Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов
Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?
Решение:
Условие задачи:
стоимость
3
4
Состав удобрения
Количество удобрений
Необходимый минимум
обычное
улучшенное
Азотное
3
2
10
Фосфорное
4
6
20
Калийное
1
3
7
1 составим математическую модель:
Обозначим через xj
количество кг удобрения
x1
- количество кг обычного удобрения;
x2
- количество кг улучшенного удобрения.
Цель – наименьшая стоимость удобрения,
F= 3x1
+4x2
→min
Ограничения:
По азотным удобрениям 3х1
+2х2
≥10
По фосфорным удобрениям 4х1
+6х2
≥20
По калийным удобрениям 1х1
+3х2
≥7
По смыслу х1
≥0 х2
≥0
Решим графическим способом.
Первое ограничение (по азоту) имеет вид 3х1
+2х2
≥10 найдем пересечение с осями координат, т. е. 3х1
+2х2
=10 – l1
Х1
0
10/3
Х2
5
0
0<10, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О
Второе ограничение 4х1
+6х2
=20 – l2
Х1
0
5
Х2
10/3
0
0<20, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О
Третье ограничение х1
+3х2
=7- l3
Х1
0
7
Х2
7/3
0
0<7 верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О
Для определения направления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с1
;с2
), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (3;4).
Построим линию уровня l0,
приравняем целевую функцию к 0
3х1
+4х2
=0
Х1
0
-4
Х2
0
0
Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлению вектора – градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точку целевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку минимума:
(.) А = l1
∩l3
3х1
+2х2
=10, *3 «-»
4х1
+6х2
=20
5х1
=10
х1
=2
Подставим в первое уравнение 3*2+2х2
=10,
2х2
=10-6,
2х2
=4,
х2
=2.
Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.
График:
Ответ: чтобы обеспечить эффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14 ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного. Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞
2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
тип сырья
норма расхода сырья на одно изделие
запасы сырья
А
Б
В
Г
1
2
1
3
2
200
2
1
2
4
8
160
3
2
4
1
170
цена изделия
5
7
3
Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья 3 вида;
- Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
Сформулируем экономико – математическую модель задачи.
Переменные:
х1
- количество единиц продукции А,
х2
- количество единиц продукции Б,
х3
- количество единиц продукции В,
х4
- количество единиц продукции Г.
Целевая функция: F=5х1
+7х2
+3х3
+6х4
→max,
Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции
Ограничение:
По 1 типу ресурса: 2х1
+х2
+3х3
+2х4
≤200,
По 2 типу ресурса: х1
+2х2
+4х3
+8х4
≤160,
По 3 типу ресурса: 2х1
+4х2
+х3
+х4
≤170,
По смыслу х1
;х2
;х3
;х4
≥0.
Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.
Полученное решение означает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 ед продукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 ед сырья.
Сформулируем экономико–математическую модель двойственной задачи
Переменные:
у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,
у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,
у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.
Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b1
*y1
+b2
*y2
+…→min
G=200у1
+160у2
+170у3
→min
Ограничения:
Вы исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.
a11*
y1
+a12
*y2
+…≥c1
a12
*y1
+a22
*y2
+…≥c2
по виду продукции А: 2у1
+у2
+2у3
≥5,
по виду продукции Б: у1
+2у2
+4у3
≥7,
по виду продукции В: 3у1
+4у2
+у3
≥3,
по виду продукции Г: 2у1
+8у2
+у3
≥6
по смыслу у1
; у2
; у3
≥0
Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:
По 2 теореме- yi
*(∑aij
*xj
-bi
)=0 и xj
(∑aij
*yi
-cj
)=0,
В нашей задачи х1=80>0 и х4=10>0, поэтому первое и четвертое ограничение двойственной задачи обращаются в равенство:
2у1
+у2
+2у3
=5,
2у1+8у2
+у3
=6,
у1
=0,
у2
+2у3
=5,
8у2
+у3
=6,
Выразим через у2
=5-2у3,
8*(5-2у3
)+у3
=6,
40-16у3
+у3
=6
-15у3
=-34,
у3
=34/15,
у2
=5-2*34/15=7/15,
у1
=0; у2
=7/15; у3
=34/15
G=200*0+160*7/15+170*34/15=460
Проверим выполняемость первой теоремы двойственности:
Fmax=Gmin=460
В нашей задачи в план выпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3 ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.
Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения у:
2*0+7/15+2*34/15=5=5,
0+2*7/15+4*34/15=10≥7,
3*0+4*7/15+34/15=4,133≥3,
2*0+8*7/15+34/15=6=6.
Так как запас ресурсов 1, 2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на 5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi
приводит к увеличению или уменьшению F.
F=∆bi
*yi
F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667, следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение 3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.
По условию задачи для изготовления изделия Д используется:
Сырье 1 типа а*1
=2,
Сырье 2 типа а*2
=2,
Сырье 3 типа а*3
=2
Ожидаемая прибыль от данного изделия Д с*=10 ден ед.
Для оценки целесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход
е=с*-∑а*i
*yi
е=10-(2*0+2*7/15+2*34/15)=4,533
следовательно, целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,533>0.
3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij
(i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
предприятия
коэффициенты прямых затрат
конечный продукт
1
2
3
1
0,2
0,1
0,2
150
2
0
0,1
0,2
180
3
0,1
0
0,1
100
Решение:
Найдем продуктивность А с помощью достаточного условия ||A||max(0,3;0,2;0,5)=0,5<1
Следовательно матрица А продуктивна
Подготовим таблицу матричного баланса
предприятия
конечный
валов. пр
1
2
3
1
50,22293
23,08917
27,80255
150
251,1146
2
0
23,08917
27,80255
180
230,8917
3
25,11146
0
13,90127
100
139,0127
усл. ч. пр.
175,7803
184,7134
69,50637
430=430
вал. вып
251,1146
230,8917
139,0127
621,0191=621,0191
Используем соотношение Х=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валового выпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичная матрица),
1
0
0
Е = 0
1
0
0
0
1
1
0
0
0,2
0,1
0,2
0,8
-0,1
-0,2
Е-А=
0
1
0
-
0
0,1
0,2
=
0
0,9
-0,2
0
0
1
0,1
0
0,1
-0,1
0
0,9
Найдем обратную матрицу (Е-А)’ используя функцию в Excel (fx/математическая/МоБР),
1,289809
0,143312
0,318471
(Е-А)’=
0,031847
1,11465
0,254777
0,143312
0,015924
1,146497
Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ)
1,289809
0,143312
0,318471
150
251,1146
(E-A)’*Y=
0,031847
1,11465
0,254777
*
180
=
230,8917
0,143312
0,015924
1,146497
100
139,0127
Рассчитаем величины производственных затрат по формуле
Xij
=aij
*xj
aij- технологическая матрица
xj-строка валового выпуска,
Х11=0,2*251,1146=50,22293
Х12=0,1*230,8917=23,08917
Х13=0,2*139,0127=27,80255
Х21=0*251,1146=0
Х22=0,1*230,8917=23,08917
Х23=0,2*139,0127=27,80255
Х31=0,1*251,1146=25,11146
Х32=0*230,8917=0
Х33=0,1*139,0127=13,90127
Для расчета величин условно чистой продукции используем соотношение баланса для производства:
Z=xj-∑xij
xij – по столбцу
Z1=251.1146-(50.22293+0+25.11146)=175.7803
Z2=230.8917-(23.08917+23.08917+0)=184.7134
Z3=139.0127-(27.80255+27.80255+13.90127)=69.50637
Проверим баланс конечной и условно чистой продукции
Заполняем таблицу, подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.
4. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.
Недели
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Спрос на кредитные ресурсы
3
7
10
11
15
17
21
25
23
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y(t)=a0
+a1
t параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитывать при доверительной вероятности р=70%)
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение:
Недели
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Спрос на кредитные ресурсы
3
7
10
11
15
17
21
25
23
Построим график:
Проверим на анормальность - 9 неделю, у9
=23
Оставшиеся наблюдения
Недели
1
2
3
4
5
6
7
8
Спрос на кредитные ресурсы
3
7
10
11
15
17
21
25
Для оставшихся рассчитаем: уср
- среднее значение; Sy
– средне квадратичное отклонение, используя функции Excel;
Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.
Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Еотн
= |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)
относит. погр-ти
28,88888889
6,19047619
7,333333333
8,787878788
2,222222222
2,156862745
4,444444444
8,933333333
10,72463768
Eотн ср
=8,853564 – хороший уровень точности модели
Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:
у10
=1,166666667+2,7*10=28,16666667
у11
=1,166666667+2,7*11= 30,86666667,
Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.
При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен
U2
=t*Se*√1+1/n+(t*-t’)2
/∑(t-t’ср
)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5)2
/60= 2,11426
Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза uниж
=y10
-u1
; uверх
=у10
+u1
; uниж
=y11
-u1
; uверх
=у10
+u1
uниж
=28,16666667-1,997788=26,16888
uверх
=28,16666667+1,997788=30,16445
uниж
=30,86666667-2,11426=28,75241
uниж
=30,86666667+2,11426= 32,98093
Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.