МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ - ЧАСТЬ 6

Рис. 4. Принцип действия тепловых вакуумметров: а) – вакуумметр
сопротивления, б) – термопарный вакуумметр

ния меняется теплоотвод, и, следовательно, растет температу-
ра. Изменяя ток накала, мост балансируют (температуру нити
возвращают к исходному значению). По изменению тока нака-
ла судят о давлении в системе.

Режим постоянства тока накала используется в термопар-

ных вакуумметрах (рис. 4б). Простейшая схема термопарно-
го вакуумметра состоит из источника накала подогревателя
с миллиамперметром и переменного балластного резистора с
высоким сопротивлением, обеспечивающим режим постоянно-
го тока накала. По мере уменьшения давления в системе умень-
шается теплопроводность газа, повышается температура пере-
мычки подогревателя и термопары П и, следовательно, уве-
личивается термо-ЭДС, которая пропорциональна давлению и
измеряется милливольтметром. Ток накала подогревателя под-

24

бирают, выставляя значение милливольтметра на максимально
возможное значение при минимальном давлении (

∼ 10

−4

торр).

Запишем баланс электрической энергии, подводимой к ни-

ти:

I

2

R(1 + α∆T ) = cp∆T + σ(T

4

H

− T

4

0

) + b∆T.

(44)

Здесь cp∆T – мощность, отводимая через газ, окружаю-

щий нить, к стенкам трубки; p – давление газа в манометре;
∆T = T

H

− T

0

, T

H

– температура нити, T

0

– температура окру-

жающей среды, σ

H

(T

4

H

− T

4

0

) – мощность, рассеиваемая нитью

вследствие излучения (по закону Стефана – Больцмана), b

H

∆T

– мощность, уводимая через крепление нити и электрические
вводы, R

H

– сопротивление нити накала при температуре T

0

,

α

H

– температурный коэффициент сопротивления материала

нити.

Найдем отсюда давление:

p =

I

2

R(1 + α∆T )

− σ(T

4

H

− T

4

0

)

− b∆T

c∆T

.

(45)

Рассмотрим более детально первый член в правой части

уравнения (44). Если мы находимся в той области давлений,
где длина свободного пробега сопоставима с размерами сосуда
(λ

∼ d), коэффициент теплопроводности можно приблизитель-

но записать как

χ = ρ < v > c

V

d/3 [W/(m

· K)].

(46)

Поток тепла между двумя поверхностями, температура ко-

торых равна T

H

и T

0

соответственно, определится числом

столкновений молекул с единицей площади поверхности в еди-
ницу времени, ν = nv/4, и энергией падающих на измеритель-
ную нить и улетающих от нее молекул. Поток тепла с единицы
поверхности равен

q = ν

· ψk(T

H

− T

0

).

(47)

25

Здесь ψ – некоторый коэффициент, определяющий эффек-

тивность передачи энергии в потоке. Полная средняя энергия,
переносимая молекулой в потоке, в общем случае равна

< E >= ψ

·

1
2

kT = (i + 1)

·

1
2

kT,

(48)

где i – число степеней свободы газа. Учитывая, что число степе-
ней свободы связано с теплоемкостью при постоянном объеме
C

V

, теплоемкостью при постоянном давлении c

P

и показателем

адиабаты γ соответственно как

c

V

=

i

2

R;

c

P

=

i + 2

2

R;

γ =

c

P

c

V

=

i + 2

i

,

(49)

то есть i + 1 = (γ + 1)(γ

− 1), можно записать, что

q =

nv

4

·

γ + 1
γ

− 1

1
2

k(T

H

− T

0

).

(50)

Далее учтем то, что p = nkT , где T

≈ 0.5(T

H

+ T

0

) – некая

средняя температура газа между стенкой и нитью, и что сред-
няя скорость молекул определяется как < v >=



8RT /πµ:

q =

p
4



2R

πµT

γ + 1
γ

− 1

(T

H

− T

0

).

(51)

Считая, что рабочей поверхностью, через которую переда-

ется поток тепла, является боковая поверхность нити диамет-
ром d и длиной l, окончательно для потока тепла получим

Q =

πdlp

4



2R

πµT

γ + 1
γ

− 1

(T

H

− T

0

).

(52)

Вусловиях, когда основной подвод тепла будет происходить

за счет Джоулева нагрева, температура нити, а следовательно,
и ее сопротивление, в соответствии с выражением (52), будут
однозначной функцией давления.

26

Задача 3

Для типичных параметров тепловых вакуумметров оценить

измеряемое давление воздуха в торр. Принять величину тока,
текущего через нить, равной 100 мА, температуру нити рав-
ной 400 К, считать нить нихромовой. Удельное электрическое
сопротивление нихрома ρ = 1.12 Ом мм

2

/м, температурный

коэффициент α = 0.25

· 10

−3

1/К. Радиус нити r = 0.3 мм,

длина l = 5 см. Теплоемкость воздуха при постоянном объе-
ме равна C

V

= 720 Дж/(кг

· К), при постоянном давлении –

C

P

= 1009 Дж/(кг

· К)

Решение

Сопротивление нити составляет

Rэл =

ρl

πr

2

=

1.12

· 0.05

3.14

· 0.3 · 0.3

= 2

· 10

−1

Ом.

(53)

Будем считать, что потери на контактах и потери на излуче-

ние малы. Тогда подвод тепла осуществляется электрическим
током, отвод происходит за счет теплопроводности. Мощность,
подводимая к нити, равна

I

2

R(1 + α∆T ) = 0.1

2

· 2 · 10

−1

(1 + α∆T ) = 2

· 10

−3

(1 + α∆T ) Вт.

(54)

Здесь ∆T – разность температур: ∆T = T

H

− 293 = 107.

I

2

R(1 + α∆T ) = 2

· 10

−3

(1 + 0.25

·10

−3

·107) ≈ 2·10

−3

Вт. (55)

Боковая (излучающая) поверхность нити имеет площадь

S = 2πrl = 6.28

· 0.03 · 5 = 0.9 см

2

≈ 10

−1

м

2

.

(56)

Вычислим измеряемое давление. Из выражения (52) следует,
что

p =

4Q

√

πµ < T >

πdl

√

2R

γ

− 1

γ + 1

1

T

H

− T

0

,

(57)

27