Модель расширяющейся экономики Неймана

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

5. цены товаров изменяются во времени.

Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале [0,Т ] с точками t=0,1,……,Т рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.

Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j -го процесса в момент времени t обозначим через y^t _J ( j=1,…, m) . Заметим, что y^t _J является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j -ым процессом видов товаров и y^t _J ≥0 .

Предположим, что функционирование j -го процесса ( j=1,…, m) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве

а_{1 j ,} а_{2 j , …. ,} а _{nj ,}

и дает выпуск товаров в количестве

b_{1 j ,} b_{2 j , …. ,} b_{nj ,}

Введем обозначения а _j = (а_{1 j ,} а_{2 j , …. ,} а _nj ), b_j = ( b_{1 j ,} b_{2 j , …. ,} b_nj ). Пара (а _j , b_j ) характеризует технологический потенциал, заложенный в j -ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару (а _j , b_j ) можно назвать базисом j -го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности y^t _J соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как (а _j y^t _J , b_j y^t _J ) . Поэтому последовательность пар

(а_{1 ,} b₁ ) , (а_{2 ,} b₂ ) , ……. , (а _m, b_m ) , (6.4.1)

представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами

А = а₁₁ а₁₂ …. а_{1 m}

а₂₁ а₂₂ …. а_{2 m}

… … … …

а_n1 а_n2 …. а_nm ,

В = b₁₁ b₁₂ …. b_{1 m}

b₂₁ b₂₂ …. b_{2 m}

… … … …

b_{n 1} b_{n 2} …. b_nm

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) с коэффициентами :

(6.4.2)

Говорят, что в производственном процессе базисные процессы (6.4.1) участвуют с интенсивностями . Как видно из (6.4.2) , неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной. Рассматривая все допустимые "смеси" базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов

, (6.4.3)

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин . Множество (6.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m , матрицу B отождествить с единичной матрицей, а интерпретировать как вектор валового выпуска, то (6.4.2) превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Затраты в момент t не могут превышать выпуска , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис. 6.3).

Время	…	t-1	t	t+1	…
Затраты
Выпуск

Рис. 6.3. Последовательность затрат и выпусков.

Поэтому должны выполняться условия:

(6.4.4)

где - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через , вектор цен товаров. Неравенство (6.4.4) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t . Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t ) должно быть:

(6.4.5)

Прибыль базисного процесса на отрезке [t-1,T] равна величине

, т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как , а выручку - как (рис. 6.4).

Время	…	t-1	t	t+1	…
Издержки
Выручка

Рис. 6.4. Последовательность издержек и выручки.

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если , неприбыльны – если

(6.4.6)

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики "характерен случай падения цен"

, т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. При равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс. Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство (6.4.6) является отражением этого факта. Поэтому, если в (6.4.6) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

то должно быть . Иначе говоря, отсутствие "отрицательной прибыли" обеспечивается нулевой интенсивностью.

Отсюда получаем

(6.4.7)

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (6.4.4) -(6.4.7) :

(6.4.8)

где и - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.