Министерство образования и науки Украины
кафедра прикладной математики
по дисциплине "Эконометрия"
Харьков, 2008 г.
Задание № 1.
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о линейной зависимости
Y = b0
+ b1
* X;
определить параметры b0
и b1
;
вычислить коэффициенты детерминации R2
и коэффициент корреляции r;
сделать прогноз Y в указанной точке Xр
.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1
X
|
Y
|
3.11
|
10.65
|
3.15
|
11.87
|
3.85
|
12.69
|
4.84
|
13.40
|
4.62
|
15.12
|
4.87
|
16.03
|
6.09
|
16.29
|
7.06
|
18.07
|
6.23
|
18.40
|
6.83
|
19.53
|
8.01
|
20.48
|
8.26
|
21.72
|
9.37
|
23.17
|
9.02
|
23.57
|
9.76
|
24.41
|
2. На основе данных таблицы1 строим диаграмму рассеивания.
Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией.
Y = b0
+ b1
X
3. Найдем параметры b0
и b1
.
Опишем полученный результат:
в первой строке находятся оценки параметров регрессии b1
, b0
;
во второй строке находятся средние квадратичные отклонения sb1
, sb0
.
в третьей строке в первой ячейке находится коэффициент детерминации R2
, а во второй ячейке оценка среднего квадратичного отклонения показателя sе
.
в четвертой строке в первой ячейке находится расчетное значение F - статистики, во второй ячейке находится k - число степеней свободы;
в пятой строке в первой ячейке находится сумма квадратов отклонений расчетных значений показателя от его среднего значения, а во второй ячейке - сумма квадратов остатков.
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
Результаты расчетов
|
1,958977
|
5,277335
|
0,10027
|
0,671183
|
0,967063
|
0,836194
|
381,6981
|
13
|
266,8909
|
9,089857
|
По данным таблицы 2 можем записать модель:
Y = 5,277335 + 1,958977Х
Коэффициент детерминации R2
= 0,967063 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
4. Найдем прогноз в заданной точке Xp
= 10,1. Для этого подставим Xp
в модель. Получим
Yp
= 5,277335 + 1,958977 * 10,1 = 25,063.
Все полученные результаты запишем в таблицу 3.
Таблица 3.
X
|
Y
|
3.11
|
10.65
|
3.15
|
11.87
|
3.85
|
12.69
|
4.84
|
13.40
|
4.62
|
15.12
|
4.87
|
16.03
|
6.09
|
16.29
|
7.06
|
18.07
|
6.23
|
18.40
|
6.83
|
19.53
|
8.01
|
20.48
|
8.26
|
21.72
|
9.37
|
23.17
|
9.02
|
23.57
|
9.76
|
24.41
|
10,1
|
25,063
|
5. Диаграмма примет вид:
6. Вычислим коэффициент корреляции r. В результате расчета получим коэффициент корреляции r = 0,9834.
r =
= √0,967063 = 0.9834
Задание № 2.
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу о криволинейной связи между Х и Y;
произвести линеаризацию;
определить параметры a и b;
сделать прогноз в указанной точке;
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
X
|
Y
|
1,03
|
0,44
|
1,63
|
0,33
|
2,16
|
0,25
|
2,71
|
0, 20
|
3,26
|
0,16
|
3,77
|
0,12
|
4,35
|
0,10
|
4,91
|
0,07
|
5,50
|
0,05
|
6,01
|
0,04
|
На основе данных таблицы 1 строим диаграмму рассеивания.
Визуально можно предположить, что зависимость не линейная. Исходная модель имеет вид Y = beax
. Делаем линеаризующую подстановку: V = Y, U = lnX.
Полученные данные заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
X
|
Y
|
V
|
U
|
1,03
|
0,44
|
0,44
|
0.02956
|
1,63
|
0,33
|
0,33
|
0.48858
|
2,16
|
0,25
|
0,25
|
0.77011
|
2,71
|
0, 20
|
0, 20
|
0.99695
|
3,26
|
0,16
|
0,16
|
1.18173
|
3,77
|
0,12
|
0,12
|
1.32708
|
4,35
|
0,10
|
0,10
|
1.47018
|
4,91
|
0,07
|
0,07
|
1.59127
|
5,50
|
0,05
|
0,05
|
1.70475
|
6,01
|
0,04
|
0,04
|
1.79342
|
Строим корреляционное поле:
Визуально можно предположить, что между данными существует линейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией
Y = b1
X + b0
Диаграмма примет вид:
3. Найдем параметры b0
и b1
.
Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3.
Результаты расчета
|
-0,2297
|
0,436791
|
0,005542
|
0,006967
|
0,995364
|
0,009454
|
1717,627
|
8
|
0,153525
|
0,000715
|
Параметры модели b0
= 0,436791, b1
= - 0,2297. Коэффициент детерминации R2
= 0,995364 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
Находим параметры исходной нелинейной модели:
а = еb1
= e-0,2297
= 0,79477
b = eb
0
= e0,436791
= 1,54773
Исходная нелинейная модель примет вид: Y = 1,54773e0,79477
X
5. Вычислим прогнозируемое Yp
в то Xp
= 6,5:
Yp
= 1,54773e 0,79477*6,5
= 271,18
Задание № 3
По заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
построить корреляционную матрицу;
по корреляционной матрице проверить факторы X1
, X2
, X3
на мультиколинеарность, и, если она есть, устранить ее, исключив один из факторов;
проверить гипотезу о наличии линейной связи между показателем Y и оставшимися факторами;
определить параметры линейной связи;
вычислить коэффициент детерминации;
сделать прогноз в указанной точке.
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
X1
|
X2
|
X3
|
Y
|
2,61
|
10,35
|
6,61
|
7,72
|
4,89
|
11,78
|
7,94
|
10,77
|
6,24
|
14,09
|
8,62
|
11,86
|
9,01
|
14,64
|
8,83
|
13,73
|
10,79
|
15,17
|
10,68
|
17,04
|
13,53
|
17,42
|
10,66
|
18,8
|
16,32
|
19,24
|
11,78
|
21,28
|
18,6
|
20,6
|
13,78
|
23,7
|
21,48
|
22,04
|
13,74
|
27,63
|
23,02
|
22,69
|
14,56
|
27,45
|
25,17
|
22,65
|
14,09
|
29,71
|
26,4
|
24,83
|
16,66
|
32,8
|
27,62
|
24,82
|
15,12
|
31,81
|
30, 19
|
25,17
|
15,42
|
25,22
|
32,25
|
26,22
|
15,77
|
37,26
|
33,76
|
27,72
|
17,4
|
39,2
|
35,97
|
29,15
|
17,77
|
2. По исходным данным строим корреляционную матрицу (таблица 2):
Таблица 2.
X1
|
X2
|
X3
|
Y
|
X1
|
1
|
0,9921671
|
0,9741853
|
0,9656738
|
X2
|
0,9921671
|
1
|
0,9864174
|
0,9700431
|
X3
|
0,9741853
|
0,9864174
|
1
|
0,96548
|
Y
|
0,9656738
|
0,9700431
|
0,96548
|
1
|
Визуально можно предположить, что между данными X2
и X3
и X1
и X3
есть зависимость, значит, фактор X3
исключаем из модели, так как между ним и Y связь меньше, чем между Y и X2
(0,96548 < 0,9700431). Модель будет иметь вид:
Y = b0
+ b1
X1
+ b2
X2
;
3. Строим график зависимости между X1
, X2
и Y: визуально можно предположить, что зависимость между X1
, X2
и Y линейная, коэффициент детерминации R2
= 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
4. Найдем параметры b0
, b1
и b2
. Полученные результаты заносим в таблицу 3:
Таблица 3.
Результаты расчета
|
1,344552
|
0, 1954415
|
-7,0318824
|
0,9429349
|
0,5065553
|
9,4389862
|
0,9416518
|
2,4854573
|
---
|
104,90023
|
13
|
---
|
1296,0419
|
80,307473
|
---
|
5. По данным таблицы можем записать модель:
Y = - 7,0318824 + 0, 1954415X1
+ 1,344552X2
;
Коэффициент детерминации R2
= 0,9416518 - близок к 1, следовательно, модель адекватна.
6. Найдем прогноз в заданной точке. Для этого достаточно подставить Xp
в модель.
Yp
= - 7,0318824 + 0, 1954415 * 35,97 + 1,344552 * 29,15 = 39, 19
Задание №4.
Предположим, что между показателем Y - объем выпущенной продукции и факторами X1
- трудовые затраты, X2
- объем основных фондов, существует зависимость типа
Y = AX
× X
(производная функция Кобба-Дугласа). По приведенным статистическим данным с помощью пакета "Excel":
определить коэффициенты А, б1
, б 2
;
вычислить прогноз в указанной точке;
определить коэффициент эластичности по каждому из факторов в точке прогноза.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1.
X1
|
X2
|
Y
|
54,2
|
33,6
|
75,4
|
56,8
|
39,1
|
85,4
|
59,7
|
40,4
|
88,5
|
61,4
|
42,9
|
92,7
|
63,5
|
44
|
95,2
|
64,7
|
46,8
|
99,5
|
64,8
|
51,9
|
106,2
|
67,4
|
56,3
|
113,2
|
69
|
56,6
|
114,5
|
70,7
|
58,7
|
118,1
|
71,3
|
59,6
|
118,7
|
73,7
|
62,4
|
123
|
75,9
|
63,9
|
127,4
|
77,5
|
67,2
|
?
|
Так как модель не линейная, перейдем к линейной с помощью замены:
V = lnY, U1
= lnX1
, U2
= lnX2
, b0
= lnA, b1
= б1
получим линейную модель:
V = b0
+ b1
U1
+ b2
U2
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2.
X1
|
X2
|
Y
|
V
|
U1
|
U2
|
54,2
|
33,6
|
75,4
|
4,3228
|
3,9927
|
3,5145
|
56,8
|
39,1
|
85,4
|
4,4473
|
4,0395
|
3,6661
|
59,7
|
40,4
|
88,5
|
4,4830
|
4,0893
|
3,6988
|
61,4
|
42,9
|
92,7
|
4,5294
|
4,1174
|
3,7589
|
63,5
|
44
|
95,2
|
4,5560
|
4,1510
|
3,7842
|
64,7
|
46,8
|
99,5
|
4,6002
|
4,1698
|
3,8459
|
64,8
|
51,9
|
106,2
| |