Дисперсия погрешности оценки среднего равна

. (11)

Среднее квадратическое отклонение оценки математического ожидания

. (12)

Как видно из (10,11) оценка (9) – несмещенная , состоятельная и эффективная.

Выражения (8-12) могут быть положены в основу определения требуемого размера выборки для обеспечения заданных значений доверительного интервала погрешности и доверительной вероятности. Так, имея требования к величине доверительного интервала и доверительной вероятности и принимая гипотезу о гауссовом характере распределения погрешности оценивания , т.е. возможности определения доверительной вероятности в виде , из выражения (8) определяем требуемое значение среднего квадратического отклонения погрешности оценки . Вместе с тем из выражения (12) следует, что среднее квадратическое значение погрешности оценки среднего случайной величины связано со значениями СКО и объемом выборки N следующей зависимостью:

,

откуда, приравнивая правые части последних равенств, окончательно определяем выражение для расчета требуемого объема выборки

.

Здесь значение СКО случайной величины может задаваться априорно, либо определяться экспериментально по выборке меньшего чем N объема.

Определение оценки дисперсии и ее среднего квадратического отклонения

Оценка дисперсии как экспериментальное значение второго центрального момента случайной величины X может быть вычислена по формуле

.

Так как значение априори неизвестно, то принимают и тогда

. (13)

Математическое ожидание погрешности оценки равно

, (14)

что означает, что оценка (14) является смещенной.

Смещение пропорционально D_x и обратно пропорционально N. Это означает, что оценка D_x ,полученная согласно (14), - состоятельная.

Смещение устраняется с переходом к .

При этом вместо (13) имеем

. (15)

При больших значениях N результаты расчета по формулам (13)и (15)практически будут одинаковыми.

Выражение для дисперсии оценки (15), равной дисперсии погрешности , при нормальном виде закона распределения X (для худшего случая) можно получить следующее [1-3]:

. (16)

Зависимость среднего квадратического отклонения от его точного значения определяется выражением

.

3.3Определение корреляционного момента и коэффициента корреляции

Экспериментальное значение корреляционного момента R_xy как оценка смешанного центрального момента m ₁₁ системы двух случайных величин равно

Так как значения М_х , М_у неизвестны, то принимают , и тогда

ИЛИ

. (17)

Погрешность оценки

(18)

Математическое ожидание погрешности (18)

Это означает, что оценка (17) - смещена и равна

. (19)

Можно показать, что она является и состоятельной.

Смещение устраняется с переходом от к . При

этом вместо (17) имеем

. (20)

Для дисперсии оценки (17), равной дисперсии погрешности (18), можно получить [1-3]

, (21)

где - четвертый смешанный центральный момент системы (X Y ). При Y = X выражения (20) и (21) превращаются в (15), (16). Если система ( X Y ) распределена нормально, то и согласно (21)

Так как значения R_xy , D_x , D_y неизвестны, то практически используется приближение

. (22)

Среднее квадратическое значение погрешности (18) равно среднему квадратическому отклонению оценки (20):

. (23)

Оценка коэффициента корреляции определяется согласно

. (24)
Если оценки , получены в результате одной серии наблюдений, а оценка – врезультате другой, то их погрешности , – независимые случайные величины, являющиеся аргументами линейной функции:

. (25)

Значение рассчитывается согласно (15), доверительный интервал – по формуле (8).

3.4 Определение вероятности события

Экспериментальное значение вероятности Р некоторого события - это частость [1-3]

,(26)

причем число п появлений события в серии из N испытаний можно рассматривать как сумму N независимых случайных слагаемых:

,(27)

каждое из которых может принимать только два значения 1 и 0 с вероятностями P и 1 – P .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X_i :

. (28)

Погрешность оценки (26) равна

. (29)
Математическое ожидание погрешности и ее дисперсия:

. (30)

Таким образом, оценка (26) - несмещенная и состоятельная. Среднее квадратическое отклонение оценки (26)

.

На практике принимают

. (31)

3.5 Определение законов распределения случайной величины

Экспериментальное определение законов распределения случайных величин сводится к определению оценок вероятностей, математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений [1-3].

Если случайная величина X - дискретная, то определяются , и оценки значений функции вероятности или оценки значений функции распределения .

Если случайная величина X - непрерывная, то определяются М_х , D_х и оценки f_x ( x ), F_x ( x ) плотности вероятности f_x ( x ) и функции распределения F_x ( x ).

При оценивании законов распределения непрерывной случайной величины процесс обработки экспериментальных данных - реализаций х ,...,x_N ,, начинается с выбора границ а и b > а интервала, заключающего возможные значения X , и деления этого интервала на k равных элементарных промежутков с = (b - a )/ k .

При расчете с значения а и b следует для удобства округлять,

принимая, например, вместо b = 3,341,а = -2,63 значения 3,4 и -2,7. Во всех случаях округление производится в сторону увеличения разности b- а. Значение k выбирается в пределах от 8 до 20. Удобно принять k = 10.

После этого определяют границы всех элементарных промежутков и составляют таблицу (табл.1), в которой х'₀ =а, x ' _k = b . Значение - это число реализаций X ,оказавшихся в пределах j-ого интерва­ла от , до . Значения и :

(32)
. (33)

При группировке реализаций Xпо отдельным интервалам может оказаться что некоторые из них придутся точно на границу двух смежных промежутков. В этих случаях необходимо прибавить к чис­лам и смежных интервалов по 1/2.

Таблица 1

… … … …

По данным таблицы могут быть построены эмпирические гистограмма и график функции распределения.

Затем возникает весьма сложная задача подбора аналитического закона распределения, достаточно хорошо согласующегося с результатами эксперимента.

Основанием для выбора аналитического выражения плотности вероятности f_x ( x ) могут служить соображения о том, чтобы простейшие числовые характеристики теоретической случайной величины были равны экспериментальным значениям этих характеристик. Если, например, теоретический закон определяется двумя параметрами, то их выбирают так, чтобы совпали два момента ( ).

3.6 Критерий интервальных оценок

Располагая результатами эксперимента согласно (31) рассчитывают средние квадратические отклонения:

;
. (34)

Согласно (8) рассчитываются доверительные интервалы

и границы изменения ВВХ

, (35)

соответствующие доверительной вероятности и .

Располагая выбранным аналитическим выражением плотности вероятности f_x ( x ), рассчитываются теоретические значения:

(36)

Критерием согласия теоретического и экспериментального распределения является соблюдение неравенств:

(37)

Критерий

Рассчитав согласно (35), находят значения

(38)

и рассчитывают

. (39)

Если расхождение между экспериментальным и теоретическим распределением несущественно, то распределение случайной величины (39) близко к нормальному с математическим ожиданием и

средним квадратическим отклонением , где s - так называемое число степеней свободы и согласно (8) с доверительной вероятностью р_д = 0,997 справедливо неравенство

. (40)

Число степеней свободы s = k - и - это разность между числом интервалов k , выбираемых произвольно, и числом условий и, которым должно удовлетворять эмпирическое распределение случайной величины. Этих условий обычно три: сумма всех равна единице, математическое ожидание равно дисперсия равна

3.7 Сравнение математических ожиданий и дисперсий

Особой задачей, возникающей при экспериментальном исследовании случайных величин, является сравнение экспериментальных математических ожиданий и дисперсий , полученных в результате N₁ , и N₂ независимых измерений случайных вели­чин X₁ и X₂ .

Для проверки гипотезы или, что то же самое , рассчитывается критерий [1-3]

. (41)

Если , гипотезу можно признать справедливой с доверительной вероятностью = 0,9972 .

3.8 Использование модели случайных стационарных процессов для анализа динамики численности птиц

Для анализа ряда многолетних наблюдений динамики численности птиц были применены методы стационарных случайных процессов.

Численность (плотность) птиц рассчитывалась на объединенную площадь лесов и на объединенную площадь всех исследованных местообитаний.

С помощью метода автокорреляции были получены коррелограммы процессов изменения численности птиц за 12-летний период на объединенных площадях и площадях всех лесов. Подсчитаны коэффициенты автокорреляции и частной автокорреляции (наибольший коэффициент автокорреляции R1=0,63; частной автокорреляции Rpar 1=0,63). При исследовании коррелограмм не обнаружились характеристические свойства моделей скользящей средней и авторегрессионной модели, т.е. конечная протяженность автокорреляционной функции и частной автокорреляционной функции. Поэтому была выбрана смешанная модель авторегрессии-скользящей средней (АРСС).

Экологический смысл авторегрессионных параметров заключается в отражении периодичности изменения численности птиц в сезонном и многолетнем рассмотрении. Использование скользящей средней можно обосновать, ссылаясь на известное высказывание о том, что одним из простейших методов, позволяющих элиминировать случайные колебания эмпирической линии регрессии, является метод выравнивания способом скользящей средней (Биоиндикация…, 1994).

Подобранная модель имеет вид:

xt = xt-1+at - θat-1,

где x – прогнозирующая переменная авторегрессии,

а – скользящей средней,

θ – параметры смешанной модели.

Проверка адекватности модели, точнее, ее прогнозных качеств, производилась на усеченных рядах данных (10-летних). Прогноз рассчитывался на два года вперед и сравнивался с эмпирическими данными. Подсчет коэффициентов корреляции между опытными данными и прогнозом показал сильную связь для лесных местообитаний (непараметрический коэффициент корреляции Спирмена R=0,81) и меньшую связь для объединенных площадей (R=0,53). Ряды остатков подобранных моделей не обнаруживают какой-либо остаточной структуры, судя по полученным коррелограммам остатков. Заниженные прогнозные значения модели процесса не противоречат полученному нами ранее тренду небольшого многолетнего уменьшения численности птиц.

Построенная модель может служить для анализа и прогноза численности птиц.

Литература

1. Потемкин В.Г. МАТЛАБ. Справочное пособие, Изд-во «Диалог МИФИ», 1998 г.

2. Барабашева Ю.М., Девяткова Г.Н., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Некоторые модели динамики численностей взаимодействующих видов с точки зрения математической статистики // Журнал общей биологии. – 1996. 57, N.2. – С.123 – 139.

3. Боголюбов А.Г. Математические модели эколого-генетических процессов конкуренции видов. Авто диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. С.-Пб. 1995. – 34 с.

4. Болсуновский А.Я. Эколого-биофизические механизмы доминирования микроводорослей в культуре и водоеме. Авто диссертации на соискание ученой степени доктора биологических наук. Красноярск. 1999. – 48 с.

5. Гаузе Г.Ф. Исследования над борьбой за существование в смешанных популяциях // Зоол. журн. – 1935. 14, N.4. – С.243 – 270.

6. Замолодчиков Д.Г., Левич А.П., Рыбакова С.Ю. Исследование адекватности теоретико-категорной модели фитопланктонных сообществ // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Т.15. Л.: Гидрометеоиздат. 1993. – С.234 – 246.

7. Зотин А.И., Зотин А.А. Направление, скорость и механизмы прогрессивной эволюции: Термодинамические и экспериментальные основы. М.: Наука. 1999. – 320 с.

8. Крупаткина Д.К. Особенности роста фитопланктона в связи с содержанием биогенных элементов в клетках // Биология моря. – 1978. Вып.47. – С.18 – 25.

9. Кучай Л.А. Использование концепции клеточной квоты в моделях динамики фитопланктона. ДЕП 8567-В85. ВИНИТИ. 1985. – 35 с.

10. Левич А.П. Структура экологических сообществ. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1980. – 181 с.

11. Левич А.П., Булгаков Н.Г., Замолодчиков Д.Г. Оптимизация структуры кормовых фитопланктонных сообществ. Под редакцией проф. В.Н.Максимова. М.: Товарищество научных издателей КМК. 1996б. – 136 с.

12. Минкевич И.Г., Андреев С.В., Ерошин В.К. Влияние органического и минерального субстратов на величину затрат клеток на поддержание // Микробиология. – 1998. 67, N.2. – С.176 – 181.

13. Печуркин Н.С. Энергетические аспекты развития надорганизменных систем. Новосибирск: Наука. 1982. – 112 c.

14. Приц А.К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций. Калининград. 1974. – 123 c.

15. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. Учебное пособие. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1993. – 302 c.

16. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. М.: Мир. 1969. – 215 c.

17. Свирежев Ю.М. Феноменологическая термодинамика взаимодействующих популяций // Журнал общей биологии. – 1991. 52, N.6. – С.840 – 853.

18. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1978. – 352 с.

19. Силкин В.А., Хайлов К.М. Биоэкологические механизмы управления в аквакультуре. Л.: Наука. 1988. – 230 c.

20. Страшкраба М., Гнаук А. Пресноводные экосистемы. Математическое моделирование. М.: Мир. 1989. – 376 c.