ЗМІСТ

	=		´
Індекс вартості	Індекс цін Пааше	Індекс фізичного обсягу

	=		´
Індекс вартості	Індекс цін Ласпейреса	Індекс фізичного обсягу

Характеристики	Розрахункові формули
1. Абсолютний приріст
2. Коефіцієнт зростання
3. Коефіцієнт приросту
4. Темп зростання
5. Темп приросту
6. Середня арифметична
7.Середня хронологічна
8. Середній абсолютний приріст
9. Середній темп зростання
10. Середній темп приросту

Рис. 2.2. Схема побудови адаптивних моделей

Після надходження фактичного значення обчислюється помилка, розбіжність між фактичним і прогнозованим рівнем (довготермінова функція моделі): .

У моделі передбачається, що зміна фактичного рівня є деякою часткою ( ) від очікуваної зміни . Параметр називається коригувальним коефіцієнтом або параметром адаптації. За критерій оптимальності під час вибору параметра адаптації можна взяти мінімум середнього квадрата помилок прогнозування. Чим ближчий до одиниці, тим більше сподівання економічних суб’єктів відповідають реальній динаміці часового ряду, і навпаки, чим ближче до нуля — тим менше володіємо ситуацією, тому треба вносити корективи.

Помилка прогнозу через зворотний зв’язок надходить до моделі та враховується залежно від прийнятої системи переходу від одного стану до наступного. В результаті з’являються «компенсаційні» зміни, які дають змогу коригувати параметри моделі з метою більшого узгодження поведінки моделі з динамікою ряду. Наприклад, бажане значення якогось економічного показника визначається рівнянням:

(2.21)

де залишки є «білим шумом» і не корелюють із t . Фактичне значення на момент t y_t не співпадає із бажаним значенням, але буде пристосовуватися до нього за таким правилом:

(2.22)

де — білий шум. Із (2.2.4) випливає, що на кожному кроці t рівень ряду y_t ,буде коригуватися в напрямі очікуваного значення на величину, пропорційну різниці між бажаним і поточним рівнями економічного показника. Співвідношення (2.2.4) можна переписати у вигляді експоненціальної середньої першого порядку:

(2.3)

з чого видно, що поточне значення величини y_t є зваженим середнім бажаного рівня на даний момент часу та фактичного значення в попередньому періоді. Підставляючи значення (2.21) в (2.23), маємо модель коригування прогнозу:

(2.24)

Це співвідношення називають короткотерміновою функцією моделі.

Таким чином, адаптація здійснюється ітеративно з одержанням кожної нової фактичної точки ряду. Модель постійно «всмоктує» інформацію й розвивається з урахуванням нових тенденцій, наявних на теперішній момент. Завдяки зазначеним властивостям адаптивні методи найуспішніше використовують для оперативного прогнозування.

У практиці статистичного прогнозування базовими адаптивними моделями вважаються моделі Брауна і Хольта, які належать до схеми ковзної середньої, та модель авторегресії. Решта адаптивних методів (метод адаптивної фільтрації (МАФ), метод гармонійних ваг тощо [27]) розрізняються за способом оцінювання параметрів моделі та визначенням параметрів адаптації базових моделей.

Адаптивна модель за методом Хольта — це динамічний процес у вигляді лінійно-адитивного тренду:

(2.25)

де — прогнозована оцінка рівня ряду , яка розраховується в момент часу на кроків уперед,

— оцінка поточного ( -го) рівня часового ряду,

— оцінка поточного приросту.

Припускається, що випадкові залишки е мають нормальний закон розподілу із нульовим математичним сподіванням та дисперсією .

У цьому методі послаблені умови однопараметричності моделі Брауна за рахунок уведення двох параметрів згладжування — та , ( ).

Коефіцієнти лінійної моделі за методом Хольта розраховують за такими співвідношеннями:

, (2.26 )

, (2.27 )

де е_t — похибка прогнозу рівня , обчислена в момент часу (t- 1) на один крок уперед, .

Коефіцієнт має значення, близьке до останнього рівня, і становить закономірну складову цього рівня; коефіцієнт — визначає приріст, що склався наприкінці періоду спостережень, але характеризує також швидкість зростання показника попередніх етапах. Початкові значення параметрів моделі знаходять за методом найменших квадратів на підставі кількох перших спостережень. Оптимальні значення параметрів згладжування та визначають методом багатовимірної числової оптимізації, вони є сталими для всього періоду спостереження.

Після оцінювання параметрів та прогноз на τ моментів часу, тобто , розраховують як суму оцінки середнього поточного значення ( ) та очікуваного показника зростання ( ), помноженого на період випередження τ, тобто

. (2.28 )

За допомогою оператора L можна зрушити всю послідовність даних на один крок назад: . Застосування оператора до спостережень і коефіцієнтів моделі Хольта дає змогу представити її як модель ARIMA (0, 1, 1)у вигляді:

. (2.29 )

Формулювання адаптивних моделей у термінах лінійних параметричних моделей ARMA (авторегресії — ковзної середньої) — уможливлює також тлумачення їх як підмножини класу лінійних параметричних моделей. Отже, встановлюється відповідність між двома різними підходами до моделювання часових рядів.

Метод Хольта-Вінтерса. Цей метод, на відміну від мето-
ду Хольта, окрім лінійного тренду включає ще й сезонну компоненту.

Прогноз на τ кроків уперед для адитивної форми моделі будують за формулою:

, (2.30 )

де s — коефіцієнт сезонності;

m — період сезонного циклу (наприклад, за квартальними даними m = 4). Обчислення параметрів моделі виконують за співвідношеннями:

, (2.31 )

, (2.32 )

, (2.33)

де — параметри згладжування (адаптації), .

Мультиплікативна модель аналогічна адитивній моделі з тією лише різницею, що розраховані за лінійною моделлю прогнозові значення коригують шляхом множення їх на сезонні коефіцієнти. Прогноз на τ кроків розраховують за формулою:

, (2.34)

а параметри обчислюють за співвідношеннями:

, (2.35)

, (2.36)

. (2.37)

Для несезонних часових рядів обчислювальні формули спрощують за рахунок виключення сезонної компоненти. За відносно постійної амплітуди сезонної хвилі доцільно використовувати адитивну модель, у разі її зміни відповідно до тенденції середнього рівня — мультиплікативну. Зазначимо, що моделі змішаного типу іноді дають точніший результат, але погано тлумачаться змістовно. Практика показує, що у випадку, коли сезонні коливання процесу великі й не дуже стабільні, мультиплікативна модель дає неточні результати.

У процесі побудови моделі виконують числову оптимізацію параметрів адаптації в межах [0; 1].

РОЗДІЛ 3 СТАТИСТИЧНА ОЦІНКА ТА ПРОГНОЗУВАННЯ ЦІН НА ПРОМИСЛОВУ ПРОДУКЦІЮ У ЛЬВІВСЬКІЙ ОБЛАСТІ

3.1 Статистичний аналіз цін виробників промислової продукції у Львівській області

У Львівській області індекс цін виробників промислової продукції у 2007 році становив 112,9%, що на 6,5% менше ,ніж у попередньому році.

Рис.3.1

Ціни на продукцію переробної промисловості підвищились уцілому на 12,7%..Найбільше підвищили ціни на свою продукцію підприємства з виробництва іншої неметалевої мінеральної продукції (на 38,8%), металургійного виробництва та виробництва готових металевих виробів (на 20,2%), машинобудування (на 13,2%), хімічної та нафтохімічної промисловості (на 11,7%).

У добувній промисловості ціни на продукцію знизились в середньому на 2,6% ,тоді як у 2006 році спостерігалось зростання цін на 27,9%. На підприємствах з виробництів та розподілення електроенергії,зазу та води ціни виробників зросли загалом на 18,4%.

У виробничому секторі України спостерігалось значно більше прискорення темпів приросту цін на промислову продукцію.За даними Держкомстату,індекс цін виробників промислової продукції у 2007 році в Україні склав 123,3%,в той час як у 2006 році він становив 114,1%.

Рис.3.2

Аналіз динаміки цін виробників продукції добувної промисловості , а саме добування корисних копалин та добування паливно-енергетичних корисних копалин , свідчить про зростання цін відповідно на 15,9 % та зниження на 3,8 %, порівняно з 2006 роком. Серед підприємств з добування паливно-енергетичних корисних копалин найбільше знизились ціни у добуванні вуглеводнів та нафти.

Рис.3.3

У переробній промисловості спостерігається підвищення цін на харчові продукти, напої та тютюнові вироби. Серед підприємств з виробництва харчових продуктів та напоїв найбільше зросли ціни ,в порівнянні з минулим роком, на рибні продукти (21.2 %), м’ясо та м’ясні продукти (27.4 %) , молочні продукти та морозиво (43.2 %).Без змін залишились ціни перероблення та консервування овочів та фруктів .

Рис.3.4

Виробники продукції легкої промисловості загалом дещо підвищили ціни на 5,5 %.У текстильному виробництві відбулось зростання цін з виробництва одягу з текстилю (9,0 %), також у виробництві трикотажних виробів на - 12,3 % та залишились незмінними у прядінні текстильних волокон. Ціни на шкіряні вироби зросли на 0,6 %.

Рис.3.5

Таблиця 3.1 Індекси цін виробників продукції підприємств з оброблення деревини та виробництва виробів з деревини,крім меблів

п	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,3	1,6	1,3	1,2	1,1	1,0

Деревообробна промисловість Львівщини характеризується незначним підвищенням цін на продукцію.(див.табл.3.1)

Динаміка індексів цін виробників продукції підприємств з оброблення деревини та виробництва виробів з деревини, крім меблів

Рис.3.6

Серед підприємств целюлозно-паперового виробництва та видавничої діяльності підвищили ціни на свою продукцію виробники паперової маси , паперу та картону – на 12,7 % , видавничої та поліграфічної діяльності , тиражування записаних носіїв інформації – на 9,1 %. Протягом 2003-2007рр. найбільше підвищення цін у целюлозно-паперовому виробництві спостерігається у 2004 році на підприємстваї поліграфічної діяльності, тиражування записаних носіїв інформації (25,8%).

Динаміка індексів цін виробників продукції підприємств целюлозно-паперового виробництва,видавничої діяльності

Рис.3.6

Таблиця 3.2

Індекси цін виробників на електроенергію та тепло енергію

У 2007 році підвищили ціни на електроенергію на 37,0 %, а от ціни на тепло енергію залишились без змін , в той же час як у минулому році ціни зросли на129,4 %.

Динаміка індексів цін виробників на електроенергію та теплоенергію

Рис.3.7

3.2.Моделювання та прогнозування споживчих динаміки цін у Львівській області на основі адаптивних моделей

Розглянемо динаміку ІСЦ за період від січня 2000 р. до квітня 2009 р. (див Додаток 16 табл.3.3). Графічно динаміку ІСЦ у Львівській області можна подати у вигляді:

Рис. 3.8 .

З графіку видно, що часовий ряд досліджуваного показника описується вираженим трендом поліноміального або експоненційного виду. Також можна припустити існування сезонних коливань. Більш докладні відомості про коливання з різним періодом можна отримати обчисливши спектральні щільності. Для цього, щоб усунути вплив тренду будемо використовувати замість індексів споживчих цін їх прирости (додаток. 16 Табл. 3.4). В результаті матимемо:

Рис. 3.9

З графіку видно, що найбільший пік припадає на період 12,2 міс., якому відповідає спектральна щільність 39,06 (див. додаток 17 табл..3.5). Крім того в часовому ряді присутні коливання з періодами 6 та 4. Таким чином можемо стверджувати наявність сезонних коливань у часовому ряді, дві останні гармоніки зважаючи на їхню кратність до них річних коливань, досить добре можуть бути описані індексами сезонності.

З графіку приростів індексів споживчих цін (рис. 3.10), ми бачимо, що сезонні коливання в ряді мають виражену тенденції до зростання, тому можна зробити висновок про те, що сезонна складова поєднується з трендовою за допомогою операції множення. Таким чином маємо часовий ряд з мультиплікативною сезонністю.

Рис. 3. 10

Сезонна декомпозиція індексів споживчих цін може бути подана у вигляді графіка:

Рис. 3.11

Як видно з графіку характер основної тенденції динаміки не сильно зміниться після усунення з ряду сезонної. Як і припускалось тренд досліджуваного показника може бути описаний параболою або експонентою, при чому обидва типи кривих характеризуються досить високими значеннями коефіцієнта апроксимації R² . Зокрема для параболи він становить 0,96, а для експоненти 0,92 (див рис.3.11).

Рис. 3 . 12

Сезонність характеризується зменшенням темпів зростання цін протягом липня-листопада та їх збільшенням протягом решти місяців року. Описуються сезонні коливання індексами наведеними в таблиці:

Таблиця 3.6

C езонний фактор індексу споживчих цін у Львівській області

Результати сезонної декомпозиції індексів споживчих цін в повному обсязі наведено в додатку 18.

Прогноз будемо здійснювати за методом Хольта – Вінтера для параболічного тренду з адитивною сезонною складовою. Експоненційні моделі порівняно із моделями на основі аналітичного вирівнювання кривих зростання мають перевагу, яка полягає у здатності адаптуватись до змін, надаючи більшої ваги найновіший значенням в часовому ряді. Через те прогнози отримані за їх допомогою як правило є точнішими, зокрема це стосується мінливих процесів. Прогнозування динаміки в кризовий період, саме відноситься до таких випадків коли перевага адаптивних методів є очевидною. В результаті прогнозна модель оцінюватиметься у виді:

_,

де - прогноз індексу споживчих цін в момент t на крок k;

де - параметри прогнозної моделі;

k –крок прогнозу;

t – час.

- сезонний фактор на момент часу t-11

В результаті було отримано такі параметри моделі:

Табл. 3.8

Параметри згладжування моделі

Табл. 3.9

Параметри для прогнозу за адитивною моделлю Хольта-Вінтера

Пареметр прогнозної моделі	Значення парметра моделі
Вільний член	241,0962452
Лінійний коефіцієнт	4,19575339
Квадратичний коефіцієнт	0,053345212

Сезонна складова описується факторами:

Табл. 3.10 Сезонні фактори адитивної моделі Хольта –Вінтера для індексів споживчих цін Львівської області.

В результаті прогноз будемо здійснювати за моделлю виду:

Отримана модель характеризується коефіцієнтом апроксимації R² = 0,97 та стандартною похибкою 7,65.

Прогноз за моделлю можна подати у вигляді таблиці:

Табл.3.11

Або для більш наочно у вигляді графіка:

Рис. 3.13

З отриманих результатів видно, що у випадку середнього сценарію динаміки досліджуваного явища слід очікувати зростання середньорічних цін у 2009 р. та 2010 р. із ланцюговими темпами відповідно 126,87% та 124,59%, що становитиме майже 158 % у 2010р. відносно середньорічного рівня цін у 2008 р. Індекс споживчих цін у грудні 2010 р. становитиме 155,4% відносно грудня 2008 р. Песимістичний прогноз дає ланцюгові темпи зростання середньорічних цін за 2009-2010рр. на рівні відповідно 131,9% та 117,7%, що остаточно в 2010 р. становитиме 166,45% від рівня середньорічних цін у 2008 р. Індекс споживчих цін у грудні 2010 р. становитиме 163,5% відносно грудня 2008 р. оптимістичний прогноз описується ланцюговими темпами зростання за 2009 -2011 рр. на рівні відповідно 121,8% та 114%. Зростання середньорічних цін у 2010 р. відносно рівня 2008 р. становитиме 149,68%, відношення грудня 2010р до грудня 2008р дорівнюватиме 147,3%.

3.3.Моделювання динаміки індексів цін виробників промислової продукції у Львівській області

Спробуємо побудувати моделі прогнозу цін виробників у промисловості загалом, у харчовій та в легкій промисловості. Для цього будемо використовувати дані про індекси цін виробників відносно грудня 2001 р. наведені в додатку 19.

Побудуємо модель прогнозу індексів цін виробників промислової продукції у Львівській області загалом. Графічне зображення даного часового ряду наведено нижче:

Рис. 3.14

Судячи з графіку можна сказати, що часовий ряд досліджуваного показника описується вираженим трендом поліноміального або експоненційного виду, аналогічно до індексу споживчих цін. Також можна припустити існування сезонних коливань. Їх існування та спосіб поєднання з трендово-циклічною складовою перевіримо вивчивши спектральні щільності для приростів індексу споживчих цін ( див рис 3.15 та табл. 3.13) та порівнявши амплітуду коливань на графіку ланцюгових індексів цін виробників промислової продукції у Львівській області (рис. 3.16).

Рис. 3.15

Табл.3.13 Десять найбільших значень спектральної щільності для індексу цін виробників промислової продукції у Львівській області

Чіткий пік для періоду 12,28 свідчить про наявність коливань з періодом в 1 рік. Інші піки мають період менший за 12, тому можна вважати, що за допомогою сезонного фактора можна пояснити більшість періодичних коливань у даному часовому ряді.

Графік ланцюгових приростів індексів цін виробників промислової продукції показує зростання амплітуди сезонних коливань, тому сезонність будемо включати в модель за допомогою операції множення.

Рис. 3.16 .

Сезонна декомпозиція для мультиплікативного ряду дає наступні результати:

Рис. 3.17

Протягом року ми можемо спостерігати зростання цін у період з листопада по березень та падіння з квітня по жовтень. З графіка видно, що характер основної тенденції динаміки може бути описаний параболою даний тип кривої зростання характеризуються досить високими значеннями коефіцієнта апроксимації R² = 0 (див рис.3.18).

Рис. 3.18

Більш детальні результати сезонної декомпозиції наведено в додатку 20.

Прогноз будемо здійснювати за методом Хольта – Вінтера для параболічного тренду з мультиплікативною сезонною складовою. Потрібна нам модель оцінюватиметься у вигляді:

_,

де - прогноз індексу цін виробників промислової продукції в момент t на крок k.

В результаті обчислень оцінена модель опишеться таблицями виду:

Табл. 3.15Параметри згладжування моделі

Табл. 3.16Параметри для прогнозу за моделлю Хольта-Вінтера

Параметр прогнозної моделі	Значення параметра моделі
Вільний член	248,1441447
Лінійний коефіцієнт	3,771791452
Квадратичний коефіцієнт	0,031361558

Сезонна складова для мультиплікативної моделі Хольта-Вінтера описується індексами:

Табл. 3.17

Індекси сезонності моделі

Модель прогнозу для індексу цін виробників промислової продукції остаточно набуде вигляду:

Прогноз за моделлю можна наведено у додатку 21. Наочно результати прогнозу можна зобразити графіком:

Рис. 3.19

Можна побачити, що у випадку середнього сценарію розвитку слід очікувати зростання середньорічних цін у 2009 р. та 2010 р. відповідно на 21,48% та 19,94%, що становитиме майже 146% у 2010р. відносно середньорічного рівня цін у 2008 р. Індекс споживчих цін у грудні 2010 р. зросте на 44,2% відносно грудня 2008 р. Песимістичний прогноз дає ланцюгові темпи приросту середньорічних цін за 2009-2010рр. на рівні відповідно 24,45% та 112,7%, що остаточно в 2010 р. становитиме 150,6% від рівня середньорічних цін у 2008 р. Індекс споживчих цін у грудні 2010 р. становитиме 149,1% відносно грудня 2008 р. Оптимістичний прогноз описується ланцюговими темпами приросту за 2009 -2011 рр. на рівні відповідно 18,5% та 10,3. Зростання середньорічних цін у 2010 р. відносно рівня 2008 р. становитиме 140,8%, а зростання цін в грудні 2010р відносно грудня 2008р складе 139,4%.

Індекси цін виробників продукції харчової та легкої промисловості характеризуються описуються спектральними щільностями зображеними на графіках:

Рис. 3.20 , Рис. 3.21

З графіків та таблиць (додаток 22) спектральної щільності видно, що обидва показники мають піки для періоду близького 12, тому можна констатувати наявність сезонних коливань у досліджуваних часових рядах. В результаті графічного аналізу ланцюгових приростів індексів цін виробників промислової продукції у вибраних видах діяльності (див рис. 3.22; 3.23), зважаючи на те, що для обох часових рядів можна стверджувати зростання амплітуди коливань, приймаємо гіпотезу про адитивну сезонність в обох випадках.

Рис. 3.22

Рис. 3.23

Результати сезонної декомпозиції індексу цін виробників продукції харчової промисловості для мультиплікативного ряду наведено в додатку 23 . Індекси сезонності, отримані в результаті проведених обчислень, вказують на поступове зростання цін протягом листопада-травня кожного року та зменшення протягом періоду з червня по жовтень. Трендові-циклічна складова може бути описана прямою або параболою (Рис. 3.24) проте коефіцієнт апроксимації для параболи є не набагато кращим за коефіцієнт апроксимації прямої, до того ж, як видно з вищенаведеного рис. 3.22 перхід до перших приростів приводить ряд до практично стаціонарного виду, тому вважаємо, що даний показник добре описується лінійним трендом.

Рис. 3.24

Таким чином слід оцінити модель Хольта-Вінтера для лінійного тренду з мультиплікативною сезонністю виду:

де - прогноз індексу цін виробників продукції харчової промисловості в момент t на крок k.

Оцінена модель опишеться таблицями виду:

Табл. 3.23

Параметри згладжування моделі

Табл. 3.24

Параметри для прогнозу за мультиплікативною моделлю Хольта-Вінтера

Параметр прогнозної моделі	Значення параметра моделі
Вільний член	200,57436
Лінійний коефіцієнт	2,55057

Сезонна складова для мультиплікативної моделі Хольта-Вінтера описується індексами:

Табл. 3.25 Індекси сезонності моделі

Прогноз буде здійснювати за моделлю виду:

Рис.3.25

Для легкої промисловості сезонні коливання описуються індексами виду:

Таблиця 3.26

Трендові-циклічна складова може бути описана прямою (Рис. 3.26), коефіцієнт апроксимації для кривої зростання обраного виду становить майже0,986.

Рис. 3.26

Оцінюватимемо модель Хольта-Вінтера для лінійного тренду з мультиплікативною сезонністю виду:

де - прогноз індексу цін виробників продукції легкої промисловості в момент t на крок k.

Оцінена модель опишеться таблицями виду:

Табл. 3.27Параметри згладжування моделі

Табл. 3.28Параметри для прогнозу за моделлю Хольта-Вінтера

Табл. 3.29Сезонні фактори моделі

Прогнозна модель запишеться, як:

Рис.3.27

Табл.3.30

содержание   ..  53  54  55   ..