Расчет и анализ статистических показателей

Содержание

Введение

Раздел 1. Расчет абсолютных, относительных, средних величин, показателей вариации, построение и анализ рядов распределения, дисперсионный и корреляционно-регрессионный анализ

1.1 Произвести первичную равноинтервальную группировку по двум признакам

1.2 Рассчитать относительные величины

1.3 По данным группировки построить

1.4 Рассчитать средние величины

1.5 Рассчитать показатели вариации по сгруппированным данным

1.6 Рассчитать дисперсии и произвести дисперсионный анализ

1.7 Построить кривые распределения

1.8 Произвести анализ ряда распределения

1.9 Произвести аналитическую группировку по двум признакам, построив аналитическую таблицу

Раздел 2. Ряды динамики

2.1 Рассчитать показатели ряда динамики

2.2 Рассчитаем недостающие ряды динамики

2.3 Построить графики уровней ряда, темпов роста, темпов прироста

2.4 Построить по результатам выравнивания прогноз. Рассчитать доверительные интервалы

2.5 Построим прогноз на графике

Раздел 3. Индексы

3.1 Рассчитать индивидуальные индексы потребительских цен

3.2 Построить графики по цепным и базисным индексам

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Общая теория статистики - одна из основных дисциплин в системе экономического образования. Работая с цифрами, каждый экономист должен знать, как получены те или иные данные, какова их природа, насколько они полны и достоверны. Кроме того, он должен уметь использовать различные статистические методы анализа массовых явлений.

Статистические методы позволяют разрабатывать стратегию развития фирмы на основе прогнозирования динамики основных показателей и соотношение между ними. Динамика макроэкономических показателей дает основания для разработки перспективных планов развития экономики в целом, измерения эффективности общественного продаж и т.д. Несмотря на разнообразие сфер применения статистики, имеются общие методы статистической работы, которыми нужно руководствоваться всегда и везде.

Статистик имеет дело с числовой и нечисловой информацией, с большими и малыми выборками, с вычислениями, таблицами и графиками. Имеется множество отечественных и зарубежных пакетов прикладных программ статистической обработки данных на персональных компьютерах и больших ЭВМ.

Целью данной курсовой работы является приобретение навыков по расчету и анализу обобщающих статистических показателей, а также представлений об основных статистических методах, их возможностях и границах применения.

Раздел 1. Расчет абсолютных, относительных, средних величин, показателей вариации, построение и анализ рядов распределения, дисперсионный и корреляционно-регрессионный анализ

1.1 Произвести первичную равноинтервальную группировку по двум признакам

Для того чтобы произвести группировку, необходимо вычислить количество групп в ней и величину интервала в группе. Для этого воспользуемся следующими формулами:

Формула Стерджесса:

где - количество групп,

- численность совокупности.

Величина интервала i:

где - величина интервала;

- количество групп;

- максимальное значение признака;

- минимальное значение признака.

Рассчитаем количество групп и величину интервала и произведем группировку для первого признака: объем продаж.

lg 27=1,43

k=6

Итак, величина интервала равна 88, проведем группировку данных. В качестве величины интервала выбираем 90.

Таблица 1.1 Первичная группировка

Данная группировка не удовлетворяет закону нормального распределения, поэтому необходимо провести вторичную группировку, изменив при этом величину интервала с 90 до 110.

Таблица 1.2 Вторичная группировка

Данная группировка удовлетворяет закону нормального распределения.

Рассчитаем количество групп, величину интервала и произведем первичную группировку для второго признака: численность работников, чел.

lg 27=1,43

k=6

Примем величину интервала - 9, проведем группировку данных. Результаты поместим в Таблице 1.3

Таблица 1.3 Первичная группировка

Данная группировка удовлетворяет закону нормального распределения

В данной паре признаков первый признак - объем продаж - является результативным, т.е. зависимым, а второй - численность рабочих - факторным. Дальнейшие расчеты будут выполняться по второму признаку.

1.2 Рассчитать относительные величины

а) структуры;

б) координации, выбрав за базу одну из групп в соответствии с экономическим содержанием.

Относительные величины - результат сопоставления двух статистических показателей, дает цифровую меру их соотношения. Относительные величины широко используются в статистическом исследовании, позволяет провести сравнение различных показателей, и делает такое сравнение наглядным.

а) оносительная величина структуры характеризует долю отдельных частей в общем объеме совокупности и выражается в долях единицы, процентах, промилях. Ее получают путем деления численности каждой группы, входящей в совокупность, на численность всей совокупности. Относительная величина структуры представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого.

Рассчитаем относительную величину структуры для объема продаж (первый признак).

Относительная величина структуры в процентах рассчитывается путем умножения относительной величины структуры в долях на 100, в промилле - на 1000.

б) Относительная величина координации характеризует соотношение отдельных частей совокупности, и определяется как отношение частоты в каждой из групп к частоте, выбранной за базу.

Рассчитаем относительную величину координации для объема продаж. Выберем за базу максимальную частоту встречаемости признак - 8. Результаты расчетов поместим в Таблице 2.1:

Таблица 2.1 Относительные величины структуры для объема продаж

Относительная величина структуры для численности работников рассчитывается аналогично. Результаты поместим в Таблице 2.2

Таблица 2.2. Относительные величины структуры для численности работников

1.3 По данным группировки построить

а) полигон распределения,

б) кумуляту;

в) секторную диаграмму.

а) Построим полигон распределения объема продаж, используя для этого данные Таблицы 1.2.

Рисунок 1. Полигон распределения (объем продаж)

Условные обозначения:

х - номер интервала;

f- частота встречаемости признака

Построим полигон распределения для численности рабочих, используя для этого данные Таблицы 1.4

Рисунок 2. Полигон распределения (численность рабочих)

Условные обозначения:

х - номер интервала;

f- частота встречаемости признака

б) Преобразованной формой вариационного ряда является ряд накопленных частот. Это ряд значений числа единиц совокупности с меньшими и равными нижней границе соответствующего интервала значениям признака. Такой ряд называется кумулятивным. Можно построить кумулятивное распределение "не меньше, чем", в этом случае график называется кумулятой.

Построим кумуляту для объема продаж. Для этого необходимо найти кумулятивные ряды накопленных частот (Таблица 3.1).

Таблица 3.1. Кумулятивные ряды накопленных частот для объема продаж

Рисунок 3. Кумулята по объему продаж

Условные обозначения:

х - средняя зарплата;

f- накопленная частота.

Построим кумуляту для численности работников. Для этого необходимо найти кумулятивные ряды накопленных частот (Таблица 3.2).

Таблица 3.2 Кумулятивные ряды накопленных частот для численности работников

Рисунок 4. Кумулята по численности работников

Условные обозначения:

х - стаж по специальности;

f- накопленная частота.

Графики являются важным средством выражения и анализа статистических данных, поскольку наглядное представление облегчает восприятие информации. Графики позволяют мгновенно охватить и осмыслить совокупность показателей - выявить наиболее типичные соотношения и связи этих показателей, определить тенденции развития охарактеризовать структуру и т.д.

Секторная диаграмма представляет собой графическое изображение статистических данных при помощи секторов круга. При построении секторной диаграммы круг принимается за целое (100%) и разбивается на секторы, дуги которых пропорциональны значениям отдельных частей изображающих величин.

в) Используя данные Таблицы 2.1, построим секторную диаграмму для первого признака.

Рисунок 5. Структура распределения предприятий по уровню объема продаж

Условные обозначения:

- предприятия с объемом продаж 5100-5210

- предприятия с объемом продаж 5210-5320

- предприятия с объемом продаж 5320-5430

- предприятия с объемом продаж 5430-5540

- предприятия с объемом продаж 5540-5650

Данная диаграмма наглядно изображает структуру распределения предприятий по уровню объема продаж.

Используя данные таблицы 2.2, построим секторную диаграмму для численности рабочих.

Рисунок 6. Структура распределения предприятий по численности рабочих

Условные обозначения:

- предприятия с численностью рабочих 465 - 474 чел.

Данная диаграмма наглядно изображает структуру распределения предприятий по численности работников.

1.4 Рассчитать средние величины

а) простую арифметическую;

б) взвешенную арифметическую двумя методами;

в) моду;

г) медиану;

д) построить графики моды и медианы.

Среди обобщающих показателей, характеризующих статистические совокупности, большое значение имеют средние величины. Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени. Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая; представляет собой частное от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество.

а) Для расчета простой арифметической воспользуемся формулой

где - средняя арифметическая;

- индивидуальное значение у каждой единицы совокупности;

- число единиц совокупности.

Рассчитаем среднюю арифметическую простую для объема продаж.

Таким образом, средняя арифметическая простая для объема продаж равна 5399,7

Рассчитаем среднюю арифметическую простую для второго признака - численности работников.

Средняя арифметическая простая для численности работников равна 447,8

б) Для расчета взвешенной арифметической воспользуемся формулой:

где - средняя арифметическая взвешенная,

- число групп,

- центральный вариант в i-й группе,

- частота i-й группы,

- сумма частот.

Рассчитаем взвешенную арифметическую для объема продаж по представленной формуле. Для этого вычислим середины интервалов в каждой группе. Результаты поместим в Таблице 1.

Таблица 1.

Середины интервалов в группах предприятий по объему продаж

Средняя арифметическая взвешенная для объема продаж равна 539,6.

Рассчитаем взвешенную арифметическую для численности работников по представленной формуле. Для этого вычислим середины интервалов в каждой группе. Результаты поместим в Таблице 2

Таблица 2. Середины интервалов в группах предприятий по коэффициенту сменности

Средняя арифметическая взвешенная для численности работников равна 447,8.

Рассчитаем взвешенную, используя метод моментов. Для расчета средней взвешенной арифметической с помощью этого метода используются следующие формулы:

где - средняя арифметическая взвешенная;

- момент;

- середина интервала, в котором признак проявляется с наибольшей частотой;

- величина интервала;

- частота i-й группы;

- расчетное значение вариантов;

- центральный вариант i-го интервала.

Найдем среднюю арифметическую взвешенную для объема продаж с помощью метода моментов. Выберем за число А центр данной группировки - 5485.

Найдем среднюю арифметическую взвешенную для численности работников с помощью метода моментов. Выберем за число А центр данной группировки - 442,5

Как видно из представленных расчетов, пути нахождения средней арифметической взвешенной не влияют на ее конечное значение.

в) Мода - это то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения, т.е. это наиболее часто повторяющееся значение признака. В сгруппированном ряду мода определяется по формуле:

где хМо - нижняя граница модального интервала;

iМо - величина модального интервала;

fМо - частота, соответствующая модальному интервалу;

fМо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

fМо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Рассчитаем моду для объема продаж.

Рассчитаем моду для численности работников.

Таким образом, мода для объема продаж равна 5474, для численности работников - 442,5

г) Медиана - значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на 2 равные по численности части. Для несгруппированного ряда медиана находится непосредственно по определению. Медиана в интервальном ряду распределения:

,

где хМе - нижняя граница медианного интервала;

i Ме - величина медианного интервала;

- полусумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fМе - частота медианного интервала.

Рассчитаем медиану для объема продаж по сгруппированному ряду.

,

Рассчитаем медиану для численности рабочих.

Итак, медиана для объема продаж равна 5420,8 и для численности работников - 446,2

д) Чтобы изобразить моду на графике, необходимо построить гистограмму. Гистограмма строится следующим образом. На оси х откладываются отрезки, равные длине интервала. На этих отрезках, как на основаниях, строятся прямоугольники, высота которых пропорциональна частоте. Из точки пересечения вспомогательных прямых опускается перпендикуляр, который и показывает моду на оси абсцисс.

Рисунок 1. Мода для объема продаж

Условные обозначения:

х - уровень средней зарплаты;

f- частота;

Мо - мода.

На графике наглядно показано значение моды - 5421 (для первого признака).

Рисунок 4.2 Мода для численности работников

Условные обозначения:

х - стаж по специальности;

f- частота;

Мо - мода.

Итак, мода равна 446 (по второму признаку).

Построим медиану для объема продаж и численности рабочих.

Условные обозначения:

х - средняя зарплата;

f- накопленная частота;

- медиана

Медиана для средней зарплаты равна - 5421.

Рисунок 4.4 Медиана для числености работников

Условные обозначения

х - средняя зарплата;

f- накопленная частота;

- медиана

Медиана для численности рабочих равна 446.

1.5 Рассчитать показатели вариации по сгруппированным данным

а) размах вариации;

б) среднее линейное отклонение;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициенты вариации, сделать выводы;

Вариацией значений какого-либо признака в совокупности называется различие его значений у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

а). Размах вариации рассчитывается по формуле:

где - размах вариации;

- максимальное значение признака;

- минимальное значение признака.

Рассчитаем размах вариации для объема продаж:

Рассчитаем размах вариации для численности работников:

Размах вариации для объема продаж равен 530, для численности работников - 48

б) Среднее линейное отклонение показывает, насколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего значения, и рассчитывается по формуле (для несгруппированного ряда):

где - среднее линейное отклонение;

- индивидуальное значение признака;

- простая средняя арифметическая;

- численность совокупности.

Рассчитаем среднее линейное отклонение по несгруппированному признаку для объема продаж.

Среднее линейное отклонение по сгруппированному признаку:

где - среднее линейное отклонение;

- центральный вариант i-го интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

- частота i-й группы.

Рассчитаем среднее линейное отклонение по сгруппированному признаку для объема продаж.

Итак, среднее линейное отклонение для объема продаж по несгруппированному признаку равно 9, а по сгруппированному признаку -8,6. Рассчитаем среднее линейное отклонение по несгруппированному признаку для численности рабочих.

Рассчитаем среднее линейное отклонение по сгруппированному признаку для численности рабочих.

в) Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения.

Среднее квадратическое отклонение по несгруппированному признаку:

где - среднее квадратическое отклонение;

- варианты совокупности;

- средняя арифметическая простая;

- численность совокупности.

Среднее квадратическое отклонение по сгруппированному признаку:

где - среднее квадратическое отклонение;

- центральный вариант i-го интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

- частота i-й группы.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по несгруппированным данным для объема продаж:

Среднее квадратическое отклонение по сгруппированному признаку для объема продаж равно:

Таким образом, среднее квадратическое отклонение по несгруппированным данным для объема продаж равно 133; по сгруппированному признаку - 130.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по несгруппированным данным для численности работников:

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по сгруппированным данным для численности работников

Итак, среднее квадратическое отклонение по несгруппированным данным для численности рабочих равно 20; по сгруппированному признаку - 19.

г) Для оценки вариации и ее значимости пользуются также коэффициентами вариации, которые дают относительную оценку вариации и позволяет сравнивать степень вариации разных признаков. Различают:

коэффициент осцилляции;

относительное линейное отклонение;

коэффициент вариации.

Коэффициент осцилляции показывает соотношение размаха вариации и средней арифметической и рассчитывается по формуле:

где - коэффициент осцилляции;

- размах вариации;

- простая средняя арифметическая.

Рассчитаем коэффициенты осцилляции:

для объема продаж

для численности работников

Относительное линейное отклонение показывает отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической:

где - относительное линейное отклонение;

- среднее линейное отклонение;

- простая средняя арифметическая.

Рассчитаем относительное линейное отклонение:

для объема продаж

для численности работников

Коэффициент вариации, показывает соотношение среднего квадратического отклонения и средней арифметической:

где V - коэффициент вариации; - среднее квадратическое отклонение; - средняя арифметическая.

Рассчитаем коэффициент вариации по сгруппированным данным:

для объема продаж:

,

для численности работников:

Рассчитаем коэффициент вариации по несгруппированным данным:

для объема продаж

для численности работников:

Рассматриваемый коэффициент вариации по объему продаж составляет 2,5%, следовательно рассматриваемая совокупность является однородной

1.6 Рассчитать дисперсии и произвести дисперсионный анализ

а) дисперсии: общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых;

б) проверить правило сложения дисперсий.

Квадрат среднего квадратического отклонения дает величину дисперсии. Общую дисперсию, характеризующую вариацию признака под влиянием всех факторов, можно получить на основе ее составляющих - межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Общая дисперсия рассчитывается по формуле

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного а основу группировки и рассчитывается по формуле:

где - межгрупповая дисперсия;

- средняя арифметическая в i-й группе;

- простая средняя арифметическая;

- частота i-й группы.

Внутригрупповая дисперсия:

где - внутригрупповая дисперсия;

- индивидуальное значение единицы совокупности из i-й группы;

- простая средняя арифметическая i-й группы;

- частота i-й группы.

Рассчитаем общую дисперсию для объема продаж

Рассчитаем межгрупповую дисперсию для объема продаж, для этого найдем среднюю арифметическую (простую) в каждой группе известным методом, результаты поместим в Таблице 6.1.

Таблица 6.1

Средняя арифметическая в каждой группе для объема продаж

Межгрупповая дисперсия равна 16619.

Для того чтобы рассчитать дисперсию среднюю из внутригрупповых, необходимо найти дисперсию в каждой группе.

Теперь, исходя из приведенных расчетов, вычислим дисперсию среднюю из внутригрупповых.

Средняя из внутригрупповых дисперсия равна 989. Рассчитаем дисперсии для второго признака - численности работников. Общая дисперсия:

Общая дисперсия равна 406.

Рассчитаем межгрупповую дисперсию для численности работников, для этого найдем среднюю арифметическую (простую) в каждой группе, результаты поместим в Таблице 6.2.

Таблица 6.2

Средняя арифметическая в каждой группе для численности работников

По данным представленной таблицы рассчитаем межгрупповую дисперсию.

Межгрупповая дисперсия равна 403.

Используя рассчитанные данные, найдем дисперсию среднюю из внутригрупповых.

Средняя из внутригрупповых дисперсия для численности работников равна 3,34.

б) Проверим правило сложения дисперсий.

Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой, т.е.

где - общая дисперсия;

- межгрупповая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых дисперсия.

Проверим правило сложения дисперсий для объема продаж

=16619

=989

17608= 16619+989

Видно, что средняя из внутригрупповых теоретическая совпадает с расчетной, а именно:

Проверим правило сложения дисперсий для численности рабочих.

=403

=3,34

406=3,34+403

Как видно, средняя из внутригрупповых расчетная оказалась равна теоретической, т.е.

Это значит, что в нашем случае правило сложения дисперсий верно.

1.7 Построить кривые распределения

а) эмпирическую;

б) теоретическую (функция нормального распределения - Приложение Б).

а) Эмпирическая кривая строится по результатам группировки. Теоретическая линия строится по теоретическим частотам. Теоретические частоты определяются по формуле:

где - теоретические частоты для определенной группы;

- величина интервала;

- сумма эмпирических частот ряда;

- среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных;

- математическая функция, определяемая по специальным таблицам в соответствии с рассчитанным значением ;

- центральный вариант i-го интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

- нормированное отклонение.

а) Рассчитаем теоретические частоты для объема продаж и результаты поместим в Таблице 7.1.

Остальные показатели рассчитываются аналогично.

Таблица 7.1

Теоретические частоты для объема продаж

По данным таблицы построим теоретическую и эмпирическую кривые распределения.

Рисунок 7.1 Кривые распределения объема продаж

Условные обозначения:

х - объем распределения;

f- частота;

1 - эмпирическая линия;

2 - теоретическая линия.

Рассчитаем теоретические частоты для численности работников и результаты поместим в Таблице 7.2.

Таблица 7.2

Теоретические частоты для численности работников

По данным таблицы построим теоретическую и эмпирическую кривые распределения.

Рисунок 7.2 Кривые распределения численности рабочих

Условные обозначения:

х - объем распределения;

f- частота;

1 - эмпирическая линия;

2 - теоретическая линия.

1.8 Произвести анализ ряда распределения

а) рассчитать асимметрию;

б) рассчитать эксцесс;

в) определить существенность асимметрии и эксцесса;

г) оценить соответствие эмпирического ряда распределения теоретическому по критериям Пирсона, Колмогорова (Приложения В, Г).

а) Коэффициент асимметрии определяется как отношение разницы между средней и модой к среднему квадратическому отклонению (показатель Пирсона):

где - коэффициент асимметрии;

- средняя арифметическая взвешенная;

- мода;

- среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных.

Рассчитаем асимметрию для объема продаж.

=0,25

Рассчитаем асимметрию для численности работников.

=0,63

Существенность асимметрии:

Рассчитаем этот показатель для объема продаж и сравним его с коэффициентом асимметрии.

Асимметрия равна 1,7, >0, это говорит о том, что асимметрия правосторонняя (первый признак).

Теперь рассчитаем данный показатель для численности работников и сравним его с коэффициентом асимметрии.

,

Имеет место асимметрия, равная 0, т. е ряд абсолютно симметричен.

б) Для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения. Эксцесс рассчитывается по формуле:

где - эксцесс;

- центральный момент четвертого порядка;

- среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных.

Центральный момент четвертого порядка:

где - центральный момент четвертого порядка;

- центральный вариант i-го интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

- частота i-й группы.

Рассчитаем центральный момент четвертого порядка и эксцесс для объема продаж.

= - 0,82

Эксцесс отрицателен, следовательно, эмпирическая кривая распределения низковершинна по сравнению с нормальным распределением.

Рассчитаем центральный момент четвертого порядка и эксцесс для численности работников.

= - 1,07

Эксцесс отрицателен, значит крутизна распределения меньше нормального.

в) Определим существенность эксцесса. Распределение можно считать нормальным, если показатель эксцесса не превышает своего двукратного среднего квадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:

Определим существенность эксцесса для объема продаж.

Определим существенность эксцесса для стажа по специальности.

г) Критерий Пирсона рассчитывается по формуле:

где - критерий согласия Пирсона;

- эмпирические частоты;

- теоретические частоты.

Критерий Романовского:

где - критерий Романовского;

- критерий Пирсона;

- количество групп.

Критерий Колмогорова:

где - критерий Колмогорова;

- максимальная разность между накопленными теоретическими и эмпирическими частотами;

- численность совокупности.

Рассчитаем данные критерии для объема продаж.

Критерий Пирсона.

При вероятности Р = 0,95 и числе степеней свободы К = 2 расчетное значение меньше теоретического, следовательно гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не опровергается.

Критерий Романовского

Значение критерия Романовского меньше 3, значит, распределение является нормальным. Расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными.

Критерий Колмогорова.

Р (λ) =1

Таким образом, с вероятностью, равной 1, можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны.

Рассчитаем данные критерии для численности работников

Критерий Пирсона.

Расчетное значение критерия Пирсона меньше теоретического значит, распределение соответствует нормальному.

Критерий Романовского.

Р (λ) =1

Таким образом, с вероятностью, равной 1, можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны, следовательно, можно считать, что в основе эмпирического распределения совокупности по уровню предприятий по коэффициенту сменности лежит закон нормального распределения.

1.9 Произвести аналитическую группировку по двум признакам, построив аналитическую таблицу

При построении аналитической таблицы независимый (факторный) признак расположить в строках таблицы, а зависимый перегруппировать во взаимосвязи с факторным. Провести корреляционно-регрессионный анализ:

а) построить поле корреляции;

б) рассчитать коэффициенты регрессии, эластичности. Сделать оценку уравнения регрессии, рассчитав среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии. Оценить значимость линии регрессии, выражающей связь между двумя признаками, сравнив среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии со средним квадратическим отклонением, рассчитанным по зависимому признаку;

в) рассчитать линейный коэффициент корреляции;

г) эмпирическое корреляционное отношение;

д) теоретическое корреляционное отношение;

е) коэффициент корреляции рангов Спирмэна;

ж) коэффициент ранговой корреляции Кендалла;

з) коэффициент Фехнера;

и) произвести оценку достоверности коэффициента корреляции по критерию Фишера (Приложение Д).

Для исследования зависимости между явлениями используют аналитическую группировку. При их построении можно установить взаимосвязь между двумя признаками и более. При этом факторными будут называться признаки, под воздействием которых изменяются результативные признаки. Представим аналитическую группировку в таблице 9.1.

Таблица 9.1 Аналитическая группировка

а) Корреляционную зависимость для наглядности можно изобразить графически. Для этого, имея n взаимосвязанных пар значений x и y, пользуясь прямоугольной системой координат, каждую такую пару изображают в виде точки на плоскости с координатами x и y. А затем на фоне "корреляционного поля" строится средняя линия. Представим поле корреляции на рисунке 9.1.

Рисунок 9.1 Поле корреляции

Условные обозначения:

х - стаж по специальности;

у - средняя зарплата;

1 - линия тренда.

б) Уравнение линии, выбранной для выравнивания y, называется уравнением регрессии. Параметры уравнения регрессии а и а рассчитываются из системы уравнений, составленной по методу наименьших квадратов: Суть метода в том, что линия пройдет в максимальной близости от эмпирических точек.

где - зависимый признак; - коэффициенты уравнения прямой; - независимый признак; - число выборки.

Составим уравнение регрессии:

y=5207+13,7х

Средняя линия представлена на рисунке 9.1.

Рассчитаем коэффициент эластичности. Он показывает, на сколько процентов изменится в среднем результативный признак y при изменении факторного признака x на 1%. Этот коэффициент рассчитываться по формуле:

где - коэффициент эластичности;

- коэффициент при в уравнении прямой;

- среднее значение факторного признака;

- среднее значение зависимого признака.

Таким образом, при изменении численности рабочих на 1%, объем продаж изменится на 1,1%

в) Линейный коэффициент корреляции. Он строится на основе отклонения индивидуальных значений х и у от соответствующей средней величины и рассчитывается по формуле:

где - линейный коэффициент корреляции;

- среднее произведение факторного признака на зависимый;

- произведение факторного признака на зависимый;

- простая средняя арифметическая факторного признака;

- простая средняя арифметическая зависимого признака;

- среднее квадратическое отклонение по зависимому признаку;

- среднее квадратическое отклонение по факторному признаку.

Найдем среднюю из произведений ху:

Теперь можно найти непосредственно линейный коэффициент корреляции:

Этот коэффициент свидетельствует о том, что между известными признаками существует прямая связь, т.е. при увеличении числености аботников объем продаж увеличивается.

г) Эмпирическое корреляционное отношение.

С его помощью можно измерить тесноту связи. Этот коэффициент рассчитывается по формуле:

Таким образом, в нашем случае эмпирическое корреляционное отношение равно:

Полученное значение характеризует тесноту связи близкую к максимальной, значит можно сделать вывод о наличии существенной связи между уровнем объема продаж и численности работников.

д) Рассчитаем теоретическое корреляционное отношение:

где - теоретическое корреляционное отношение; - общая дисперсия зависимого признака по несгруппированным данным;

- остаточная дисперсия;

- теоретическое значение;

- простая средняя арифметическая эмпирического ряда;

- численность совокупности.

Для этого сделаем расчет следующих параметров (Таблица 9.2):

Таблица 9.2

Расчет среднеквадратичного отклонения теоретических значений от средней эмпирического ряда

Численность рабочих	Теоретические значения	-	( - ) 2
424 422 433 446 455 432 443 434 437 438 444 423 442 444 443 455 452 457 455 450 462 462 464 460 471 472 470	5220 5120 5180 5225 5450 5465 5326 5350 5390 5375 5271 5312 5320 5348 5410 5440 5456 5440 5470 5460 5435 5310 5560 5596 5553 5650 5650	-179 279 219 174 51 66 73 49 9 24 128 87 79 51 11 41 57 41 71 61 36 89 161 197 154 251 251	32041 77841 47961 30276 2601 4356 5329 2401 81 576 16384 7569 6241 2601 121 1681 3249 1681 5041 3721 1296 7921 25921 38809 23716 63001 63001
Итого:	475417

Найдем остаточную дисперсию:

Рассчитаем теоретическое корреляционное отношение:

Итак, теоретическое корреляционное отношение равно 1, следовательно, между коррелируемыми величинами существует большая зависимость.

е) Коэффициент корреляции Спирмэна. Для расчета этого коэффициента необходимо привести таблицу корреляции рангов (таблица 9.3).

Таблица 9.3 Корреляция рангов

содержание   ..  829  830  831   ..