Статистика 6

Учреждение образования

«ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ»

кафедра М и Ф

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

«ОБШАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ»

для студентов уровня ВО заочной формы обучения

специальностей

1-26 02 03 – Маркетинг

1-25 01 07 – Экономика и управление на предприятии

Минск 2007

Составитель Е.М. Колодная

Рецензент Л.Л. Гладков

Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф

«20» марта 2007 г., протокол №8

Зав. кафедрой Л.Л. Гладков

ЛИТЕРАТУРА

1. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА-М, 1997.

3. Ряузов Н. Н. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1984.

4. Гусев Н. Ю. Статистика: основы методологии: Учебное пособие. – М.: Издательство АСВ, 1998.

5. Сиденко А. В., Попов Г. Ю., Матвеева В. М. Статистика: Учебник. – М.: Дело и Сервис, 2000.

1 РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГРАФИКИ

1.1 Построение рядов распределения

Ряд распределения - упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по какому-либо варьирующему признаку. Имеет два элемента: варианты (значение группировочного признака) и частоты (число единиц с данным вариантом). В атрибутивных рядах варианты выражаются словом, а в вариационных - числом.

Вариационные ряды распределения делятся на:

- дискретные (в качестве вариант выступают дискретные числа);

- интервальные (в качестве вариант выступают числовые интервалы).

Для построения дискретного ряда распределения необходимо перечислить все наблюдаемые значения признака (варианты) в порядке возрастания их числовых значение и соответствующие им частоты.

Для построения интервального ряда распределения необходимо записать последовательность интервалов и соответствующие им частоты (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).

При построении интервальных вариационных рядов распределения предварительно требуется решить вопрос относительно:

а) числа образуемых групп;

б) интервалов групп.

Однозначного ответа на вопрос о числе групп нет. Самый простой ответ - число групп не должно быть слишком большим (не более 15-16) и слишком малым (не менее 3-х). Чаще оптимальным является число 5-6. Математическое правило определения числа групп выражается формулой:

,

где - число групп;

- число единиц совокупности.

Интервалы различают равные и неравные. Величина равного интервала определяется по формуле:

,

где - размер интервала;

- максимальное значение признака;

- минимальное значение признака;

- число образуемых групп.

1.2 Средние величины

Средней величиной называют обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Существует два класса средних - степенные и структурные .

К степенным средним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и средняя кубическая.

Средняя арифметическая :

простая

;

взвешенная

,

где - веса (или частоты), показывающие число одинаковых значений признака (вариант).

Для расчета средней арифметической в интервальном ряду распределения, его необходимо преобразовать в дискретный ряд. За дискретное число принимают простую арифметическую среднюю из нижнего и верхнего значений интервала. Если первый или последний интервал открытые - их предварительно закрывают, т.е. находят в первой группе начальное значение интервала, а в последнем - верхнее значение интервала. При этом обычно применяется такой способ: для первой группы весь интервал принимается равным величине интервала второй группы, для последней группы длина интервала берется в соответствии с величиной интервала предпоследней группы.

Пример 1.1

По строительным предприятиям области получены данные об объеме выполненных строительных работ за год (см. табл. 1.1).

Таблица 1.1

Вычислим средний объем выполненных работ на одно предприятие, используя формулу средней арифметической взвешенной.

Вначале закрываем интервалы. Исходя из того, что весь интервал второй группы равен 200, нижняя граница первого интервала будет исчислена: 500-200=300. Интервал предпоследней группы равен 300, тогда верхняя граница последнего интервала будет 1000+300=1300. В графе 3 все интервалы после этих расчетов записаны закрытыми. По формуле простой арифметической средней исчисленные центральные значения интервалов записаны в графе 4. Эти значения и будут служить вариантами ( ) для расчета средней арифметической взвешенной

= =670 (млн. руб.).

Средняя гармоническая :

простая

;

взвешенная

,

где .

Приведем пример расчета средней гармонической. Допустим, что трое рабочих работали по 8 часов (480 мин.) и затрачивали на отделку 1 кв. м стен: 1-й – 30 мин., 2-й – 40 мин., 3-й – 60 мин. Найти среднюю затрату времени на отделку 1 кв. м стен по формуле:

.

В этом расчете в числителе значится общее время работы трех рабочих (1440 мин.), а в знаменателе общее количество отделанных кв. м (36 кв. м). Средняя затрата времени на отделку 1 кв. м составляет 40 мин. В данном примере веса средней равные и поэтому можно записать:

.

Следовательно, при равных весах расчет может быть произведен по формуле:

.

Средняя квадратическая :

простая

;

взвешенная

.

Эта средняя применяется при нахождении показателей вариации, которые рассматриваются далее, например, среднеквадратического отклонения.

Средняя геометрическая :

,

Эта средняя применяется, например, при нахождении средних темпов роста в рядах динамики.

К структурным средним относятся мода и медиана.

Мода - это величина признака (вариант), который чаще всего встречается в данной совокупности.

В дискретном ряду распределения моду исчислять не требуется, она находится как значение варианта ( ), у которого наибольшая частота ( ).

Пример 1.2

Имеется следующий ряд распределения семей по числу членов семьи:

Таблица 1.2

Число членов семьи ( )	2	3	4	5	6
Число семей ( )	300	500	260	100	40

Здесь мода =3 человека в семье, так как наибольшее число семей (500) в данном ряду имеют 3 человека в семье.

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

,

где - мода;

- начальное значение модального интервала (интервала, содержащего наибольшую частоту);

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному интервалу;

- частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Рассмотрим нахождение моды в интервальном ряду распределения по условию табл. 1.1.

В этой задаче наибольшая частота (12) находится в интервале от 500 до 700. Это модальный интервал. Тогда мода:

.

Итак, модальная величина объема выполненных работ составляет 580 млн. руб.

Медиана - это вариант, расположенный в середине ранжированного (упорядоченного) ряда.

Ранжированным называется ряд, в котором единицы совокупности расположены в возрастающем (или убывающем) порядке значений варианта.

В дискретном нечетном (нечетное число единиц) вариационном ряду распределения медианой будет значение - го варианта.

Например, при испытании прочности семи образцов стекла на силу удара в кг были получены результаты:

4, 5, 6, 7, 8, 8, 15.

В середине ранжированного ряда находится четвертый вариант и его величина есть медиана. Итак, кг или медианное значение прочности стекла при испытании на силу удара составило 7 кг.

В дискретном четном (четное число единиц) вариационном ряду распределения медиана находится как средняя из двух вариантов, расположенных в середине ранжированного ряда, т.е. среднее значение - го и - го вариантов.

Рассмотрим нахождение медианы в дискретном четном ряду распределения по условию табл. 1.2. Данный ряд имеет четное число элементов, так как

300+500+260+100+40=1200, тогда в середине ранжированного ряда будут находиться -ый и ( )-ый варианты, или 600-ый и 601-ый. По суммам накопленных частот (см. табл. 1.3) видно, что и 600-ый и 601-ый варианты имеют значение 3. Значит медиана =3 человека в семье.

Таблица 1.3

Число членов семьи ( )	2	3	4	5	6
Число семей ( )	300	500	260	100	40
Сумма накопленных частот (S )	300	800	1060	1160	1200

Медиана интервального вариационного ряда определяется по формуле:

,

- начальное значение медианного интервала (интервала, содержащего медиану);

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала.

По данным табл. 1.1 найдем медиану.

Таблица 1.4

Группы предприятий по	Число	Сумма накопленных
объему выполненных	предприятий	частот
работ, млн. руб.	(n )	(S )
От 300 до 500	8	8
От 500 до 700	12	20
От 700 до 1000	6	26
От 1000 до 1300	4	30
Итого:	30	—

В данном примере в середине ряда находится варианты с порядковыми номерами 15 и 16. Медианным интервалом является второй – от 500 до 700.

Находим медиану по приведенной выше формуле.

.

Итак, медиальная величина объема выполненных работ составляет 617 млн. руб.

1.3 Показатели вариации и способы их расчета

Вариацией признака называется его изменение у единиц совокупности(колеблемость или рассеивание признака).

Предметом изучения статистики является вариация.

При характеристики рассеивания признака применяют систему абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям вариации относятся:

1) размах вариации:

;

где - максимальное значение признака;

- минимальное значение признака.

Размах вариации характеризует величину максимального колебания признака.

2) среднее линейное отклонение:

.

Этот показатель дает более полное представление о мере вариации признака, чем размах вариации, в расчете которого учитываются только крайние по размеру варианты. В практике данный показатель применяется сравнительно редко.

3) дисперсия:

.

Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако ее применение как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднее квадратическое отклонение.

4) среднеквадратическое отклонение:

.

Среднеквадратическое отклонение широко используется в исследовании технических и экономических явлений. Это величина именованная, имеет ту единицу измерения, которую имеют исходные показатели. Познавательное значение среднеквадратического отклонения можно выразить формулой: . Это значит, что значение вариантов в ряду распределения отклоняются от средней арифметической в среднем на . Среднеквадратическое отклонение ( ) всегда оказывается несколько выше среднего линейного отклонения ( ). Величина обладает некоторыми примечательными математическими свойствами, которые и обусловили предпочтение ее в анализе в сравнении с .

К относительным показателям вариации относятся:

1) коэффициент осцилляции:

;

2) линейный коэффициент вариации:

;

3) простой коэффициент вариации:

.

Если среднюю арифметическую величину принять за 100%, то с помощью простого коэффициента вариации вариацию можно охарактеризовать как 100% %. Выражая простой коэффициент вариации в процентах, различные абсолютные среднеквадратические отклонения приводят к одному основанию и дают возможность сравнивать, оценивать колеблемость величин различных признаков. При помощи простого коэффициента вариации возможно, например, сравнение размера колеблемости производительности труда групп рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера колеблемости урожаев различных сельскохозяйственных культур и т.д. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот.

Пример 1.3

Рассмотрим расчет показателей вариации по данным табл. 1.1. Воспользуемся найденным выше средним значением объема выполненных строительных работ одним предприятием 670 млн. руб.

Таблица 1.5

Группы предприятий	Расчетные показатели
по объему выполнен-	Число	центральное
ных работ (закрытые	предприя-	значение
интервалы),	тий (n )	интервала
млн. руб.	( )
3	2	4	6	7
300-500	8	400	2160	583200
500-700	12	600	840	58800
700-1000	6	850	1080	194400
1000-1300	4	1150	1920	921600
Итого:	30	—	6000	1758000

1) Размах вариации:

= 1300-300=1000 (млн. руб.);

2) среднее линейное отклонение:

= (млн. руб.);

3) дисперсия:

= ;

4) среднеквадратическое отклонение:

(млн. руб.);

5) коэффициент осцилляции:

= ;

6) линейный коэффициент вариации:

= ;

7 ) простой коэффициент вариации:

= .

1.4 Статистические графики

Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения .

Полигон распределения - графическое изображение дискретного вариационного ряда распределения. По оси абсцисс откладывают варианты, а по оси ординат - частоты ряда. Полученные точки соединяются прямыми линиями.

Полученная таким образом линия называется эмпирической (фактической) кривой распределения. На нее оказывают влияние как общие (отражающие основную закономерность), так и случайные условия.

Если влияние случайных величин будет погашено, то будет установлена теоретическая кривая распределения . Она выражает определенный тип распределения, отвечает на вопрос о наличии определенного закона распределения. Познание законов распределения - наиболее важная цель статистического исследования. В каждом конкретном случае закономерность распределения может быть, а может и не быть.

Гистограмма распределения - графическое изображение интервального вариационного ряда распределения. Образуемые над интервалами столбики пропорциональны по высоте частотам значений признака по каждому интервалу. При неравных интервалах высота столбиков должна быть пропорциональна плотности распределения признака в соответствующем интервале.

Чтобы получить эмпирическую кривую, гистограмму нужно преобразовать в полигон. Для этого каждый интервал делим на две равные части (находим середину интервала), ставим точки и затем их соединяем последовательно отрезками прямых линий.

Эмпирическая кривая позволяет предварительно предположить форму теоретической кривой распределения, характеризующую функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот.

1.5 Асимметрия распределения и эксцесс

Асимметрия распределения означает, что частоты каких-либо двух вариантов, равноудаленных от центра распределения, не равны между собой. Графически асимметрия выражается различной длиной правой или левой ветви относительно максимальной ординаты. При асимметрии распределения значения средней арифметической, моды и медианы не совпадают.

Степень асимметрии определяется с помощью, например,

1) коэффициента асимметрии;

2) показателя асимметрии Пирсона.

Коэффициент асимметрии находится по формуле:

,

где - центральный момент третьего порядка, т.е.

.

Этот коэффициент характеризует асимметричность распределения крайних значений признака.

Показатель асимметрии Пирсона находится по формуле:

.

Показатель асимметрии Пирсона характеризует асимметричность распределения в средней части ряда.

Эксцесс характеризует степень островершинности эмпирической кривой относительно кривой нормального распределения.

Коэффициент эксцесса находится по формуле:

,

где - центральный момент четвертого порядка, т.е.

.

Если получим , то вершины эмпирического и теоретического распределения совпадают. Если , то эмпирическая величина выше вершины соответствующего теоретического распределения, а если , то эмпирическая вершина ниже вершины соответствующего теоретического распределения.

Пример 1.4

Рассмотрим расчет показателей асимметрии и эксцесса по данным табл. 1.1. Воспользуемся найденным выше средним значением объема выполненных строительных работ одним предприятием 670 млн. руб., среднеквадратическим отклонением млн. руб., модальным значение объема выполненных строительных работ млн. руб.

Таблица 1.6

Группы предприятий	Расчетные показатели
по объему выполненных	Число	центральное
работ (закрытые	предприя-	значение
интервалы), млн. руб.	тий (n )	интервала
( )
3	2	4	8	7
300-500	8	400	-157464000	42515280000
500-700	12	600	-4116000	288120000
700-1000	6	850	34992000	6298560000
1000-1300	4	1150	442368000	212336640000
Итого:	30	—	315780000	261438600000

Центральный момент третьего порядка:

.

Коэффициент асимметрии :

.

Показатель асимметрии Пирсона :

.

Таким образом, данное распределение имеет правостороннюю асимметрию, причем в крайних значениях признака асимметрия более значительная, чем в средней части распределения.

Центральный момент четвертого порядка:

.

Коэффициент эксцесса :

.

Таким образом, вершина данного распределения ниже вершины соответствующего теоретического нормального распределения.

2 ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

2.1 Определение выборочного наблюдения

Выборочным наблюдением называют такое несплошное наблюдение, при котором характеристику всей совокупности единиц (генеральной совокупности) дают по некоторой части единиц (выборочной совокупности), отобранных в определенном порядке.

Выборочное наблюдение используется в связи с тем, что оно позволяет:

— экономить силы и средства, необходимые для статистического исследования;

— быстрее (оперативнее) получать результаты;

— проводить исследования в случаях, когда сплошное наблюдение невозможно (например, для определения качества предметов, связанного с физическим уничтожением образцов);

— уточнять результаты сплошного наблюдения (например, для проверки сплошной переписи населения организуют контрольные выборочные обследования).

Генеральная и выборочная совокупности характеризуются соответственно генеральными и выборочными показателями (средние величины, показатели доли, показатели вариации).

Возможные случайные отклонения между выборочными и генеральными показателями называют ошибкой выборки .

Выборочная совокупность формируется различными способами отбора. Применительно к способу отбора используют и свои методы расчета средней ошибки выборки.

2.2 Способы отбора

1. Собственно случайный отбор – отбор на удачу (по жребию, лотерее). Случайный отбор может быть повторный и бесповторный. В экономических исследованиях повторный отбор практически не применяется. Важнейшее правило случайного отбора – каждой единице генеральной совокупности должна обеспечиваться равная вероятность быть отобранной.

2. Механический отбор (порядковый).

Например, генеральная совокупность составляет 600 единиц (т.е. N=600), из которых нужно отобрать выборочную совокупность, состоящую из 50 единиц (т.е. n=50). Единицам генеральной совокупности присваиваются порядковые номера от 1 до 600. Находится интервал отбора: 600/50=12. Из первых 12-ти единиц отбирают единицу случайным отбором. Допустим, что первой оказалась единица под номером 7. Далее с интервалом 12 в выборку будут отобраны единицы под номерами 19, 31, 43 и т.д.

3. Серийный (гнездовой) отбор.

Допустим, генеральная совокупность из 500 единиц разделяется на 100 серий по 5 единиц в серии. В выборку нужно отобрать 50 единиц, т.е. 10 серий. Тогда каждая серия отбирается в выборку собственно случайным бесповторным отбором.

4. Типический (расслоенный) отбор.

При этом отборе генеральная совокупность делится на группы по какому-либо признаку. Затем пропорционально доли каждой группы в генеральной совокупности отбирают единицы из групп в выборочную совокупность в случайном порядке.

5. Комбинированный отбор предполагает использование нескольких способов отбора в их комбинации.

2.3 Статистическая оценка

Статистическая оценка – приближенное значение искомой величины по результатам выборочного наблюдения.

Например, выборочная средняя является оценкой генеральной средней. Различают понятия точечной и интервальной оценки.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

,

где – выборочная дисперсия,

– число единиц выборочной совокупности.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью (вероятностью) покрывает оцениваемый параметр.

Обозначим:

– генеральная средняя,

– выборочная средняя,

– предельная ошибка выборочной средней для заданной доверительно вероятности .

Тогда интервальная оценка генеральной средней примет вид:

Предельная ошибка выборочной средней

а) для повторного собственно случайного отбора:

,

б) для бесповторного собственно случайного отбора:

,

где – дисперсия генеральной совокупности,

– число единиц выборочной совокупности,

– число единиц генеральной совокупности,

– коэффициент доверия, величина которого зависит от заданной доверительной вероятности .

Приведем значения некоторых коэффициентов доверия (см. табл. 2.1)

Таблица 2.1

Доверительная вероятность	Коэффициент доверия
0,683	1,0
0,866	1,5
0,954	2,0
0,991	2,6
0,997	3,0

Замечание. Если генеральная дисперсия неизвестна, то вместо нее можно взять исправленную выборочную дисперсию. При больших выборках

( >30) отношение , и вместо генеральной дисперсии можно использовать выборочную дисперсию.

Пример 2.1

Из общей численности рабочих предприятия 5000 человек в порядке собственно случайного бесповторного отбора было отобрано 500 человек для изучения времени простоев в течение рабочего дня. Результаты наблюдения отражены в табл. 2.2

Таблица 2.2

Распределение выборочной численности рабочих

предприятия по времени простоев

Группы рабочих по времени простоев в минутах	Число рабочих ( )	Среднее значение интервала в минутах ( )
до 10 от 10 до 20 от 20 до 30 от 30 до 40 от 40 до 50 от 50 до 60 свыше 60	35 62 84 145 77 65 32	5 15 25 35 45 55 65
Итого:	500

С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится среднее время простоя одного рабочего на предприятии.

Решение

1) Выборочная средняя времени простоя одного рабочего:

(мин).

2) Выборочная дисперсия времени простоя одного рабочего:

.

3) Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью =0,997 для бесповторного отбора:

;

где коэффициент доверия =3 найден по табл. 2.1 в соответствии с доверительной вероятностью =0,997.

4) Среднее время простоя одного рабочего на предприятии с вероятностью 0,997 находится в интервале от 32,77 минут до 36,84 минут, что вытекает из интервальной оценки генеральной средней:

,

т.е. 34,8–2,03 34,8+2,03.

Аналогично находится интервальная оценка генеральной доли:

,

где выборочная доля, которая находится по формуле:

– число единиц выборочной совокупности,

– число единиц, обладающих указанным признаком,

генеральная доля,

– предельная ошибка выборочной доли для заданной доверительно вероятности .

Предельная ошибка выборочной доли

а) для повторного собственно случайного отбора:

,

б) для бесповторного собственно случайного отбора:

,

где – коэффициент доверия, величина которого зависит от заданной доверительной вероятности (см. табл. 2.1).

Пример 2.2

По данным примера 2.1 с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится доля рабочих на предприятии, у которых время простоя от 30 минут и выше.

Решение

1) Выборочная доля рабочих, у которых время простоя от 30 минут и выше:

.

2) Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью =0,954 для бесповторного отбора:

;

где коэффициент доверия =2 найден по табл. 2.1 в соответствии с доверительной вероятностью =0,954.

3) Доля рабочих на предприятии, у которых время простоя от 30 минут и выше с вероятностью 0,954 находится в интервале от 0,597 до 0,679, что вытекает из интервальной оценки генеральной доли:

,

т.е. 0,638–0,041 0,638+0,041.

2.4 Определение необходимой численности выборки

При организации выборочного наблюдения очень важно предварительно решить вопрос о том, сколько единиц должно быть отобрано в выборку.

Необходимая численность выборки ( ) определяется на основе формул предельной ошибки выборки.

Численность выборки по формуле предельной ошибки выборочной средней

а) для повторного собственно случайного отбора:

,

б) для бесповторного собственно случайного отбора:

.

Численность выборки по формуле предельной ошибки выборочной доли

а) для повторного собственно случайного отбора:

,

б) для бесповторного собственно случайного отбора:

.

Пример 2.3

На заводе предполагается провести выборочное обследование средней часовой выработки рабочих методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,991 ошибка выборки не превышала 5 шт., если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 225?

Решение

Численность выборки по формуле предельной ошибки выборочной средней для повторного собственно случайного отбора:

.

Итак, для получения желаемого результата необходимо отобрать 61 рабочего.

3 РЯДЫ ДИНАМИКИ

3.1 Построение рядов динамики

Ряд динамики (временной ряд) - ряд показателей, характеризующих развитие явления во времени, состоит из двух элементов - времени ряда (моменты или периоды) и уровней ряда (показателей величины явления).

Уровнем ряда называется абсолютная величина каждого члена динамического ряда. Различают начальный, конечный и средний уровень ряда. Начальный уровень - это величина первого члена ряда, конечный – последнего, средний уровень - средняя из всех значений динамического ряда.

По времени, отражаемому в рядах, ряды динамики делят на моментные (моментом обычно является дата, на которую относится уровень) и интервальные (уровни ряда выражают размер явления за промежуток времени).

По полноте времени, отражаемого в рядах, ряды динамики делят на полные (даты или периоды следуют друг за другом с равным интервалом) и неполные (равный интервал не соблюдается).

По способу выражения уровней, ряды динамики делят на ряды абсолютных величин , ряды средних величин и ряды относительных величин .

3.2 Показатели анализа рядов динамики

Для анализа ряда динамики применяют следующие базисные и цепные показатели анализа рядов динамики : абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.

Уровень, который сравнивается, называется текущим .

Если каждый уровень ряда сравнивается с предыдущим, то получают цепные показатели, а если с одним и тем же начальным уровнем, то получают базисные показатели.

Абсолютный прирост характеризует размер увеличения или уменьшения изучаемого явления за определенный период времени. Он определяется как разность между текущим и предыдущим уровнями (цепной) или между текущим и начальным уровнями (базисный).

Темпом роста называется отношение текущего уровня к предыдущему (цепной) или текущего уровня к начальному (базисный).

Темпом прироста называется отношение цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню (цепной) или базисного абсолютного прироста к начальному уровню (базисный).

Обозначим:

У₀ - базисный (начальный) уровень;

У _i - текущий уровень;

У_i-1 - уровень, предшествующий У_i .

- цепной абсолютный прирост;

- базисный абсолютный прирост;

- темп роста цепной;

- темп роста базисный;

- темп прироста цепной;

- темп прироста базисный.

Расчет этих показателей будет выражаться формулами, приведенными в табл. 3.1 (в коэффициентах).

Таблица 3.1

Показатель	Цепной	Базисный
Абсолютный прирост
Темп роста
Темп прироста

Абсолютное значение 1% прироста (a _i ) – есть отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, т.е.

( в 1% прироста).

Пример 3.1

В Ивановской области за период с 1980 г. по 1984г. производство сборных железобетонных конструкций и деталей составляло (см. табл. 3.2).

Таблица 3.2

Производство сборных железобетонных конструкций и деталей

В Ивановской области за 1980–1984 годы

Вычислить показатели анализа данного ряда динамики.

Решение

Показатели анализа данного ряда динамики найдены непосредственно в таблице (см. табл. 3.3) по вышеприведенным формулам.

Таблица 3.3

Расчет показателей анализа данного ряда динамики

3.3 Расчет средних величин в рядах динамики

Средний уровень в интервальном ряду динамики находится по формуле средней арифметической простой:

,

где - средний уровень ряда,

- число уровней ряда.

Например, по данным табл. 3.1 среднегодовой уровень производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период 1980–1984 гг. составит:

(тыс. куб. м.).

Средний уровень в полном моментном ряду динамики находится по формуле:

.

Например, стоимость имущества предприятия за полугодие в млн. руб. составляла на 1-ое число каждого месяца:

Средняя стоимость имущества за полугодие составит:

(млн. руб.).

Средний уровень в неполном моментном ряду динамики находится по формуле:

,

где средняя за каждый период, находится как средняя арифметическая простая между двумя рядом стоящими уровнями,

продолжительность периода, разделяющего два рядом стоящих уровня.

Пример 3.2

Остаток строительных материалов на предприятии составлял на моменты времени (см. табл. 3.4):

Таблица 3.4

Определить средний остаток строительных материалов за первый квартал.

Решение

Первый период с 1.01 по 10.02 имеет продолжительность 40 дней, т.е. =40.

Второй период с 10.02 по 25.03 имеет продолжительность 43 дня, т.е. =43.

Третий период с 25.03 по 1.04 имеет продолжительность 7 дней, т.е. =7.

Итак, средний остаток строительных материалов на предприятии за первый квартал составит:

8792,778 (тыс. руб.)

Средний абсолютный прирост:

,

где число уровней ряда,

конечный уровень ряда,

начальный уровень ряда.

Например, найдем средний абсолютный прирост производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1 (см. табл. 3.2):

(тыс. куб. м.)

Средний темп роста исчисляется по формуле геометрической средней:

,

где число уровней ряда,

конечный уровень ряда,

начальный уровень ряда.

Например, найдем средний темп роста производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1 (см. табл. 3.2):

; или 104,5%.

Средний темп прироста будет равен:

.

Например, найдем средний темп прироста производства сборных железобетонных конструкций и деталей за период с 1980 г. по 1984г. по данным примера 3.1:

; или 4,5%.

3.4 Графическое изображение рядов динамики

Динамика явлений графически может быть представлена в виде линейной диаграммы. Для построения которой используется система прямоугольных координат - по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат - либо уровни, либо базисные темпы роста. На рисунке 3.1 показано, как в принципе должен строится график для интервального ряда (вариант а) и для моментного ряда (вариант б).

Можно указать на следующие важные моменты в построении линейных графиков:

1) на графике должен строго соблюдаться масштаб уровня и масштаб времени;

2) каждая точка оси абсцисс выражает момент времени, а отрезки шкалы - периоды времени;

3) периоды (годы, месяцы и т.п.) в принципе должны подписываться под отрезком шкалы, уровни интервального ряда могут быть выражены, строго говоря, только столбиками, а потому точка на графике обозначает высоту столбика;

4) моменты времени подписывают под точками шкалы, вершины ординат (обозначение точками) соответствуют уровням этих моментов;

5) точки соединяют отрезками прямых, которые образуют ломаную кривую, характеризующую процесс динамики. Соединять точки отрезками кривых линий (“закругленных”) недопустимо.

50
· · у р о в н и 40
30
· · 20 20
· 10
0
1191 1192 1193 1194 1195 1190	1190 1190 1190	1190	1190

50
· · у р о в н и 40
30
· · 20 20
· 10
0
1191 1192 1193 1194 1195 1190	1190 1190 1190	1190	1190

Рис. 3.1. Линейная диаграмма ряда динамики

3.5 Приемы анализа рядов динамики

Важнейшая задача анализа динамики - вскрыть, а затем и охарактеризовать свойственные развитию данного явления закономерности и тенденции (например, тенденция роста, снижения, стабилизации и др.)

Во многих случаях основная тенденция развития выступает по данным ряда динамики недостаточно отчетливо, затушевывается постоянными колебаниями уровня.

Основная тенденция, или, иначе, тренд , на графике характеризуется линией тренда, которая свободна от кратковременных отклонений, вызванных разными случайными причинами.

В конкретных условиях могут использоваться следующие приемы обработки рядов динамики для выявления основной тенденции (закономерности) развития:

а) простое укрупнение интервалов (от месячных интервалов перейти к квартальным, от квартальных - к годовым и т.д.). Соответственно и уровни ряда будут исчислены за более длительные периоды времени путем суммирования уровней за периоды, вошедшие в новый интервал;

б) расчет среднего уровня в укрупненном интервале. Такой прием, например, часто используют при изучении урожайности сельскохозяйственных культур. По пятилеткам определяют среднегодовую урожайность зерна или другой культуры. Случайные колебания при этом сглаживаются;

в) сглаживание ряда с помощью скользящей средней;

г) аналитическое выравнивание ряда динамики.

Скользящая средняя может быть трех-, пяти- и более членной. Вопрос о числе членов решает исследователь, проводящий сглаживание ряда. Так, при подсчете трехзвенной скользящей средней первая и последние средние не исчисляются, вторая средняя исчисляется как средняя арифметическая первых трех уровней, третья – как средняя арифметическая второго, третьего и четвертого уровней и т.д.

Сглаживание ряда с помощью скользящей средней является простым приемом, но не всегда ясно позволяет выявить тенденцию развития. Поэтому часто используют прием аналитического выравнивания.

Аналитическое выравнивание включает:

- выбор формы линии (прямой или какой-либо кривой, имеющей математическую формулу);

- расчет параметров избранной формулы линии, позволяющей нанести теоретическую линию на график.

Допустим, линейная диаграмма позволяет предположить, что динамика исследуемого явления имеет форму прямой линии.

Уравнение прямой выразим:

,

где - теоретическое значение уровней ряда;

- параметры прямой;

- показатели времени.

Коэффициент имеет смысл показателя степени связи между изменчивостью влияющей переменной и изменчивостью зависимой переменной . Коэффициент показывает на сколько изменится переменная при изменении переменной на единицу, а знак коэффициента показывает направление этого изменения.

Для нахождения параметров уравнения используют систему уравнений:

где - фактические уровни ряда;

- число членов ряда;

- показатели времени.

Решая эту систему относительно параметров и , получим:

,

.

Полученная прямая линия выражает тренд динамики.

Пример 3.3

Имеются данные о сварке труб газопровода по месяцам отчетного года в строительной корпорации (см. табл. 3.5).

Таблица 3.5

Проведем сглаживание ряда динамики с помощью трехзвенной скользящей средней.

Таблица 3.6

Значения скользящей средней найдены непосредственно в табл. 3.6.

Если нанести данные табл. 3.6 на график, то получим две линии, изображающие динамику абсолютных уровней и скользящих средних. Покажем это на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Сглаживание ряда динамики при помощи скользящей средней

По графику можно убедится в том, что кривая абсолютных уровней имеет резкие изломы и не позволяет однозначно выявить тенденцию динамики.

Кривая скользящих средних, напротив, свидетельствует о безусловном нарастании показателей сварки труб.

Пример 3.4

Рассмотрим прием простого укрупнения интервалов и расчета среднего уровня в укрупненном интервале. По данным табл. 3.5 перейдем от месячных объемов сварки труб газопровода к квартальным. Рассчитаем объем среднемесячной сварки труб газопровода в каждом квартале. Полученные таким образом ряды динамики и расчет их уровней приведены в табл. 3.7. Эти ряды также свидетельствуют о безусловном нарастании показателей сварки труб.

Таблица 3.7

Пример 3.5

Рассмотрим прием сглаживания ряда с помощью аналитического выравнивания по данным табл. 3.5.

Рисунок 3.2 позволяет предположить, что динамика сварки труб имеет форму прямой линии, т.к., несмотря на изломы, точки кривой имеют направленность из нижнего левого в верхний правый угол графика. (Правильность такого суждения проверяется специальными показателями – коэффициентами корреляции).

Произведем расчет параметров и прямой и теоретических уровней . Для этого найдем необходимые суммы в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Месяц,	Фактические уровни,			i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	20650 18100 25300 22150 19900 26200 24550 24250 27250 28000 24250 28000	20650 36200 75900 88600 99500 157200 171850 194000 245250 280000 266750 336000	1 4 9 16 25 36 49               содержание   ..  190  191  192   ..