ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ПРАВА И ФИНАНСОВ
По курсу: «Статистика»
Выполнил: студент группы ПФ-176\з
Исаенко В.В.
Проверил: Земцова Е.М.
Челябинск
2008
Задача 1
Для изучения выполнения плана рабочими завода было проведено десятипроцентное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора. Результаты обследования показали следующее распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки:
Выполнение норм, %
|
Число рабочих, чел.
|
До 90
|
4
|
90-100
|
16
|
100-110
|
40
|
110-120
|
30
|
120-130
|
10
|
ИТОГО:
|
На основании этих данных вычислить:
1) средний процент выполнения нормы;
2) моду и медиану;
3) размах вариаций;
4) среднее линейное отклонение;
5) дисперсию;
6) среднее квадратичное отклонение;
7) коэффициент вариации, оцените однородность совокупности;
8) с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки по заводу;
9) с вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110%.
Сделать выводы.
Решение:
Перед нами представлен ряд с равными интервалами. Интервал равен 10. И один отрытый интервал «до 90». Так как следующий за открытым интервал равен 10 следовательно при расчетах получим границу верхнего интервала, она будет равна «80-90».
1) Найдем середины интервалов по формуле:
Получаем следующие значения: 85, 95, 105, 115, 125.
Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний процент выполнения нормы:
Средний процент выполнения нормы равен 107,6%.
2)Рассчитаем моду:
= 100+10
Таким образом, наиболее часто встречающееся значение процента выполнения нормы равно 107,06%
Рассчитаем медиану:
Подставляем значения:
- нижняя граница медианного интервала «100-110», равная 100;
- величина медианного интервала, равная 10:
- накопленная частота интервала, предшествующая медианному, равная 20:
Выполнение норм, %
|
Число рабочих, чел.
|
Накопленная частота
|
До 90
|
4
|
4
|
90-100
|
16
|
4+16=20
|
100-110
|
40
|
20+40=60
|
110-120
|
30
|
60+30=90
|
120-130
|
10
|
90+10=100
|
ИТОГО:
|
100
|
-
|
полусумма частот, равная 50:
соответственно полусумма равна 50;
- частота медианного интервала, равная 40.
3) Рассчитаем размах вариаций - разность между самым большим и самым малым наблюдаемыми значениями признака:
R=Xmax – Xmin = 130-80 = 50
4) Рассчитаем среднее линейное отклонение
. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений
и
. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.
Формула среднего линейного отклонения для нашего случая:
Найдем середину интервалов, определим произведения значений середины интервалов на соответствующие им веса и подсчитаем сумму их произведений, рассчитаем абсолютные отклонения середины интервалов от средней велечины, вычислим произведения отклонений на их веса и подсчитаем сумму их произведений.
Средняя величина нами рассчитана в первом пункте задания и равна
Выполнение норм, %
|
Число рабочих, чел.
|
Середина интервала
|
|
|
|
А
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
До 90
|
4
|
85
|
340
|
22,6
|
90,4
|
90-100
|
16
|
95
|
1520
|
12,6
|
201,6
|
100-110
|
40
|
105
|
4200
|
2,6
|
104
|
110-120
|
30
|
115
|
3450
|
7,4
|
222
|
120-130
|
10
|
125
|
1250
|
17,4
|
174
|
ИТОГО:
|
100
|
-
|
10760
|
-
|
792
|
Рассчитываем среднее линейное отклонение:
Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины. Это отклонение по сравнению со средней величиной признака небольшое. Оно отличается от средней на 99,68%. Это свидетельствует о том, что данная совокупность в отношении нашего признака однородна, а средняя – типична.
5) Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.
Формула дисперсии для нашего случая:
Рассчитаем данные и заполним таблицу:
Выполнение норм, %
|
Число рабочих, чел.
|
Середина интервала
|
|
|
|
А
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
До 90
|
4
|
85
|
340
|
510,76
|
2043,04
|
90-100
|
16
|
95
|
1520
|
158,76
|
2540,16
|
100-110
|
40
|
105
|
4200
|
6,76
|
270,4
|
110-120
|
30
|
115
|
3450
|
54,76
|
1642,8
|
120-130
|
10
|
125
|
1250
|
302,76
|
3027,6
|
ИТОГО:
|
100
|
-
|
10760
|
-
|
9524
|
6)Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения и равно корню квадратному из дисперсии:
Степень вариации в данной совокупности невелика, так как средняя величина выполнения нормы равна 107,6%. Это говорит об однородности рассматриваемой совокупности.
7) коэффициент вариации, оцените однородность совокупности:
Так как коэффициент вариации в нашем примере меньше 33% совокупность считается однородной.
8) вычислить с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки по заводу.
Для определения заданных пределов нам необходимо рассчитать предельную ошибку выборки по формуле:
где:
t – коэффициент доверия, для нашего случая равен 2;
- выборочная дисперсия;
N – численность генеральной совокупности, так как наша выборка десятипроцентная, то N = 1000;
n – численность выборки.
Определим заданные пределы по формуле:
или
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний процент выполнения норм выработки по заводу будет находиться в пределах от 105,75% до 109,45%.
9) с вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110%
Согласно результатам обследования, численность таких рабочих составила 40 человек, определим выборочную долю:
Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле:
Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:
Определим границы пределов:
или
Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110% находится в пределах от 0,307 до 0,493%.
Задача 2
Себестоимость продукции завода характеризуется следующими данными:
Изделия
|
Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
|
Выработано продукции, тыс. единиц
|
базисный период
|
отчетный период
|
базисный период
|
отчетный период
|
К-220
|
12
|
10
|
0,9
|
1,2
|
СР-1
|
8
|
7
|
6,4
|
9,3
|
З-322
|
12
|
10
|
15
|
15,2
|
Для завода по трем видам изделий вместе определите:
1) общий индекс затрат на продукцию;
2) общий индекс себестоимости продукции;
3) общий индекс физического объема продукции;
4) выполните факторный анализ;
Покажите взаимосвязь между индексами (а, б, в).
Решение:
Для выполнения расчетов заполним таблицу:
Изделия
|
Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
|
Выработано продукции, тыс. единиц
|
Затраты на продукцию, млн. руб.
|
базисный период
|
отчетный период
|
базисный период
|
отчетный период
|
базисный период
|
отчетный период
|
z0
|
z1
|
q0
|
q1
|
q0
z0
|
q1
z1
|
К-220
|
12
|
10
|
0.9
|
1.2
|
10,8
|
12
|
СР-1
|
8
|
7
|
6.4
|
9.3
|
51,2
|
65,1
|
З-322
|
12
|
10
|
15
|
15.2
|
180
|
152
|
Итого:
|
32
|
27
|
242
|
229,1
|
1) общий индекс затрат на продукцию:
2) общий индекс себестоимости продукции:
3) общий индекс физического объема продукции:
4) факторный анализ:
Изменение затрат на продукцию ∆zq = ∑z1q1 - ∑z0q0 = 229,1-242 = -12,9 млн. руб.
Влияние фактора себестоимости 1 шт. ∆z = ∑z1q1 - ∑z0q1 = 229,1 – 271,2 = -42,1 млн. руб.
Влияние фактора объема продукции ∆q = ∆zq - ∆z = -12,9 – (- 42,1) = 29,2 млн. руб.
Между индексами а, б и в существует следующая взаимосвязь:
Izq = Iz * Iq = 0.845*1.121=0.947
Задача 3
Динамика средних цен и объема продажи продукта на колхозных рынках 2-х городов характеризуется следующими данными:
Города
|
Средняя цена 1 кг., руб.
|
Продано продукта, тыс. кг.
|
базисный период
|
отчетный период
|
базисный период
|
отчетный период
|
p0
|
p1
|
q0
|
q1
|
А
|
1,2
|
1,8
|
200
|
225
|
Б
|
1,5
|
1,4
|
220
|
190
|
Вычислите:
1) Индекс цен переменного состава;
2) Индекс цен постоянного состава;
3) Индекс цен структурных сдвигов;
4) Изменение средней себестоимости (в абсолютных величинах) в целом и за счет действий отдельных факторов.
Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.
Решение:
Индекс цен переменного состава рассчитывается по формуле:
Индекс цен постоянного состава рассчитывается по формуле:
Индекс структурных сдвигов рассчитывается по формуле:
Покажем взаимосвязь индексов:
Средняя себестоимость выросла на 19,1%. За счет структурных сдвигов себестоимость увеличилась на 58,1%. Если бы структура реализации продукта по городам не изменилась, средняя себестоимость увеличилась бы на 20,9 %.
Задача 4
Отрасли
|
Стоимость товарной продукции, млрд. руб.
|
Фондоотдача, руб.
|
Стоимость ОФ, руб.
|
базисный период
|
отчетный период
|
базисный период
|
отчетный период
|
базисный период
|
отчетный период
|
Тяжелая промышленность
|
584,9
|
609,9
|
0,84
|
0,84
|
696,30
|
726,07
|
Легкая промышленность
|
119,8
|
120,9
|
4,19
|
4,08
|
28,59
|
29,63
|
Итого:
|
704,7
|
730,8
|
5,03
|
4,92
|
724,9
|
755,7
|
Провести анализ динамики и факторов изменения фондоотдачи в целом по промышленности.
Решение:
1) Рассчитаем стоимость ОФ и заполним таблицу.
2) Фондоотдача в среднем по промышленности:
3) Для изучения динамики изменения фондоотдачи:
а) найдем индекс переменного состава
б) найдем индекс фиксированного состава
, где
доля стоимости основных фондов каждой отрасли в общем объеме отчетного периода
в) Индекс структурных сдвигов
4) Факторный анализ
Общее снижение фоноотдачи
В том числе за счет фактороф изменения фондоотдачи в каждой отрасли
Структурных сдвигов в составе основных фондов
Вывод: средняя фондоотдача в целом по промышленности снизилась в 0.995 раз. За счет изменения фондоотдачи в каждой отрасли средняя фондоотдача снизилась в 0.996 раз. За счет изменения структуры основных фондов средняя фондоотдача снизилась в 0.999.
Задача 5
Показатели
|
База
|
Отчет
|
Выручка от реализации продукции в действовавших ценах
|
3240
|
3960
|
Средний годовой остаток оборотных средств
|
540
|
594
|
Определить изменение скорости оборотных средств (дней) в отчетном периоде по сравнению с базисным и сумму средств высвобожденных из оборота вследствие ускорения оборачиваемости. Сделать выводы.
Решение:
Рассчитаем продолжительность одного оборота по формуле:
дн.
дн.
Скорость оборота оборотных средств в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 54-60=-6дн.
Сумма средств высвобожденных из оборота вследствие ускорения оборачиваемости:
Вывод: скорость оборота оборотных средств в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 6 дней и привела к высвобождению из оборота 66 у.е средств.
Задача 6
Выплавка стали характеризуется следующими показателями:
Годы
|
Производство электроэнергии, млрд. кВт-ч.
|
1
|
91,0
|
2
|
96,9
|
3
|
102,2
|
4
|
106,5
|
5
|
110,3
|
6
|
116,0
|
7
|
119,6
|
8
|
125,3
|
9
|
130,8
|
10
|
136,0
|
11
|
139,8
|
12
|
145,2
|
Для анализа ряда динамики исчислите:
1) показатели, характеризующие рост выплавки стали: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году). Результаты расчетов изложите в табличной форме;
2) средний уровень и среднегодовой темп ряда динамики;
3) покажите взаимосвязь между цепными и базисными показателями;
4) для определения основной тенденции ряда произведите выравнивание ряда динамики с помощью укрупнения интервалов.
Изобразите фактический и выровненный динамические ряды на графике.
Сделайте выводы.
Решение:
1) показатели, характеризующие рост выплавки стали: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году).
Годы
|
Производство электроэнергии
|
Абсолютный прирост (∆у)
|
Темп роста, % (Тр)
|
Темп прироста, % (Тп)
|
цепной способ
∆уi
= уi
– уi
-1
|
к базисному (первому) году
∆уi
= уi
- уб
|
цепной способ
Тр = уi
/ уi
-1
* 100
|
к базисному (первому) году
Тр = уi
/ уб
* 100
|
цепной способ
Тп = Тр – 1
|
к базисному (первому) году
Тп = Тр – 1
|
1
|
91
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
2
|
96,9
|
5,9
|
5,9
|
106,48
|
106,48
|
6,48
|
6,48
|
3
|
102,2
|
5,3
|
11,2
|
105,47
|
112,31
|
5,47
|
12,31
|
4
|
106,5
|
4,3
|
15,5
|
104,21
|
117,03
|
4,21
|
17,03
|
5
|
110,3
|
3,8
|
19,3
|
103,57
|
121,21
|
3,57
|
21,21
|
6
|
116
|
5,7
|
25
|
105,17
|
127,47
|
5,17
|
27,47
|
7
|
119,6
|
3,6
|
28,6
|
103,1
|
131,43
|
3,1
|
31,43
|
8
|
125,3
|
5,7
|
34,3
|
104,77
|
137,69
|
4,77
|
37,69
|
9
|
130,8
|
5,5
|
39,8
|
104,39
|
143,74
|
4,39
|
43,74
|
10
|
136
|
5,2
|
45
|
103,98
|
149,45
|
3,98
|
49,45
|
11
|
139,8
|
3,8
|
48,8
|
102,79
|
153,63
|
2,79
|
53,63
|
12
|
145,2
|
5,4
|
54,2
|
103,86
|
159,56
|
3,86
|
59,56
|
2) Средний уровень ряда уср = (у1+у2+у3+у4+у5+у6+y7+y8+y9+y10+y11+y12) / 12 = (91+96,9+102,2+106,5+110,3+ 116+119,6+125,3+130,8+136+139,8+145,2) / 12 = 118.3.
Средний темп роста ряда динамики определяется по формуле
или 104,3%
Средний темп прироста рассчитывается по формуле:
3) взаимосвязь между цепными и базисными показателями
а)
т.е.
б)
4) Выравнивание ряда динамики с помощью укрупнения интервалов проведем с помощью трехчленной скользящей средней.
96.7, 101.9, 106.3, 110.9, 115.3, 120.3, 125.2, 130.7, 135.5, 140.3.
Первую скользящую среднюю отнесем ко второму году, десятую отнесем к одиннадцатому году.
В результате укрупнения интервалов общая тенденция роста выступает отчетливо. В среднем ежегодно выплавлялось стали 101,4 млн.т. Каждый год объем выплавки увеличивался в среднем на 4.3%.
Задача 7
В отчетном периоде работа 24 предприятий характеризуется следующими данными:
Данные о работе предприятий в отчетном периоде
Заводы, П/П
|
Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб.
|
Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.
|
1
|
0,9
|
0,9
|
2
|
2,6
|
2,5
|
3
|
5,5
|
5,6
|
4
|
4,1
|
4
|
5
|
4,9
|
4,8
|
6
|
0,9
|
1
|
7
|
1,3
|
1,2
|
8
|
6,4
|
5,2
|
9
|
2,8
|
2,5
|
10
|
0,8
|
0,9
|
11
|
0,7
|
0,7
|
12
|
4,9
|
3,9
|
13
|
12,1
|
10,6
|
14
|
12,2
|
11,7
|
15
|
11,8
|
10,7
|
16
|
8,5
|
6,1
|
17
|
7,1
|
7,3
|
18
|
2,9
|
4,1
|
19
|
14
|
10,7
|
20
|
4,8
|
7,3
|
21
|
15,7
|
12,5
|
22
|
11,8
|
8,4
|
23
|
16,6
|
12,7
|
24
|
10,2
|
7,8
|
Итого:
|
163,5
|
143,1
|
С целью выявления зависимости между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции произведите группировку заводов по размеру основных фондов, образовав 6 групп заводов с равными интервалами. Результаты представьте в групповой таблице. Сделайте краткие выводы.
Итоговая таблица
№ группы
|
Группы заводов по размеру ОПФ (интервалы) млн.руб.
|
Число заводов
|
Стоимость ОПФ
|
Стоимость валовой продукции млн.руб.
|
Фондоотдача
|
Всего
|
В среднем на один завод
|
Всего
|
В среднем на один завод
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
ИТОГО
|
Исследуйте зависимость между стоимостью продукции (результативный признак – у) и стоимостью основных производственных фондов (факторный признак – х). На основании исходных данных:
1) постройте поля корреляции; составьте корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стерджесса; нанесите эмпирическую линию регрессии на поле корреляции и сделайте выводы о возможной форме связи;
2) в целях синтезирования моделей зависимости задайте вид и вычислите параметры уравнения связи, нанесите полученную теоретическую линию регрессии на график;
3) для установления практической значимости полученной модели вычислите возможные показатели тесноты связи (коэффициент детерминации, эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения, линейный коэффициент корреляции);
4) оцените надежность полученных коэффициентов, сделайте выводы по п.п. 2, 3 и 4.
5) используя полученную модель, сделайте прогноз стоимости продукции для предприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд.рублей.
Решение:
1) Величина интервала i = (xmax –xmin)/n = (12700 – 700) / 6 = 2000 млн. руб.
Фондоотдача = Стоимость валовой продукции / Стоимость ОПФ.
№ группы
|
Группы заводов по размеру ОПФ (интервалы) млн.руб.
|
Число заводов
|
Стоимость ОПФ
|
Стоимость валовой продукции млн.руб.
|
Фондоотдача
|
Всего
|
В среднем на один завод
|
Всего
|
В среднем на один завод
|
1
|
700-2700
|
7
|
9700
|
1385,71
|
10000
|
1428,57
|
1,03
|
2
|
2700-4700
|
3
|
12000
|
4000
|
11900
|
3966,67
|
0,99
|
3
|
4700-6700
|
4
|
21700
|
5425
|
25300
|
6325
|
1,17
|
4
|
6700-8700
|
4
|
30800
|
7700
|
33900
|
8475
|
1,1
|
5
|
8700-10700
|
3
|
32000
|
10666,67
|
37900
|
12633,33
|
1,18
|
6
|
10700-12700
|
3
|
36900
|
12300
|
44500
|
14833,33
|
1,21
|
ИТОГО
|
24
|
143100
|
5962,5
|
163500
|
6812,5
|
6,68
|
Вывод: Между стоимостью ОПФ и валовой продукцией прямая связь, с ростом ОПФ растет и валовая продукция.
Построим поле корреляции по исходным данным задачи.
Составим корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стерджесса n = 1 + 3,322 lg24 = 6.
Корреляционная таблица зависимости между стоимостью продукции (у) и стоимостью основных производственных фондов (х)
;
i
|
Величина ОПФ, млрд. руб.
|
Середина интервала
|
Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб.
|
Всего nxi
|
Групповая средняя yj
|
0,7-3,35
|
3,35-6,0
|
6,0-8,65
|
8,65-11,3
|
11,3-13,95
|
13,95-16,6
|
xi
yj
|
2,025
|
4,675
|
7,325
|
9,975
|
12,625
|
15,275
|
1
|
0,7-2,7
|
1,7
|
7
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
7
|
2,025
|
2
|
2,7-4,7
|
3,7
|
1
|
2
|
-
|
-
|
-
|
-
|
3
|
3,79
|
3
|
4,7-6,7
|
5,7
|
-
|
2
|
2
|
-
|
-
|
-
|
4
|
6
|
4
|
6,7-8,7
|
7,7
|
-
|
1
|
1
|
1
|
1
|
-
|
4
|
8,65
|
5
|
8,7-10,7
|
9,7
|
-
|
-
|
-
|
-
|
2
|
1
|
3
|
13,51
|
6
|
10,7-12,7
|
11,7
|
-
|
-
|
-
|
-
|
1
|
2
|
3
|
14,39
|
Всего nyj
|
8
|
5
|
3
|
1
|
4
|
3
|
24
|
Групповая средняя xj
|
1,95
|
5,3
|
6,37
|
7,7
|
9,7
|
11,0333
|
По данным графика и корреляционной таблицы можно сделать вывод, что связь прямая.
2) Так как связь между признаками линейная:
Найдем
и
:
Заводы, П/П
|
Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.(х)
|
Продукция в сопоставимых ценах, млрд. руб. (y)
|
x^2
|
y^2
|
xy
|
1
|
0,9
|
0,9
|
0,81
|
0,81
|
0,81
|
2
|
2,5
|
2,6
|
6,25
|
6,76
|
6,5
|
3
|
5,6
|
5,5
|
31,36
|
30,25
|
30,8
|
4
|
4
|
4,1
|
16
|
16,81
|
16,4
|
5
|
4,8
|
4,9
|
23,04
|
24,01
|
23,52
|
6
|
1
|
0,9
|
1
|
0,81
|
0,9
|
7
|
1,2
|
1,3
|
1,44
|
1,69
|
1,56
|
8
|
5,2
|
6,4
|
27,04
|
40,96
|
33,28
|
9
|
2,5
|
2,8
|
6,25
|
7,84
|
7
|
10
|
0,9
|
0,8
|
0,81
|
0,64
|
содержание ..
12
13
14 ..
|
|
|