С

1 ПОСТРОЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

Статический объект - такой объект, у которого выходная величина является функцией от входной y=f(x) и не изменяется с течением времени.

Для того, чтобы знать поведение статического объекта, строят математическую модель, описывающую в аналитической форме зависимость выходного сигнала от сигнала на входе объекта.

Постановка задачи:

Для получения статической характеристики объекта регулирования необходимо выполнить следующие действия:

- задаться рядом значений входной величины x;

- для каждого x_i , поданного на вход объекта выдержать время, необходимое для завершения переходного процесса;

- зарегистрировать значение выходного сигнала y_i .

Для построения статической модели, статического объекта, мы имеем значения входных и соответствующих им выходных величин в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

1.1 Статическая модель объекта первого порядка

Объект первого порядка (линейная модель) описывается уравнением вида y=ax+b. Для нахождения коэффициентов a и b, удовлетворяющих всем состояниям объекта регулирования составим систему линейных алгебраических уравнений.

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом Крамара.

X∙А=Y

X^Т X∙А=X^Т Y

где - матрица с неизвестными величинами

Составим соответствующие матрицы входных и выходных сигналов:

- произведение :

- произведение :

Вычислили значения коэффициентов: а=0,668; b=3,655

Окончательно получим уравнение: y = 0,668x + 3,655

Для качественной оценки полученного полинома вычислим аналитически значения функции и сравним их с экспериментальными данными. Результаты сведем в таблице 2.

Таблица 2 – Результаты расчёта

Далее приведен проверочный расчет линейной аппроксимации на ЭВМ в программной среде MathCAD.

Вектор данных:

Длина вектора:

Оператор slope определяет тангенс угла образованного аппроксимирующей прямой и положительным направлением оси ОХ, т.е. определяет коэффициент при х.

Оператор intercept определяет точку пересечения аппроксимирующей прямой с осью OY, т.е. определяет свободный член.

Получаем уравнение аппроксимирующей прямой:

Определяем сумму квадратов отклонений:

Рисунок 1 – График статической модел и 1-го порядка

1.2 Статистическая модель объекта второго порядка

В целом ход действий аналогичен случаю для линейной модели. Модель объекта второго порядка описывается уравнением вида y=ax² +bx+c.

Для решения этой системы воспользуемся матричным методом наименьших квадратов.

Составим матрицы входных и выходных сигналов:

Таким образом, получили матричное уравнение:

,

где - матрица коэффициентов полинома второго порядка

Находим значение главного определителя:

Δ=314160

Подставляя матрицу поочередно в первый, второй и третий столбец матрицы , находим вспомогательные определители:

Находим коэффициенты полинома:

Таким образом, получили полином второго порядка:

Для качественной оценки полученного полинома вычислим аналитические значения функции и сравним их с экспериментальными данными. Результаты сведем в таблице 3.

Таблица 3 – Результаты расчета

Далее приведен проверочный расчет линейной аппроксимации на ЭВМ в программной среде MathCAD.

- векторы данных;

- длина вектора

- задание степени

- переход к созданию матрицы Вандермонда и подматрицы для решения системы уравнений;

- матрица коэффициентов системы уравнений;

- вектор правых частей системы уравнений;

- решение системы уравнений;

- коэффициент c;

- коэффициент b;

- коэффициент a;

- вычисление значений аппроксимирующей функции;

Определяем сумму квадратов отклонений:

Рисунок 2 – График статической модели 2-го порядка

1.3 Расчёт коэффициентов передачи объекта

Коэффициент передачи объекта показывает, в какую сторону и в какой степени происходит изменение сигнала при прохождении его через объект, то есть усилительные свойства объекта.

Коэффициент передачи определяется как производная от выходной величины:

Расчет коэффициента передачи производим при 10%, 50% и 90% номинального режима, из таблицы данных находим максимальное и минимальное значения сигнала на выходе объекта

Решим алгебраические нелинейные уравнения, исследуем полученные корни и, подставив, нужный корень, получили коэффициенты передач.

Таблица 4 – Результаты расчета коэффициентов передачи

2 ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

Динамическая характеристика объекта нужна для построения его динамической математической модели, которая описывает поведение объекта во времени, начиная с момента подачи входного сигнала и до момента, когда все переходные процессы заканчиваются.

Динамические характеристики, в свою очередь, подразделяются на временные и частотные.

Временными характеристиками звена или системы называют изменение во времени значений выходной величины при поступлении на вход некоторого типового воздействия. Наиболее важной временной характеристикой является реакция системы на единичное, мгновенное, скачкообразное изменение значения входной величины, так как этот режим очень часто возникает в системах регулирования, как при включении, так и при изменении заданного значения регулируемой величины.

Таким образом, под временной характеристикой системы будем понимать процесс изменения выходной величины в функции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другое в результате поступления на вход системы единичного, ступенчатого воздействия.

Для получения динамической переходной характеристики объекта регулирования необходимо:

а) задаться рядом значений времени t;

б) зарегистрировать значение выходного сигнала Y_i в заданные моменты t, в результате интенсивного экспериментирования. Эти данные сведены в таблицу 5.

Таблица 5 – Динамическая характеристика объекта регулирования

Для получения аналитической зависимости, заданную таблично динамическую характеристику необходимо аппроксимировать выражением первого порядка. Затем по наименьшему значению суммы квадратов отклонений для характеристик без запаздывания и с запаздыванием нужно выбрать наиболее приближенную к экспериментальным данным динамическую характеристику.

Для статических объектов первого порядка без запаздывания будем иметь:

- дифференциальное уравнение

Т - постоянная времени, это время в течение которого выходная координата объекта достигла установившегося состояния, если бы изменялась с максимальной скоростью;

k - коэффициент передачи.

- передаточную функцию

- решение дифференциального уравнения

Для статических объектов первого порядка с запаздыванием будем иметь:

- дифференциальное уравнение

- передаточную функцию

- решение дифференциального уравнения

Для статических объектов N-го порядка без запаздывания, имеющих кратные (одинаковые корни), будем иметь:

- передаточную функцию

- решение дифференциального уравнения (переходный процесс)

Для статических объектов N-го порядка с запаздыванием будем иметь:

- передаточную функцию

переходный процесс

Общий процесс решения поставленной задачи будет выглядеть следующим образом:

- составляем систему уравнений для всей совокупности экспериментальных точек. Для объектов высоких порядков систему предварительно линеаризуем посредством замены переменных и решения в каждой точке нелинейного уравнения для этой введенной дополнительной переменной;

- составляем систему уравнений для всей совокупности экспериментальных точек. Для объектов высоких порядков систему предварительно линеаризуем посредством замены переменных и решения в каждой точке нелинейного уравнения для этой введенной дополнительной переменной;

- полученную систему уравнений решаем матричным методом наименьших квадратов и находим неизвестные  и T.

2.1 Динамическая модель объекта 1-го порядка без запаздывания

Расчёт вручную

Решением дифференциального уравнения будет являться сумма общего и частного решений:

Найдем Y_общ (t):

Найдем Y_част (t):

Подставим:

Найдем постоянную С:

Y(0)=Y₀

тогда

;

Подставим С:

По таблице при t = 0, Y(0) = 0, тогда:

, откуда и получим:

Где - установившееся значение, в нашем случае Y_уст = Y_max .

Найдем постоянную времени Т методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение:

Прологарифмируем выражение:

Обозначим

Рассчитаем для каждого момента времени t_i и занесем в таблицу 6.

Таблица 6 - Значения

Далее составляем систему алгебраических уравнений:

В систему не вошло уравнение для момента времени t₉ , так как ln0 не определен, и для момента времени t=0, так как в них . Составляем матричное уравнение для:

Составим матрицы:

Находим произведение :

Находим произведение :

Окончательно найдем T:

Рисунок 3 – График динамической модели объекта 1-го порядка без запаздывания

2.2 Динамическая модель объекта 1-го порядка с запаздыванием

Расчёт вручную

Системой с запаздыванием называется система, в которой имеется звено, обладающее таким свойством, что реакция на его выходе отстает по времени на некоторую величину .

Объект первого порядка с запаздыванием можно описать уравнением вида:

Запишем решение дифференциального уравнения:

где

Найдем постоянную времени Т и время запаздывания методом наименьших квадратов. Преобразуем выражение:

Прологарифмируем выражение :

где , значение (таблица 6).

Составим систему алгебраических уравнений первого порядка, причем число уравнений равно числу состояний объекта в эксперименте, кроме точек , так как в них , а также точки и , так как в этой точке не существует:

Составим матричное уравнение для решения системы:

где

.

Составим матрицы L и t:

Найдем произведение :

Найдем произведение :

Найдем главный определитель:

Находим вспомогательные определители и , подставляя матрицу поочередно в первый и второй столбцы матрицы соответственно:

Находим Т и t:

Расчёт в системе MathCAD

Рисунок 4 – График динамической модели объекта 1-го порядка с запаздыванием

2.3 Динамическая модель объекта 2-го порядка без запаздывания

Рисунок 5 – График динамической модели объекта 2-го порядка без запаздывания

2.4 Динамическая модель объекта 2-го порядка с запаздыванием

- решение системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращения матрицы;

Рисунок 6 – График динамической модели объекта 2-го порядка с запаздыванием

Таким образом, в результате расчета из четырёх моделей объекта выбрана модель второго порядка c запаздыванием, так как она наиболее точно отражает протекание переходных процессов и обеспечивает заданное качество регулирования. Это видно из расчетов, у этой модели сумма квадратов отклонений имеет наименьшее значение, чем у остальных объектов и также это видно из кривой переходного процесса.

3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА

3.1 Приведение к нормальной системе дифференциальных уравнений

Пусть имеем передаточную функцию в виде степенного полинома, который необходимо представить в обычной форме. В таком виде обычно формируется математическая модель объекта по результатам исследования. Передаточная функция представляет собой отношение выходной величины к входной величине, и она выбирается по минимальному среднеквадратическому отклонению от экспериментальных данных динамических характеристик. В нашем случае это передаточная функция динамической характеристики второго порядка с запаздыванием:

Где:

Разложим звено запаздывания в степенной ряд в виде отношения полиномов:

Тогда перемножая, получим:

Получили дифференциальное уравнение. Приведем к нормальной системе дифференциальных уравнений методом формального интегрирования.

Получили нормальную систему дифференциальных уравнений, разрешённую относительно первой производной:

Неизвестную величину найдём из соотношения:

Где k - коэффициент передачи при 50% мощности от номинального режима;

- максимальное значение экспериментальных данных.

Подставив в полученную систему получим:

В результате решения получается матрица чисел, содержащая столбец точек независимой переменной (в нашем случае - времени) и столбцы соответствующих значений функций, определенных системой уравнений и вычисленных в этих точках.

3.2 Решение нормальной системы уравнений методом Рунге – Кутта, с постоянным шагом

Время, с

Рисунок 7 - График переходного процесса

На рисунке: – исходные данные; Y(t1) – полином второго порядка с запаздыванием.

4 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА

4.1 Частотные характеристики

4.1.1 Расчёт частотных характеристик вручную

Для оценки установившихся режимов оказалось более удобным рассматривать поведение элементов и систем при воздействии, являющихся периодическими функциями времени. Частотные характеристики всякого объекта связаны с его передаточной функцией, которая имеет вид:

Где - коэффициент передачи при 50 %;

- постоянная времени;

- время запаздывания.

В выражении для объекта второго порядка, заменив на мнимую величину , получим комплексную функцию , которую называют частотной функцией и имеет следующий вид:

где - частота.

Экспоненту преобразуем по формулам Эйлера, получим:

Преобразовав выражение, получим выражение:

Обозначим в формуле:

- вещественная частотная характеристика системы;

- мнимая частотная характеристика системы.

Подставив и в уравнение:

На основании равенств составим соотношения, связывающие между собой частотные характеристики:

где - амплитудно-частотная характеристика;

- фазо-частотная характеристика;

- логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

Пусть , тогда действительная составляющая равна:

Мнимая составляющая равна:

Амплитуда колебаний равна:

Фазовая составляющая равна:

Результаты, полученные при других частотах, сведены в таблицу 7.

Таблица 7 – Результаты вычислений

4.1.2 Расчёт частотных характеристик в системе MathCAD

Рисунок 8.1 – АФХ объекта

Рисунок 8.2 – АЧХ объекта

Рисунок 8.3 – ЛАЧХ объекта

Рисунок 8.4 – Действительная частотная характеристика

Рисунок 8.5 – Мнимая частотная характеристика

Рисунок 8.6 – Фазо – частотная характеристика

Фазо – частотная характеристика вычисляется в диапазоне от 0 до 3600. Для значений больше 3600 необходимо прибавить вычисленное значение.

Таблица 8 – Результаты вычислений в системе MathCAD

4.2 Расчет расширенных частотных характеристик объекта

Расширенные частотные характеристики применяются при расчете регуляторов с заданными показателями качества замкнутой системы, и, в частности, с заданной величиной степени колебательности . При , регулятор должен обеспечить замкнутой системе 75%-ое затухание. Расчет расширенных частотных характеристик даёт более наглядное представление о происходящих процессах.

4.2.1 Расчет расширенных частотных характеристик объекта в системе MathCAD

Заменив в выражении для объекта второго порядка величину на мнимую величину , получим комплексную функцию .

Рисунок 9.1 – АФХ объекта

Рисунок 9.2 – АЧХ

Рисунок 9.3 – Логарифмическая АЧХ

Рисунок 9.4 – Действительная ЧХ

Рисунок 9.5 – Мнимая ЧХ

Рисунок 9.6 – ФЧХ

Фазо–частотная характеристика вычисляется в диапазоне от 0 до 3600. Для значений больше 3600 необходимо прибавить вычисленное значение.

Результаты расчетов представлены в таблице 9

Таблица 9 – Результаты вычислений в системе MathCAD

5 ВЫБОР И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ

Регулятор состоит из элементарных звеньев и включается в цепь обратной связи системы автоматического регулирования. Автоматические регуляторы по своим динамическим свойствам подразделяются: на линейные и нелинейные. При проектировании наиболее часто из линейных регуляторов применяют:

- П – регулятор (пропорциональный регулятор);

- И – регулятор (интегральный регулятор);

- ПИ – регулятор (пропорционально-интегральный регулятор);

- Д – регулятор (дифференциальный регулятор);

- ПД – регулятор (пропорционально-дифференциальный регулятор);

- ПИД – регулятор (пропорционально-интегро-дифференциальный регулятор);

Требования, предъявляемые к регулятору, обусловлены требованиями ко всей системе регулирования. Для обеспечения устойчивости замкнутой системы, при проектировании систем стремятся обеспечивать их устойчивость, так чтобы изменения параметров в некоторых пределах не могло привести к неустойчивости системы. Расчёт параметров настройки регуляторов производится при помощи расширенных частотных характеристик объекта. Расширенные частотные характеристики рассчитываются при подстановке . Одним из методов расчёта, является критерий Найквиста. Этот частотный критерий устойчивости, разработанный в 1932г. Американским учёным Г.Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристике. Критерий Найквиста формулируется следующим образом: Если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку (-1,0). В математической форме условия устойчивости системы по критерию Найквиста следующие:

В данной работе рассмотрено несколько регуляторов, при выборе регуляторов необходимо пользоваться рекомендациями. В целом процедуры расчета регулятора следующие:

1) Имея передаточную функцию объекта (любого порядка с запаздыванием или без него) зададимся величиной , обеспечивающей требуемое качество переходного процесса в замкнутой системе, а также диапазоном и шагом изменения частоты .

2) Рассчитаем значения расширенной частотной характеристики объекта и в явном виде определим параметры настройки регулятора в заданном диапазоне частот.

3) Удовлетворяя фазовым соотношениям, находим по полученным графикам и таблицам оптимальные параметры настройки регуляторов.

5.1 П - регулятор

5.1.1 Расчёт П - регулятора вручную

Передаточная характеристика имеет вид:

где: - коэффициент передачи при 50%;

- постоянная времени;

- время запаздывания.

Заменив в выражении для объекта второго порядка величину

содержание   ..  543  544  545   ..