Решение. Постоим эмпирическую функцию плотности распределения вызовов. Рис.4.

Рис.4

Приведённый рисунок позволяет выдвинуть гипотезу о равномерном распределении звонков в службу психологической помощи, т.к. плотность звонков колеблется около некоторого среднего значения.

В качестве интервалов Δхiберём соответствующие часы смены. Так как предполагается оценивать равномерное распределение, то все pi = и npi =144· = 18. Результаты дальнейших расчётов сводим в таблицу 2.

Таблица 2.

Интервалы (часы смены)	1	2	3	4	5	6	7	8
Число звонков mi	16	27	17	15	24	19	11	15
Математические ожидания npi	18	18	18	18	18	18	18	18
mi - npi	-2	9	-1	-3	6	1	-7	-3
	0.22	4.5	0.06	0.5	2.00	0.06	2.72	0.5

Σ =10.56

Число степеней свободы равно r = l – 1 – k = 7 ( k = 0, т.к. единственный параметр распределения – рабочее время смены , т.е. длина отрезка b-a– заранее известно). При данном уровне значимости α = 0,05 по таблице находим соответствующее значение =14,07. Вычисленное значение = 10,56 лежит левее критического значения, т.е. в области допустимых значений, и поэтому нет оснований считать гипотезу H0 о равномерном распределении противоречащей наблюдениям.

Пример. Имеются результаты опроса группы молодёжи, состоящей из 200 человек, о возрасте первого употреблении наркотиков. Результаты представлены в виде интервального вариационного ряда (Таблица 1.):

Таблица 1.

Требуется с помощью критерия Пирсона и при уровне значимости α = 0,05 оценить гипотезу о нормальном распределении возрастов начала употребления наркотиков, тем самым подтвердив гипотезу, что явление наркомании порождено множеством различных причин.

Решение. Построим экспериментальную функцию плотности распределения распределение. Поскольку вариационный ряд интервальный следует перейти к серединам интервалов и заменить абсолютные частоты – частотами относительными. В результате получим (Таблица 2; Рис 2):

Таблица 2.

экспериментальная

Рис.5

Полученная кривая имеет колоколообразную форму, поэтому есть основания к выдвижению гипотезы о нормальном распределении возрастов начала употребления наркотиков.

Результаты вычислений сведем в таблицу 3.

Таблица 3.

№ интервала	Границы интервала	x*i	mi	νi	pi	npi
1	11,12	11,5	7	0.035	0,0187	3,7383	2,8458
2	12,13	12,5	12	0.06	0,0485	9,6940	0,5486
3	13,14	13,5	14	0.07	0,0984	19,6702	1,6345
4	14,15	14,5	25	0.125	0,1562	31,2318	1,2435
5	15,16	15,5	48	0.24	0,1940	38,8031	2,1798
6	16,17	16,5	42	0.21	0,1886	37,7239	0,4847
7	17,18	17,5	24	0.12	0,1435	28,6978	0,7690
8	18,19	18,5	13	0.065	0,0854	17,0829	0,9758
9	19,20	19,5	10	0.05	0,0398	7,9571	0,5245
10	20,21	20,5	5	0.025	0,0145	2,9002	1,5203

Сумма: 12,72645

Среднее значение возраста, впервые употребляющие наркотики, равно 15,885

Подправленная дисперсия возрастов, впервые употребляющих наркотики, равна 4,077. Стандартное отклонение возрастов, впервые употребляющих наркотики, равно 2,019

Полученные характеристики позволяют с помощью таблиц гауссовой кривой вычислить вероятности средних возрастов, впервые употребляющих наркотики. Результаты вычислений представлены на рисунке 6. Графики экспериментальных относительных частот и теоретических вероятностей практически совпали друг с другом из-за масштабирования. Чтобы показать существующее расхождение между теоретическим и экспериментальным распределением построим графики абсолютных частот средних значений возрастов – рисунок 7.

Рис.6

Рис.7.

Вычислим значение критерия – случайной величины χ2. Оно равно сумме значений последнего столбца таблицы - 12,726. Критическое значение χ2 при уровне значимости 0,05 и степенях свободы, равных r = 10 – 1 – k = 10 – 1 – 2 = 7 , определяется значением 14,067. Таким образом, нет оснований отвергать гипотезу H0 о нормальном законе распределения возрастов лиц, впервые употребляющих наркотические вещества, тем самым мы подтверждаем экспериментально мнение специалистов, что проблема наркомании имеет комплексный характер.

Контрольные вопросы:

1 Дайте определение точечной и интервальной оценке.

Сформулируйте основные требования к точечным оценкам и раскройте их смысл

Дайте определения уровню значимости, ошибки первого и второго рода.

4. Для вариационного ряда Темы 2.1. найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

5. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

6. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

Тема 2.3. Статистические методы обработки экспериментальных данных

1. Метод наименьших квадратов (МНК).

2. Регрессионный анализ

3. Корреляционный анализ

Конспект лекции

Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

у = а + bх, (1)

где у - среднее значение результативного признака при определенном значении факторного признака х;

а - свободный член уравнения;

b - коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения - вариация у, приходящаяся на единицу вариации х.

Уравнение (1) определяется по данным о значениях признаков х и у в изучаемой совокупности, состоящей из п единиц. Параметры уравнения а и b находятся методом наименьших квадратов (МНК).

Исходное условие МНК для линейной связи имеет вид:

Для отыскания значений параметров а и b, при которых f(a,b) принимает минимальное значение, частные производные функции приравниваем нулю и преобразуем получаемые уравнения, которые называются нормальными уравнениями МНК для линейной формы уравнения регрессии:

Отсюда система нормальных уравнений имеет вид:

Нормальные уравнения МНК для прямой линии регрессии являются системой двух уравнений с двумя неизвестными а и b. Все остальные величины, входящие в систему, определяются по исходной информации. Таким образом, однозначно вычисляются при решении этой системы уравнений оба параметра уравнения линейной регрессии.

Если первое нормальное уравнение разделить на п, получим:

(2)

По уравнению (2) обычно на практике вычисляется свободный член уравнения регрессии а. Параметр b вычисляется по преобразованной формуле, которую можно вывести, решая систему нормальных уравнений относительно b:

. (3)

Так как знаменатель этого выражения есть не что иное, как дисперсия признака х, т. е. σ2, то можно записать формулу коэффициента регрессии в виде:

(4)

Подставив в (3) выражение для s2x, получим:

. (5)

Параметры уравнения регрессии можно вычислить через определители:

(6)

где D - определитель системы;

Da - частный определитель, получаемый в результате замены коэффициентов при а свободными членами из правой части системы уравнений;

Db - частный определитель, получаемый в результате замены коэффициентов при b свободными членами из правой части системы уравнений.

Коэффициент парной линейной регрессии, обозначенный , имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Он измеряет среднее по совокупности отклонение у от его средней величины при отклонении признака х от своей средней величины на принятую единицу измерения.

Теснота парной линейной корреляционной связи, как и любой другой показатель, может быть измерена корреляционным отношением h. Кроме того, при линейной форме уравнения применяется другой показатель тесноты связи - коэффициент корреляции rxy. Этот показатель представляет собой стандартизованный коэффициент регрессии, т. е. коэффициент, выраженный не в абсолютных единицах измерения признаков, а в долях среднего квадратического отклонения результативного признака:

. (7)

Коэффициент корреляции был предложен английским статистиком и философом Карлом Пирсоном (1857 - 1936). Его интерпретация такова: отклонение признака-фактора от его среднего значения на величину своего среднего квадратического отклонения в среднем по совокупности приводит к отклонению признака-результата от своего среднего значения на rxy его среднего квадратического отклонения.

В отличие от коэффициента регрессии b коэффициент корреляции не зависит от принятых единиц измерения признаков, а стало быть, он сравним для любых признаков.

Обычно считают связь сильной, если r³. 0,7; средней тесноты, при 0,5 £r£ 0,7; слабой при r < 0,5. Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации:

Эта формула используется при. анализе множественной корреляции. Умножив числитель и знаменатель последнего выражения на получим:

и окончательно, коэффициент корреляции принимает вид:

. (8)

Эта формула соответствует формуле (7) для коэффициента регрессии.

Средние квадратическое отклонение можно выразить через средние величины признака:

.

Подставив эти выражения в (8), получим:

. (9)

содержание   ..  721  722  723   ..