По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.
Табл. 1.1.
Х
33
17
23
17
36
25
39
20
13
12
Y
43
27
32
29
45
35
47
32
22
24
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков
; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболической;
степенной;
показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение
1. Линейная модель имеет вид:
Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам
Расчет значения параметров представлен в табл. 2.
Табл. 1.2.
t
y
x
yx
1
43
33
1419
1089
42,236
0,764
0,584
90,25
88,36
0,018
2
27
17
459
289
27,692
-0,692
0,479
42,25
43,56
0,026
3
32
23
736
529
33,146
-1,146
1,313
0,25
2,56
0,036
4
29
17
493
289
27,692
1,308
1,711
42,25
21,16
0,045
5
45
36
1620
1296
44,963
0,037
0,001
156,25
129,96
0,001
6
35
25
875
625
34,964
0,036
0,001
2,25
1,96
0,001
7
47
39
1833
1521
47,69
-0,69
0,476
240,25
179,56
0,015
8
32
20
640
400
30,419
1,581
2,500
12,25
2,56
0,049
9
22
13
286
169
24,056
-2,056
4,227
110,25
134,56
0,093
10
24
12
288
144
23,147
0,853
0,728
132,25
92,16
0,036
∑
336
235
8649
6351
12,020
828,5
696,4
0,32
Средн.
33,6
23,5
864,9
635,1
Определим параметры линейной модели
Линейная модель имеет вид
Коэффициент регрессии
показывает, что выпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличении объема капиталовложений Х на 1 млн. руб.
2. Вычислим остатки
, остаточную сумму квадратов
, найдем остаточную дисперсию
по формуле:
Расчеты представлены в табл. 2.
Рис. 1. График остатков ε.
3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.
Табл. 1.3.
0,584
2,120
0,479
0,206
1,313
6,022
1,711
1,615
0,001
0,000
0,001
0,527
0,476
5,157
2,500
13,228
4,227
2,462
0,728
31,337
12,020
d1=0,88; d2=1,32 для α=0,05, n=10, k=1.
,
значит, ряд остатков не коррелирован.
4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).
для ν=8; α=0,05.
Расчет значения
произведен в табл. 2. Получим:
Так как
, то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.
5. Найдем коэффициент корреляции по формуле
Расчеты произведем в табл. 2.
Значит,
. Т.о. связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к.
.
Коэффициент детерминации найдем по формуле
. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
Fтаб=5,32, т.к. k1=1, k2=8, α=0,05
т.к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.
Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Расчеты произведены в табл. 2.
,
значит, линейную модель можно считать точной, т.к. Е<5%/
6. С помощью линейной модели осуществим прогноз Y при α=0,1 и х=0,8хmax
Определим границы прогноза. t0,1;8=1,86
Найдем границы интервала:
7. Представим графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Рис. 2. Фактические данные, линейная модель и результаты прогнозирования.
8. а) Составим уравнение гиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид
;
Проведем линеаризацию переменной путем замены
.
Расчеты произведем в табл. 3.
Модель имеет вид:
Табл.1.4.
t
y
x
Х
уХ
1
43
33
0,030
1,290
0,001
36,870
6,130
37,577
0,143
2
27
17
0,059
1,593
0,003
32,135
-5,135
26,368
0,190
3
32
23
0,043
1,376
0,002
34,683
-2,683
7,198
0,084
4
29
17
0,059
1,711
0,003
32,135
-3,135
9,828
0,108
5
45
36
0,028
1,260
0,001
37,289
7,711
59,460
0,171
6
35
25
0,040
1,400
0,002
35,260
-0,260
0,068
0,007
7
47
39
0,026
1,222
0,001
37,644
9,356
87,535
0,199
8
32
20
0,050
1,600
0,003
33,600
-1,600
2,560
0,050
9
22
13
0,077
1,694
0,006
29,131
-7,131
50,851
0,324
10
24
12
0,083
1,992
0,007
28,067
-4,067
16,540
0,169
∑
336
235
0,495
15,138
0,029
297,985
1,445
Средн
33,6
23,5
0,050
1,514
0,003
Найдем индекс корреляции по формуле
,
значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к.
.
Индекс детерминации найдем по формуле
. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 57,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.
F>Fтабл (10,692>5,32),
значит, уравнение статистически значимо.
Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.
,
значит, расчетные значения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 14,45%.
8. б) Построим степенную модель, которая имеет вид
Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.
Расчет неизвестных параметров произведем в табл. 5.
Табл. 1.5.
t
y
x
Y
Х
YХ
1
43
33
1,633
1,519
2,481
2,307
42,166
0,834
0,696
0,019
2
27
17
1,431
1,23
1,760
1,513
27,930
-0,930
0,865
0,034
3
32
23
1,505
1,362
2,050
1,855
33,697
-1,697
2,880
0,053
4
29
17
1,462
1,23
1,798
1,513
27,930
1,070
1,145
0,037
5
45
36
1,653
1,556
2,572
2,421
44,507
0,493
0,243
0,011
6
35
25
1,544
1,398
2,159
1,954
35,488
-0,488
0,238
0,014
7
47
39
1,672
1,591
2,660
2,531
46,775
0,225
0,051
0,005
8
32
20
1,505
1,301
1,958
1,693
30,896
1,104
1,219
0,035
9
22
13
1,342
1,114
1,495
1,241
23,644
-1,644
2,703
0,075
10
24
12
1,380
1,079
1,489
1,164
22,498
1,502
2,256
0,063
∑
336
235
15,127
13,380
20,422
18,192
12,296
0,346
Cредн
33,6
23,5
1,513
1,338
2,042
1,819
Получим
Перейдем к исходным переменным путем потенцирования данного уравнения.
Найдем индекс корреляции.
,
значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к.
.
Индекс детерминации найдем по формуле
. Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.
Для каждого варианта даны по две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
Табл. 2.1.
Номер варианта
Номер уравнения
Задача 2а
Задача 2б
переменные
переменные
y1
y2
y3
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
x1
x2
x3
x4
6
1
-1
b12
b13
a11
a12
0
0
-1
0
b13
a11
a12
0
a14
2
b21
-1
b23
a21
0
0
a24
b21
-1
0
a21
0
a23
a24
3
0
b32
-1
a31
a32
a33
0
b31
0
-1
a31
a32
0
a34
Решение
a)
CФМ имеет вид:
Проверим систему на идентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
1) В 1-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации
Для проверки на достаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.
уравнение
Отсутствующие переменные
х3
х4
2
0
а24
3
а33
0
Составим матрицу из коэффициентов
Определитель матрицы не равен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-е уравнение точно идентифицируемо.