Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств
Экспертные оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выраженные с помощью функций принадлежности. Для упорядочения нечетких чисел существует множество методов, которые отличаются друг от друга способом свертки и построения нечетких отношений. Последние можно определить как отношения предпочтительности между объектами.
В данном случае критерии определяют некоторые понятия, а оценки альтернатив представляют собой степени соответствия этим понятиям. Пусть имеется множество альтернатив А = {а1
, а2
, ..., am
,} и множество критериев С= {C1
, C2
, ..., Cn
}, при этом оценки альтернатив по каждому i-му критерию представлены нечеткими множествами:
Ci
= { μCi
(a1
)/ μCi
, (a2
)/a2
, …, μCi
(am
)/am
}
Правило выбора лучшей альтернативы можно представить как пересечение нечетких множеств, соответствующих критериям:
D = C1
C2
...
Cn
.
Операция пересечения нечетких множеств может быть реализована разными способами. Иногда пересечение выполняется как умножение, но обычно этой операции соответствует взятие минимума:
Лучшей считается альтернатива a*
, имеющая наибольшее значение функции принадлежности
Если критерии Ci
имеют различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение:
D=C1
a1
C2
a2
...
Cn
an
,
где ai
- весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям:
Коэффициенты относительной важности можно определить, используя процедуру попарного сравнения критериев.
Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения
Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.
Постановка задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j == i, ..., m. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения Rj
. Таким образом, имеется m отношений предпочтения Rj
на множестве А. Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества {A, R1
, ...,Rm
}.
Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.
Определение 1.
Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения А x А, характеризующееся функцией принадлежности μR
: А x А → [0,1]. Значение μR
(a, b) этой функции понимается как степень выполнения отношения а 
b .
Определение 2.
Нечетким отношением предпочтения на А называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:
Определение 3.
Пусть А - множество альтернатив и μR
- заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, μR
) описывается функцией принадлежности
Определение 4.
Четко недоминируемыми называются альтернативы, для которых μR
НД
(а) = 1, а множество таких альтернатив
Определение 5.
Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности μB
(a) является множество {а | а 
А, μB
> 0}.
Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько шагов.
1. Строится нечеткое отношение Q1
, которое является пересечением исходных отношений предпочтения:
и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (А, μQ1
):
2. Строится нечеткое отношение Q2
и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A, μQ2
):
Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа wj
в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:
3. Отыскивается пересечение множеств μQ1
НД
и μQ2
НД
:
4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества
Наиболее рациональной альтернативой из множества АНД
является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.
Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода
Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].
Сущность метода, на основе которого реализована компьютерная система, заключается в следующем. Пусть U - множество элементов, А - его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества Aj
являются значениями лингвистической переменной X.
Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев x1
, x2
, ..., xp
, т.е. лингвистических переменных, заданных на базовых множествах u
1
, u
2
, .... u
p
соответственно. Например, переменная x1
"качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная x2
"стоимость" - значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удовлетворительность" также является лингвистической. Ниже приведен пример высказывания :
d1
: "Если x1
= НИЗКОЕ и x2
= ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d1
имеет вид:
d1
: "Если x1
= A1
, и x2
= A2i
и ... хр = Api
то S = Bi
". (4.1)
Обозначим пересечение (x1
= A1i
x2
= A2i
...
хр
= Api
) через х = Ai
. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:
Здесь V= U1
x U2
x ... Up
; v
= (u
1
, u
2
..., u
p
); μAij
(u
j
) - значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству Aij
.
Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:
Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W. Тогда Ai
- нечеткое подмножество W, в то время как Bi
- нечеткое подмножество единичного интервала I.
Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации [4]. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:
где Н - нечеткое подмножество на W x I, w
W, i
I.
Аналогичным образом высказывания d1
, d2
,..., dq
преобразуются в множества Н1
, Н2
, ..., Нq
. Их пересечением является множество D:
D = H1
H2
...
Нq
и для каждого (w
, i)
W x I
Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода:
G = Аº D,
где G - нечеткое подмножество интервала I.
Тогда
Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С 
I определяем α-уровневое множество (α
[0, 1]):
Сα
= {i | μc
(i) ≥ α
/ I}.
Для каждого Сα
можно вычислить среднее число элементов - М(Сα
):
для множества из n элементов
для Сα
={a ≤ i ≤ b}
при 0 ≤ a1
≤ b1
≤ a2
≤ b2
≤ ... ≤ an
≤ bn
≤ 1.
Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:
где αmax
- максимальное значение в множестве С.
При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.
Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной свертки
В рассматриваемом методе экспертные предпочтения представлены с помощью нечетких чисел, имеющих функции принадлежности треугольного вида (рис.4.2).
Пусть имеется множество альтернатив А = {a1
, a2
, ..., am
} и множество критериев С = {c1
, c2
, ..., cn
}, при этом оценка j-й альтернативы по i-му критерию представлена нечетким числом Rij
, a относительная важность i-го критерия задается коэффициентом αi
= 1,2 ...,n. Если коэффициенты а,
нормированы, то взвешенная оценка j-й альтернативы вычисляется по формуле
Если функции принадлежности μRij
(rij
) и μαi
(αi
) имеют треугольный вид, то для них, как и для нечеткого числа X, вершина X*, а также левая Х' и правая X" границы определяются следующими соотношениями:
Взвешенная оценка j-й альтернативы Rj
является результатом линейной комбинации нечетких чисел и также будет иметь функцию принадлежности треугольного вида. Вершину и границы нечеткого числа Z == Х x Y, полученного в результате операций сложения или умножения (символ x обозначает обобщенную операцию), можно вычислить следующим образом:
Z'=X' x Y'; Z" = X" x Y" ; Z*=X* x У.
Ранжирование альтернатив с использованием полученных взвешенных оценок возможно на основе их нечеткой композиции:
Здесь μJ
(j) - нечеткое множество альтернатив, соответствующих понятию "лучшая альтернатива". Лучшей считается альтернатива, имеющая наибольшее значение μJ
(j).
Приоритет каждой альтернативы вычисляется путем выбора минимума среди точек пересечения правой границы соответствующего ей нечеткого числа Rj
с границами нечетких чисел, представляющих взвешенные оценки альтернатив, расположенных правее на числовой оси (удовлетворяющих условию rk
> rj
.). При этом предполагается, что правая граница области определения нечетких чисел соответствует самым предпочтительным оценкам, а левая - наихудшим.
содержание ..
660
661
662 ..