Теоретическая часть

Практическая часть

Исследуя природу, общество, экономику, необходимо считаться со взаимосвязью наблюдаемых процессов и явлений. При этом полнота описания, так или иначе, определяется количественными характеристиками причинно-следственных связей между ними. Оценка наиболее существенных из них, а также воздействия одних факторов на другие является одной из основных задач статистики.

Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции. Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции.

Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции.

Например, некоторое увеличение аргумента повлечет за собой лишь среднее увеличение или уменьшение (в зависимости от направленности) функции, тогда как конкретные значения у отдельных единиц наблюдения будут отличаться от среднего. Такие зависимости встречаются повсеместно. Например, в сельском хозяйстве это может быть связь между урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что последние участвуют в формировании урожая. Но для каждого конкретного поля, участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается, увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.

По направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Такие связи также можно назвать соответственно положительными и отрицательными.

Относительно своей аналитической формы связи бывают линейными и нелинейными. В первом случае между признаками в среднем проявляются линейные соотношения. Нелинейная взаимосвязь выражается нелинейной функцией, а переменные связаны между собой в среднем не линейно.

Существует еще одна достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные – множественной.

Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные сложные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь – это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.

По силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычисли тельных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов.

Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле, когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле, когда исследуется сила связи, и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

Задачи собственно корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, применение которых дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы — параметрические — и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

В данной работе теме корреляционного и регрессионного анализа посвящен вопрос № 2.

Вопрос № 2

Регрессия и корреляция

Условие задачи:

При проведении простой регрессионной модели для количества потребителей и площади размещенной рекламы (по размеру), используемой для привлечения потребителей, были получены следующие данные для шести рекламных стендов.

Площадь рекламного стенда (по размеру, в кв. метрах)	0.37	0.30	0.30	0.25	0.30	0.28
Количество потребителей	240	150	182	95	210	125

2.1. Вычислите наименьшее равенство регрессии: y = a + bx.

2.2. Вычислите ожидаемое количество потребителей, если площадь рекламной вывески составляет 0.27 кв. метра.

2.3. Вычислите коэффициент корреляции для приведенных выше данных и прокомментируйте свой ответ.

Решение:

2.1 Вычислите уравнения регрессии

Для определения вида зависимости между количеством потребителей (y) и площадью рекламного стенда (х) построим корреляционное поле (scalter diagram) (рис. 1.).

Поскольку точки на корреляционном поле располагаются около некоторой прямой y = a + bx, то можно предположить наличие линейной регрессионной зависимости между переменными.

Для наглядности вычислений построим таблицу 1.

В соответствии с методом наименьших квадратов (МНК) коэффициенты уравнения линейной регрессии находятся по формулам:

Для нашего примера имеем:

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Y = -151 + 1061Х.

При этом коэффициент в уравнении регрессии показывает, что увеличение площади рекламного стенда, например, на 0,01 кв. м. увеличивает количество потребителей приблизительно на 11 человек.

2.2 Вычислите ожидаемое количество потребителей, если площадь рекламной вывески составляет 0.27 кв. метра

Воспользовавшись уравнением линейной регрессии, получаем:

Y = -151 + 1061*0,27 ≈ 135 потребителей.

2.3 Вычислите коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции вычисляется по следующей формуле:

Для оценки значимости коэффициента корреляции на начальном этапе исследования можно пользоваться грубой оценкой:

При |γ| ≥ 0,70 имеется сильная линейная связь.

Выборочный метод применяется в тех случаях, когда проведение сплошного наблюдения невозможно или экономически нецелесообразно. В частности, проверка качества отдельных видов продукции может быть связана с ее уничтожением (оценка крепости нити на разрыв, дегустация продуктов питания и т.п.); другие совокупности настолько велики, что было бы физически невозможно собрать данные в отношении каждого из их членов (например, при изучении пассажиропотоков или цен на рынках, исследованиях бюджетов семей). Выборочное наблюдение используют также для проверки результатов сплошного наблюдения.

Ту часть единиц, которые отобраны для наблюдения, принято называть выборочной совокупностью, а всю совокупность единиц, из которых производится отбор, – генеральной. Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько состав выборки представляет генеральную совокупность, иначе говоря, от того, насколько выборка репрезен тативна (представительна).

Для обеспечения репрезентативности выборки необходимо соблюдение принципа случайности отбора единиц. Принцип случайности предполагает, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять какой-либо иной фактор, кроме случая.

Рис.1. Формы, виды и способы статистического наблюдения

Существуют различные способы формирования выборочной совокупности. Это, во-первых, индивидуальный отбор, включающий такие разновидности, как собственно случайный, механический, стратифицированный, и, во-вторых, серийный, или гнездовой, отбор.

Собственно случайный отбор, или случайная выборка, осуществляется с помощью жеребьевки либо по таблице случайных чисел. В первом случае всем элементам генеральной совокупности присваивается порядковый номер и на каждый элемент заводится жребий – пронумерованные шары или карточки-фишки, которые перемешиваются и помещаются в ящик, из которого затем отбираются наудачу. Во втором случае производится выбор случайных чисел (из специальных таблиц), которые образуют порядковые номера для отбора. Числа в таблицах обычно печатаются в виде блоков цифр (чтобы сделать таблицы более удобными для чтения по сравнению с не разбитой на блоки массой цифр), причем эти объединения в блоки не имеют статистического значения. Например, это могут быть числа:

5489, 5583, 3156, 0835,1988, 3912.

Применение комбинаций этих цифр зависит от размера совокупности: если в совокупности 1000 единиц, то порядковый номер каждой единицы должен состоять из трех цифр от 000 до 999. В таком случае приведенные выше случайные числа дали бы первые 8 номеров единиц выборочной совокупности:

548, 955, 833,156, 083, 519, 883, 912.

Дополнительные номера могут быть получены из последующих блоков тем же способом. Несколько сложнее выглядит процедура назначения номеров, отбираемых в выборочную совокупность, для случая произвольного объема генеральной. Теперь из случайных чисел таблиц формируется последовательность случайных величин, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Могут использоваться и так называемые псевдослучайные числа, т.е. полученные по определенному алгоритму вручную или с помощью ПЭВМ. В нашем примере такими числами можно было бы считать:

0,5489, 0,5583, 0,3156, 0,0835; 0,1988, 0,3912 и т.д.

Предположим, что генеральная совокупность состоит из 7328 единиц. Тогда в выборочную совокупность должны войти единицы с номерами:

7328 х 0,5489 = 4022,3 или 4022;

7328 х 0,5583 = 4091,2 или 4091;

7328 х 0,3156 = 2312,7 или 2313;

7328x0,0835 = 611,9 или 612;

7328 х 0,1988 = 1456,8 или 1457;

7328 х 0,3912 = 2866,7 или 2867.

Процесс формирования случайных чисел и определения номера отбираемой единицы продолжается до тех пор, пока не будет получен заданный объем выборочной совокупности.

До настоящего времени на практике в качестве способа отбора обычно применяют механическое формирование выборочной совокупности, не связанное с процедурами получения случайных чисел. При этом способе отбирается каждый (n/N)-й элемент генеральной совокупности. Например, если имеется совокупность из 100 тыс. ед. и требуется выборка в 1000, то в нее попадет каждый сотый элемент. Если единицы в совокупности не ранжированы относительно изучаемого признака, то первый элемент выбирается наугад, произвольно, а если ранжированы, то из середины первой сотни. При достаточно большой совокупности этот способ отбора близок к собственно случайному, при условии, что применяемый список не составлен таким образом, чтобы какие-то единицы совокупности имели больше шансов попасть в выборку. К сожалению, это условие может нарушается. Так, использование 25%-й механической выборки при обследовании городского населения может привести к тому, что для каждого этажа при 4-квартирных площадках будет выбран один и тот же тип квартир (например, только трехкомнатные).

Отбор единиц из неоднородной совокупности осуществляется так называемым стратифицированным (расслоенным) способом, дающим модифицированную форму выборки. В этом случае генеральную совокупность предварительно разбивают на однородные группы с помощью типологической группировки, после чего производят отбор единиц из каждой группы в выборочную совокупность случайным или механическим способом. Этот метод гарантирует, что единицы разных групп (слоев) включаются в выборку пропорционально их численности в генеральной совокупности.

Особая форма составления выборки предполагает серийный, или гнездовой, отбор, при котором в порядке случайной или механической выборки выбирают не единицы, а определенные районы, серии (гнезда), внутри которых производится сплошное наблюдение.

Особенности обследуемых объектов определяют два метода отбора единиц в выборочную совокупность – повторный (отбор по схеме возвращенного шара) и бесповторный (отбор по схеме невозвращенного шара) При повторном отборе каждая попавшая в выборку единица или серия возвращается в генеральную совокупность и имеет шанс вторично попасть в выборку. При этом вероятность попадания в выборочную совокупность всех единиц генеральной совокупности остается одинаковой. Бесповторный отбор означает, что каждая отобранная единица (или серия) не возвращается в генеральную совокупность и не может подвергнуться вторичной регистрации, а потому для остальных единиц вероятность попасть в выборку увеличивается.

Бесповторный отбор дает более точные результаты по сравнению с повторным, так как при одном и том же объеме выборки наблюдение охватывает больше единиц генеральной совокупности. Поэтому он находит более широкое применение в статистической практике. И только в тех случаях, когда бесповторный отбор провести нельзя, используется повторная выборка (при обследовании потребительского спроса, пассажирооборота и т.п.).

В вопросе № 3 дается пример случайной выборки.

Вопрос № 3

Z-Тест

Условие задачи:

Булочная Truro отчиталась, что количество продаваемого ежедневно хлеба составляет 3000. Работник желает проверить точность данного отчета. Случайная выборка за 36 дней показала, что в среднем ежедневные продажи составляют 3150 с колебаниями в 300. Проверьте с 1% уровнем значимости, можно ли принять отчет булочной.

Решение:

1. Сформулируем нулевую и альтернативные гипотезы:

Н₀ = {количество ежедневно продаваемого хлеба составляет}:μ = 3000.

Н₁ = {количество ежедневно продаваемого хлеба не равно}:μ ≠ 3000.

2. Уровень значимости α = 0,01 (это вероятность отклонения верной гипотезы)

По таблице распределения Стьюдента при заданном уровне значимости α и числу степеней свободы df , где df = n – 1 (n – объем выборки) находим квантили (критические точки)

распределения Стьюдента. Они равны:

Accept H₀ if -2.75 < Z < 2.75.

Reject H₀ if Z ≤ -2.75; Z ≥ 2.75.

3.

4. что свидетельствует о попадании в критическую область, то есть выпадает из зоны значений принятия гипотезы Н₀ .

5. Следовательно, гипотеза Н₀ отвергается, то есть при 1% уровне значимости количество продаваемого ежедневно хлеба в количестве 3000 в виде отчета принята быть не может.

В качестве примеров распределений непрерывной случайной величины приведем следующие часто используемые в задачах управления качеством распределения, которые понадобятся нам для дальнейшей работы.

Нормальное (гауссовское) распределение имеет вид

,

Здесь – среднее, – дисперсия распределения СВ.

Равномерное (равновероятное для дискретных СВ ) распределение на интервале [a,b] описывается соотношением

Среднее значение и дисперсия этого распределения равны соответственно

, .

Распределение (хи – квадрат). Если , - независимые нормально распределенные числа с нулевым средним и единичной дисперсией, то статистика (функция случайных величин)

подчиняется распределению с k степенями свободы.

Здесь - гамма функция. Математическое ожидание и дисперсия данного распределения имеют вид соответственно

.

Распределение Стьюдента (t - распределение).

Пусть z – нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть также v – независимая от z СВ , имеющая распределение с k степенями свободы. Тогда СВ

имеет t - распределение с k степенями свободы

Среднее значение и дисперсия равны соответственно

.

Распределение Фишера-Снедекора.

Если u и v независимые СВ , распределенные по закону со степенями свободы и соответственно, то СВ

имеет распределение Фишера-Снедекора

Здесь ., среднее значение и дисперсия равны соответственно

, .

Приведем примеры распределений дискретной СВ , используемые в задачах управления качеством.

Гипергеометрическое распределение, часто применяемое в задачах выборочного контроля, имеет вид

Здесь V - объем контролируемой партии, N – число изделий в выборке, k – число дефектных изделий в выборке, D – число дефектных изделий в партии,

- число сочетаний из D по k.

Среднее значение и дисперсия этого распределения равны соответственно

, .

В случае N<<V гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным распределением, вычисляемым по формуле

Здесь - вероятность дефекта, остальные обозначения соответствуют приведенным для гипергеометрического распределения.

Среднее значение и дисперсия для биномиального распределения вычисляются соответственно по формулам

, .

В случае, если число испытаний N возрастает, а вероятность q уменьшается так, что Nq = const, биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона

.

Здесь N – объем испытуемой выборки, k – число интересующих исследователя событий, происшедших в процессе испытаний, - среднее число событий в выборке (интенсивность потока событий). Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона имеют вид

Вопросу распределения вероятности касаются вопросы № 4 и № 5.

Вопрос № 4

Chi-Squared Distribution

Условие задачи

Менеджер розничного магазина хочет установить, соотносится или нет количество покупателей, приходящих ежедневно в магазин со временем суток. Счетчик дает следующую информацию, касающуюся количества продаж в разное время дня.

Период времени	Количество продаж
8.00 – 10.00	75
10.00 – 12.00	87
12.00 – 14.00	41
14.00 – 16.00	32
16.00 – 18.00	95

Если менеджер хочет проверить гипотезу, что продажи не соотносятся со временем суток на 5% уровне значимости, к какому выводу можно прийти.

Решение:

Сформулируем нулевую гипотезу:

Пусть случайная величина Х – момент продажи. Тогда следующая формулировка нулевой гипотезы является эквивалентной:

Н₀ = {случайная величина Х имеет равномерное распределение на [8⁰⁰ ; 18⁰⁰ ]}; согласно равномерному закону, вероятность того, что случайная величина принадлежит одному из периодов равна:

i = 1, …, 5,

где Δ_i – длительность i-периода.

Расчетное значение статистики получаем по формуле:

Табличное значение критерия при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы (k – 1) = (5-1) = 4 равно:

Так как что гипотеза Н₀ отвергается .

Значит количество продаж в разные периоды времени за сутки действительно различное.

Вопрос № 5

Распределение вероятности

Условие задачи:

Существует 80% шанс, что обучаемый по программе в компании завершит программу успешно. Какова вероятность, что в группе из 4 выбранных случайным образом обучаемых:

5.1. Все четверо успешно завершат программу?

5.2. Максимум один обучающийся не справится с программой?

Решение:

В данной задаче имеем дело с числом Х появления события при 4 независимых опытах (обучаемые друг от друга независимы). Следовательно, дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону, а ее возможные значения 0, 1, 2, 3, 4 соответствуют вероятностям:

Где 0 < Р < 1; q = 1 – p, m = 1, …, n.

Данное распределение зависит от двух параметров: р и n (т.е. от р = 80%/100% = 4/5; n = 4).

Составим ряд распределения:

Х:	0	1	2	3	4
	1/625	16/625	192/625	256/625	256/625

Вероятность того, что никто не завершит успешно программу равна:

Вероятность того, что один человек завершит успешно программу равна:

Вероятность того, что два человека завершат успешно программу равна:

Вероятность того, что три человека завершат успешно программу равна:

5.1. Вероятность того, что все четверо завершат успешно программу равна:

5.2. Вероятность того, что максимум один обучающийся не справится с программой, определяется следующим образом.

Для ответа на данный вопрос необходимо составить ряд распределения случайной величины Х – числа появлений противоположного события в 4 опытах.

Х:	0	1	…	m	…	n
	Рn		…		…	qn

При Х = 0:

При Х = 1:

При Х = 2:

При Х = 3:

При Х = 4:

Х:	0	1	2	3	4

Вероятность того, что максимум один обучающийся не справится с программой равна при этом математическое ожидание не справившихся с программой равно:

Список литературы

1. Добрынин А.И., Салов А.И. Экономика. - М.: Юрайт, 2002.

2. Попов А.И. Экономическая теория. СПб.; М.; Харьков; Минск: Питер, 2000.

3. Фишер С., Дорнбут Р., Шмалензи Р. Экономика. - М.: Дело, 1993.

4. Экономическая теория. / Под ред. Видяпина В.И. и др. – М.: ИНФРА-М, 2000.

5. Экономическая теория. / Под ред. Камаева В.Д. – М.: ВЛАДОС, 1999.

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  173  174  175   ..