Анализ, синтез, планирование решений в экономике

Перед Вами, уважаемый читатель, учебник для экономической специальности "Информационные системы в экономике". Возможно, бегло пролистав его, Вы начнете сомневаться в его статусе и принадлежности. И в самом деле, учебник обычно пишется под утвержденную программу курса, а ее наличие Вам неизвестно (в действительности ее нет). Кроме того, оказывается, по Вашему мнению, что использованный математический аппарат по сложности существенно выше среднего, общепринятого для экономистов.

После того как я поделился подобными своими сомнениями в редакции, мне был задан вопрос: "А купили бы Вы этот учебник для себя?" Ответ был однозначным: "Купил бы и куплю при любой цене". И вот почему. Учебной программы и учебника нет. Но это не вина авторов. Возможно, их учебник и подтолкнет специалистов из Учебно-методического объединения при Министерстве образования Российской Федерации к разработке и утверждению программы.

Сложная математика, много формул? Но ведь это только для российских и других посткоммунистических экономистов, и то не для всех, она сложная. Когда в течение 75 лет основная задача нашей экономики состояла главным образом в объяснении уже принятых вышестоящим руководством решений, математике и ее прикладным возможностям не было места и ничего не оставалось, как заниматься не очень нужными практике, придуманными математиками самими для себя мало кому понятными моделями и алгоритмами. В зарубежной же науке никогда не было и нет деления на "экономику" (без математики) и "математическую экономику". Хорошее, близкое к требованиям математических факультетов университетов владение аппаратом экономико-математического моделирования — стандарт западного экономического образования.

По мере становления в нашей стране рыночной экономики ситуация начала меняться. Стало очевидным, что бизнес будет платить и уже во многих случаях платит за обоснованные расчетами и анализом (далеко выходящими за рамки четырех действий арифметики) инвестиционные проекты, прогнозы, рекомендации по снижению и предотвращению риска и пр. В этих условиях экономика от апологетико-вербальной ориентации начала поворачиваться к естественно-научным дисциплинам, хотя, конечно, никогда ее положения нельзя ставить в один ряд с точными законами естествознания.

Необходимость математизации экономики на современном этапе становится все более ясной не только ученым, но и практикам и, как следствие, руководителям системы высшего образования. Без этого невозможна интеграция нашей экономики в мировую экономическую систему: мы просто не будем их понимать. Однако, как и во многом другом, на этом пути есть свои проблемы.

Большинство наших экономистов не владеют в должной мере современными экономико-математическими методами. Отсюда трудности в качественной подготовке молодых кадров, боязнь формул. Совершенно неприемлемо, когда аспиранты (по специальности "Экономико-математические методы") допускают в диссертациях порой грубые математические ошибки, и последние исправляются по подсказке научного руководителя или оппонентов "в пожарном порядке".

Предлагаемый вниманию читателей учебник написан на высоком математическом уровне. Может ли он вызвать трудности при изучении методов компьютерного моделирования экономических процессов? Да, может. Прежде всего тем, что далеко выходит за рамки четырех действий арифметики. Он отражает чрезвычайно широкое проникновение экономико-математических методов во все сферы принятия решений, причем не только экономической ориентации. По этой причине его следует рекомендовать в первую очередь, как отмечают сами авторы, преподавателям и аспирантам. Тем и другим, скорее всего, потребуется еще адаптировать материал учебника к читаемым курсам, рабочим программам и уровням подготовки студентов, темам диссертаций аспирантов.

В чем специфика учебника?

При широком, воистину энциклопедическом охвате изучаемой проблематики изложение материала во многих местах, по-видимому, неизбежно становится поверхностным, обзорным, с необходимостью ссылок на дополнительные источники. Нарушается очень важный принцип самодостаточности учебника, причем многие из ссылок оказываются в настоящее время для разных категорий читателей практически недоступными. Например, при характеристике методов теории полезности, стремясь, вероятно, ничего не упустить, авторы сводят всю информацию о фундаментальном направлении — функции полезности по Дж. Нейману — О. Моргенштерну к краткой ссылке на их известную монографию. Но она издавалась у нас в стране в 1970 г. ("Теория игр и экономическое поведение": Пер. с англ. — М.: Наука). Где сейчас найти ее студентам? Эта теория и ее возможные прикладные направления в области моделирования рисковых ситуаций в экономике и бизнесе вполне заслуживают, по нашему мнению, самостоятельной публикации с должной адаптацией для студентов и аспирантов. То же можно сказать о нереализованных возможностях практических приложений теории нечетких множеств, например, в страховом деле или при оптимизации организационных структур — задач более важных, чем представленная в учебнике о замещении вакантной должности бухгалтера на фирме.

Это, безусловно, недостатки, которые могут поставить читателя перед определенными трудностями восприятия материала.. Однако достоинства учебника во много крат большие. Учебник написан математически грамотно, что для литературы по экономике, к сожалению, не всегда возможно считать само собою разумеющимся. Широк охват проблематики, где читатель может найти практически почти все, что в настоящее время относят к сфере моделирования управленческих решений.

Содержание учебника апробировано при чтении курсов "Методы теории принятия решений", "Информационные системы стратегического прогнозирования и планирования", "Математическое моделирование экономических процессов", "Теория оптимального управления экономическими процессами" по специальности "Информационные системы в экономике" в Волгоградском государственном техническом университете.

С учетом всех достоинств и недостатков, надо полагать, читатель сам сделает свой выбор.

Нам пора перестать различать экономику без математики и математическое в нее "вторжение". Экономика с той долей математики, которая диктуется содержательной сущностью проблемной области исследования, должна стать не только стандартом западного, но и, наконец, российского образования. Данный учебник вносит несомненный вклад в решение этой проблемы.

Б. А. ЛАГОША, доктор экономических наук, профессор

Нашим родителям посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ

Развитие микроэкономики, макроэкономики и прикладных дисциплин предполагает значительно более высокий уровень их формализации, определяемый прогрессом в области фундаментальной и прикладной математики — теории принятия решений, теории игр, математического программирования, математической статистики и др. В настоящее время экономическая теория на микро- и макроуровнях не может не включать в себя математические модели и методы как естественные и необходимые элементы.

В XX в. математические методы моделирования в экономике применялись широко и эффективно во многих странах мира. Разработчики этих методов были удостоены Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон, Л. Канторович и др.).

В последнее десятилетие российские ученые подготовили ряд учебников и пособий, направленных на повышение математической и компьютерной культуры нового поколения экономистов. Эта учебная литература широко используется при изучении различных экономических специальностей.

Сегодня любые предприятие, фирма или акционерное общество используют вычислительные машины в своей повседневной деятельности для ведения бухгалтерского учета, контроля за выполнением заказов и договоров, подготовки деловых документов. Помимо традиционных сфер применения ЭВМ по обработке рутинной информации, компьютер может оказывать существенную помощь человеку при решении творческих задач. К таким задачам можно отнести анализ, планирование и синтез рациональных решений при исследовании сложных систем в условиях неопределенности, когда недостаток информации компенсируется формализованно представленными знаниями экспертов. Одновременно возрастают необходимость в квалифицированных специалистах по экономической информатике и требования к уровню их подготовки. Такой специалист должен уметь формулировать требования к программным средствам, оценивать их качество и эффективность, выбирать программные средства, наиболее соответствующие запросам пользователей, разрабатывать новые программные продукты и уметь адаптировать готовые информационные системы к конкретным условиям применения.

Данный учебник может быть использован в курсах "Методы теории принятия решений", "Информационные системы стратегического прогнозирования и планирования", "Математическое моделирование экономических процессов", "Теория оптимального управления экономическими процессами" по специальности "Информационные системы в экономике". Учебник написан на основе преподавания этих дисциплин в Волгоградском государственном техническом университете.

В учебнике изложены основные методы анализа, планирования и синтеза рациональных решений в условиях неопределенности. Методы реализованы на ЭВМ и прошли практическую апробацию в различных сферах экономики и управления. Теоретический материал подкреплен практическими примерами, позволяющими лучше усвоить излагаемый материал. Приведены алгоритмы, которые могут реализовываться студентами на ЭВМ. В конце каждой главы для закрепления материала приводятся основные понятия, контрольные вопросы и задания по теме, а также список литературы.

Учебник может использоваться преподавателями, работающими в области компьютерного моделирования экономических процессов.

Книга будет полезной и руководителям различного ранга. В этой связи следует отметить, что описанные в книге системы целесообразно использовать для решения задач социально-экономического прогнозирования и планирования развития промышленных отраслей, предприятий и в других службах, образующих инфраструктуру городов, областей и регионов.

Авторы признательны рецензентам Московского государственного университета экономики, статистики и информатики, доктору экономических наук, профессору Б. А. Лагоше и кандидату технических наук, доценту А. А. Емельянову за ценные замечания, высказанные при прочтении рукописи учебника.

Авторы также благодарят ректора Волгоградского государственного технического университета доктора химических наук, профессора И. А. Новакова и доктора экономических наук, профессора Л. С. Шаховскую, активно способствовавших опубликованию учебника.

ГЛАВА 1.

АНАЛИЗ ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Задача принятия решений (ЗПР) — одна из самых распространенных в любой предметной области [1 — 7]. Ее решение сводится к выбору одной или нескольких лучших альтернатив из некоторого набора. Для того чтобы сделать такой выбор, необходимо четко определить цель и критерии (показатели качества), по которым будет проводиться оценка некоторого набора альтернативных вариантов. Выбор метода решения такой задачи зависит от количества и качества доступной информации. Данные, необходимые для осуществления обоснованного выбора, можно разделить на четыре категории: информация об альтернативных вариантах, информация о критериях выбора, информация о предпочтениях, информация об окружении задач.

1.1. Эволюция теории принятия решений. ЭВМ в принятии решений

В своем развитии теория принятия решений прошла через три стадии.

На первой стадии развивался дескриптивный подход к принятию решений. Здесь усилия ученых были направлены на описание процесса выбора решений человеком в целях определения рационального зерна, характерного для всякого разумного выбора. В результате проведенных исследований оказалось, что большинство людей действуют интуитивно, проявляя при этом непоследовательность и противоречивость в своих суждениях. Положительным аспектом исследований в области дескриптивного подхода явилось то, что удалось дать достаточно четкий ответ на вопрос, что может и чего не может человек, решая задачу выбора [8].

На второй стадии исследователи разрабатывали нормативный подход к принятию решений. Однако и здесь их постигла неудача, поскольку идеализированные теории, рассчитанные на сверхрационального человека с мощным интеллектом, не нашли практического применения.

На третьей стадии был развит прескриптивный подход к принятию решений. Он оказался наиболее плодотворным, поскольку предписывал, как должен поступать человек с нормальным интеллектом, желающий напряженно и систематизированно обдумывать все аспекты своей задачи. Прескриптивный подход не гарантирует нахождения оптимального решения в любой ситуации, но обеспечивает выбор такого решения, которое не обременено противоречиями и непоследовательностями. Данный подход предъявляет к человеку серьезные требования по освоению методов и приемов теории принятия решений, а также предписывает проведение многочисленных вычислений, связанных с реализацией этих методов.

Первоначальным импульсом для применения ЭВМ в процессе принятия решений явилась необходимость проведения большого объема вычислений для получения обобщенной оценки путем синтеза всех плюсов и минусов по каждой альтернативе. На этом шаге решением ЗПР занимались специалисты, имеющие широкие знания как в области методов принятия решений, так и в программировании на ЭВМ.

Поскольку на практике указанное сочетание знаний является редким, возникла новая категория специалистов — аналитиков в области принятия решений. Аналитики владели методами принятия решений и навыками программирования и выступали в роли посредников между лицом, принимающим решение (ЛПР), и ЭВМ. Аналитик выполнял следующие функции: уточнял совместно с ЛПР постановку задачи, выбирал метод принятия решений, адекватный задаче, собирал необходимую статистическую и экспертную информацию, строил модель задачи, организовывал обработку накопленной информации на ЭВМ, представлял полученные результаты ЛПР и их интерпретировал.

Следующий шаг в применении ЭВМ для принятия решений был связан с созданием диалоговых систем, позволявших менять интересующие исследователя параметры заложенной в память ЭВМ модели задачи принятия решений, выбирать алгоритм поиска решения или его параметров, исследовать чувствительность полученного решения. Такие системы позволяли получать исчерпывающую информацию для всестороннего обоснования выбираемых решений.

В настоящее время в связи с возросшими возможностями современных ЭВМ разработаны программные информационные системы, обеспечивающие поддержку процесса принятия решений на всех его фазах. Большинство систем принятия решений реализовано на персональных ЭВМ.

1.2. Схема процесса принятия решений

Общая схема процесса принятия решений включает следующие основные этапы:

Этап 1. Предварительный анализ проблемы. На этом этапе определяются:

• главные цели;

• уровни рассмотрения, элементы и структура системы (процесса), типы связей;

• подсистемы, используемые ими основные ресурсы и критерии качества функционирования подсистем;

• основные противоречия, узкие места и ограничения.

Этап 2. Постановка задачи. Постановка конкретной ЗПР включает:

• формулирование задачи;

• определение типа задачи;

• определение множества альтернативных вариантов и основных критериев для выбора из них наилучших;

• выбор метода решения ЗПР.

Этап 3. Получение исходных данных. На данном этапе устанавливаются способы измерения альтернатив. Это либо сбор количественных (статистических) данных [9], либо методы математического или имитационного моделирования, либо методы экспертной оценки [10, 11]. В последнем случае необходимо решить задачи формирования группы экспертов, проведения экспертных опросов, предварительного анализа экспертных оценок.

Этап 4. Решение ЗПР с привлечением математических методов и вычислительной техники, экспертов и лица, принимающего решение. На этом этапе производятся математическая обработка исходной информации, ее уточнение и модификация в случае необходимости. Обработка информации может оказаться достаточно трудоемкой, при этом может возникнуть необходимость совершения нескольких итераций [12] и желание применить различные методы [13 — 16] для решения задачи. Поэтому именно на этом этапе возникает потребность в компьютерной поддержке процесса принятия решений, которая выполняется с помощью автоматизированных систем принятия решений.

Этап 5. Анализ и интерпретация полученных результатов. Полученные результаты могут оказаться неудовлетворительными и потребовать изменений в постановке ЗПР. В этом случае необходимо будет возвратиться на этап 2 или этап 1 и пройти заново весь путь. Решение ЗПР может занимать достаточно длительный промежуток времени, в течение которого окружение задачи может измениться и потребовать корректировок в постановке задачи, а также в исходных данных (например, могут появиться новые альтернативы, требующие введения новых критериев). Задачи принятия решений можно разделить на статические и динамические. К первым относятся задачи, которые не требуют многократного решения через короткие интервалы времени. К динамическим относятся ЗПР, которые возникают достаточно часто. Следовательно, итерационный характер процесса принятия решений можно считать закономерным, что подтверждает необходимость создания и использования эффективных систем компьютерной поддержки. ЗПР, требующие одного цикла, можно скорее считать исключением, чем правилом.

1.3. Классификация задач принятия решений

Задачи принятия решений отличаются большим многообразием, классифицировать их можно по различным признакам, характеризующим количество и качество доступной информации. В общем случае задачи принятия решений можно представить следующим набором информации [8, 17, 18]:

< Т , A , К , X, F, G, D>,

где Т— постановка задачи (например, выбрать лучшую альтернативу или упорядочить весь набор);

А — множество допустимых альтернативных вариантов;

К— множество критериев выбора;

Х— множество методов измерения предпочтений (например, использование различных шкал);

F — отображение множества допустимых альтернатив в множество критериальных оценок (исходы);

G — система предпочтений эксперта;

D — решающее правило, отражающее систему предпочтений.

Любой из элементов этого набора может служить классификационным признаком принятия решений.

Рассмотрим традиционные классификации:

1. По виду отображения F. Отображение множества А и К может иметь детерминированный характер, вероятностный или неопределенный вид, в соответствии с которым задачи принятия решений можно разделить на задачи в условиях риска и задачи в условиях неопределенности.

2. Мощность множества К. Множество критериев выбора может содержать один элемент или несколько. В соответствии с этим задачи принятия решений можно разделить на задачи со скалярным критерием и задачи с векторным критерием (многокритериальное принятие решений).

3. Тип системы G . Предпочтения могут формироваться одним лицом или коллективом, в зависимости от этого задачи принятия решений можно классифицировать на задачи индивидуального принятия решений и задачи коллективного принятия решений.

Задачи принятия решений в условиях определенности. К этому классу относятся задачи, для решения которых имеется достаточная и достоверная количественная информация. В этом случае с успехом применяются методы математического программирования, суть которых состоит в нахождении оптимальных решений на базе математической модели реального объекта. Основные условия применимости методов математического программирования следующие:

1. Задача должна быть хорошо формализована, т. е. имеется адекватная математическая модель реального объекта.

2. Существует некоторая единственная целевая функция (критерий оптимизации), позволяющая судить о качестве рассматриваемых альтернативных вариантов.

3. Имеется возможность количественной оценки значений целевой функции.

4. Задача имеет определенные степени свободы (ресурсы оптимизации), т. е. некоторые параметры функционирования системы, которые можно произвольно изменять в некоторых пределах в целях улучшения значений целевой функции.

Задачи в условиях риска. В тех случаях, когда возможные исходы можно описать с помощью некоторого вероятностного распределения, получаем задачи принятия решений в условиях риска. Для построения распределения вероятностей необходимо либо иметь в распоряжении статистические данные, либо привлекать знания экспертов. Обычно для решения задач этого типа применяются методы теории одномерной или многомерной полезности. Эти задачи занимают место на границе между задачами принятия решений в условиях определенности и неопределенности. Для решения этих задач привлекается вся доступная информация (количественная и качественная).

Задачи в условиях неопределенности. Эти задачи имеют место тогда, когда информация, необходимая для принятия решений, является неточной, неполной, неколичественной, а формальные модели исследуемой системы либо слишком сложны, либо отсутствуют. В таких случаях для решения задачи обычно привлекаются знания экспертов. В отличие от подхода, принятого в экспертных системах, для решения ЗПР знания экспертов обычно выражены в виде некоторых количественных данных, называемых предпочтениями.

Выбор и нетривиальность задач принятия решений. Следует отметить, что одним из условий существования задачи принятия решений является наличие нескольких допустимых альтернатив, из которых следует выбрать в некотором смысле лучшую. При наличии одной альтернативы, удовлетворяющей фиксированным условиям или ограничениям, задача принятия решений не имеет места.

Задача принятия решений называется тривиальной, если она характеризуется исключительно одним критерием К и всем альтернативам А _i приписаны конкретные числовые оценки в соответствии со значениями указанного критерия (рис. 1.1 а).

Рис. 1.1. Выбор альтернативы при одном критерии:

а — в условиях определенности; б — в условиях неопределенности;

в — в условиях риска

Задача принятия решений перестает быть тривиальной даже при одном критерии К, если каждой альтернативе А _i соответствует не точная оценка, а интервал возможных оценок (рис. 1.1 б) или распределение f (К/А _i ) на значениях указанного критерия (рис. 1.1 в).

Нетривиальной считается задача при наличии нескольких критериев принятия решений (рис. 1.2) независимо от вида отображения множества альтернатив в множество критериальных оценок их последствий.

Рис. 1.2. Выбор альтернативы с учетом двух критериев: а — в случае непрерывной области альтернатив; б — в случае дискретных альтернатив

Следовательно, при наличии ситуации выбора, многокритери-альности и осуществлении выбора в условиях неопределенности или риска задача принятия решений является нетривиальной.

1.4. Классификация методов принятия решений

Существует множество классификаций методов принятия решений, основанных на применении различных признаков [10, 19 — 23]. В табл. 1.1 приведена одна из возможных классификаций, признаками которой являются содержание и тип получаемой экспертной информации.

Таблица 1.1

Классификация методов принятия решений

№ п/п	Содержание информации	Тип информации	Метод принятия решений
1	Экспертная информация не требуется	Метод доминирования [24, 25] Метод на основе глобальных критериев [26, 27]
2	Информация о предпочтениях на множестве критериев	Качественная информация Количественная оценка предпочтительности критериев Количественная информация о замещениях	Лексикографическое упорядочение [24,25] Сравнение разностей критериальных оценок [22,24] Метод припасовывания [24] Методы "эффективность-стоимость" [24,28] Методы свертки на иерархии критериев [29,30] Методы порогов [24, 31] Методы идеальной точки [24] Метод кривых безразличия [10,24] Методы теории ценности [10, 24]
3	Информация о предпочтительности альтернатив	Оценка предпочтительности парных сравнений	Методы математического программирования [32,33] Линейная и нелинейная свертка при интерактивном способе определения ее параметров [34]
4	Информация о предпочтениях на множестве критериев и о последствиях альтернатив	Отсутствие информации о предпочтениях; количественная и/или интервальная информация о последствиях. Качественная информация о предпочтениях и количественная о последствиях Качественная (порядковая) информация о предпочтениях и последствиях Количественная информация о предпочтениях и последствиях	Методы с дискретизацией неопределенности [8,26] Стохастическое доминирование [8,10,22] Методы принятия решений в условиях риска и неопределенности на основе глобальных критериев [8, 35] Метод анализа иерархий [36] Методы теории нечетких множеств [7, 13, 14, 15, 17, 37] Метод практического принятия решений [8, 24] Методы выбора статистически ненадежных решений [8,38] Методы кривых безразличия для принятия решений в условиях риска и неопределенности [8] Методы деревьев решений [8,37] Декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности [8, 10,11]

Используемый принцип классификации позволяет достаточно четко выделить четыре большие группы методов, причем три группы относятся к принятию решений в условиях определенности, а четвертая — к принятию решений в условиях неопределенности. Из множества известных методов и подходов к принятию решений наибольший интерес представляют те, которые дают возможность учитывать многокритериальность и неопределенность, а также позволяют осуществлять выбор решений из множеств альтернатив различного типа при наличии критериев, имеющих разные типы шкал измерения (эти методы относятся к четвертой группе).

В свою очередь, среди методов, образующих четвертую группу, наиболее перспективными являются декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности, методы анализа иерархий и теории нечетких множеств. Данный выбор определен тем, что эти методы в наибольшей степени удовлетворяют требованиям универсальности, учета многокритериальности выбора в условиях неопределенности из дискретного или непрерывного множества альтернатив, простоты подготовки и переработки экспертной информации.

Охарактеризовать достаточно полно все методы принятия решений, относящиеся к четвертой группе, в рамках данной работы невозможно, поэтому в дальнейшем рассматриваются только три подхода к принятию решений в условиях неопределенности, которые получили наиболее широкое воплощение в системах компьютерной поддержки, а именно: подходы, основанные на методах теории полезности, анализа иерархий и теории нечетких множеств.

1.5. Характеристика методов теории полезности

Декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности получили наиболее широкое распространение среди группы аксиоматических методов принятия решений в условиях риска и неопределенности.

Основная идея этой теории состоит в получении количественных оценок полезности возможных исходов, которые являются следствиями процессов принятия решений. В дальнейшем на основании этих оценок можно выбрать наилучший исход. Для получения оценок полезности необходимо иметь информацию о предпочтениях лица, ответственного за принимаемое решение.

Парадигма анализа решения может быть сведена к процессу, включающему пять этапов [10].

Этап 1. Предварительный анализ. На этом этапе формулируется проблема и определяются возможные варианты действий, которые можно предпринять в процессе ее решения.

Этап 2. Структурный анализ. Этот этап предусматривает структуризацию проблемы на качественном уровне, на котором ЛПР намечает основные шаги процесса принятия решений и пытается упорядочить их в виде некоторой последовательности. Для этой цели строится дерево решений, (рис.1.3).

Рис. 1.3. Фрагмент дерева решений

Дерево решений имеет два типа вершин: вершины-решения (обозначены квадратиками) и вершины-случаи (обозначены кружочками). В вершинах-решениях выбор полностью зависит от ЛПР, в вершинах-случаях ЛПР не полностью контролирует выбор, так как случайные события можно предвидеть лишь с некоторой вероятностью.

Этап 3. Анализ неопределенности. На этом этапе ЛПР устанавливает значения вероятности для тех ветвей на дереве решений, которые начинаются в вершинах-случаях. При этом полученные значения вероятностей подлежат проверке на наличие внутренней согласованности.

Для получения значений вероятности привлекается вся доступная информация: статистические данные, результаты моделирования, экспертная информация и т. д.

Этап 4. Анализ полезности. На данном этапе следует получить количественные оценки полезности последствий (исходов), связанных с реализацией того или иного пути на дереве решений. На рис. 1.3 показан один из возможных путей — от начала до точки G.

Исходы (последствия принимаемых решений) оцениваются с помощью функции полезности фон Неймана — Моргенштерна [39], которая каждому исходу r^k ставит в соответствие его полезность и( r^k ) . Построение функции полезности осуществляется на основе знаний ЛПР и экспертов.

Этап 5. Процедуры оптимизации. Оптимальная стратегия действий (альтернатива, путь на дереве решений) может быть найдена с помощью вычислений, а именно: максимизации ожидаемой полезности на всем пространстве возможных исходов. Одно из условий постановки задачи оптимизации — наличие адекватной математической модели, которая связывает параметры оптимизации (в данном случае это альтернативные варианты действий) с переменными, входящими в целевую функцию (функция полезности). В методах теории полезности такие модели имеют вероятностный характер и основаны на том, что оценка вероятности ожидаемого исхода может быть использована для введения числовых оценок возможных вероятных распределений на конечном множестве исходов.

Задача выбора наилучшего решения в соответствии с аксиоматикой теории полезности [10] может быть представлена следующим образом:

где и(К) — многомерная функция полезности;

К— точка в критериальном пространстве;

f ( K / A ) — функция плотности условного от альтернативы А распределения критериальных оценок.

Построение функций полезности является основной и наиболее трудоемкой процедурой методов теории полезности, после этого с помощью такой функции можно оценить любое количество альтернатив.

Процедура построения функции полезности включает пять шагов.

Шаг 1. Подготовительный. Главная задача здесь — подбор экспертов и разъяснение им того, как следует выражать свои предпочтения.

Шаг 2. Определение вида функции. Функция полезности должна отражать представления ЛПР и экспертов об ожидаемой полезности возможных исходов. Поэтому множество исходов упорядочивается по их предпочтительности, после чего в соответствие каждому возможному исходу необходимо поставить предполагаемое значение ожидаемой полезности. На этом шаге выясняют, является ли функция полезности монотонной, убывающей или возрастающей, отражает ли она склонность, несклонность или безразличие к риску и т. п.

Шаг 3. Установление количественных ограничений. Здесь определяется интервал изменения аргумента функции полезности и устанавливаются значения функции полезности для нескольких контрольных точек.

Шаг 4. Подбор функции полезности. Необходимо выяснить, являются ли согласованными количественные и качественные характеристики, выявленные к данному моменту. Положительный ответ на этот вопрос равнозначен существованию некоторой функции, которая обладает всеми требуемыми свойствами. Если последует отрицательный ответ, то возникает проблема согласования свойств, что предполагает возврат на более ранние шаги.

Шаг 5. Проверка адекватности. Необходимо убедиться в том, что построенная функция полезности действительно полностью соответствует истинным предпочтениям ЛПР. Для этого применяются традиционные методы сравнения расчетных значений с экспериментальными.

Рассмотренная процедура соответствует задаче со скалярной функцией полезности. В общем случае последняя может быть векторной величиной. Это имеет место, когда ожидаемую полезность невозможно представить единственной количественной характеристикой (задача со многими критериями). Обычно многомерная функция полезности представляется как аддитивная или мультипликативная функция частных полезностей. Процедура построения многомерной функции полезности еще более трудоемка, чем одномерной.

Таким образом, методы теории полезности занимают промежуточное место между методами принятия решений в условиях определенности и методами, направленными на выбор альтернатив в условиях неопределенности. Для применения этих методов необходимо иметь количественную зависимость между исходами и альтернативами, а также экспертную информацию для построения функции полезности. Эти условия выполняются не всегда, что накладывает ограничение на применение методов теории полезности. К тому же следует помнить, что процедура построения функции полезности трудоемка и плохо формализуема.

В настоящее время методы теории полезности достаточно хорошо освещены в отечественной научной и учебной литературе [2, 8, 10, 11, 22]. Особого внимания заслуживают работы отечественных ученых: А. М. Дуброва, Б. А. Лагоши, Е. Ю. Хрусталева [40], а также Н. В. Князевского и В. С. Князевской [41]. На основе этих методов реализованы разнообразные компьютерные системы. Наибольшую популярность приобрела промышленная диалоговая система "Альтернатива — Ф", реализующая методы теории полезности и обеспечивающая решение задач многокритериального выбора в условиях определенности, риска и неопределенности [8].

С учетом сказанного в настоящем учебнике представлены наиболее универсальные и менее освещенные в отечественной учебной литературе подходы к принятию решений в условиях неопределенности. Наиболее подробно нами будут рассмотрены автоматизированные методы анализа иерархий и теории нечетких множеств, а также методология по их применению для решения экономических задач.

Основные понятия

1. Принятие решений.

2. Дескриптивный, прескриптивный и нормативный подходы.

3. Формальная модель задачи принятия решений.

4. Задачи выбора.

5. Ситуация выбора.

6. Метод принятия решений.

Контрольные вопросы и задания

1. Укажите особенности дескриптивного, прескриптивного и нормативного подходов к принятию решений.

2. Дайте характеристику формальной модели задачи принятия решений.

3. Приведите основные классификационные признаки задач принятия решений.

4. Какова роль ЭВМ в принятии решений?

5. Охарактеризуйте нетривиальные задачи принятия решений.

6. Перечислите и укажите отличительные признаки основных методов принятия решений.

Литература

1. Леонтьев В. В. Межотраслевая экономика/Под ред. А. Г. Гранберга.— М.: Экономика, 1997. — 471 с.

2. Ларичев О. И., Браун Р. Количественный и вербальный анализ решений: сравнительное исследование возможностей и ограничений //Экономика и математические методы. — 1998. — Т. 34. — Вып. 4.—С. 97—107.

3. Канторович Л. В., Горстко А . Б. Оптимальные решения в экономике. — М.: Наука, 1972. — 231 с.

4. Федоренко Н. П. Оптимизация экономики: некоторые вопросы использования экономико-математических методов в народном хозяйстве. — М.: Наука, 1997. — 287 с.

5. Багриновский К. А., Логвинец В.В. Интеллектуальная система в отраслевом планировании/Отв. ред. В. Н. Буркова — М.: Наука, 1998.— 136 с.

6. Медницкий В. Г. Оптимизация перспективного планирования.— М.: Наука, 1984. — 152 с.

7. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с англ./ Под ред. Р. Р. Ягера — М.: Радио и связь, 1986. — 408 с.

8. Борисов А. Н., Виллюмс Э. Р., Сукур Л. Я. Диалоговые системы принятия решений на базе мини-ЭВМ.— Рига: Зинатне, 1986. — 195 с.

9. Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений: Сб. статей / Сост. и науч. ред. И. Ф. Шахнов. — М.: Статистика, 1979. — 184 с.

10. Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ./ Под ред. И. Р. Шахова. — М.: Радио и связь, 1981. — 560 с.

11. Райфа Г. Анализ решений (введение в проблему выбора в условиях неопределенности): Пер. с англ. — М.: Наука, 1977. — 408 с.

12. Мелихов А. Н., Бернштейн Л. С., Коровин С. Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. — М.: Наука, 1990. — 272 с.

13. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1976. — С. 172 — 175.

14. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.

15. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981. — 208 с.

16. Юдин Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений. — М.: Наука, 1989. — 320 с.

17. Борисов А. Н., Крумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей. — Рига: Зинатне, 1990. — 184 с.

18. Борисов А. Н. Методическое обеспечение технологии принятия решений // Системы обработки знаний в автоматизированном проектировании. — Рига: Изд-во Риж. техн. ун-та, 1992. — С. 12—15.

19. Ларичев О. И. Человеко-машинные процедуры принятия решений// Автоматика и телемеханика. — 1971. —№ 12. —С. 130 — 142.

20. Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. — М.: Наука, 1979.—200с.

21. Модели и методы векторной оптимизации / С.В.Емельянов, В.И.Борисов, А.А.Малевич, А.М.Черкашин// Техническая кибернетика. Итоги науки и техники. — М.: ВИНИТИ, 1973. — Т.5. — С. 386 — 448.

22. Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений: Пер. с англ. — М.: Наука, 1977. — 352 с.

23. Krisher J. P. An annotated bibliography of decision analytic applications to health care//Operations Research. — 1980. — V. 28. — № 1. — P. 97 — 107.

24. Ларичев О. И. Анализ процессов принятия человеком решений при альтернативах, имеющих оценки по многим критериям// Автоматика и телемеханика.—1981.—№8.—С. 131—141.

25. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982. — 256 с,

26. Беляев Л. С. Решение сложных оптимизационных задач в условиях неопределенности. — Новосибирск: Наука, 1978. — 126 с.

27. Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений: Пер. с англ. — М.: Сов. радио, 1962. — 406 с.

28. Руководство по системе "Планирование, программирование, разработка бюджета"// Новое в теории и практике управления производством в США / Под ред. Б. З. Мильнера. — М.: Прогресс, 1971. — С. 181 —202.

29. Борисов В. Н. Векторная оптимизация систем// Исследование систем: Материалы Всесоюзного симпозиума. — М.: ВИНИТИ, 1971.—С. 106— 114.

30. Евланов Л. Г. Теория и практика принятия решений. — М.: Экономика, 1984. — 176 с.

31. Руа Б. Классификация и выбор при наличии нескольких критериев (метод ЭЛЕКТРА): Пер. с франц.// Вопросы анализа и процедуры принятия решений. — М.: Мир, 1976. — С. 80 — 107.

32. Интерактивный метод решения задачи оптимального проектирования машин / И. И. Артоболевский, С. В. Емельянов, В. И. Сергеев и др.// Докл. АН СССР, 1977. Т. 237. — № 4. — С. 793 — 795.

33. Ларичев О. И. Человеко-машинные процедуры принятия решений при альтернативах, имеющих оценки по многим критериям (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1971. — № 12. — С. 130 — 142.

34. Борисов А. Н., Левченко А. С. Методы интерактивной оценки решений. — Рига: Зинатне, 1982. — 139 с.

35. Федулов А. А., Федулов Ю. Г., Цыгичко В. Н. Введение в теорию статистически ненадежных решений. — М.: Статистика, 1979. — 276 с.

36. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иеархий: Пер.с англ. — М.: Радио и связь, 1989. — 316 с.

37. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1976. — 165 с.

38. Райфа Г. Анализ решений (введение в проблему выбора в условиях неопределенности): Пер. с англ. — М.: Наука, 1977. — 406 с.

39. Нейман Дж., фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер с англ. — М.: Наука, 1970. — 707 с.

40. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрусталев» Е. Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие/ Под ред. Б. А. Лагоши. — М.: Финансы и статистика, 1999. — 176 с.

41. Князевский Н. В., Князевская В. С. Принятие рискованных решений в экономике и бизнесе: Учеб. пособие. — М.: Контур, 1998. — 160 с.

ГЛАВА 2.

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Метод анализа иерархий (МАИ) [1,2] предполагает декомпозицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Можно выделить ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на самом нижнем уровне иерархии, а также методом сравнения альтернатив.

По характеру связей между критериями и альтернативами определяется два типа иерархий. К первому типу относятся такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями). Ко второму типу иерархий принадлежат такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с различными числом и функциональным составом альтернатив под критериями).

В МАИ имеется три метода сравнения альтернатив: попарное сравнение; сравнение альтернатив относительно стандартов и сравнение альтернатив копированием.

Ниже рассматриваются методология МАИ и отличительные особенности его модификаций.

2.1. Иерархическое представление проблемы, шкала отношений и матрицы парных сравнений

Иерархическое представление проблемы

В первой модификации метода рассматривается иерархия с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями и метод попарного сравнения элементов иерархии. Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень.

На рис. 2.1 приведен общий вид иерархии, где Е ⁱ _j — элементы иерархии, А _i — альтернативы.

Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс — их порядковый номер. Существует несколько альтернативных способов графического отображения иерархии.

На рис. 2.2 приведены три варианта отображения одной иерархии.

Первый вариант — конкретизация (декомпозиция) заданного множества элементов (в частности, критериев). Второй вариант противоположен первому и предполагает синтез более общих элементов из заданных частных. Третий вариант — упорядочение предварительно заданного множества элементов на основе их попарного сравнения.

Шкала отношений

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (табл. 2.1). Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Таблица 2.1

Шкала отношений (степени значимости действий)

Степень значимости	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одного действия над другим (слабая значимость)	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны
5	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
7	Очевидная или очень сильная значимость	Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим
9	Абсолютная значимость	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительны
2,4,6,8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведен-ных выше ненулевых величин	Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из определенных выше ненулевых чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение	Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами [2]. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 — объекты равнозначны; 2 — предпочтение одного объекта над другим.

Матрицы парных сравнений

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-«родители» и элементы-«потомки». Элементы-«потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю». Элементами-«родителями» могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы (см. табл. 2.1).

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент E ₁ доминирует над элементом Е₂ , то клетка матрицы, соответствующая строке Е₁ и столбцу E ₂ , заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке E ₂ и столбцу Е₁ , заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е₂ доминирует над Е₁ , то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е₂ и столбцу Е₁ , а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е₁ и столбцу Е₂ . Если элементы Е₁ и Е₂ равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n (n – 1)/2 суждений (здесь п — порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е₁ , E ₂ , ..., Е_п — множество из п элементов (альтернатив) и v ₁ , v ₂ , …, v_n — соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-«родителю»). В этом случае матрица парных сравнений [Е ] имеет следующий вид:

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т. е.

a_ij = 1/ a_ji ,

где a_ij = v_i / v_j

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию — какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

2.2. Собственные векторы и собственные значения матриц. Оценка однородности суждений

Собственные векторы и значения матриц

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [E ], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [E ] проводится на основании равенства

EW = λ_max W , (2.1)

где λ_max — максимальное собственное значение матрицы [Е ].

Для положительной квадратной матрицы [Е ] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению λ_max , с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле

где е= {1,1,1, ....l}^Т – единичный вектор;

k = 1, 2, 3, ... — показатель степени;

С— константа;

Т — знак транспонирования.

Вычисления собственного вектора W по выражению (2.2) производятся до достижения заданной точности:

где l — номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2;

l = 3, k = 4 и т. д.;

ξ — допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять x = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

λ_max = e^T [E ]W

Динамические предпочтения и приоритеты

Задача прогнозирования экспертных предпочтений связана с получением оценок приоритетности альтернатив в форме зависимостей от времени. Для этого исходные экспертные оценки должны содержать информацию об изменении предпочтительности одной альтернативы перед другой на некотором временном отрезке. Следовательно, оценка предпочтительности может быть задана не константой, а функцией. Подбор таких функций можно осуществить, либо предоставив в распоряжение эксперта некоторую функциональную шкалу [2], либо путем аппроксимации экспертных оценок, полученных в различные моменты времени. Пример функциональной шкалы показан в табл. 2.2, где функции предпочтительности содержат параметры, подбор которых позволяет более или менее точно описать изменяющиеся суждения и установить область допустимых значений функций в пределах девятибалльной шкалы (см. табл. 2.1).

Таблица 2.2

Динамические суждения

Вид функции	Описание функции	Примечание
const	Для всех t l £ const £ 9	Постоянство предпочтений
a ₁ (t)+a ₂	Линейная функция от t на некотором отрезке, обратная функция - гипербола	Линейное возрастание предпочтения одной альтернативы перед другой во времени
b ₁ ln(t+ 1)+b ₂	Логарифмический рост	Быстрое возрастание предпочтения одной альтернативы перед другой до некоторого t , после которого следует медленное возрастание
	Экспоненциальный рост или убывание (с ₂ <0), в последнем случае обратная величина – S-образная логистическая кривая	Медленное увеличение или уменьшение предпочтения во времени, за которым следует быстрое увеличение (уменьшение)
d ₁ t ² + d ₂ t + d ₃	Парабола с максимумом или минимумом в зависимости оттого, отрицательно или положительно d ₁ .	Возрастание до максимума, а затем убывание (или наоборот)
f ₁ t ⁿ sin(t+f ₂ )+f ₃	Колебательная функция	Колебания предпочтений во времени с возрастающей (п> 0) или убывающей (n ≤ 0) амплитудой
Катастрофы	Функции, имеющие разрывы, которые следует указать	Крайне резкие изменения интенсивности предпочтений

Эти функции отражают интуитивные чувства лица, принимающего решения об изменении в тренде: постоянном, линейном, логарифмическом и экспоненциальном, возрастающем до максимума и убывающем или опускающемся до минимума и возрастающем, колебательном и, наконец, допускающем катастрофические изменения.

Для динамических задач матрица парных сравнений содержит функции времени в качестве элементов, поэтому максимальное собственное число λ_max , также собственный вектор W также будут зависеть от времени, т. е.

Здесь A ( t ) — матрица парных сравнений объектов, содержащая информацию об изменении предпочтительности одной альтернативы перед другой на некотором промежутке времени, которая задана функцией из табл. 2.2.

Если порядок матрицы парных сравнений не превышает четырех, для уравнения (2.4) можно получить аналитическое решение [2]. Альтернативным способом является получение A ( t ) и W ( t ) численными методами. Для этого необходимо иметь в распоряжении информацию о предпочтениях экспертов за определенный период времени. При накапливании такой информации в компьютерной системе становятся возможными прогнозирование предпочтений и оценка ближайших последствий принимаемых решений.

Оценка однородности суждений

В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина a_ij ни была взята для сравнения i -го элемента с j -м, a_ij приписывается значение обратной величины, т. е. а_ij = 1/a_ij . Отсюда следует, что если один элемент в а раз предпочтительнее другого, то последний только в 1/а раз предпочтительнее первого.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения λ_max от порядка матрицы п.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (OO) в соответствии со следующими выражениями:

где М(ИО) — среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл. 2.3), полученных в работе [2].

Таблица 2.3

Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

Порядок матрицы (п)	М(ИО)	Порядок матрицы (и)	М(ИО)	Порядок матрицы (п)	М(ИО)
1	0,00	6	1,24	11	1,51
2	0,00	7	1,32	12	1,48
3	0,58	8	1,41	13	1,56
4	0,90	9	1,45	14	1,57
5	1,12	10	1.49	15	1,59

В качестве допустимого используется значение OO ≤ 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности OO > 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

2.3. Синтез приоритетов на иерархии и оценка ее однородности

Иерархический синтез

Иерархический синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рассматривается алгоритм иерархического синтеза с учетом обозначений, принятых в предыдущей иерархии (см. рис. 2.1).

Ш а г 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ _j предпоследнего уровня иерархии (i = S ). Здесь через Eⁱ _j обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j — порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив W^A _S относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе соотношений (2.2) и (2.3) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

Ш а г 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов E ⁱ _j . Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (см. рис. 2.1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

В матрицах через v_j обозначен вес, или интенсивность, Е _j - го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов элементов:

Полученные значения векторов используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Е ⁱ _j находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы Е ^S _j . Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

где — вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E ₁ ⁱ ^- ¹ , определяющий j -й столбец матрицы;

— вектор приоритетов элементов E ₁ ⁱ ^- ¹ , E ₂ ⁱ ^- ¹ ,..., E _n ⁱ ^- ¹ , связанных с элементом Ej вышележащего уровня иерархии.

Ниже приведен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E ³ _j ), второго (Е ² _j ) и первого (Е¹ _j ) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии (см. рис. 2.1).

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии Е ¹ ₁ вычисляется следующим образом:

Рассмотренная модификация МАИ может эффективно применяться при решении широкого класса социально-экономических и управленческих задач.

Оценка однородности иерархии

После решения задачи иерархического синтеза оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению однородности определяется конкретной иерархией.

Рассмотрим принципы вычисления индекса ИО_И и отношения ОО_И однородности иерархии.

Пусть задана иерархия критериев и альтернатив (рис. 2.3.) и для каждого уровня определен индекс однородности и векторы приоритетов критериев следующим образом:

ИО₁ — индекс однородности для 1-го уровня;

{ИО₂ , ИО₃ } — индексы однородности для 2-го уровня;

{ИО₄ , ИО₅ , ИО₆ } — индексы однородности для 3-го уровня;

{ W ₁ } — вектор приоритетов критериев К ₂ и К ₃ относительно критерия К ₁ ;

{ W ₂ },{ W ₃ } — векторы приоритетов критериев К ₄ , К ₅ , К ₆ относительно критериев К ₂ и К ₃ второго уровня.

В этом случае индекс однородности рассматриваемой иерархии можно определить по формуле

где Т — знак транспонирования.

Определение отношения однородности ОО_И для всей иерархии осуществляется по формуле

ОО_И = ИО_И / М(ИО_И ),

где М(ИО_И ) — индекс однородности иерархии при случайном заполнении матриц попарных сравнений.

Расчет индекса однородности М(ИО_И ) с учетом экспериментальных данных (см. табл. 2.3) выполняется по формуле, аналогичной (2.5):

Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях ОО_И ≤ 0,10.

2.4. Учет мнений нескольких экспертов

Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения нескольких экспертов. С этой целью проводится групповая экспертиза, причем множество экспертов может быть подразделено на несколько подмножеств в зависимости от области экспертизы [З], определяемой характером критериев, используемых в иерархии. Оценка весомости критериев и альтернатив с учетом данного подхода предполагает привлечение специалистов-управленцев, маркетологов, производственников, специалистов-теоретиков и т. п. (рис. 2.4).

Для агрегирования мнений экспертов принимается среднегеометрическое, вычисляемое по следующему соотношению:

(2.6)

где a ^А _ij — агрегированная оценка элемента, принадлежащего i -й строке и j -му столбцу матрицы парных сравнений;

п — число матриц парных сравнений, каждая из которых составлена одним экспертом.

Логичность критерия (2.6) становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки а и 1/а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.

Осреднение суждений экспертов может быть осуществлено и на уровне собственных векторов матриц парных сравнений. При этом результаты будут эквивалентны тем, которые получены на уровне элементов матриц, если однородность составленных матриц достаточна и удовлетворяет условию OO ≤ 0,10. Покажем это на следующем примере.

Пусть заданы суждения двух экспертов в виде матриц попарных сравнений [A₁ ] и [A₂ ]:

Для этих матриц собственные векторы W _А _i , максимальные собственные значения λ_max и оценки однородности (ИО; OO) имеют следующий вид:

для матрицы [A₁ ]

Для матрицы [A₂ ],

Осреднение на уровне элементов собственных векторов дает

W_A = {0,184 0,117 0,699}^T .

Осредняя элементы матриц [A₁ ] [A₂ ], получим матрицу [А₃ ]:

Правый собственный вектор матрицы [А₃ ] следующий:

= {0,184 0,116 0,699}^T .

Сравнивая два собственных вектора W_a и определенных двумя разными способами, можно убедиться в их совпадении, даже несмотря на то, что однородность суждений эксперта, заполнившего матрицу [A₂ ], была неудовлетворительной (OO = 0,255 > 0,10).

В достаточно ответственных задачах при оправданных затратах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации ("веса"). Для определения весовых коэффициентов экспертов целесообразно использовать иерархическую структуру критериев (рис. 2.5).

Расчет агрегированной оценки в случае привлечения п экспертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле

где a^ak _ij — оценка объекта, проведенная k -м экспертом с весовым коэффициентом a_k ; при этом а ₁ + а ₂ +...+ а _n = 1.

2.5. Методы сравнения объектов относительно стандартов и копированием

Сравнение объектов относительно стандартов

Во второй модификации рассматривается метод сравнения объектов относительно стандартов. Метод попарного сравнения альтернатив не всегда может быть эффективно применен в некоторых практических ситуациях:

• эксперту может быть предложено для анализа более девяти альтернатив. В этом случае построение однородных матриц попарных сравнений становится затруднительным. Это связано с физическими ограничениями интеллекта человека;

• при добавлении новых альтернатив изменяется порядок ранее прошедших сравнение альтернатив относительно критериев качества. Нарушение порядка альтернатив нежелательно при решении ряда прикладных задач, связанных со значительными финансовыми, материальными и социальными затратами на корректировку последствий принимаемых решений или возможностью возникновения конфликтной ситуации между экспертами, готовящими и обосновывающими решения, и лицами, принимающими решения, несущими ответственность за принятые решения и их последствия;

• альтернативы могут поступать эксперту для сравнения не одновременно, а через определенные промежутки времени. Поэтому в данной ситуации не представляется возможным попарно сравнить объекты.

Для решения проблемы сравнения и оценки альтернатив в указанных ситуациях наиболее целесообразен метод сравнения альтернатив относительно стандартов. Стандарт устанавливает уровень качества объекта относительно критерия качества. Например, критерию "надежность" для объекта "автомобиль" может быть назначено три стандарта, характеризующих соответственно высокий (H — high), средний (М — medium), низкий (L — little) уровень надежности. Каждый стандарт отождествляется, как правило, с некоторым существующим на практике эталоном качества. В качестве таких эталонов принимаются объекты, аналогичные сравниваемым альтернативам. Например, для видов обеспечения банковских кредитов высокий, средний и низкий стандарты по критерию "ликвидность" могут быть отождествлены соответственно с драгоценными металлами, ценными бумагами и недвижимостью.

В иерархической структуре стандарты присваиваются элементам, имеющим непосредственную связь с альтернативами. При этом число стандартов по каждому такому элементу (критерию качества) может быть различно и определяется экспертом с учетом конкретной ситуации. По каждому стандарту экспертом устанавливается относительная степень предпочтения, которая указывает значимость стандарта для эксперта. Численное значение каждого стандарта определяется их попарным сравнением по девятибалльной шкале (см. табл. 2.1) путем обработки матрицы

Вектор приоритетов стандартов будет иметь следующий вид:

{Н= 0,625 М= 0,257 L= 0,091}^T

Из вышеприведенной матрицы следует, что эксперт отдал слабое предпочтение высокому стандарту (Н) перед средним (М), а также среднему перед низким стандартом (L). В то же время предпочтение высокого стандарта (Н) перед низким (L) определено как очень сильное (оценка 7 в матрице).

Рассмотрим правила построения иерархии (рис. 2.6), учитывающей стандарты и алгоритм вычисления векторов приоритетов альтернатив.

Введем следующие обозначения:

С = {С ₀ , C _g } — множество стандартов, включающее два подмножества, устанавливающие соответственно основную { С ₀ } и дополнительную { С _g } шкалы. Основная шкала включает градации С ₀ ⁼ {Н, М, L}, где Н, М, L — соответственно высокий, средний и низкий уровень стандартов по определенному критерию. Дополнительная шкала может включать градации C _g = {НН, НМ, ML, LL}, где НН, НМ, ML, LL — соответственно очень высокое; промежуточное между высоким и средним; промежуточное между средним и низким; очень низкое значение стандартов.

Для конкретного элемента E^s _j , включенного в иерархию из множества С , определяется подмножество стандартов С_j , такое, что С_j Ì С , С_j Î E^s _j . Например, для элементов иерархии (см. рис. 2.6)

E ₁ ^s и E^s _p определены стандарты Н, М, L, а для элемента Е ₂ ^s — стандарты Н, НМ, М, ML, L. Следует отметить, что экспертом могут быть назначены различные значения для одних и тех же по наименованию стандартов, относящихся соответственно к элементам E ₁ ^s и E^s _p .

Вычисление векторов приоритетов альтернатив относительно элементов иерархии,, учитывающей стандарты, осуществляется следующим образом.

Для каждого элемента E^s _j иерархии, непосредственно связанного со стандартами, устанавливается подмножество С _j Ì С . Стандарты, входящие в подмножества С _j , сформированные относительно E^s _j , попарно сравниваются по девятибалльной шкале предпочтений. Относительные предпочтения стандартов фиксируются в матрицах, обработка которых по итерационному алгоритму, выполняемому в соответствии с соотношениями (2.2) и (2.3), позволяет определить для них правые собственные векторы W^s _j Î E^s _j . В собственном векторе верхний индекс указывает на принадлежность вектора уровню стандартов в иерархии.

Лицо, принимающее решение, присваивает каждой альтернативе А _i значение одного стандарта. Процедура идентификации проводится по всем элементам E^s _j (j = ). В результате идентификации строится матрица [А ] следующего вида:

В матрице [А ] через w_ij обозначено численное значение стандартов, соответствующее альтернативе А _i и элементу E^s _j иерархии. Таким образом, столбцы в матрице [А ] образуют ненормированные векторы приоритетов альтернатив по соответствующим элементам E^s _j .

Для получения нормированных векторов W^A _j (верхний индекс указывает на то, что ранжируются альтернативы) приоритетов альтернатив матрица [А ] умножается на диагональную матрицу [S ] вида:

Множество нормированных векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов самого нижнего уровня иерархии определяется перемножением матриц

[W^A ]=[A] ´ [S].

В полученной матрице [ W^A ] столбцами являются нормированные векторы приоритетов альтернатив W^A _j для каждого элемента E^s _j иерархии.

Дальнейшее определение векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ _j иерархии, расположенных выше уровня S , осуществляется в соответствии с шагами 2 и 3 алгоритма иерархического синтеза (см. разд. 2.3).

Рассмотрим пример использования метода сравнения альтернатив относительно стандартов, подтверждающий тот факт, что добавление новой альтернативы не нарушает порядок ранее проранжированных альтернатив.

Пусть имеется матрица предпочтений стандартов:

Вектор приоритетов стандартов имеет следующий вид:

Н = 0,696 М = 0,225 L = 0,079.

Рассмотрим четыре альтернативы А ₁ ,..., А ₄ которым поставлены в соответствие следующие значения вектора приоритетов стандартов:

А ₁ = 0,225 (М), А ₂ = 0,079 (L), А ₃ = 0,225 (М), А ₄ =0,079 (L),

Нормированный вектор приоритетов рассматриваемых альтернатив следующий:

А ₁ А ₂ А ₃ А ₄

W ₄ = { 0,370 0,130 0,370 0,130 }^Т .

где Т — знак транспонирования;

(4) — нижний индекс, указывающий число ранжируемых альтернатив.

В соответствии с приведенным вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета: А ₁ , А ₃ , А ₂ , А ₄ .

Добавим к рассматриваемому множеству альтернатив новую — А ₅ и присвоим ей значение, соответствующее высокому стандарту — Н. Нормированный вектор приоритетов для пяти альтернатив имеет следующий вид:

А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ A ₅

W ₅ = {0,137 0,061 0,173 0,061 0,534}^T .

В соответствии с этим вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета следующим образом: А ₅ , А ₁ , А ₃ , А ₂ , A ₄ . Анализ приведенной последовательности показывает, что добавление новой альтернативы А ₅ , не привело к нарушению порядка у ранее проанализированных альтернатив А ₁ , ..., А ₄ .

Сравнение объектов методом копирования

В третьей модификации рассматривается определение вектора приоритетов альтернатив методом копирования.

Метод копирования применяется в тех случаях, когда среди анализируемых альтернатив имеются такие, которые идентичны по одним или нескольким анализируемым свойствам (критериям качества). Например, пневматическая виброзащитная система рукавного типа, используемая в рессорном подвешивании пассажирских автобусов, идентична по качеству виброизоляции с металлическим механизмом перескока, реализующим квазинулевую жесткость.

Рассмотрим процедуры сравнения и установления приоритета альтернатив, используемые в методе копирования.

Пусть определено множество альтернатив А = {а ₁ , а ₂ , ..., а _n }, каждая из которых отличается от всех других альтернатив этого множества уровнем качества по рассматриваемому критерию К _i и определено другое множество альтернатив В == {b ₁ , b ₂ , ..., b_n }, каждая из которых имеет одинаковые свойства со всеми другими по ранее определенному критерию К _i . Предположим, что множество А имеет хотя бы один элемент а _i ^* , свойство которого по критерию К _i идентично свойствам всех альтернатив множества В. Тогда все альтернативы множества В являются копиями элемента а _i ^* по критерию К _i . При такой ситуации эксперт по критерию К_i попарно сравнивает только альтернативы множества А. Далее на основании матрицы попарных сравнений рассчитывается нормированный собственный вектор W^A , ранжирующий альтернативы множества A . Всем альтернативам-копиям {b ₁ , b ₂ , ..., b_n } присваивается значение нормированного собственного вектора W^A , соответствующее элементу a_i ^* . В результате получается новый ненормированный вектор приоритетов W^AB всех альтернатив, входящих в множества A и В. Вектор W^AB нормируется путем деления каждого значения указанного вектора на сумму всех его значений.

Метод копирования аналогичен методу сравнения альтернатив относительно стандартов в том плане, что позволяет не нарушать порядок ранее проранжированных альтернатив при добавлении новых, являющихся копиями ранее проранжированных альтернатив. Кроме того, число анализируемых альтернатив при добавлении копий может превышать пороговое значение, равное девяти, установленное для метода попарного сравнения.

Рассмотрим пример добавления к ранее проранжированным объектам альтернатив-копий.

Допустим, определены три альтернативы A ₁ , А ₂ и А ₃ , для которых экспертом установлена относительная степень предпочтений по критерию "надежность функционирования системы". Альтернативы сравниваются попарно в матрице, для которой рассчитывается нормированный собственный вектор, имеющий значения {0,5 0,3 0,2}^T . В приведенном векторе указан знак транспонирования — Т, а порядок значений вектора соответствует весу альтернатив А ₁ , А ₂ и А ₃ . Предположим, что для анализа поступают две новые альтернативы А ₄ , А ₅ , свойства которых по указанному критерию полностью идентичны свойствам альтернативы А ₃ . В этом случае альтернативам-копиям присваиваются веса, соответствующие весу альтернативы А ₃ ,, т. е. А ₄ = 0,2 и А ₅ = 0,2. Новый ненормированный вектор приоритетов альтернатив принимает следующий вид:

{0,5 0,3 0,2 0,2 0,2}^T

Значения весов пяти альтернатив после нормирования предыдущего вектора приоритетов имеют следующий вид:

A ₁ = 0,35, А ₂ == 0,21, А ₃ = 0,14, A ₄ = 0,14, A ₅ = 0,14.

Анализ двух векторов приоритетов, характеризующих соответственно множества из трех и пяти альтернатив, показывает, что добавление альтернатив А ₄ , А ₅ не нарушило порядок приоритетности альтернатив А ₁ , А ₂ и А ₃ ,.

Метод копирования позволяет существенно сократить время экспертов на подготовку исходных данных для анализа и уменьшить вероятность внесения в них как случайных, так и логических ошибок.

2.6. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями

В четвертой модификации рассматривается метод определения векторов приоритетов альтернатив для иерархий с различным числом и различающимся составом альтернатив под критериями.

В практике принятия решений нередко встречается задача, когда ранжируемые по множеству критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям. Эта задача характерна для ситуаций, в которых множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относительно одной или нескольких альтернатив. Таким образом, в рассматриваемом случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью. На рис. 2.7 приведены примеры иерархий, в которых каждый критерий E_j из множества {Е ₁ , E ₂ , ... , Е _p } имеет разное количество альтернатив из множества {А ₁ ,А ₂ , ... ,А_r }.

Альтернативы А₁ и А_r ; А₁ , А₂ А _r ; А₂ и А _r оцениваются соответственно относительно элементов (критериев) Е₁ , Е₂ , Е_р (рис. 2.7а).

Рис. 2.7. Примеры иерархий с разным числом альтернатив под критериями а — синтез; б — декомпозиция

Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом (рис. 2.7 б) с учетом значимости критериев, и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методика предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерархии, устанавливающей взаимосвязь между множеством сравниваемых альтернатив {А₁ , A ₂ ,... , А _r }и множеством критериев {E ₁ , Е₂ , ... , Е _p }.

Процедура 2. На основе иерархической структуры определяется бинарная матрица [В], устанавливающая соответствие между альтернативами и критериями. Матрица [В] содержит элементы b_ij = {0,1}. При этом если альтернатива А _i оценивается по критерию E_j , то b_ij = 1, в противном случае b_ij = 0.

Процедура 3. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям. Для этой цели используются метод попарного сравнения, метод сравнения относительно стандартов или метод копирования. На основе экспертных оценок с учетом матрицы [В] строится матрица [А] следующего вида:

В матрице [А] экспертные оценки {a_ij } представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев E_j . При этом если альтернатива А _i не оценивается по критерию Е _j , то в матрице [А] соответствующее значение a_ij = 0. Векторы в указанной матрице имеют различное число значений a_ij и могут быть нормированными или ненормированными в зависимости от используемого метода сравнения альтернатив.

Процедура 4. В результате обработки матрицы попарных сравнений критериев Е _j определяется нормированный вектор приоритетов критериев .

Процедура 5. Формируются структурные критерии S и L , отображаемые соответствующими диагональными матрицами [ S ] и [L].

Рассмотрим состав упомянутых матриц.

Матрица [ S ] имеет следующий вид:

содержание .. 408 409 410 ..