Для реконструкции и модернизации производства выделены денежные средства в объеме 100 тыс. ден. ед., которые следует распределить между четырьмя цехами. По каждому из цехов известен возможный прирост
выпуска продукции в зависимости от выделенной ему суммы x
≤ 100.000 (возможные значения x
и
приведены в таблице). Необходимо так распределить средства, чтобы максимально увеличить выпуск продукции производства в целом.
ЦЕХ № 1
ЦЕХ № 2
x
20
40
60
80
100
x
20
40
60
80
100
9
17
29
38
47
11
34
46
53
75
ЦЕХ № 3
ЦЕХ № 4
x
20
40
60
80
100
x
20
40
60
80
100
13
28
37
49
61
12
35
40
54
73
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Основываясь на принципах динамического программирования, построить математическую модель поставленной задачи в виде функциональных уравнений Беллмана (числовые данные взять из таблиц).
2. Найти оптимальное распределение средств, обеспечивающее максимальный прирост выпуска продукции.
PЕШЕHИЕ.
1. Системой S
в данном случае является предприятие из 4-х цехов, в которое вложена сумма 100.000 ед.
Состояния и управления системы S
однозначно взаимосвязаны – это способы распределения суммы между цехами. Для осуществления инвариантного погружения задачи будем считать, что вместо суммы 100.000 ед. вкладывается сумма y
: 0≤у
≤100.000. Состояния системы искусственно разобьем на этапы: начальный (нулевой), первый, второй и третий этапы соответственно означают, что сумма y
распределяется между четырьмя цехами, тремя цехами, двумя цехами и вся сумма y
выделяется одному цеху. Нумерацию этапов удобнее проводить в обратном порядке: третий этап – m =
1,второй этап – m =
2, первый этап – m =
3, нулевой этап – m =
4. Тогда функция Беллмана, имеющая смысл максимальной прибыли при распределении суммы y
между m
цехами, запишется в виде:
Если при m
= 1 … k
–1 функция B
(y
, m
) уже построена, то функциональное уравнение Беллмана для данной задачи принимает вид:
Пpи m
= 1 дополнительно имеем:
2. При m
= 1 функция Беллмана уже построена, т.е.
y
20
40
60
80
100
B(y, 1)
9
17
29
38
47
При m
= 2 уравнение из функционального уравнения Беллмана имеет вид:
Так как функции
и
заданы таблично, то для определения максимума функции
при каждом y
составляем таблицу значений этой функции:
x
y
0
20
40
60
80
100
B(y, 2)
20
0 + 9
11 + 0
11
20
40
0 + 17
11 + 9
34 + 0
34
40
60
0 + 29
11 + 17
34 + 9
46 + 0
46
60
80
0 + 38
11 + 29
34 + 17
46 + 9
53 + 0
55
60
100
0 + 47
11 + 38
34 + 29
46 + 17
53 + 9
75 + 0
75
100
Подчеркнутые значения являются максимальными в строке, т.е. являются значениями функции Беллмана B
(y
, 2). Они выписаны в предпоследнем столбце. В последний столбец выписаны значения x
, при которых достигается максимум функции
Эти значения обозначены
и их можно считать управлениями. Смысл
– средства, выделяемые второму цеху, при оптимальном распределении суммы y
между двумя цехами.
Аналогично, при m
= 3
Составляем таблицу значений функции
x
y
0
20
40
60
80
100
B(y, 3)
20
0 + 11
13 + 0
13
20
40
0 + 34
13 + 11
28 + 0
34
0
60
0 + 46
13 + 34
28 + 11
37 + 0
47
20
80
0 + 55
13 + 46
28 + 34
37 + 11
49 + 0
62
40
100
0 + 75
13 + 55
28 + 46
37 + 34
49 + 11
61 + 0
75
0
Как и выше
– сумма средств, выделяемых третьему цеху, при оптимальном распределении суммы y
между тремя цехами.
выпуска продукции в зависимости от выделенной ему суммы x
≤ 100.000 (возможные значения x
и 
приведены в таблице). Необходимо так распределить средства, чтобы максимально увеличить выпуск продукции производства в целом.
заданы таблично, то для определения максимума функции 
при каждом y
составляем таблицу значений этой функции:
Эти значения обозначены 
