемым материалом.

Обратимся к таблице уровней значимости для одной степени свободы для хи-квадрат: x ² _0,99 ⁼ 6,6. Следовательно, полученная величина вполне достаточна для отклонения h ₀ . Есть все основания для содержательного вывода о различной степени подготовленности выпускников обеих школ к экзаменам в вузы.

Все вычисления, приводимые в этой главе, ведутся с точно­стью до первого знака, т.е. вычисляются целые и десятые. Этим объясняется та, в общем-то, несущественная разница при вычис­лениях одной и той же величины разными способами. Никакого практического значения встречающиеся расхождения в величи­нах не имеют.

Полезно знать, что коэффициент хи-квадрат и коэффициент че­тырехпольной корреляции взаимосвязаны и, поскольку известна численность и распределение сопоставляемых выборок, указанные коэффициенты могут быть определены один через другой.

Как показывает само название этого метода, числовой материал, подлежащий статистическому анализу, может быть распределен в таблице-графике, имеющей четыре поля. Такое расположение мате­риала облегчает все последующие действия с ним. Чтобы рассмот­реть технику вычисления коэффициента четырехпольной корреля­ции — он обозначается символом j (фи), — можно воспользовать­ся тем примером, где речь шла о вычислении коэффициента x ² . Вы­пускники двух школ сравнивались между собой по подготовленно­сти к вузовским экзаменам.

Заменив буквенные обозначения числами, получим:

Для получения коэффициента х ² нужно воспользоваться форму­лой х ² = j² · n. В данном примере х ² = 0,34² ·187 = 0,1156 · 187 = = 21,7. Этот же коэффициент х ² вычислялся другим приемом. По­лучено значение 21,9. Расхождение вызвано разницей в технике вычислений.

Коэффициент четырехпольной корреляции j может принимать значения от 0 до 1, причем знак получаемого j не принимается во внимание.

Психологу, намеренному воспользоваться для статистического анализа своих материалов методом хи-квадрат, нужно знать о неко­торых обязательных требованиях этого метода; о них не упомина­лось в приведенных примерах. При вычислении коэффициента х ² необходимо брать для анализа только абсолютные численности вы­борок, но не относительные, в частности, не проценты. Необходи­мость учитывать это свойство объясняется тем, что значение коэф­фициента х ² зависит от абсолютных величин рассматриваемых рас­пределений. Так, сравнение выборок с численностями 60 и 40 даст совершенно не тот результат, что сравнение выборок с численно­стями 6 и 4, хотя процентное отношение распределений в обоих случаях одинаково (60 и 40%).

Далее, для вычисления коэффициента х ² нужно, чтобы в каждой клетке таблицы-графика было не менее пяти наблюдений. Наконец, нужно со вниманием относиться к определению числа степеней свободы; неверное определение этого числа повлечет за собой не­верное определение уровня значимости коэффициента по таблице.

Этим заканчивается рассмотрение статистических методов, отно­сящихся ко второму типу задач.

В этих задачах независимо от того, будут ли они практического или теоретического содержания, психолог сопоставляет, сравнивает между собой несколько выборок. При этом не следует забывать, что цель исследования не всегда состоит в том, чтобы при сопоставле­нии отвергнуть нуль-гипотезу. Иногда конечная или промежуточная цель исследования состоит в том, чтобы, допустим, сравнивая вы­борки, подтвердить нуль-гипотезу. Самый простой пример: исследо­ватель желает составить большую выборку, для чего необходимо объединить в ней учащихся нескольких школ. Естественно, решаю­щее значение имеет доказательство того, что группы учащихся из разных школ относятся к одной совокупности, нужно, чтобы при­мененные критерии подтвердили это, а значит, статистика должна подтвердить при сравнении групп нуль-гипотезу. Подтвердить или отвергнуть нуль-гипотезу при сопоставлении выборок — в этом и состоит назначение статистических критериев; наиболее простые из них были изложены в предшествующем тексте. Конечно, информа­ция, которую выявят статистические методы, может быть противоречи­ва утверждениям, которые намерен защищать исследователь. В таком случае ему придется внести поправки в свои утверждения или отка­заться от них.

Переходим к задачам третьего типа — задачам, рассмат­ривающим динамические, временные ряды.

Предположим, что психологу дано задание собрать информацию о состоянии умственной работоспособности школьников 8-х классов, начиная со второй недели учебного года и до девятой недели вклю­чительно. Одной из методик, с помощью которых можно фиксиро­вать состояние умственной работоспособности, считается тест Кре­пелина. Он состоит из большого количества примеров, в каждом из них нужно складывать два двузначных числа; учитывается общее число правильно решенных примеров. Каждые 3 минуты испытуе­мые по сигналу экспериментатора отмечают черточкой сделанное. Общая длительность эксперимента в зависимости от возраста со­ставит 9, 12 или 15 минут. Этой методикой и воспользовался пси­холог. Он начал с того, что сформировал из учащихся, средние ус­пехи которых оценивались за предыдущее полугодие баллами 4 и 5, выборку из 10 человек. Все они изъявили желание участвовать в эксперименте. С этими учащимися психолог в течение первой недели учебного года провел по 12 тренировочных занятий; это было необходимо, иначе рост продуктивности вследствие упражняемости замаскировал бы изменения в динамике работоспо­собности. Затем начался эксперимент: по субботам после уроков учащиеся этой выборки в течение 12 минут работали с тестом Крепелина. Эксперимент, как было сказано, продолжался 8 не­дель. Были получены следующие данные, средние по всей выбор­ке (рис. 4).

Визуальная оценка полученного динамического ряда свидетельст­вует о снижении умственной работоспособности, в чем, конечно, нет ничего удивительного. Однако снижение идет не вполне равно­мерно. Это ясно видно из графика.

Основная тенденция измене­ния умственной работоспособ­ности вполне ясна. Наблюдае­мые, в общем, незначительные отклонения от этой тенденции могут быть на графике устра­нены методом сглаживания. В этом случае применим метод скользящей средней. Для сгла­живания суммируются три по­казателя у — в данном приме­ре это показатели продуктив­ности по тесту, — далее, опус­кая по одному показателю, суммируются одна за другой триады. Средняя каждой триа­ды принимается за показатель сглаженной ломанной, если ори­ентироваться по графику. Смысл проводимого действия состоит в том, что основная тенденция выступает более отчетливо.

В только что рассмотренном примере сглаживание имеет такой вид:

Результаты сглаживания приобретают большую наглядность при нанесении их на график. Выступает основная тенденция динамики умственной работоспособности. Судя по показателям, полученным после сглаживания, в течение первых трех экспериментальных не­дель значительного снижения работоспособности не наблюдается, а далее идет непрерывное и резкое ее снижение. Сглаживание, как видно на графике, устранило колебания в работоспособности, отме­ченные на первичном графике после V недели. При сглаживании по триадам общее число точек уменьшается на 2.

Какое значение имеет выделение посредством сглаживания ос­новной тенденции? Если условия, благодаря которым возникла ос­новная тенденция, сохранятся, то и эта тенденция с высокой веро­ятностью сохранится и, таким образом, по основной тенденции мо­жет быть построен прогноз, как будут развиваться изучаемые явле­ния. Но такой прогноз возможен только при стабильности опреде­ленных условий. Для его построения нужен не только формальный, но и содержательный анализ; он же позволяет раскрыть значение факторов, вызвавших отклонения в ту или другую сторону от ос­новной тенденции.

е Техника метода скользящей средней дает возможность выбирать различные способы объединения показателей для сглаживания. Та­ковыми могут быть не только триады, но при достаточно большом числе показателей (порядка 30—40 и более) для выведения сколь­зящей средней могут быть выбраны пентады (объединения пяти по­казателей) и даже септиды (семь показателей).

Нужно иметь в виду, что наглядный и простой метод скользящей средней малопригоден для сглаживания динамики процессов, развитие которых во времени не имеет линейной формы (см.: рис. 3, схема 5, с. 265). Сглаживание методом скользящей средней в таких случаях мо­жет привести к искажению действительной тенденции развивающегося процесса. Исследователю следует внимательно всмотреться в материал, подлежащий сглаживанию, чтобы решить, имеет ли он право восполь­зоваться этим методом. Если криволинейная зависимость отражена в достаточно больших отрезках кривой, то каждый из этих отрезков в отдельности может быть подвергнут сглаживанию. Таково ограничение в использовании метода скользящей средней.

Анализируя выраженную на графике основную тенденцию в ее приближении к прямой, можно заметить, что метод не дает меры наклона, угла, который образуется между полученной после сгла­живания приближающейся к прямой ломаной и осью абсцисс. Ме­жду тем, узнав величину этого угла, исследователь получит инфор­мацию о том, с какой скоростью изменяются изучаемые явления во времени: чем круче наклон и соответственно чем меньше внешний угол сглаженной кривой с осью абсцисс, тем больший путь проходит за единицу времени изменяющийся процесс. Это хорошо видно на рис. 5.

Рис.5

Точные сведения о мере наклона отрезка прямой, полученного после сглаживания, да­ет метод наименьших квадратов.

Для получения пара­метров отрезка прямой нужно обратиться к от­ношению единиц време­ни (х) и показателей раз­вивающего процесса (у).

Для нахождения па­раметров отрезка прямой, который после сглаживания представит основную тенденцию изменяющегося ряда, проделываются вычисле­ния по определенным формулам.

Формула прямой: у = а + bх, где у означает показатели ряда, х — единицы времени, по которым прослеживаются изменения изучае­мого ряда. Надлежит узнать величины а и b. Величина а необходи­ма для установления точки, с которой берет свое начало отрезок прямой, b — необходимо для установления степени наклона отрезка прямой по отношению к оси абсцисс (оси иксов).

Для вычисления вышеуказанных параметров а и b имеется сис­тема двух уравнений с двумя неизвестными:

па + åxb = åу ;

åxa + åx ² b = åху;

х и у в этой формуле рассчитываются из фактических данных изу­чаемого ряда.

Порядок вычислений. Шестиклассники Саня и Толя в течение пяти дней упражнялись в бросках мяча в корзину. Показатели Сани приведены в таблице (х — единица времени, у число попаданий мячом в корзину. В таблице приведены вычисления и других, тре­буемых формулой, величин; п = 5).

åx = 15; åу = 26; åx ² = 55;åху = 89 5a + 15b = 26;

15a + 55b = 89.

Нахождение неизвестных а и b производится обычным способом исключения одного неизвестного. Члены первого уравнения для этого умножаются на 3

15a + 45b = 78.

Из второго уравнения вычитается первое, вычисляем b:

10b = 11; b = 1,1.

Подставив числовое значение b в первое уравнение, можно полу­чить числовое значение а:

5a + 16,5 = 26;

5a = 9,5; a = 1,9.

Поскольку известны оба параметра отрезка прямой, можно опре­делить все значения параметров по пяти точкам, по формуле у = 1,9 + 1,1х.

y ₁ = 1,9 + 1,1 =3,0;

y ₂ = 1,9+2,2=4,1;

y ₃ = 1,9+3,3=5,2;

y ₄ = 1.9 + 4,4 = 6,3;

y ₅ =1,9 + 5,5=7,4.

Как было сказано ранее, сверстник Сани Толя упражнялся в том же умении. Так же, как и у Сани, количество дней упражнения бы­ло равно 5. Ниже приводятся результаты Толи и показаны все дру­гие величины, которые необходимы для вычисления величин, тре­буемых формулой.

åx = 15; åy = 32; åx ² = 55; åxy =112.

Обозначения здесь такие же, что и в предыдущем примере. Бук­вы заменяются их числовыми значениями.

5a + 15b = 32;

15a + 55b = 112.

Члены первого уравнения умножаются на 3

15a + 45b = 96.

Из второго уравнения вычитается первое, получим значение b:

10b = 16; b = 1,6.

Из первого уравнения получаем значение а:

5a + 24 = 32;

5a = 8; a = 1,6.

Можно получить сглаженные показатели по дням упражнений у Толи. y ₁ = 1,6 + 1,6=3,2;

y ₂ = 1,6+3,2=4,8;

y ₃ = 1,6 + 4,8 = 6,4;

y ₄ = 1,6 + 6,4 = 8,0;

y ₅ = 1,6+ 8,0=9,6.

На рис. 6 показаны только результаты сглаживания. Следует обратить внимание на то, как различаются отрезки прямой по их наклону по отношению к оси абсцисс. Дан­ные Толи изображены пунктирной прямой.

Таковы способы обработки задач третьего типа.

Задачи, встающие перед психологом, который работает в области психологи­ческой диагностики, составляют четвер­тый тип задач.

Они относятся к конструированию диагностических методик, к их применению и обработке. Американская психологическая ассоциация (АПА) периодически издает «Стандартные требования к педагогическим и психологическим тестам», специальный кодекс требований к диагностическим методикам; это пособие полезно как для авторов методик, так и для тех, кто методиками пользуется.

Некоторые из этих требований могут считаться дискуссионными, но полезность кодекса в целом несомненна. Его выполнение, с одной сто­роны, обеспечивает объективность методик и их обоснованность, а с другой — препятствует проникновению в арсенал методик психологи­ческой диагностики дилетантских поделок, произвольных наборов все­возможных заданий, заимствованных из популярных журналов или со­чиненных самим автором. Самые общие и самые необходимые к испол­нению требования можно было бы свести всего к двум: диагностиче­ские методики должны быть надежными и валидными. Значение этих терминов было дано в предыдущих главах. Реализация этих требований осуществляется посредством прочно вошедших в психологическую ди­агностику статистических методов (Как было показано в гл. XI, при работе с критериально-ориентированными методиками при их конструировании и проверке возможны другие подходы).

Чтобы получить коэффициент надежности, характеризующий го­могенность методики, ее внутреннюю согласованность, прибегают к приему, называемому расщеплением. Эксперимент проводится с вы­боркой желательно порядка 100, но не менее 50 испытуемых. Полу­ченные от каждого участника выборки ответы на вопросы или ре­шения заданий делятся на четные и нечетные — по их нумерации в методике. По каждой половинке методики выписывается число пра­вильно выполненных каждым испытуемым заданий. Два эти ряда коррелируют между собой.

Допустим, что методика состоит из 24 заданий. Тогда максимальное число выполненных заданий в каждой половинке будет равно 12. Приводим результаты первых 16 испытуемых и технику вычисления коэффициента надежности (гомогенности) r (табл. 8).

Таблица 8

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА НАДЕЖНОСТИ МЕТОДИКИ А (ГОМОГЕННОСТЬ)

содержание   ..  386  387  388   ..