Анализ производственных функций

:

“Анализ производственных функций”

Группа: ДИ 302

Студент: Шеломанов Р.Б.

Руководитель: Зуев Г.М

Москва 1999

Содержание

Теоретическая часть 3

Мультипликативная производственная функция 3

Линейная производственная функция 10

Производственная функция затраты-выпуск 10

Практическая часть 10

Задача 10

Решение 10

Заключение 11

Литература 12

Теоретическая часть

Мультипликативная производственная функция

Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рас­сматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R₁ , ..., R_n , а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х ₁ , ..., Х _m .

В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наи­более часто рассматриваются накопленный труд в форме производст­венных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L , а в качестве результата - валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y , либо национальный доход N ). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X , хотя это может быть и валовой вы­пуск, и ВВП, и национальный доход.

Остановимся несколько подробнее на обосновании состава факто­ра К . Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборот­ных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизвод­ственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое вли­яние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только произ­водственные фонды.

Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составны­ми частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды.

Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.

Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ

Х = F( K, L ),

т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).

Теперь рассмотрим экономическую интерпретацию основных характерис­тик ПФ на примере мультипликативной функции (в частности, функ­ции Кобба—Дугласа), некоторые дру­гие ПФ, используемые в экономике, разберем в конце работы.

Производственная функция Х = F( K, L ) называется неоклассичес­кой, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

1) F(0, L) = F(K, 0) = 0

- при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

2)

- с ростом ресурсов выпуск растет;

3)

- с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

4) f(+¥, L) = F(K, +¥) = +¥

- при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неогра­ниченно растет.

Мультипликативная ПФ задается выражением

a₁ >0 a₂ >0

где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а₁ , a₂ -коэффициенты эластичности по труду и фондам .

Таким образом, ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство не­возможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа

Где a₁ =a, a₂ =1-a

Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Х _t , К _t , L_t ,), t= 1, ..., Т, где T- длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений

где d_t — корректировочный случайный коэффициент, который приво­дит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюк­туацию результата под воздействием других факторов, М d _t = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна:

In Х _t = In A + a_t In K_t + a₂ InL_t + e_t , где e_t = In d_t , М e _t = 0,

получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функ­ции А, a₁ , a₂ могут быть определены по методу наименьших квадратов с помощью стандартных пакетов прикладных программ, содержащих метод множественной регрессии (например, STATGRAF или SAS для пер­сональных ЭВМ).

В качестве примера приведем мультипликативную функцию валово­го выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стои­мости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стои­мостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода):

X=0,931K^0,539 L^0,594

Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увели­чивается, т.е.

Так как a₁ >0

Так как a₂ >0

Частные производные выпуска по факторам называются предель­ными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:

- предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов);

- предельный продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда).

Для мультипликативной функции указанной выше вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче — с коэффициентом a₁ , а предельная производительность труда — средней производительности труда — с коэффициентом а₂ :

,

Из чего вытекает, что при а₁ < 1, a₂ < 1 предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функ­ции обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е.

так как а₁ <1

так как а₂ <1

Из также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4 , т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функ­ция при 0 < а₁ < 1, 0<а₂ < 1 является неоклассической.

Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а₁ , а₂ мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а₁ , а₂ выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а₁ , а₂ необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмических производных факторов:

Поскольку в нашем случае InХ = InА + a₁ lnК + a₁ lnL, то

т.е. а₁ — эластичность выпуска по основным фондам, а a₂ - эластич­ность выпуска по труду.

Из

видно, что коэффициент эластичности фактора показы­вает, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K^0,539 L^0,594

при увеличении основных фон­дов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе­нии занятых на 1% — на 0,594%.

Если а₁ >a₂ имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае - фондосберегающчй (экстенсивный) рост.

Рассмотрим темп роста выпуска

Если возвести обе части уравнения в степень , получим соотношение

в котором справа — взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов

При а₁ + а₂ > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы , а при а₁ + а₂ < 1 - медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. K_t+1 >K_t , L_t+1 >L_t ) то согласно растет и выпуск (т.е. X_t+1 >X_t ), следовательно, при а₁ + а₂ > 1

т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов . Таким образом, при а₁ + а₂ > 1 ПФ описывает растущую экономику.

Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F( K, L) =Х₀ = const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид :

или

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.

Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X₀ , что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F( K, L) = Х₀ = const, то

В этом соотношении , поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL <0 что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK.

Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из .

Предельной нормой замены S_K труда фондами называется отно­шение модулей дифференциалов ОФ и труда:

соответственно , предельная норма замены S_L фондов трудом

при этом S_k S_L =1

Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:

,

что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.

Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изокли­нали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом

grad , то уравнение изоклинали записывается в форме

В частности, для мультипликативной ПФ получаем,

поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением,

, которое имеет решение

,

где ( L₀ ; К ₀ ) - координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую

На рис. 1 изображены изокванты и изоклинали мультипликатив­ной ПФ.

При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и

рис. 1

интенсивные факторы роста (за счет повы­шения эффективности использования ресурсов).

Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффек­тивность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения на­стоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безраз­мерным) показателям.В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:

те X₀ , K₀ L₀ — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная форма , указанная выше , легко приводится к первоначальному виду

Таким образом, коэффициент

получает естественную интер­претацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмер­ных) единицах измерения через x, k, l, то ПФ в форме

запи­шется так:

Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ . Напомним, что эффективность — это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частныхпоказателя эффективности: -фондоотдача , - производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометриче­ское значение.

Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономичес­кой эффективности:

в котором роль весов выполняют относительные эластичности

т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы.

Из вытекает, что с помощью коэффициента экономичес­кой эффективности ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа:

k=Ek^a l^1-a

в соотношении с чем Е - не постоянный коэффициент, а функ­ция от (К, L).

Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затрачен­ных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, сред­ний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства)

M=k^a l^1-a

В результате получаем , что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства:

Х=ЕМ.

Линейная производственная функция

X=F(K,L)=E_K K+E_L L

Где E_K и E_L частные эффективности ресурсов.

E_K = -фондоотдача , E_L = - производитель труда.

Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них.

Эластичности замены труда фондами для линейной ПФ = ¥

эта величина показывает, на сколько процентов надо изменить фондо­вооруженность, чтобы добиться изменения нормы замены на 1%.

Производственная функция затраты-выпуск

X=F(K,L)=

Где:

Коэффициенты эластичности представленные в виде логарифмических производных факторов показывают, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K^0,539 L^0,594

при увеличении основных фон­дов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе­нии занятых на 1% — на 0,594%.

Практическая часть

Задача

Дана производственная функция валового внутреннего продукта США по данным 1960-1995 гг.

X=2,248K^0,404 L^0,803

Валовой внутренний продукт США, измеренный в млрд. дол. в ценах 1987 г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период увеличились в 2,88 раза, число занятых - в 1,93 раза.

Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства.

Решение

Из условия x = 2,82 k =2,88 l =1,93;

('начала находим относительные эластичности по фондам и труду

Затем определяем частные эффективности ресурсов

после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных:

Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов

Таким образом , общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повыше­нии эффективности производства в 1,278 раза (2,82 = 1,273 * 2,207).

Заключение

Выше достаточно подробно была изучена мультипликативная ПФ F(K,L) . В частности, был выяснен экономический смысл ее параметров , показано, что при 0 <а₁ <1, i= 1, 2… эта функция –неоклассическая , построены изокванты и изоклинали этой функции, найдены нормы замены ресурсов.. Рассмотрены и другие производственные функции.

Литература

В.А. Колемаев «Математическая экономика»

Г.М. Зуев Ж.В. Самохвалова «Экономико-математические методы и модели. Межотраслевой анализ»