ГОУ ВПО Омский государственный технический университет
Кафедра «Экономика и организация труда»
Контрольная раБОтА
по дисциплине «Методы и модели в экономике»
Вариант 28
Выполнил:
студент гр. ЗУТ-217
Чупраков Д. А.
Проверила:
__________ Е. Н. Казанцева
«___» ___________ 2009 г.
Омск 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача №1
1. Составить математическую модель задачи.
Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.
Магазины Склады
№1
№2
№1
20 руб.
45 руб.
№2
30 руб.
20 руб.
№3
40 руб.
35 руб.
Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?
Решение
Введем переменные
, представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.
Поскольку суммарные запасы
= 65 (т) и суммарные потребности
= 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный
пункт потребления
. Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
Пунктыпроизводства, i
Пункты потребления, j
Объем производства
1
2
3
1
20
45
0
15
2
30
20
0
20
3
40
35
0
30
Объем потребления (спрос)
25
35
5
65
Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пункты
производства, i
Пункты потребления, j
Объем производства
1
2
3
1
20
15
45
-
0
-
15/0
2
30
10
20
10
0
-
20/10/0
3
40
-
35
25
0
5
30/5/0
Объем потребления
25/10/0
35/25/0
5/0
65
Опорный план
, найденный методом северо-западного угла имеет вид:
(т) или
= (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).
Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид:
(руб.).
Итерация 1.
Шаг 1.1. Вычисление потенциалов
20
15
45
-
0
-
u1
=0
30
10
20
10
0
-
u2
=-10
40
-
35
25
0
5
u3
=-25
v1
=20
v2
=10
v3
=-25
Система для плана
имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: v1
=20, v2
=10, u2
=-10, v3
= - 25, u3
= - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).
Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок
.
0
-35
-25
u1
=0
0
0
-15
u2
=-10
∆1
=
10
-10
-5
u3
=-25
v1
=20
v2
=10
v3
=-25
Так как имеются
>0, то переходим к шагу 3.
Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок.
соответствует клетка К31
.
-30
10
+20
10
∆1
=
+40
-
-35
25
Θ =
= 10. Составим новый план перевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1. Вычисление потенциалов
20
15
45
-
0
-
u1
=0
30
-
20
20
0
-
u2
=-5
40
10
35
15
0
5
u3
=-20
v1
=20
v2
=15
v3
=-20
Система для плана
имеет вид:
Полагая u1
=0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).
Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок
.
0
-35
-20
u1
=0
-5
0
-15
u2
=-5
∆1
=
0
0
0
u3
=-20
v1
=20
v2
=15
v3
=-20
Так как все оценки
≤0, следовательно, план
- оптимальный.
Х оптим
= (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции:
(руб.).
Ответ: Х оптим
= (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.
Задача №2
2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции
, если
,
.
Решить симплекс-методом
РЕШЕНИЕ
а) Решим задачу графически при
z = 3x1
– 2x2
→ max
,
.
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).
x2
16
5
Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1
– 2x2
→ max
Строим вектор
из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора
. Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:
.
б) Решим задачу графически при
z = 3x1
– 2x2
→ min
,
.
Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).
x2
16
5
Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1
– 2x2
→ min
Строим вектор
из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора
. Поэтому Е – это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:
.
Ответ: а) Функция z = 3x1
– 2x2
→ max и равна 21 в точке (7;0).
б) Функция z = 3x1
– 2x2
→ min и равна - 2 в точке (0;1).
Задача №3
Решить методом потенциалов транспортную задачу, где
– цена перевозки единицы груза из пункта
в пункт
.
Решение
Поскольку суммарные запасы
= 35 (ед. груза) и суммарные потребности
= 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный
пункт производства
. Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы
Пунктыпроизводства, i
Пункты потребления, j
Объем производства
1
2
3
4
1
6
8
4
2
10
2
5
6
9
8
10
3
4
2
3
8
15
4
0
0
0
0
13
Объем потребления (спрос)
5
8
15
20
48
Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пункты
производства, i
Пункты потребления, j
Объем производства
1
2
3
4
1
6
5
8
5
4
-
2
-
10/5/0
2
5
-
6
3
9
7
8
-
10/7/0
3
4
-
2
-
3
8
8
7
15/7/0
4
0
-
0
-
0
-
0
13
13/0
Объем потребления
5/0
8/3/0
15/8/0
20/13/0
48
Опорный план
, найденный методом северо-западного угла имеет вид: