ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЛИАЛ В Г. ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ
Специальность «Финансы и кредит»
Контрольная работа по эконометрике
Вариант № 14
Железнодорожный 2009
Задание 1.2
Задача 1.
Найти среднее число государственных вузов, если статистические данные таковы:
Годы
1994
1995
1996
1997
1998
Кол-во ВУЗов
548
553
569
573
578
Найти: х - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 5
2. Запишем формулу:
х = 1 / nΣn
i
= 1
* xi
3. x = (1*( 548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821 / 5 = 564,2
Ответ: 564,2
Задача 2.
Рассчитать ковариацию между 2-мя рядами:
Поголовье КРС (млн.т)
57
54,7
52,2
48,9
43,3
39,7
35,1
Пр-во молока (тыс.т)
1,49
1,38
1,29
1,1
0,99
0,9
0,88
Найти: Cov - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 7
2. Определим выборочное среднее для скота:
х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271
3. Определим выборочное среднее для молока:
y = (1 *(1,49 +1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88))/ 7 = 8,03/ 7 = 1,147
4. Запишем формулу для определения ковариации:
Cov (x;y) = 1/n Σ n
i = 1
(xi
- x)(yi
- y)
5. Вычислим ковариацию:
Cov (x;y) = [1*((57-47,271)*(1,49-1,147)+(54,7-47,271)*(1,38-1,147)+ (52,2-47,271)*(1,29-1,147)+(48,9-47,271)*(1,1-1,147)+(43,3-47,271)*(0,99-1,147) + (39,7-47,271)*(0,9-1,147)+(35,1-47,271)*(0,88-1,147)) ]/7 = 11,439/7 = 1,634
Ответ: 1,634
Задача 3.
Определить выборочную дисперсию для ряда данных о потребление мяса (в кг на душу населения в год).
Найти: Var - ?
Решение:
1. Определим кол-во наблюдений: n = 7
2. Определим выборочное среднее:
х = (1*(69+60+69+57+55+51+50))/7 = 411/7 = 58,714
3. Запишем формулу для определения вариации:
Var (x) = 1/n Σ n
i = 1
(xi
- x)2
4. Определим вариацию:
Var = (1*(69-58,714)^2+(60-58,714)^2+(69-58,714)^2+(57-58,714)^2+(55-58,714)^2+(51-58,714)^2+(50-58,714)^2)/7 = 365,429/7 = 52,204
Ответ: 52,204
Задача 4.
Оценить параметры предполагаемой линейной зависимости объемов производства мяса по поголовью скота, если:
х (производство мяса) = 6,8
y (поголовье скота) = 47,3
Cov = 11,2
Var = 56,9
Оценить параметры
Решение:
1. b = Cov (x;y)/Var (x)
b = 11,2/56,9
b = 0,196
2. a = y – bx
a = 47,3 – 0,196 * 6,8
a = 45,968
3. y = 45,968 + 0,196x
Задание 5.
Определить остаток в 1-ом наблюдение, если уравнение регрессии имеет вид:
y = 0,20x – 2,24
57
54,7
52,2
48,9
43,3
39,7
35,1
8,37
8,26
7,51
6,8
5,79
5,33
4,85
Найти: g 1
= ?
Решение:
1. Выбор № наблюдений: i = 1
2. хi
= 57
3. y i
= 8,37
4. Вычислим :
y*= 0,20x – 2,24
y*= 0,20x 1
– 2,24
y*= 0,20*57 – 2,24
y*= 9,16
5. Определим остаток в 1-ом наблюдение:
g i
= yi
- xi
g 1
= 8,37 – 9,16
g 1
= - 0,79
Ответ: - 0,79
Задача 6.
Для рядов 1,2 уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5), найти необъясненную сумму квадратов отклонений.
57
54,7
52,2
48,9
43,3
39,7
35,1
8,37
8,26
7,51
6,8
5,79
5,33
4,85
Найти: RSS = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 7
2. Вычислим: yi
= a + bxi
, получим
y1
*
= 0,20*57 – 2,24, y1
*
= 9,16
y2
*
= 0,20*54,7 – 2,24, y2
*
= 8,7
3. Определим остатки:
g 1
= 8,37 – 9,16, g 1
= - 0,79
g2
= 8,26 – 8,7, g2
= - 0,44
4. Определим RSS для 1 и 2 ряда:
RSS = Σ n
i =1
g i
2
RSS = (- 0,79)2
+ (-0,44)2
RSS = 775, 2592
Ответ: 0,8177
Задача 7.
Определить объясненную сумму квадратов отклонений для рядов и уравнения регрессии y = 0,20 – 2,24 (задача 5).
57
54,7
52,2
48,9
43,3
39,7
35,1
8,37
8,26
7,51
6,8
5,79
5,33
4,85
Найти: ESS = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 7
2. Вычислим: yi
= a + bxi
, получим
y1
= 0,20*57 – 2,24, y1
= 9,16
y2
= 0,20*54,7 – 2,24, y2
= 8,7
y3
= 0,20*52,2 – 2,24, y3
= 8,2
y4
= 0,20*48,9 – 2,24, y4
= 7,54
y5
= 0,20*43,3 – 2,24, y5
= 6,42
y6
= 0,20*39,7 – 2,24, y6
= 5,7
y7
= 0,20*35,1 – 2,24, y7
= 4,78
3. Определим выборочное среднее y = 1 / nΣn
i
= 1
* yi
получим:
y = (1 *(9,16+8,7+8,2+7,54+6,42+5,7+4,78))/ 7
y = 7,214
4. Вычислим ESS:
ESS = Σi = 1
n
( yi
*
- yi
)2
ESS = (9,16 – 7,214)2
+(8,7 – 7,214)2
+(8,2 – 7,214)2
+(7,54 – 7,214)2
+(6,42 – 7,214)2
+(5,7 – 7,214)2
+(4,78 – 7,214)2
ESS = 15,921
Ответ: 15,921
Задача 8.
В задачах 6 и 7 рассчитаны RSS и ESS. Определить TSS и проверить выполнение соотношения между этими 3-мя характеристиками.
RSS = 0,8177
ESS = 15,921
Решение:
1. Рассчитаем общую сумму квадратов отклонений:
TSS = Σi = 1
n
( yi
- y)2
TSS = 12,016
уi
8,37
8,26
7,51
6,8
5,79
5,33
4,85
Σ= 46,91
Σ/n = 6,701
( yi
- y)2
2,784
2,429
0,654
0,010
0,831
1,881
3,428
Σ= 12,016
2. Проверим:
TSS = ESS + RSS
TSS = 15,921 + 0,8177
TSS = 16,7387
16,7387 ≠ 12,016 – несовпадение значений.
Задача 9.
Для рассчитанного уравнения регрессии определена ESS = 15,37/ Найти коэффициент детерминации, если TSS = 16,21.
Найти: R2
= ?
Решение:
1. Определим коэффициент детерминации:
R2
= ESS/TSS
R2
= 15,37/16,21
R2
= 0,948
Ответ: 0,948
Задача 10
Определить выборочную корреляцию между 2-мя величинами, если ковариация составляет 11,17, вариация первого ряда составляет 59,86 , а второго 2,32.
Cov (x,y) = 11,17
Var (x) = 59,86
Var (y) = 2,32
Найти: Zxy
- ?
Решение:
1. Запишем формулу для определения выборочной корреляции:
Zxy
= Cov2
(x,y)/ √ Var(x) * Var(y)
2. Вычислим выборочную корреляцию:
Zxy
= (11,17)2
/ √ 59,86*2,32
Zxy
= 124,769/11,785
Zxy
= 10,588
Ответ: 10,588
Задание 2.2
Задача 1.
Производство х1
30,8
34,3
38,3
37,7
33,8
39,9
38,7
37,0
31,4
Импорт х2
1,1
1,2
0,4
0,2
0,1
0,1
0,1
0,2
0,33
Потребление у
15,7
16,7
17,5
18,8
18,0
18,3
18,5
19,1
18,0
Найти: Var = ? и парную Cov = ?
Решение:
1. Определим число наблюдений: n = 9
2. Найдем выборочное среднее для рядов: х = 1 / nΣn
i
= 1
* xi
х1
= (1*(30,8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9
х1
= 35,767
х2
= (1*(1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2+ 0,33)) / 9
х2
= 0,414
у = (1*(15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9
у= 17,844
3. Рассчитаем Var для рядов: Var = 1 / nΣn
i
= 1
* ( xi
– xi
)2
(x1
– x1
)
-4,967
-1,467
2,533
1,933
-1,967
4,133
2,933
1,233
-4,367
Σ = 87,120
Σ/n = 9,680
(x1
– x1
)2
24,668
2,151
6,418
3,738
3,868
17,084
8,604
1,521
19,068
(x2
– x2
)
0,686
0,786
-0,014
-0,214
-0,314
-0,314
-0,314
-0,214
-0,084
Σ = 1,483
Σ/n = 0,165
(x2
– x2
)2
0,470
0,617
0,000196
0,046
0,099
0,099
0,099
0,046
0,007
(y – y)
-2,144
-1,144
-0,344
0,956
0,156
0,456
0,656
1,256
0,156
Σ = 9,202
Σ/n = 1,022
(y– y)2
4,599
1,310
0,119
0,913
0,024
0,208
0,430
1,576
0,024
4. Вычислим Cov: Cov (x,y) = 1 / n Σ n
i = 1
* (xi
– x)*(yi
– y)
(x1
-x1
)(y-y)
10,651
1,679
-0,873
1,847
1,923
1,549
-0,679
Σ = 17,673
Σ/n = 1,964
(x2
–x2
)(y-y)
-1,470
-0,899
0,005
-0,205
-0,206
-0,269
-0,013
Σ = -3,250
Σ/n = -0,361
(x1
-x1
)(x2
–x2
)
-3,405
-1,152
-0,037
-0,415
-0,922
-0,264
0,369
Σ = -6,508
Σ/n = -0,723
Ответ: Var1
= 9,680 Cov1
= 1,964
Var2
= 0,165 Cov2
= -0,361
Var3
= 1,022 Cov3
= -0,723
Задача 2.
Определить коэффициенты при объясняющих переменных, для линейной регрессии, отражающих зависимость потребления картофеля от его производства и импорта, используя данные из задачи 1.
Найти: b1,2
= ?
Решение:
1. Определим Var рядов объясняющих переменных:
Var(х1
) = 9,680
Var(х2
) = 0,165
2. Определим Cov:
Cov(x1
;у) = 1,964
Cov(х2
;у) = -0,361
Cov(х1
;х2
) = -0,723
3. Вычислим b1
и b2
по формулам:
b1
= Cov(x1
;у)* Var(х2
) - Cov(х2
;у)* Cov(х1
;х2
)/ Var(х1
)* Var(х2
) – (Cov(х1
;х2
))2
b2
= Cov(х2
;у)* Var(х1
) - Cov(x1
;у)* Cov(х1
;х2
)/ Var(х1
)* Var(х2
) - (Cov(х1
;х2
))2
b1
= (1,964*0,165) – (-0,361*-0,723)/(9,680*0,165) - (-0,723)2
b1
= 0,059
b2
= (-0,361*9,680) – (1,964*-0,723)/ (9,680*0,165) - (-0,723)2
b2
= - 1,931
Ответ: 0,059 ; - 1,931
Задача 3.
Рассчитать коэффициент А для регрессии, отражающий зависимость потребления картофеля от его производства и импорта (исп. Данные из задачи 1 и 2)
Найти: а = ?
Решение:
1. определим средние значения:
х1
= 35,767 х2
= 0,414 у = 17,844
2. Определим коэффициенты b1
и b2
:
b1
= 0,059 b2
= -1,931
3. Вычислим значение коэффициента а: а = у – b1
x1
– b2
x2
a = 17,844 - 0,059*35,767 – (-1,931*0,414)
a = 16,533
Ответ: 16,533
Задача 4.
Рассчитать значение личного потребления картофеля, используя полученные в задаче 2 и 3 коэффициенты регрессии.
Решение:
1. Определим коэффициенты b1
и b2
:
b1
= 0,059 b2
= -1,931
2. Определим коэффициент а:
а = 16,533
3. Определим вектор регрессионного значения по формуле:
[Х*]= а + b1
[x1
]+ b2
[x2
]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
[Х*]
16,226
16,240
18,020
18,371
18,334
18,694
18,623
18,33
17,748
Задача 5.
Рассчитать общую, объясненную и не объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии по потреблению картофеля.
Найти: RSS, TSS, ESS - ?
Решение:
1. Определим средненаблюдаемое у и средне расчетное у* независимых переменных:
Потребление у
15,7
16,7
17,5
18,8
18
19,1
18
Σ = 160,6
Σ/n = 17,84
у*
16,226
16,240
18,020
18,371
18,334
18,330
17,748
Σ= 160,6
Σ/n = 17,84
у = y*
2. Определим общую сумму квадратов отклонений по формуле:
TSS = Σi = 1
n
( yi
- y)2
TSS = 9,202
( yi
- y)2
4,60
1,31
0,12
0,91
0,21
0,43
1,58
0,02
Σ= 9,202
3. Определим объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
ESS = Σi = 1
n
( yi
– y*)2
ESS = 7,316
( yi
– y*)2
2,614
2,571
0,031
0,279
0,241
0,724
0,609
0,237
0,009
Σ= 7,316
4. Определим не объясненную сумму квадратов отклонений по формуле:
RSS = Σi = 1
n
( yi
– y*)2
RSS = 1,882
( yi
– y*)2
0,277
0,212
0,271
0,184
0,112
0,155
0,015
0,593
0,063
Σ= 1,882
Ответ: 9,202 ;7,316; 1,882
Задача 6.
Вычислить коэффициент детерминации, используя данные из задачи 5
Найти:R-?
Решение:
1. Вычислим TSS и ESS:
TSS = 9,202
ESS = 7,316
2. Найдем R2
по формуле:
R2
= ESS/TSS
R2
= 7,316/9,202
R2
= 0,795
Ответ: 0,795
Задача 7.
Для оценки возможной мультиколлиниарности, рассчитать коэффиц. корреляции между рядами данных (задача 1).
Решение:
1. Найдем Var:
Var(х1
) = 9,680
Var(х2
) = 0,165
2. Найдем Cov:
Cov(х1
;х2
) = -0,723
3. Рассчитаем коэффициент корреляции:
r(x1
;х2
) = Cov(х1
;х2
)/√ Var(х1
)- Var(х2
)
r(x1
;х2
) = -0,723/3,085
r(x1
;х2
) = - 0,234
Ответ: - 0,234
Задача 8.
Определить несмещенную оценку дисперсии случайного члена регрессии для потребления картофеля.
Найти: Su
2
(u) - ?
Решение:
1. Найдем RSS:
RSS = 1,882
2. Найдем число степеней выборки
k = n-m-1
k = 9-2-1
k = 6
3. Найдем несмещенную оценку случайного члена:
Su
2
(u) = RSS/ n-m-1
Su
2
(u) = 1,882/9-2-1
Su
2
(u) = 0,3136
Ответ: 0,3136
Задача 9.
Рассчитать стандартные ошибки оценок коэффициента при объясняющ. переменных для модели множеств. регрессии по потреблению картофеля.
Найти: С.О.(b1
), C.O.(b2
) - ?
Решение:
1. Найдем дисперсию случайного члена:
Su
2
(u) = 0,3136
2. Найдем Var:
Var(х1
) = 9,680
Var(х2
) = 0,165
3. Найдем коэффиц. корреляции:
r(x1
;х2
) = - 0,234
4. Вычислим стандартные ошибки С.О.(b1
), C.O.(b2
):
С.О.(b1
) = (√(Su
2
(u)/n * Var(х1
)) * (1/1- r2
(x1
;х2
))
С.О.(b1
) = (√(0,3136/9*9,680))* (1/1-(- 0,234))
C.O.(b2
) = (√(Su
2
(u)/n * Var(х2
)) * (1/1- r2
(x1
;х2
))
C.O.(b2
) = (√(0,3136/9*0,165))* (1/1-(- 0,234))
С.О.(b1
) = 0,0486
C.O.(b2
) = 0,3724
Ответ: 0,0486; 0,3724.
Задача 10.
Рассчитать статистику Дарбина-Уотсона.
Найти: DW - ?
Решение:
1. Определим остатки в наблюдениях:
ek
= yk
– y*
k
; k = (1:n)
y(k)
15,7
16,7
17,5
18,8
18
18,3
18,5
19,1
y(k)*
16,226
16,240
18,020
18,371
18,334
18,694
18,623
18,330
e(k)
-0,526
0,461
-0,520
0,429
-0,334
-0,394
-0,123
0,770
ek-e(k-1)
-0,987
0,981
-0,949
0,763
0,060
-0,271
-0,893
0,519
ek-e(k-1)^2
0,973
0,962
0,901
0,582
0,004
0,073
0,798
0,269
e(k)^2
0,277
0,212
0,271
0,184
0,112
0,155
0,015
0,593
(e k
-e k – 1
)2
= 4,562
ek
2
= 1,882
2. Вычислим статистику Дарбина-Уотсона:
DW = Σ (e k
-e k – 1
)2
/ Σ e k
2
DW = 2,424
DW > 2
Ответ: т.к. DW > 2, то автокорреляция отрицательная.
Задание 3.2
Задача 1.
Рассчитать выборочное среднее для ряда данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. руб.):
6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4
Найти: а
Решение:
1. Запишем формулу: a=1/N*ΣN
t
=1
*x (t)
2. Вычислим:
а = 1*(5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4)/10
а = 7,02 (млрд. руб.)
Ответ: 7,02 (млрд. руб.)
Задача 2.
Рассчитать выборочную дисперсию по данным задачи 1.
Найти: σ = ?
Решение:
1. а = 7,02
2. Запишем формулу для вычисления дисперсии: σ2
= 1/N*ΣN
t
=1
x(t)-a
3. Вычислим:
х(t)
5,9
6,3
6,6
6,8
7
7,1
7,4
7,9
7,8
х(t)-a
-1,120
-0,720
-0,420
-0,220
-0,020
0,080
0,380
0,880
0,780
(х(t)-a)2
1,254
0,518
0,176
0,048
0,0004
0,006
0,144
0,774
0,608
σ = 3,676
Ответ: 3,676
Задача 3.
Найти оценку ковариации для τ = 0,1,2 (используя данные из задачи 1)
х(t)-a
-1,120
-0,720
-0,420
-0,220
-0,020
0,080
0,380
0,880
(х(t)-a)^2
1,254
0,518
0,176
0,048
0,000
0,006
0,144
0,774
(х(t)-a)* (х(t+1)-a)
0,8064
0,3024
0,0924
0,0044
-0,0016
0,0304
0,3344
0,6864
(х(t)-a)* (х(t+2)-a)
0,4704
0,1584
0,0084
-0,0176
-0,0076
0,0704
0,2964
0,3344
∑ τ(0) = 3,676
∑ τ (1) = 2,552
∑ τ (2) = 1,313
ρ(τ) = 1/(N- τ)∑t
=1
N
-
τ
(x(t)-â)* (x(t+1)-â)
ρ (0) = 0,367
ρ (1) = 0,283
ρ (2) = 0,164
Ответ: 0,367; 0,283; 0,164.
Задача 4.
Рассчитать выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, используя данные из задачи 1
Найти: r= ? для τ = 1,2
Решение:
1. Найдем τ = 0,1,2
ρ(0) = 0,367
ρ(1) = 0,283
ρ(2) = 0,164
2. Рассчитаем выборочную автокорреляцию для τ = 1,2, по формуле:
r(τ) = ρ (τ)/ τ(0)
r(1) = 0,283/0,367
r(1) = 0,771
r(2) = 0,164/0,367
r(2) = 0,446
Ответ: 0,771; 0,446
Задача 5.
Рассчитать выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка, используя данные из задачи 1.
Найти: rчастная
(2) = ?
Решение:
1. Найдем выборочную автокорреляцию
r(1) = 0,771
r(2) = 0,446
2. Рассчитаем выборочную частную автокорреляцию 1-го порядка:
rчастная
(2) = r(2) – r2
(1)/ 1 - r2
(1)
rчастная
(2) = 0,446 – (0,771)2
/ 1 - (0,771)2
rчастная
(2) = - 0,365
Ответ: - 0,365
Задача 6.
С помощью критерия основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда:
1
6200
-
2
6300
-
3
6400
-
4
6600
+
5
6400
-
6
6500
не рассматриваем
7
6600
+
8
6700
+
9
6500
не рассматриваем
10
6700
+
11
6600
+
12
6600
+
13
6300
-
14
6400
-
15
6000
-
Решение:
1. Определим число наблюдений: n=15
2. Отранжеруем временные ряды в порядке возрастания:
6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700
3. Вычислим медиану:
n = 15;
хмед
= n+1/2 = 15+1/2
xмед
= 8
xмед
=6500
4. Создаем ряд из + и -, в соответствие с правилом:
если х(i) < хмед
, то +; если х(i) > хмед
, то -.
5. Определим общее число серий:
v(15) = 6
6. Протяженность самой длинной серии:
τ(20) = 3
7. Проверим неравенства:
v(n) > (1/2*(n+2)-1,96*√n-1)
v(n) = (1/2*(15+2) – 1,96*√15-1)
v(n) = 1,166
6 > 1 – выполняется
τ(n) < (1,43*ln(n+1))
τ(n) < (1,43*ln(15+1))
τ(n) = 3,96
3 < 3,96 – выполняется
Так как выполняются оба неравенства, гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда принимается.
Ответ: гипотеза принимается.