Задача 1.
По данным о производственной деятельности ЗАО определить средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по ЗАО.
Таблица 1 - Исходные данные
Предприятие
|
Общие затраты на производство, млн. руб.
|
Затраты на 1 руб. произведенной
продукции, коп.
|
1
|
2,12
|
75
|
2
|
8,22
|
71
|
3
|
4,43
|
73
|
Решение:
Для определения средних затрат на 1 рубль произведенной продукции необходимо воспользоваться средней гармонической, так как у нас известен числитель и неизвестен знаменатель. Для определения средней строим вспомогательную таблицу.
Таблица 2 - Вспомогательная
Предприятие
|
Общие затраты на производство, млн. руб., (Wi)
|
Затраты на 1 руб.
произведенной
продукции, руб. (Xi)
|
Объем произведенной
продукции, млн руб.
(Wi/Xi)
|
1
|
2,12
|
0,75
|
2,83
|
2
|
8,22
|
0,71
|
11,58
|
3
|
4,43
|
0,73
|
6,07
|
Итого:
|
14,77
|
|
20,47
|
Так средние затраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле
,
где х
- признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака;
показатель, представляющий собой реально существующий экономический показатель равный х∙
f:
Данные берутся из таблицы.
Ответ:
Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.
Задача 2.
По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы, результаты которого приведены ниже, определить:
1) относительную величину структуры численности рабочих;
2) моду и медиану стажа рабочих;
3) средний стаж рабочих цеха;
4) размах вариации;
5) среднее линейное отклонение;
6) дисперсию;
7) среднее квадратическое отклонение;
8) коэффициент вариации;
9) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;
10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.
Таблица 3 - Исходные данные
Группы рабочих по стажу, лет
|
До 2
|
2 - 4
|
4 - 6
|
6 - 8
|
8 - 10
|
10 - 12
|
12 - 14
|
Число рабочих
|
6
|
8
|
12
|
24
|
17
|
8
|
5
|
Решение:
1) Находим относительную величину структуры численности рабочих, для этого строим следующую таблицу.
Таблица 4 - Относительная структура численности рабочих
Группы рабочих по стажу, лет
|
Число рабочих
|
Структура,%
|
До 2
|
6
|
7,5
|
2 - 4
|
8
|
10
|
4 - 6
|
12
|
15
|
6 - 8
|
24
|
30
|
8 - 10
|
17
|
21,25
|
10 - 12
|
8
|
10
|
12 - 14
|
5
|
6,25
|
Итого:
|
80
|
100
|
2) Находим моду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.
Таблица 5 - Вспомогательная.
Группы рабочих по стажу, лет
|
Число рабочих (fi)
|
Середина интервала, (xi)
|
xi*fi
|
fi. накопл
|
До 2
|
6
|
1
|
6
|
6
|
2 - 4
|
8
|
3
|
24
|
14
|
4 - 6
|
12
|
5
|
60
|
26
|
6 - 8
|
24
|
7
|
168
|
50>40
|
8 - 10
|
17
|
9
|
153
|
67
|
10 - 12
|
8
|
11
|
88
|
75
|
12 - 14
|
5
|
13
|
65
|
80
|
Итого:
|
80
|
|
564
|
|
Мода - это наиболее часто встречающееся значение ряда:
,
где
- мода;
- нижняя граница модального интервала. Интервал с максимальной частотой является модальным;
- шаг модального интервала, который определяется разницей его границ; fmo
- частота модального интервала; fmo
-1
- частота интервала, предшествующего модальному; fmo
+1
- частота интервала, последующего за модальным.
Медианой является значение признака х
, которое больше или равно и одновременно меньше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части:
,
где xme
- нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковый номер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитать величину
. Интервал с накопленной частотой равной величине
является медианным; i
- шаг медианного интервала, который определяется разницей его границ;
- сумма частот вариационного ряда; Sme
-1
- сумма накопленных частот в домедианном интервале; fme
- частота медианного интервала.
3) Находим средний стаж рабочих цеха:
,
где х
- признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака, в качестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма его границ;
f
- частота, т.е. числа, показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.
Сравниваем полученные значения, в нашем случае получаем:
,
что говорит о левосторонней асимметрии.
По этим данным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет; наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половина рабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая - менее 7,166 лет.
4) Находим размах вариации.
Размах вариации:
,
где х
max
- максимальное значение признака; х
min
- минимальное значение признака.
Так, разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.
5) Находим среднее линейное отклонение:
,
где
- индивидуальные значения признака,
- средняя величина; f
- частота.
Строим расчетную таблицу.
Таблица 6 - Расчетная
Середина интервала, (xi)
|
|
Число рабочих (fi)
|
|
|
|
1
|
6,05
|
6
|
36,3
|
36,60
|
219,62
|
3
|
4,05
|
8
|
32,4
|
16,40
|
131,22
|
5
|
2,05
|
12
|
24,6
|
4, 20
|
50,43
|
7
|
0,05
|
24
|
1,2
|
0,00
|
0,06
|
9
|
1,95
|
17
|
33,15
|
3,80
|
64,64
|
11
|
3,95
|
8
|
31,6
|
15,60
|
124,82
|
13
|
5,95
|
5
|
29,75
|
35,40
|
177,01
|
7,05
|
|
80
|
189
|
|
767,80
|
.
Так средний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То есть работники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.
6) Находим дисперсию:
7) Находим среднее квадратическое отклонение:
.
Средний разброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.
8) Находим коэффициент вариации:
.
Так как коэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степени неоднородности совокупности.
9) Находим с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию.
Границы генеральной средней:
,
где
- генеральная средняя,
- выборочная средняя, Δ
- предельная ошибка выборочной средней:
,
где
- коэффициент доверия, зависящий от вероятности исследования: при вероятности 0,954 t
= 2, а при вероятности 0,997 t
= 3; n
- объем выборочной совокупности;
N
- объем генеральной совокупности;
- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную;
- дисперсия признака выборочной совокупности.
Так, находим предельную ошибку выборочной средней:
.
Тогда пределы, в которых изменяется средний стаж рабочего, будут:
10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.
Границы генеральной доли:
,
где р
- генеральная доля,
- выборочная доля:
,
где
- число единиц, обладающих данным или изучаемым признаком; n
- объем выборочной совокупности;
- предельная ошибка доли:
,
где n
- объем выборочной совокупности;
N
- объем генеральной совокупности;
- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.
Тогда доля работников со стажем больше 10 лет будет изменяться в пределах:
Задача 3.
Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда.
Таблица 7 - Исходные данные
Сорт винограда
|
Число проверенных кустов
|
Урожай с куста, кг
|
№ куста винограда
|
1
|
2
|
3
|
А
|
3
|
6
|
5
|
7
|
Б
|
3
|
7
|
6
|
8
|
В
|
2
|
9
|
7
|
-
|
Исчислить общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий.
Определите связь между сортом и его урожайностью, рассчитав коэффициент детерминации.
Сделать вывод.
Решение:
,
где
- общая дисперсия;
- средняя из групповых дисперсий;
- межгрупповая дисперсия.
Величина общей дисперсии
характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.
где
- общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности;
_ значение признака (варианта).
Средняя из групповых дисперсий
характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;
,
где fi
- число единиц в определенной i - й
группе;
- дисперсия по определенной i - й
группе:
,
где
- средняя по определенной i - й
группе.
Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:
.
Находим среднюю из групповых дисперсий. Для этого находим дисперсию по каждой группе. Строим расчетную таблицу.
Таблица 8 - Расчетная
Сорт винограда
|
Число проверенных кустов (fi)
|
Урожай с куста, кг
|
Среднее значение
|
№ куста винограда
|
1
|
2
|
3
|
А
|
3
|
6
|
5
|
7
|
6
|
|
|
0
|
-1
|
1
|
|
|
|
0
|
1
|
1
|
Сумма
|
|
|
0
|
1
|
1
|
2
|
Б
|
3
|
7
|
6
|
8
|
7
|
|
|
0
|
-1
|
1
|
|
|
|
0
|
1
|
1
|
Сумма
|
|
|
0
|
1
|
1
|
2
|
В
|
2
|
9
|
7
|
-
|
8
|
|
|
1
|
-1
|
|
|
|
|
1
|
1
|
|
Сумма
|
|
|
1
|
1
|
|
2
|
Получаем следующие значения, которые сводим в таблицу.
Таблица 9 - Десперсии по группам
Сорт винограда
|
Число проверенных кустов (fi)
|
|
|
А
|
3
|
0,667
|
2
|
Б
|
3
|
0,667
|
2
|
В
|
2
|
1,000
|
2
|
Итого:
|
8
|
|
6
|
Рассчитываем среднюю из групповых дисперсий:
,
Таким образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 0,75 кг.
Находим межгрупповую дисперсию.
Для этого строим следующую вспомогательную таблицу.
Таблица 10 - Вспомогательная
Сорт
винограда
|
Число проверенных
кустов
|
Урожай с куста, кг
|
Среднее
по группе
|
|
|
|
№ куста винограда
|
1
|
2
|
3
|
А
|
3
|
6
|
5
|
7
|
6
|
-1
|
1
|
3
|
Б
|
3
|
7
|
6
|
8
|
7
|
0
|
0
|
0
|
В
|
2
|
9
|
7
|
-
|
8
|
1
|
1
|
2
|
Итого
|
8
|
|
|
Общая средняя
|
7
|
|
2
|
5
|
.
Так, из-за того, что виноград разных сортов, урожайность в среднем отклоняется от среднего значения на 0,625 кг.
Находим общую дисперсию:
=0,75+0,625=1,375.
Так, под влиянием всех факторов урожайность отклоняется от среднего значения на 1,375 кг.
Задача 4.
Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий.
Таблица 11 - Исходные данные
Виды продукции
|
Затраты на производство, тыс. руб.
|
Произведено, тыс. шт.
|
I квартал
|
II квартал
|
I квартал
|
II квартал
|
А
|
5 600
|
5 850
|
80
|
90
|
Б
|
4 060
|
4 675
|
70
|
85
|
В
|
6 500
|
6 860
|
100
|
98
|
Определить:
1) агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство;
2) абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства. Сделать выводы.
Решение:
1) Находим агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство. Для этого строим расчетную таблицу.
Таблица 12 - Расчетная
Виды продукции
|
Затраты на производство, тыс. руб.
|
Произведено, тыс. шт.
|
Расчетные показатели
|
I квартал (z0)
|
II квартал (z1)
|
I квартал (q0)
|
II квартал (q1)
|
z0*q0
|
z1*q1
|
z0*q1
|
А
|
5 600
|
5 850
|
80
|
90
|
448000
|
526500
|
504000
|
Б
|
4 060
|
4 675
|
70
|
85
|
284200
|
397375
|
345100
|
В
|
6 500
|
6 860
|
100
|
98
|
650000
|
672280
|
637000
|
Итого:
|
|
|
|
|
1382200
|
1596155
|
1486100
|
Агрегатный индекс себестоимости:
,
где
- себестоимость в отчетном и базисном периоде соответственно;
- физический объем производства в отчетном периоде;
Агрегатный индекс физического объема произведенной продукции:
,
где
,
q0
- физический объем производства в отчетном и базисном периоде соответственно;
- себестоимость в отчетном периоде;
Агрегатный индекс затрат на производство равен:
.
Таким образом, изменение себестоимости каждого вида продукции увеличили общие затраты производства на 7,4%. Под влиянием изменения объемов производства общие затраты выросли на 7,5%. А под влиянием этих обоих факторов - на 15,4%.
2) Находим абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства.
Общее абсолютное изменение затрат на производство:
=1596155-1382200=213955 млн. руб.
Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости, т.е. роль себестоимости в изменении затрат на производство:
=1596155-1486100=110055 млн. руб.
Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения физического объема производства, т.е. роль физического объема в изменении затрат на производство:
=1486100-1382200=103900 млн. руб.
103900+110055=213955
Таким образом, изменение в себестоимости в большей степени повлияло на изменение общих затрат на производство.
Задача 5.
Имеются следующие данные о затратах на производство продукции растениеводства.
Таблица 13 - Исходные данные
Группы
сельскохозяйственных
культур
|
Общие затраты на производство, (тыс. руб.) в периоде
|
Индивидуальный индекс себестоимости
|
Базисном (z0*q0)
|
Отчетном (z1*q1)
|
Озимые зерновые
|
223,0
|
242,0
|
1,02
|
Зернобобовые
|
47,2
|
49,0
|
1,05
|
Вычислить общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема. Сделать выводы.
Решение:
Для нахождения индексов строим вспомогательную таблицу.
Таблица 14 - Расчетная
Группы сельскохозяйственных культур
|
Общие затраты на производство, (тыс. руб.) в периоде
|
Индивидуальный индекс себестоимости (ip)
|
Расчетные показатели
|
Базисном (z0*q0)
|
Отчетном (z1*q1)
|
ip*z0*q0
|
(z1*q1) /ip
|
Озимые зерновые
|
223
|
242
|
1,02
|
227,46
|
237,25
|
Зернобобовые
|
47,2
|
49
|
1,05
|
49,56
|
46,67
|
Итого
|
270,2
|
291
|
|
277,02
|
283,92
|
Средний арифметический индекс физического объема произведенной продукции:
,
где
- индивидуальный индекс физического объема произведенной продукции; z0,
q0
- себестоимость, физический объем произведенной продукции в базисном периоде соответственно;
- затраты на производство в базисном периоде.
Так, за счет изменения объемов производства общие затраты на производство выросли на 2,5%.
Средний гармонический индекс себестоимости:
,
где
- индивидуальный индекс себестоимости; z1,
q1
- себестоимость, физический объем произведенной продукции в отчетном периоде соответственно;
товарооборот (стоимость) реализованной продукции в отчетном периоде.
Так, за счет изменения в себестоимости каждой продукции общие затраты на производство продукции выросли на 2,8%.
Общий индекс затрат на производство:
Изменение затрат под влиянием обоих составит - 5,4%.
Задача 5.
Рассчитать:
1) индексы урожайности переменного состава;
2) индекс урожайности постоянного состава;
3) индекс влияния структурных сдвигов. Сделать выводы.
Таблица 15 - Исходные данные
Сельскохозяйственные предприятия
|
Базисный период
|
Отчетный период
|
Урожайность, ц/га
|
Посевная
площадь, га
|
Урожайность,
ц/га
|
Посевная
площадь, га
|
1
|
35
|
520
|
38
|
650
|
2
|
20
|
180
|
22
|
160
|
Решение:
Для решения данной задачи также строим вспомогательную таблицу.
Таблица 16 - Вспомогательная
Сельскохозяйст-венные предприятия
|
Базисный период
|
Отчетный период
|
Расчетные показатели
|
Урожайность, ц/га (y0)
|
Посевная площадь, га (s0)
|
Урожайность, ц/га (y1)
|
Посевная площадь, га (s1)
|
y0*s0
|
y1*s1
|
y0*s1
|
1
|
35
|
520
|
38
|
650
|
18200
|
24700
|
22750
|
2
|
20
|
180
|
22
|
160
|
3600
|
3520
|
3200
|
Итого
|
|
700
|
|
810
|
21800
|
28220
|
25950
|
Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних уровней изучаемого показателя. Индекс урожайности переменного состава:
.
Индекс постоянного состава отражает изолированное влияние осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности. Индекс урожайности постоянного состава:
.
Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности. Индекс структурных сдвигов:
.
Таким образом, общая урожайность выросла на 19% под влиянием изменения структуры посевных площадей. Под влиянием изменения урожайности каждой посевной площади общая урожайность выросла на 8,8%. В целом под влиянием этих обоих факторов урожайность посевов выросла на 11,8%
Задача 6.
По имеющимся данным числе умерших в Хабаровском крае за 2000 - 2005 гг. рассчитать: за каждый год:
1) абсолютный пророст (базисный и цепной);
2) темп роста (базисный и цепной);
3) темпы прироста базисный и цепной);
4) абсолютное значение 1% прироста; в целом за период: 5) средний уровень ряда;
6) средний абсолютный прирост;
7) средний темп роста;
8) средний темп прироста. Сделать выводы.
Таблица 17 - Исходные данные
Число умерших, чел.
|
Год
|
2000
|
2001
|
2002
|
2003
|
2004
|
2005
|
20 745
|
21 639
|
22 513
|
23 290
|
22 745
|
23 074
|
Решение:
Для определения абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста строим расчетную таблицу 18. Показатели, заносимые в таблицу, рассчитываются следующим образом:
1. Абсолютный прирост:
А) цепной:
,
где у
i
- уровень ряда динамики за изучаемый период, у
i-1
- уровень ряда динамики за период предшествующий изучаемому;
Б) базисный:
,
где уо
- начальный уровень ряда динамики;
2. Темп роста:
А) цепной:
;
Б) базисный:
;
3. Темп прироста: А) цепной:
или
;
Б) базисный:
или
;
4. Абсолютное значение 1% прироста:
или
.
Таблица 18 - Показатели динамики
Год
|
Число умерших, чел.
|
Абсолютный прирост
|
Темп роста, %
|
Темп прироста, %
|
Абсолютное значение 1% прироста
|
баз.
|
цепн.
|
баз.
|
цепн.
|
баз.
|
цепн.
|
|
2000
|
20745
|
894
|
894
|
104,30
|
104,30
|
4,309
|
4,309
|
207,45
|
2001
|
21639
|
1768
|
874
|
108,52
|
104,03
|
8,523
|
4,039
|
216,39
|
2002
|
22513
|
2545
|
777
|
112,26
|
103,45
|
12,268
|
3,451
|
225,13
|
2003
|
23290
|
2000
|
-545
|
109,64
|
97,66
|
9,641
|
-2,340
|
232,9
|
2004
|
22745
|
2329
|
329
|
111,22
|
101,44
|
11,227
|
1,446
|
227,45
|
2005
|
23074
|
894
|
894
|
104,31
|
104,31
|
4,309
|
4,309
|
207,45
|
Итого
|
134006
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее рассчитываем средние показатели динамики.
1) средний уровень ряда динамики для интервального ряда:
,
где у
i
- уровни ряда динамики, n
- число уровней ряда динамики;
2) средний абсолютный прирост:
,
где у
n
- конечный уровень ряда;
3) средний темп роста:
,
4) средний темп прироста
. =102,1-100=2,1
Так, в среднем за эти годы умирало 22334 человек в год. В среднем количество умерших в год возрастало с каждым годом на 466 человек, или на 2,1%.
Список использованной литературы
1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: учебник / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 565 с.
2. Статистика: учеб.-практ. пособие /под ред. М.Г. Назарова. - М.: КНОРУС, 2006 - 480 с.
3. Теория статистики: учебник /под ред. Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА-М., 2000. - 414 с.
содержание ..
187
188
189 ..
|
|
|