| 2 |
2 |
0 |
Тест знаний учащихся по теме: Первообразная и неопределённый интеграл
Будет ли F(x
) первообразной для функции f(x
) на указанном промежутке: 
,
, (-
; +).
а) да б) нет в) зависит от ситуации
8. Сопоставьте функцию и её первообразную:
| f
(
x
)
|
F
(
x
)
|
1) 
|
а) 3x
3
|
| 2) 0 |
б) - cosx
|
| 3) cos5x
|
в) 
|
| 4) sinx
|
г) 4x
+ 
+ 5 |
| 5) 9x
2
|
д) 
sin5x
|
6) 4 + 
x
|
е) c |
1) - 4) -
2) - 5) -
3) - 6) -
9. Процесс отыскания функции по заданной производной называется:
а) дифференцированием;
б) интегрированием;
в) отысканием экстремума.
10.Верно ли рассуждение? Если да, то укажите правило, которым вы пользуетесь. Если нет, то укажите, в чём ошибка.
Найдём первообразную функции y
=
2x
cosx
. Первообразная для 2x
–
x
2
, для cosx
– sinx
. Значит первообразной для функции y
=
2x
cosx
будет служить функция y
=
x
2
sinx
.
а) Да, используем правило___________________________________________
б) Нет, т.к._______________________________________________________________
11.Найдите первообразную для функции y
=
(4 – 5x
)7
g) 
;
h) 
;
i)
;
j)
;
k) 7(4-5x
)6
;
l)-5∙7(4 -5x
)6
;
12.Продолжите фразу: первообразная суммы равна
а) сумме первообразных;
б) первообразной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первообразная второй функции, в) умноженная на первую.
г) у этой фразы нет продолжения.
13.Заполните пропуски.
Если функция у=
f
(x
) имеет на промежутке Х первообразную y
=
F
(x
), то___________________________________________________________________________________________________ называют неопределённым интегралом от функции y
=
f
(x
) и обозначают_______________
Тест знаний учащихся по теме определённый интеграл
1. Определенным интегралом от функции y
=
f
(x
) по отрезку [
a
;
b
]
называют:
a) 
, где 
и 
b) число равное F
(b
) -
F
(a
)
c) F
(x
)+
C
d) 
2. Запишите формулу Ньютона-Лейбница______________________
3. Геометрический смысл определённого интеграла состоит в следующем:
a) перемещение точки;
b) угол наклона касательной;
c) ограничивает криволинейную трапецию;
d) площадь криволинейной трапеции
4. Верно ли записано утверждение: для любой функции f
(x
) на отрезке [
a
,
b
]
справедливо равенство: 
a) да;
b) нет;
c) не знаю.
5. Допишите свойства определённого интеграла
a) 
b) 
c) Если а
< c< b
,
то
6. Площадь фигуры, ограниченной линиями x
=
a
и x
=
b
, и графиками функции у =
f
(x
),
y
=
g
(x
), непрерывных на отрезке [
b
,
a
]
и таких, что для всех x
из этого отрезка выполняется неравенство f
(x
)≤
g
(x
), вычисляется по формуле:
a) 
b) 
c) 
d)
e) нет правильного ответа
Блок 1
1. Найдите общий вид первообразных для функции f
a) f
(x
)=
2– х
4
. Решение: воспользуемся правилами нахождения первообразных.
f
(x
)есть сумма двух функций y
=
2 иy
= –
x
4
, т.е. можно воспользоваться правилом нахождения первообразных №1(первообразная суммы равна сумме первообразных), для функции у=
2первообразной является у=
2х,
для того чтобы вычислить первообразную у функции у= –х
4
необходимо воспользоваться правилом нахождения первообразных № 2(постоянный сомножитель можно вынести за знак первообразной), т.е. можно вынести -1, у функции у=х
4
первообразной является функция у=
,
следовательно у= –х
4
имеет первообразную у= –
,
а функция f
(x
) имеет первообразную F
(x
)=
2x
–
; Ответ: F
(x
)=
2x
–
+С.
б) f
(x
)= 
.
Решение воспользуемся правилом нахождения первообразных №3 (если функция y
=
g
(x
)имеет первообразную y
=
G
(x
) ,то функция y
=
g
(tx
+
m
)имеет первообразнуюy
=
G
(tx
+
m
)), т.е. t
= –
15,
m
=
4 , а g(x
)=
, следовательно
F
(x
)=
. Ответ: F
(x
)=
+С
.
в) f
(x
)=
. Ответ: F
(x
)= –
2tg(π
/
3–
x
);
г) f
(x
)=
7–
3x
+
6x
2
–
4x
3
.
Ответ:F
(x
)=
7x
–
1,
5x
2
+
2x
3
–
x
4
;
д) f
(x
)=
2с
os
(2x
–
1).
Ответ: F
(x
)=
sin(2x
-
1).
2. Найдите неопределённый интеграл
a) 
Решение: воспользуемся правилами нахождения неопределённого интеграла: 
.
Ответ: 
б) 
. Ответ: 8
; в) 
. Ответ: 2х –
0,
25х
4
–
0,
5х –
2
+С
;
г) 
; Ответ: –
0,
25(3+
8х
)–
2
–
0,
5sin2x
;
д) 
. Ответ: 0,
5х
2
–
sinx
–
4x
–
4
;
3. Вычислите интегралы: a) 
. Решение: воспользуемся формулой Ньютона–Лейбница 
. 
. Ответ: 
б) 
. Ответ: 1; в) 
. Ответ: 20;
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y
=
,
y
=
0,
x
=–
1,
x
=
1.
Фигура ограниченная данными линиями является криволинейной трапецией и её площадь равна: 
Ответ: 0,4.
Блок 1 Тест самоконтроля
1. Является ли функция F
первообразной для функции f
на указанном промежутке:
a) F
(x
)=
3–
sinx, f
(x
)=
cosx, x
Î
(-
;
);
б) F
(x
)=
5–
, f
(x
)= –
4
, x
Î
(-
;
);
в) F
(x
)=
со
sx–
4, f
(x
)= –
sinx, x
Î
(-
;
);
г)F
(x
)=
3x
+
,
f
(x
)= 
,
x
Î
(0;
)?
Ответ: нет, да, да, нет.
2. Правильно ли вычислены интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
?
Ответ: нет, да, нет, да, да.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y
=
sinx
, y
=
0, x
=
0, x
=
p.
Ответ:2.
4. Верны ли равенства:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
д) 
;
е) 
?
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.
Блок 1 Контрольный тест Вариант 1
1. Найдите неопределённый интеграл:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
2. Вычислите интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=
1– x
3
, y=
0, x=
0;
б) y=
sinx
, y=
0, x=
p/6, x=
p/3.
Блок 1 Контрольный тест Вариант 2
1. Найдите неопределённый интеграл:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
2. Вычислите интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=
x
4
, y=
1;
б) y=
2sinx
, y=
0, x=
p/6, x=
p/3.
Блок 2 Задачи
1. Найдите неопределённый интеграл:
а) 
. Решение: заметим, что подынтегральная функция не является функцией из таблицы в явном виде, поэтому её необходимо преобразовать: 
, интеграл от полученной функции легко вычисляется: 
. Ответ: 
+С
.
б) 
. Решение: аналогично примеру под буквой а) упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем интеграл: 
.
Ответ: 
.
2. Для функции f
(х
)=
2cosx
найти первообразную, график которой проходит через точку М
(–
0,
5p
;
1).
Решение: Найдём множество первообразных функции f
(x
), F
(x
)=
2sinx
+
C
, известно что график первообразной проходит через точку M
, значит F
(-
0,
5π
)=
1, но F
(x
)=
2sinx
+
C
,
следовательно 
, откуда С= –
1.
Ответ: F
(x
)=
2sinx
–
1.
3. Вычислите интеграл:
; Решение: упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем определённый интеграл: 
. Ответ: 
.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y
=
(x
+
2)2
,
y
=
0,
x
=
0.
Решение: площадь искомой фигуры является площадью соответствующей криволинейной трапеции, которую можно вычислить с помощью определённого интеграла, нижний предел интегрирования равен –
2 т.к. в точке
(–
2;
0) график функции пересекает прямую у=
0, верхний предел интегрирования равен 0, т.к. фигура ограничена прямой х=
0.
.
Ответ: 
.
Блок 2 Тест самоконтроля
1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:
a) F
(x
)=
2x+
cos
, f
(x
)=
2– 
sin
, x
Î(-
;
);
б) F
(x
)=
, f
(x
)= –
, x
Î(-
2;
2);
в) F
(x
)= 
,
f
(x
)= 
,
x
Î(0;
);
г) F
(x
)= 
,
f
(x
)= 
,
x
Î(0;
)?
Ответ: да, да, нет, да.
2. Для функции f
(х
)=
найдите первообразную, график которой
проходит через точку М(4;5):
а) F
(х)=
+3; б)F
(х)=
2
+1; в) F
(х)=
2
+3; г) F
(х)=
+5.
Ответ: б)
3.Верны ли равенства:
а) 
; б)
; в)
;
г) 
; д)
?
Ответ: да, да, да, нет, да.
Блок 2 Контрольный тест Вариант 1
1. Найдите неопределённый интеграл:
а) 
; б)
; в) 
; г) 
;
д) 
.
2. Графики первообразных F1
и F2
функции f(x
)=
3x
2
–2x
+4 проходят через точки М(–1;1) и N(0;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F1
и F2
расположен выше?
3. Вычислите интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=
x
2
–2x
+4, y=
3, x=
–1;
б) y=
sinx
, y=
1/2, x=
p/6, x=
5p/6.
Блок 2 Контрольный тест Вариант 2
1. Найдите неопределённый интеграл:
а) 
; б)
; в) 
; г) 
;
д) 
.
2. Графики первообразных F1
и F2
функции f(x
)=
–6x
2
+4x
+1 проходят через точки М(0;2) и N(1;3). Какова разность этих двух первообразных? Какой из графиков F1
и F2
расположен выше?
3. Вычислите интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=
x
3
, y=
8, x=
1;
б) y=
cosx
, y=
1, x=
–p/3, x=
p/3.
Блок 3 Задачи.
Покажите, что функции F
1
(x
)=
tg2
x
,
F
2
(x
)= 
,
F
3
(x
)= 
являются первообразными функции f
(x
)=
на интервале (-
p
/
2;
p
/
2).
Найдите первообразную для функции f на интервале
(-
p
/
2;
p
/
2),
график которой проходит через точку (0;
10).
2. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2;
3),
если угловой коэффициент касательной в точке x
равен 3x
2
.
3. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v
(t
)=
sint
cost
. Найдите уравнение движения точки, если при t
=
p
/
4 её координата равна 3.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой 2x
–
4x
2
, линией x
=–
2 и касательной к данной параболе, проведённой через её точку с абсциссой x
=
0.
5. В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороной в её середине?
Блок 3 Тест самоконтроля
1.Приведите пример функции f и её первообразной F, заданных на R таких, что F
(x
)=
f
(p/
2–x
).
Ответ: f
(x
)=
cosx, F
(x
)=
sinx
.
2. Являются ли первообразными для одной и той же функции F
1
(x
)=
2со
s
2
x
,
F
2
(x
)=
cos2x
,
F
3
(x
)=
3со
s
2
x
+
sin2
x
? Если да, то укажите эту функцию.
Ответ: f
(x
)=–
2sinx, F
2
(x
)= F
1
(x
)–
1, F
3
(x
)= F
1
(x
)+
1.
3. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (3;7), если угловой коэффициент касательной в точке x
равен x
2
.
Ответ: y
=
1/
3x
3
–
2 (угловой коэффициент касательной в точке x
– производная в этой точке).
4. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v
(t
)=
2со
s
. Найдите уравнение движения точки, если при t
=
p
/
3 её координата равна 4.
Ответ: x
(t
)=
4sin
+
2(x
’
содержание ..
776
777
778 ..
|
|
