Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год)

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

10 класс

10.1. В таблице

изначально записаны нули. За одну операцию

можно выбрать одну клетку и заменить число, стоящее в ней, на
любое целое число. Можно ли за 8 операций получить таблицу,
в которой все 12 сумм чисел в строках и столбцах будут различ-
ными положительными числами?

(

А. Кузнецов, П. Кожевников

)

Ответ.

Можно.

Решение.

Один из многих возможных примеров показан

на рисунке.

Если

примере

какие-то

сум-мы

совпадают,

но

верно

отмечены

Комментарий.

Только ответ,

но не предъявлен пример — 0 бал-
лов.

Неверное решение с неверным

ответом — 0 баллов.

За отсутствие подсч¨

ета сумм в

правильном примере баллы не сни-
жаются.

клетки, в которых можно делать операции — ставится 5 баллов
из 7.

10.2. Дан бумажный треугольник, длины сторон которого равны

см,

см и

см. Можно ли разрезать его на несколько (больше од-

ного) многоугольников, у каждого из которых площадь (изме-
ренная в см

) численно равна периметру (измеренному в см)?

(

Д. Храмцов

)

Ответ.

Нельзя.

Решение.

Многоугольник, у которого площадь (измерен-

ная в см

) численно равна периметру (измеренному в см), назо-

вем

хорошим

Заметим, что исходный треугольник — хороший: он прямо-

угольный с катетами 5 см и 12 см, поэтому его площадь рав-
на 30 см

и численно совпадает с его периметром, равным

5 + 12 + 13 = 30

см.

Если какой-то многоугольник

разбит на хорошие много-

угольники, то площадь

, равная сумме площадей всех мно-

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Первый день

гоугольников разбиения, совпала бы численно с суммой пери-
метров многоугольников разбиения. Но сумма этих периметров
больше периметра

(на удвоенную сумму длин общих частей

границ многоугольников разбиения). Получаем, что площадь

больше его периметра.

Значит, никакой хороший многоугольник, в том числе дан-

ный треугольник, нельзя разрезать на несколько (больше одно-
го) хороших многоугольников.

Комментарий.

Только замечено, что исходный треуголь-

ник хороший — 1 балл.

Показано только, что хороший многоугольник не разбива-

ется на хорошие — 5 баллов.

10.3. В городе N прошли

городских олимпиад по разным предме-

там, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно

школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же соста-
вом участников. Известно, что для любых

олимпиад найд¨

ется

школьник, который участвовал во всех этих

олимпиадах. До-

кажите, что найд¨

ется школьник, который участвовал во всех

олимпиадах.

(

В. Дольников

)

Решение.

Предположим противное, и пусть в множестве

всех школьников есть различные 30-элементные подмножества

, . . . ,

(множества участников каждой олимпиады) та-

кие, что пересечение любых 30 из них непусто, а пересечение
всех — пусто.

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Второй день

Введение

Порядок проведения, методика и система оценивания

(проверки) регионального этапа Всероссийской олимпиады

школьников по математике 2022–2023 учебного года.

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по ма-

тематике 2022–2023 учебного года проводится по заданиям, подготов-

ленным Центральной предметно-методической комиссией, в единые

для всех субъектов РФ сроки:

13 февраля 2023 г.

(I тур) и

14 фев-

раля 2023 г.

(II тур). Региональный этап проводится по отдельным

заданиям для учащихся 9, 10 и 11 классов.

Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач

в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, за-

дачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого

класса составляет 3 часа 55 минут.

В силу того, что во всех субъектах Российской Федерации ре-

гиональный этап проводится по одним и тем же заданиям, подго-

товленным Центральной предметно-методической комиссией, в целях

предотвращения преждевременного доступа к текстам заданий со сто-

роны участников Олимпиады, а также их учителей и наставников,

время начала и окончания туров в установленные даты в каждом

субъекте РФ должно определяться в соответствии с

«Временн ´

ыми

регламентами проведения туров регионального этапа Всерос-
сийской олимпиады школьников в субъектах Российской Фе-
дерации в 2022–2023 учебном году»

для часовых поясов.

Разбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур окан-

чивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше,

чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады.

Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0

до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить

участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).

Задания математических олимпиад являются творческими, до-

пускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необ-

ходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, раз-

бор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения,

нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и ариф-

метические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче

должны учитывать вс¨е вышеперечисленное.

Проверка работ осуществляется в соответствии со следующими

правилами:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопу-

стимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то,

что решение школьника отличается от привед¨енного в методических

разработках;

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

б) недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи

решений;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе

за запись в работе большого по объ¨ему текста, не содержащего про-

движений в решении задачи;

г) черновики не проверяются.

В связи с необходимостью качественной оценки работ участников,

на их проверку выделяется до 7 дней.

Для единообразия оценки работ участников олимпиады из раз-

ных регионов и с целью исключения при этом ошибок, Центральная

предметно-методическая комиссия имеет право перепроверки работ

участников регионального этапа.

В случае отсутствия специальных критериев по задаче, е¨е реше-

ние оценивается по привед¨енной ниже таблице (отметим, что для ис-

ключения различий в оценке близких продвижений по задаче в ра-

ботах разных участников, таблица упрощена по сравнению с при-

вед¨енной в Требованиях по проведению регионального этапа).

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение.

6–7

Верное решение. Имеются небольшие недоч¨еты (не ло-

гические), в целом не влияющие на решение.

до 4

В задаче типа «Оценка

пример» доказана оценка.

до 3

В задаче типа «Оценка

пример» построен пример.

до 1

Рассмотрен важный случай при отсутствии решения.

Аналитическое (координатным или векторным мето-

дом) решение геометрической задачи, не довед¨енное до

конца.

Решение отсутствует. Решение неверное, продвижения

отсутствуют.

Ниже приведены ответы и решения к задачам олимпиады. В ком-

ментариях к задачам указаны критерии оценивания (в баллах) неко-

торых предполагаемых ошибок и частичных продвижений. Заметим,

что работа участника, помимо привед¨енных, может включать другие

содержательные продвижения и ошибки, которые должны быть оце-

нены дополнительно.

Желаем успешной работы!

Авторы и составители сборника

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Первый день

Введение

Порядок проведения, методика и система оценивания

(проверки) регионального этапа Всероссийской олимпиады

школьников по математике 2022–2023 учебного года.

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по ма-

тематике 2022–2023 учебного года проводится по заданиям, подготов-

ленным Центральной предметно-методической комиссией, в единые

для всех субъектов РФ сроки:

13 февраля 2023 г.

(I тур) и

14 фев-

раля 2023 г.

(II тур). Региональный этап проводится по отдельным

заданиям для учащихся 9, 10 и 11 классов.

Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач

в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, за-

дачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого

класса составляет 3 часа 55 минут.

В силу того, что во всех субъектах Российской Федерации ре-

гиональный этап проводится по одним и тем же заданиям, подго-

товленным Центральной предметно-методической комиссией, в целях

предотвращения преждевременного доступа к текстам заданий со сто-

роны участников Олимпиады, а также их учителей и наставников,

время начала и окончания туров в установленные даты в каждом

субъекте РФ должно определяться в соответствии с

«Временн ´

ыми

для часовых поясов.

Разбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур окан-

чивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше,

чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады.

Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0

до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить

участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).

Задания математических олимпиад являются творческими, до-

пускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необ-

ходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, раз-

бор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения,

нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и ариф-

метические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче

должны учитывать вс¨е вышеперечисленное.

Проверка работ осуществляется в соответствии со следующими

правилами:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопу-

стимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то,

что решение школьника отличается от привед¨енного в методических

разработках;

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

б) недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи

решений;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе

за запись в работе большого по объ¨ему текста, не содержащего про-

движений в решении задачи;

г) черновики не проверяются.

В связи с необходимостью качественной оценки работ участников,

на их проверку выделяется до 7 дней.

Для единообразия оценки работ участников олимпиады из раз-

ных регионов и с целью исключения при этом ошибок, Центральная

предметно-методическая комиссия имеет право перепроверки работ

участников регионального этапа.

В случае отсутствия специальных критериев по задаче, е¨е реше-

ние оценивается по привед¨енной ниже таблице (отметим, что для ис-

ключения различий в оценке близких продвижений по задаче в ра-

ботах разных участников, таблица упрощена по сравнению с при-

вед¨енной в Требованиях по проведению регионального этапа).

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение.

6–7

Верное решение. Имеются небольшие недоч¨еты (не ло-

гические), в целом не влияющие на решение.

до 4

В задаче типа «Оценка

пример» доказана оценка.

до 3

В задаче типа «Оценка

пример» построен пример.

до 1

Рассмотрен важный случай при отсутствии решения.

Аналитическое (координатным или векторным мето-

дом) решение геометрической задачи, не довед¨енное до

конца.

Решение отсутствует. Решение неверное, продвижения

отсутствуют.

Ниже приведены ответы и решения к задачам олимпиады. В ком-

ментариях к задачам указаны критерии оценивания (в баллах) неко-

торых предполагаемых ошибок и частичных продвижений. Заметим,

что работа участника, помимо привед¨енных, может включать другие

содержательные продвижения и ошибки, которые должны быть оце-

нены дополнительно.

Желаем успешной работы!

Авторы и составители сборника

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Первый день

11 класс

11.1. Можно ли число 2023 представить в виде суммы тр¨

ех натураль-

ных чисел

таких, что

делится на

−

+ 1

(

А. Кузнецов

)

Ответ.

Нельзя.

Решение.

Предположим, такие три числа найдутся. По-

скольку

кратно

, сумма

+ (

) = 2023

также кратна

, из чего следует, что

неч¨

етно. Значит,

−

+ 1

— ч¨

етное

число, и неч¨

етное число

не может на него делиться.

Комментарий.

Верный

ответ

без

обоснования

—

баллов.

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

Комментарий.

Отмечены точки, диаметрально противо-

положные точкам

на окружности

— 0 баллов.

Отмечены вторые точки пересечения прямых

Y H

— 0 баллов.

Утверждается, но не доказывается, что вторые точки пере-

сечения прямых

Y H

— это точки, диаметрально про-

тивоположные вершинам

— 1 балл. Если это утверждение

доказано — 3 балла.

Задача сведена к доказательству факта совпадения указан-

ных точек, но совпадение не доказано — 4 балла.

Баллы за указанные продвижения не суммируются.

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Второй день

Введение

Порядок проведения, методика и система оценивания

(проверки) регионального этапа Всероссийской олимпиады

школьников по математике 2022–2023 учебного года.

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по ма-

тематике 2022–2023 учебного года проводится по заданиям, подготов-

ленным Центральной предметно-методической комиссией, в единые

для всех субъектов РФ сроки:

13 февраля 2023 г.

(I тур) и

14 фев-

раля 2023 г.

(II тур). Региональный этап проводится по отдельным

заданиям для учащихся 9, 10 и 11 классов.

Задания для каждого класса включают 10 задач — по 5 задач

в каждом из двух дней (туров) Олимпиады (задачи 1–5 — I тур, за-

дачи 6–10 — II тур). Продолжительность каждого тура для каждого

класса составляет 3 часа 55 минут.

В силу того, что во всех субъектах Российской Федерации ре-

гиональный этап проводится по одним и тем же заданиям, подго-

товленным Центральной предметно-методической комиссией, в целях

предотвращения преждевременного доступа к текстам заданий со сто-

роны участников Олимпиады, а также их учителей и наставников,

время начала и окончания туров в установленные даты в каждом

субъекте РФ должно определяться в соответствии с

«Временн ´

ыми

для часовых поясов.

Разбор задач в субъектах Российской Федерации, где тур окан-

чивается в 16.00 и 17.00 по местному времени, проводится не раньше,

чем на следующий день после проведения второго тура Олимпиады.

Решение каждой задачи оценивается целым числом баллов от 0

до 7. Максимальное количество баллов, которое может получить

участник, равно 70 (35 — I тур, 35 — II тур).

Задания математических олимпиад являются творческими, до-

пускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необ-

ходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, раз-

бор важного случая, доказательство вспомогательного утверждения,

нахождение примера и т. п.). Наконец, возможны логические и ариф-

метические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче

должны учитывать вс¨е вышеперечисленное.

Проверка работ осуществляется в соответствии со следующими

правилами:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопу-

стимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то,

что решение школьника отличается от привед¨енного в методических

разработках;

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

б) недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи

решений;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе

за запись в работе большого по объ¨ему текста, не содержащего про-

движений в решении задачи;

г) черновики не проверяются.

В связи с необходимостью качественной оценки работ участников,

на их проверку выделяется до 7 дней.

Для единообразия оценки работ участников олимпиады из раз-

ных регионов и с целью исключения при этом ошибок, Центральная

предметно-методическая комиссия имеет право перепроверки работ

участников регионального этапа.

В случае отсутствия специальных критериев по задаче, е¨е реше-

ние оценивается по привед¨енной ниже таблице (отметим, что для ис-

ключения различий в оценке близких продвижений по задаче в ра-

ботах разных участников, таблица упрощена по сравнению с при-

вед¨енной в Требованиях по проведению регионального этапа).

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

Полное верное решение.

6–7

Верное решение. Имеются небольшие недоч¨еты (не ло-

гические), в целом не влияющие на решение.

до 4

В задаче типа «Оценка

пример» доказана оценка.

до 3

В задаче типа «Оценка

пример» построен пример.

до 1

Рассмотрен важный случай при отсутствии решения.

Аналитическое (координатным или векторным мето-

дом) решение геометрической задачи, не довед¨енное до

конца.

Решение отсутствует. Решение неверное, продвижения

отсутствуют.

Ниже приведены ответы и решения к задачам олимпиады. В ком-

ментариях к задачам указаны критерии оценивания (в баллах) неко-

торых предполагаемых ошибок и частичных продвижений. Заметим,

что работа участника, помимо привед¨енных, может включать другие

содержательные продвижения и ошибки, которые должны быть оце-

нены дополнительно.

Желаем успешной работы!

Авторы и составители сборника

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

Верный пример вырезания без полного обоснования — не бо-

лее 4 баллов.

Пример работает только в случае, когда прямоугольник вы-

резается по линиям сетки — не более 2 баллов.

11.8. Точка

— центр описанной окружности остроугольного нерав-

нобедренного треугольника

ABC

. На биссектрисе угла

ABC

внутри треугольника

ABC

отмечена точка

, а на отрезке

—

точка

так, что

. Точки

— центры

окружностей, описанных около треугольников

AOE

COD

со-

ответственно. Докажите, что точки

лежат на одной

прямой или на одной окружности.

(

А. Кузнецов

)

Решение.

Обозначим вторую точку пересечения биссек-

трисы угла

ABC

с окружностью, описанной около треугольника

ABC

, через

(см. рис. 5). Тогда точка

— середина дуги

поэтому

— серединный перпендикуляр к хорде

. Посколь-

ку вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося
на ту же дугу, то

∠

F OC

= 2

∠

F BC

. С другой стороны, так как

, то

∠

DCB

∠

CBD

, а тогда

∠

CDF

∠

DCB

∠

DBC

= 2

∠

DBC

= 2

∠

F BC

как внешний к треугольнику

BCD

. Таким образом,

∠

F OC

∠

F DC

, поэтому точка

лежит

на окружности, описанной около треугольника

COD

. Рассуж-

дая аналогично, мы получаем, что

∠

AOF

= 2

∠

ABF

∠

AEF

и точка

лежит и на окружности, описанной около треуголь-

ника

AOE

. Значит, точки

— центры описанных окружно-

стей треугольников

AOF

COF

, а эти треугольники симмет-

ричны относительно

. Получается, что точки

также

симметричны относительно

. Следовательно, либо точки

лежат на прямой

, либо

— вершины равнобокой

трапеции, а потому лежат на одной окружности.

Комментарий.

Построена середина меньшей дуги

окружности

ABC

(в решении названа

) — 0 баллов.

Доказано, что

лежит на одной из окружностей, описан-

ных около треугольников

AOE

COD

— 3 балла.

Доказано, что точка

лежит на обеих окружностях — 4 бал-

ла.

Доказано, что радиусы окружностей равны — 1 балл.
Доказано, что точки

симметричны относительно се-

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Второй день

Рис. 5

рединного перпендикуляра к

, далее упущен случай, когда

они лежат на прямой

— баллы не снимаются.

Баллы за указанные продвижения не суммируются.

11.9. Даны ненулевые числа

. Докажите, что выполняется нера-

венство

−

+ 1

(

А. Кузнецов

)

Решение.

Положим

−

. Теперь заметим, что

−

+ 1

Если

= 0

, то два из этих слагаемых равны 1, и тем самым

сумма не меньше, чем 2. В противном случае числа

от-

личны от нуля. Значит, какие-то два из них одного знака, а то-
гда их произведение положительно, и соответствующее слагае-
мое больше 1. Поскольку два других слагаемых неотрицатель-
ные, то общая сумма больше 1.

Комментарий.

Доказано нестрогое неравенство вместо

строгого — снимается 1 балл.

Не разобран случай

= 0

— снимается 1 балл.

11.10. В стране

городов (

— натуральное), некоторые из них соеди-

нены двусторонними беспосадочными авиалиниями. Из любого
города можно попасть в любой другой, возможно, с пересадка-

XLIX Всероссийская математическая олимпиада школьников

ми. Президент хочет разделить страну на две области и вклю-
чить каждый город в одну из двух областей. При этом авиали-
нии разделятся на

межобластных и

внутриобластных. До-

кажите, что президент может добиться того, чтобы выполня-
лось неравенство

−

(

М. Дидин

)

Решение.

Докажем индукцией по

, что в любом связном

графе, содержащем

вершин, их можно покрасить в красный

и синий цвета таким образом, что число р¨

ебер с разноцветны-

ми концами (будем называть такие р¨

ебра

разноцветными

) бу-

дет превосходить число р¨

ебер с одноцветными концами (будем

называть такие р¨

ебра

одноцветными

) хотя бы на

— из этого

будет следовать утверждение задачи. База

= 1

тривиальна,

докажем переход.

Предположим, в графе с

вершинами найд¨

ется пара вер-

шин, соедин¨

енных ребром, при удалении которых граф не те-

ряет связность; обозначим эти вершины через

. Покрасим

оставшиеся вершины таким образом, чтобы число разноцветных
р¨

ебер было хотя бы на

−

больше числа одноцветных р¨

ебер —

так можно сделать по предположению индукции. Заметим, что
вершины

теперь можно покрасить таким образом, что раз-

ность между количествами разноцветных и одноцветных р¨

ебер

увеличится. В самом деле, без ограничения общности будем счи-
тать, что если вершины

не имеют обе ч¨

етные степени, то

вершина

имеет неч¨

етную степень. Тогда покрасим вершину

в цвет, который имеет меньшинство е¨

е соседей (в случае равен-

ства покрасим в любой цвет), а затем покрасим таким же обра-
зом вершину

. Очевидно, при каждой покраске требуемая раз-

ность не уменьшилась, и хотя бы при одной покраске у соответ-
ствующей вершины было неч¨

етное число покрашенных соседей,

то есть разность при этой покраске увеличилась. Поскольку до
покраски вершин

разность между числом разноцветных

р¨

ебер и числом одноцветных р¨

ебер была не меньше

−

, после

этой покраски она стала не меньше

С другой стороны, если в графе найд¨

ется пара висячих вер-

шин, то, очевидно, при их удалении граф по-прежнему не теряет
связность, и тем же самым алгоритмом можно покрасить весь
остальной граф, а затем и эти висячие вершины, таким образом,

Региональный этап, 2022–2023 учебный год. Второй день

что разность между количествами разноцветных и одноцветных
р¨

ебер будет не меньше

. Докажем, что в любом связном графе

хотя бы с тремя вершинами или найдутся две смежные верши-
ны, при удалении которых граф останется связным, или най-
дутся две висячие вершины.

В самом деле, рассмотрим произвольное остовное дерево

этого графа и подвесим его за любую не висячую вершину. Пусть

— наиболее удал¨

енная от корня висячая вершина этого дере-

ва, а

— предок этой вершины. Обозначим потомков этого пред-

ка через

, . . . ,

. Заметим, что вершины

, . . . ,

являют-

ся висячими в рассматриваемом остовном дереве. Рассмотрим
несколько случаев.

Случай 1

. Среди вершин

, . . . ,

есть пара вершин, со-

един¨

енных ребром в исходном графе. Тогда при удалении этих

двух вершин остовное дерево (а значит, и сам исходный граф)
сохраняет связность.

Случай 2

. Среди вершин

, . . . ,

есть пара вершин, явля-

ющихся висячими в исходном графе. Значит, в исходном графе
есть хотя бы две висячие вершины.

Случай 3

. Среди вершин

, . . . ,

есть не больше одной

вершины, являющейся висячей в исходном графе. Без ограни-
чения общности, будем считать, что если такая вершина есть, то
это вершина

. Тогда переподвесим каждую из вершин

, . . . ,

к любому из е¨

е соседей, отличных от

: поскольку эти верши-

ны не являются висячими в исходном графе, такой сосед всегда
найд¨

ется. После всех переподвешиваний вершины

можно

будет удалить из графа, и остовное дерево останется связным —
а значит, и сам граф.

Поскольку хотя бы один из случаев имеет место, и в каждом

из них в графе есть или пара смежных вершин, при удалении
которых граф оста¨

ется связным, или пара висячих вершин, пе-

реход индукции доказан.

Замечание.

Неравенство из задачи является точным: в

частности, в полном графе на

вершинах соответствующая

разность не может быть строго больше

Комментарий.

Решение сведено к доказательству утвер-

ждения о том, что в любом связном графе хотя бы с тремя вер-

XV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ИМЕНИ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА

Решения заданий регионального этапа и критерии оценивания, 1 день

1. Два  бегуна  бегают  с  равными  постоянными  скоростями  по  диагоналям  AC  и  BD  соответственно
квадрата  ABCD.  Добежав  до  конца  диагонали,  бегун  сразу  поворачивает  обратно.  Стартовали  они
одновременно  из  двух  случайно  выбранных  точек  своих  диагоналей.  Докажите,  что  найдётся  момент,
когда расстояние между бегунами будет строго меньше половины диагонали квадрата.

(И. Рубанов)

Решение

. Рассмотрим момент, когда бегун с диагонали

находится в точке

пересечения диагоналей.

Если второй бегун в этот момент не находится в точке

или

, расстояние между бегунами будет меньше

половины диагонали, и задача решена. В противном случае будем считать для определенности, что
второй бегун в этот момент находится в точке

, а первый движется из

. Поскольку скорости бегунов

равны, в момент, когда первый добежит до середины

отрезка

, второй будет в середине

отрезка

, и расстояние

/2, что и требовалось.

Критерии

. Показано, что будет момент, когда расстояние между бегунами будет

не больше

половины

диагонали, дальнейшего содержательного продвижения нет:

2 балла

Критерии

. То, что каждое белое число может обслуживать не более одного, а каждое чёрное — не более

двух чисел из списка (*), считаем очевидным, отсутствие обоснования

оценки не снижает

Доказано, что среди

есть не менее 100 чисел, обслуживающих только одно число из списка (*),

дальнейшего содержательного продвижения нет:

3 балла

3. В клетках таблицы 10×10 расставлены натуральные числа 1, 2, …, 99, 100. Назовём уголком фигуру,
которая получается удалением одной клетки из квадрата 2



2. Назовем уголок

хорошим, если число в его

клетке, граничащей по сторонам с двумя другими, больше чисел, стоящих в этих двух других клетках.
Каково наибольшее возможное число хороших «уголков»?

»?

(Каждый уголок учитывается независимо от

того, как он расположен по отношению к другим, разные уголки могут частично
накладываться).

А. Голованов)

Критерии

. Только ответ:

0 баллов

Найдено общее число «уголков» в таблице, дальнейшего содержательного продвижения нет:

0 баллов

Доказано, что хороших «уголков» не более половины от общего числа «уголков» в таблице, примера нет:

3 балла

Построен пример, когда хороших «уголков» ровно половина от общего числа, содержательного
продвижения в доказательстве оценки нет:

3 балла

Есть описанные в двух предыдущих критериях оценка и пример, но общее число уголков в таблице не
найдено или найдено неверно:

6 баллов

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2022-2023 год) - часть 12