1. Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування
Будь-яке національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо. Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість, але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін. Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких впливів.
Метод міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні макроекономічні показники.
Розглянемо діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху). Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.
Нехай кількість всіх видів ресурсів
позначимо їх
. Це можуть бути метал, електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть випускатися
типів товарів .
Технологією виробництва товарів
назвемо набір чисел
, що показують, яка кількість ресурсів
необхідні для випуску однієї одиниці товару
. Так виробництво товарів
можна подати як конвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості
а в кінці конвеєра виходить готова одиниця продукту .
Отже, можна скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості виробництва. Позначаємо її через
.
Нехай задані кількості
ресурсів
,
, які можуть бути використані у виробництві, тоді
– вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор
, що показує, яка кількість товарів
буде вироблена.
Вважатимемо технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час випуску
одиниць продукту
описуються вектором
, причому одночасне функціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.
Отже, витрати ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва
, описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:
або в матричній формі вектором
. Умова обмеженості ресурсів записується у вигляді
. Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір товарів
, який задовольняє обмеженням
,
. Як правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякому розумінні плану.
Розглянемо можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни
на продукти виробництва
. Потрібно визначити план виробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:
,
,
.(1)
Така постановка задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай заданий вектор
, що визначає один комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай
означає кількість комплектів, що випускають. Розглянемо задачу
,
,
,
.(2)
Тут нерівність
означає, що вектор
містить не менше
повних комплектів
продукції, що випускається.
Моделі (1), (2), хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими. Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі необхідні ресурси
,
доступні. Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.
Незважаючи на розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування. Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його модифікації.
2. Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва
Основою багатьох лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь виробничий сектор народного господарства розбитий на
чистих галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не обов'язково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.
Припустимо тепер, що в деякий момент часу, наприклад, у році
, за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.
Таблиця 1
Галузі
1
2
…
Продукти
1
…
2
…
…
…
…
…
…
…
…
Валовий випуск
…
Кінцеве споживання
…
Величини
вказують обсяг продукту з номером
, витрачений галуззю
в процесі виробництва за звітний період. Числа ,
дорівнюють обсягу продукції (валовому випуску)
-ї галузі за той самий період, а значення
–
обсягу продукції
-ї галузі, що був спожитий у невиробничій сфері. Числа
,
показують розподіл
-го продукту на виробничі потреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися співвідношення
,
.(3)
Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.
Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.
Якщо всі елементи
-го стовпця таблиці 1 розділити на
, то число
розумітимемо як обсяг продукції
-ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту
-ї галузі. Числа
,
характеризують технологію
-ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат
-ї галузі. Під
розумітимемо частку продукції
-ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця
, яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.
Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва
одиниць продукції галузі
необхідно затратити
одиниць галузі
, тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).
Під час виробництва набору продукції
витрати продукції
-ї галузі складуть у цьому випадку величину
.(4)
Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює
. Якщо
– вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція
-ї галузі дорівнює
,
(5)
або в матричній формі
. (6)
Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків
, то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень
. Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто
(7)
при заданій матриці
.
3. Розв’язок моделі Леонтьєва
За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці
невід’ємні:
,
. У цьому випадку говорять, що матриця
невід’ємна й записують
. Невід’ємні компоненти заданого вектора
або .
Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей
або
. Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці
.
Матриця
називається продуктивною, якщо існують два вектори
і
, такі, що .
Продуктивність матриці
означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.
Розглянемо умови продуктивності матриці
:
1) послідовні головні мінори матриці
позитивні, тобто для кожного
виконана нерівність
;
2) матриця
невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця
й всі її елементи невід’ємні:
3) матричний ряд
збігається, причому
.
4) максимальне власне число
.
Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором
потрібно знайти вектор
, для якого
. Перепишемо систему (7) у вигляді
, де
– одинична матриця. Якщо матриця
продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця
існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд
. Через те, що
й
, .
Особливістю матриці
в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.
4. Властивості невід’ємних матриць
Нехай
– квадратна матриця розміром
з невід’ємними елементами
,
;
підмножина множини
натуральних чисел
. Говорять, що
ізольовано (щодо даної матриці
), якщо в матриці
при
, .
Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини
означає, що галузі з номерами
під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин
. Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини
, може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб
,
, що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці
, то матриця
матиме вигляд
,(8)
де
й
– квадратні підматриці розмірів
і
відповідно,
– .
Матриця
називається нерозкладною, якщо в множині
немає ізольованих підмножин, крім самої
і порожньої множини.
Інакше кажучи, матриця
нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).
Нерозкладність матриці
в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.
Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:
1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо
-й рядок матриці
нульовий, то множина
ізольована.
2. Якщо
– нерозкладна й
то
.
Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця
має таке власне число
, що й модулі всіх інших власних чисел матриці
не перевищують
; числу
відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор
, всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати .
4. Лема: нехай
– нерозкладна матриця,
,
,
, крім того, у вектора
є нульові координати та
, тоді у вектора
знайдеться додатна координата
, причому .
5. Лема: якщо матриця
нерозкладна,
,
, то з нерівності
випливає, що
, .
5. Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат
Нехай розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному виразі
.
Для виробництва одиниці продукції
-ї галузі необхідно затратити набір продуктів
, що описується
-м стовпцем матриці
. Але для виробництва цього набору
необхідно безпосередньо затратити набір продуктів, який ми позначимо через .
Елементи вектора витрат
називаються коефіцієнтами непрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць
-го продукту
.
Матриця
, складена зі стовпців
,
, називається матрицею непрямих витрат першого порядку й визначається відповідно до формули
.
Непрямими витратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямих витрат першого порядку, тобто
, або в матричній формі
де
– матриця коефіцієнтів непрямих витрат другого порядку.
Продовжуючи за аналогією, назвемо непрямими витратами порядку
прямі витрати на забезпечення непрямих витрат порядку
. Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат
-го порядку одержимо, помноживши
на
. (9)
Визначимо тепер повні витрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цього матриця
, складена з коефіцієнтів повних витрат, утвориться як сума
(10)
або з огляду на те, що
, маємо
(11)
Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики структури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва з боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних зв'язків між галузями.
З'ясуємо такий момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно великими?
Розглянемо матрицю
.
Очевидно, що елементи матриці
скінченні разом з елементами матриці
тільки в тому випадку, якщо скінченна сума ряду
. Крім того, відповідно до умови (3) його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивності матриці
, причому
. Отже, у випадку продуктивності матриці
й тільки в цьому випадку матриця повних витрат
скінченна, її визначають відповідно до формули
.
Для великих значень
важко обчислити зворотну матрицю. В цьому випадку матрицю
, як і матрицю
, можна обчислити приблизно, користуючись методом ітерацій. На першій ітерації
, на другій ітерації
, на третій
, на
-й ітерації
. Часткова сума
відрізняється від часткової суми
на величину
. Через те що ряд збігається,
при
. Тому за скінченну кількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.
Коефіцієнти
матриці
мають таку економічну інтерпретацію: якщо випуск кінцевого
-го продукту потрібно збільшити на одиницю, то валовий випуск
-го продукту має бути збільшений на .
6. Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів
Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображає лише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даній моделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всі проміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в них з'являється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєї продукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості. Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмежені наявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.
Розглянемо проблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделі Леонтьєва.
Зіставимо кожній
-ї галузі число
, що виражає необхідні витрати трудових ресурсів при одиничній інтенсивності даного технологічного процесу.
Нехай
– вектор прямих витрат праці й
– матриця прямих матеріальних витрат. На виробництво одиниці продукту виду
необхідно безпосередньо затратити набір продуктів
і працю в кількості
. Однак на виробництво даного набору продуктів у свою чергу необхідно затратити
одиниць праці. Ця величина називається непрямими витратами праці першого порядку на одиницю
-го продукту й позначається через .
Вектор непрямих витрат праці першого порядку
визначається таким виразом:
.
Міркуючи аналогічно тому, як це робилося під час побудови коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат, дійдемо висновку, що вектор
непрямих витрат праці порядку
визначається таким співвідношенням:
або
.
Повні витрати праці
є сумою прямих і непрямих витрат праці
.
У матричному записі, вважаючи, що
і, з огляду на те, що
, маємо
або
.
Якщо матриця
продуктивна, то суму в дужках можна замінити на
й, отже,
– матриця повних витрат праці.
Зменшення повних витрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшення продуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повних витрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення об'єктивної основи ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат праці використовують ітераційну процедуру
,
що дозволяє з заданою точністю визначити дані коефіцієнти.