ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФАРМАКОПЕЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ (ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ, 2006 год)

возможных результатов другого. Это означает, что случайные ошибки всех существен-

ных факторов, которые могут повлиять на результат в ходе выполнения одного количе-

ственного определения (например, разведения стандартного и испытуемого препара-

тов, чувствительность биологических индикаторов), не зависят от соответствующих

случайных ошибок этих факторов в ходе выполнения другого количественного опреде-

ления. Таким образом, количественные определения, которые проводятся в после-

дующие дни с использованием одинаковых сохраненных разведений стандартного

препарата не являются независимыми.

Существует несколько методов объединения результатов независимых количе-

ственных определений, наиболее приемлемый из них с теоретической точки зрения

является довольно сложным при практическом использовании. Ниже описаны три про-

стых метода аппроксимации; однако могут использоваться и другие методы, если вы-

полнены необходимые условия объединения результатов.

Если данные количественного определения основываются на использовании мо-

дели параллельных линий или модели пробит-анализа, полученные значения активно-

стей перед объединением необходимо представить в логарифмическом виде; значе-

ния активностей, полученные при использовании модели угловых коэффициентов,

объединяют без преобразований. Поскольку модель параллельных линий используют

чаще, чем модель угловых коэффициентов, в данном разделе в формулах использует-

ся символ М, обозначающий натуральный логарифм отношения активностей. Подстав-

ляя вместо М отношения угловых коэффициентов R, можно применять те же формулы

для определения активностей, найденных при использовании модели угловых коэф-

фициентов. Перед объединением оценки активностей всех исследованных препаратов

должны быть скорректированы по отношению к установленной активности.

6.2. ВЗВЕШЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПРЕДЕ-

ЛЕНИЯ

Данный метод может быть использован только в том случае, если выполняются

следующие условия:

1) оценки активностей получены в ходе независимых количественных определе-

ний;

2) для каждого из количественных определений значение С близко к 1 (другими

словами, меньше чем 1.1);

3) число степеней свободы конкретных неисключенных погрешностей не меньше 6,

но желательно, чтобы оно было больше 15;

4) оценки конкретных активностей образуют однородное множество (см. Раздел

6.2.2).

Если эти условия не выполняются, метод нельзя использовать. В этом случае для

нахождения наилучшей оценки средней активности, которая затем будет применяться

в последующих количественных определениях в качестве предполагаемой активности,

может использоваться метод, описанный в Разделе 6.3.

6.2.1. РАСЧЕТ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Предположим, что проведено n’ количественных определений, в ходе которых по-

лучено n’ значений М с соответствующими доверительными интервалами. Для каждого

количественного определения рассчитывается логарифмический доверительный ин-

тервал L путем вычитания нижнего значения от верхнего. Вес W для каждого значения

М вычисляется по формуле 6.2.1.-1, где t имеет то же значение, которое используется

при расчете доверительных интервалов.

W =

(6.2.1.-1)

6.2.2. ОДНОРОДНОСТЬ ОЦЕНОК АКТИВНОСТИ

Однородность оценок активностей определяют следующим образом. Отклонение

каждого из значений М от взвешенного среднего возводят в квадрат, умножают на со-

ответствующий вес и суммируют по всем количественным определениям. В результате

получают статистику, приблизительно распределенную как c², и которая может исполь-

зоваться для оценки однородности множества натуральных логарифмов оценок актив-

ностей:

W(M

-M

)

(6.2.2.1)

где

Если рассчитанное значение c² меньше табличного значения, соответствующего

(n’-1) степеням свободы, то активности однородны, и среднее значение активности, а

также доверительные интервалы, рассчитанные при помощи метода, описанного в

Разделе 6.2.3 будут обоснованными.

Если рассчитанное значение статистики больше табличного, активности

неоднородны. Это означает, что отклонение между конкретными оценками М больше,

чем можно было бы ожидать, исходя из оценок доверительных интервалов. То есть

между количественными определениями существует значительная вариабельность. В

этом случае условие 4 не выполняется и формулы, приведенные в Разделе 6.2.3 не

применимы. Вместо них могут быть использованы формулы, приведенные в Разделе

6.2.4.

6.2.3. РАСЧЕТ ВЗВЕШЕННОГО СРЕДНЕГО И ГРАНИЦ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ

ИНТЕРВАЛОВ

Для каждого количественного определения рассчитывают значения WM, а их

сумму делят суммарный вес всех количественных определений. В результате получа-

ют значение логарифма взвешенной средней активности

(6.2.3.-1)

ÂW

стандартная ошибка натурального логарифма средней активности вычисляется как

квадратный корень из величины, обратной суммарному весу:

(6.2.3.-2)

а приблизительный доверительный интервал равен антилогарифму значения

M ±ts

(6.2.3.-3)

где число степеней свободы t равно сумме чисел степеней свободы средних квадратов

ошибок отдельных количественных определений.

6.2.4. ВЗВЕШЕННОЕ СРЕДНЕЕ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ОТКЛОНЕНИЯ В

ПРЕДЕЛАХ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕЖДУ НИМИ.

При объединении результатов нескольких повторных количественных определе-

ний, величина c² может быть значимой. В этом случае полученная вариация имеет два

компонента:

вариация в пределах серии количественных определений s

1/W

M =

вариация между сериями количественных определений

-M

)

s²

= Â

n' (n'-1

)

где :

M - невзвешенное среднее значение.

Первый компонент изменяется от одного количественного определения до другого, то-

гда как второй компонент является общим для всех М.

Тогда для каждого значения М рассчитывают весовой коэффициент

M +s

который заменяет значение W в Разделе 6.2.3; t прибизительно равно 2.

6.3. НЕВЗВЕШЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПРЕ-

ДЕЛЕНИЯ

Наиболее простым способом объединения n’ оценок для значений М при n’

коичественных определениях, является вычисление среднего значения и оценка

стандартного отклонения по формуле

-M

)

= Â

(6.3.-1)

n' (n'-1

)

а доверительный интервал

M ±ts

(6.3.-2)

где t имеет (n’-1) степеней свободы. Число n’ оценок значений М обычно мало, а

значение t, соответсвенно, довольно велико.

6.4. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЗЕШЕННОЙ СРЕДНЕЙ АКТИВНОСТИ С

ДОВЕРИТЕЛЬНІМ ИНТЕРВАЛОМ

В таблице 6.4.-1 приведено шесть независимых оценок активности одного и того

же препарата, а также их доверительные интервалы и число степеней свободы для их

дисперсий ошибки. Условия 1,2 и 3, приведенные в Разделе 6.2., выполнены. Нату-

ральный логарифм активностей и веса рассчитаны, как описано в Разделе 6.2.

Таблица 6.4.-1.

Оценки активностей и доверительные интервалы шесит независимых

количественных определений

Оценка ак-

Нижняя гра-

Верхняя гра-

Степени сво-

Натуральный

Вес

тивности

ница

боды

логарифм ак-

(МЕ/флакон)

тивности М

18 367

17 755

19 002

9,8183

3777,7

18 003

17 415

18 610

9,7983

3951,5

18 064

17 319

18 838

9,8017

2462,5

17 832

17 253

18 429

9,7887

4003,0

18 635

17 959

19 339

9,8328

3175,6

18 269

17 722

18 834

9,8130

4699,5

Однородность оценок активностей рассчитывают по формуле

6.2.2.-1, в

результате получают значение c², равное 4,42 при 5 степенях свободы. Этот результат

не является статистически значимым (р=0,49) и, следовательно, все условия для при-

менения оценки взвешенной средней активности выполняются.

Взвешенную среднюю активность вычисляют по формуле 6.2.3.-2, в результате

получают значение 9,8085.

По формуле 6.2.3.-2 рассчитывают стандартное отклонение, равное 0,00673, а

по формуле 6.2.3.-3 вычисляют 95% доверительный интервал

9,7951 - 9,8218, где t

имеет 120 степеней свободы.

Взяв антилогарифм, получают значение активности, равное 18187 МЕ/флакон при

95% доверительном интервале от 17946 до 18431 МЕ/флакон.

7. ДОПОЛНЕНИЕ

Невозможно дать исчерпывающий обзор статистических методов, используемых

при проведении фармакопейных исследований. Тем не менее методы, изложенные в

данной статье, удовлетворяют требованиям большинства фармакопейных целей. В

данном разделе сделана попытка представить более абстрактный обзор альтернатив-

ных или наиболее общих методов статистического анализа. Заинтересованные лица

могут также обратиться к специальной литературе по этой теме. В случае использова-

ния более специализированных методов статистического анализа, следует обратиться

за помощью к квалифицированным специалистам.

7.1. ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

Методы, изложенные в данной статье, могут быть описаны в рамках общих ли-

нейных моделей (или обобщенных линейных моделей для того, чтобы включить мето-

ды пробит и логит-анализа). Принцип основан на построении линейной матрицы струк-

туры Х (или матрицы планирования), в которой каждая строка представляет результа-

ты наблюдения, а каждый столбец - один из линейных факторов (препарат, блок,

столбец, дозу). Например, в случае схемы латинского квадрата, рассмотренной в Раз-

деле 5.1.2, такая матрица состояла бы из 36 строк и 13 столбцов. По одному столбцу

на каждый из препаратов, один столбец для доз, пять столбцов на каждый из блоков,

за исключением первого, и пять столбцов для каждой строки, за исключением первой.

Все столбцы, за исключением одного для доз, заполняют 0 или 1 в зависимости от то-

го, связано данное наблюдение с данным фактором или нет. Вектор Y заполняют ре-

зультатами наблюдений

(преобразованными). Искомые параметры вычисляют по

формуле (X^tX)^-1X^tY, после чего оценка активности m может быть легко получена как от-

ношение соответствующих параметров. Доверительные интервалы рассчитываются на

основе теоремы Филлера (Fieller):

˜˙

-2mv

˜˙

¯˚

mL,m

(1-

)

где :

а v₁₁, v₂₂ - множители дисперсии знаменателя и числителя, соответственно; v₁₂ - мно-

житель ковариации. Эти множители можно непосредственно вычислить из матрицы

(X^tX)^-1, или косвенным методом, приняв во внимание, что Var(a₁-a₂)=Var(a₁)+Var(a₂)-

2Cov(a₁,a₂), а Cov(a₁-a₂,b)=Cov(a₁,b)-Cov(a₂,b).

Полный дисперсионный анализ с полным разделением компонентов более сло-

жен, поскольку он предполагает пересмотр матрицы X, к которой при этом дополняют-

ся столбцы для ослабления предположений о параллельности и линейности, после че-

го может быть проверена гипотеза о линейности. В случае количественных определе-

ний, зависящих от альтернативных эффектов, факторы линейности (точки пересечения

с осью ординат a_S, a_T и т.д. общий угловой коэффициент b) находят путем максимиза-

ции суммы по группам препаратов nlnΦ(a_i+bx)+(n-r)ln(1-Ф(a_i+bx)), где x - натуральный

логарифм дозы (ln(доза)), Φ - определяет форму распределения, i Œ{S,T,…}.

7.2. НЕОДНОРОДНОСТЬ ДИСПЕРСИИ

Проблема неоднородности дисперсии не всегда может быть решена путем про-

стого преобразования результатов. В этом случае один из возможных способов реше-

ния данной проблемы состоит в применении метода взвешенной линейной регрессии.

Чтобы получить объективную оценку, веса результатов наблюдений берутся как вели-

чины обратно пропорциональные дисперсии ошибок. Так как истинное значение дис-

персии ошибок не всегда известно, веса могут подбираться с использованием линей-

ной итеративной процедуры. Однако при расчете доверительных интервалов при этом

возникают дополнительные проблемы.

7.3. ВЫБРОСЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОВ В РАБОТЕ (РОБАСТНОСТЬ)

Недостатком метода наименьших квадратов, описанного в данном приложении,

является его довольно высокая чувствительность к резко отклоняющимся от среднего

данным. Очевидный выброс может целиком исказить результаты вычислений. Эту про-

блему часто решают путем исключения выбросов из набора данных. Такой подход мо-

жет привести к субъективному исключению данных - не всегда корректному и безопас-

ному. Довольно сложно дать общие рекомендации, касающиеся решения относительно

того является ли конкретный результат наблюдения выбросом или нет, и с этим связа-

но появление и развитие ряда робастных (устойчивых в работе) методов анализа. Эти

методы менее чувствительны к выбросам, за счет того, что результатам, которые в

большей мере отличаются от прогнозируемого значения, придается меньший вес. В

данном случае возникает ряд новых проблем, связанных с расчетом доверительных

интервалов, а так же с определением подходящей функции для минимизации ошибок.

7.4. ОШИБКИ КОРРЕЛЯЦИИ

С практической точки зрения случаях полная рандомизация не всегда бывает

осуществима или в некоторых крайне нежелательна. Поэтому для последовательных

доз в пределах серии разведений часто характерны ошибки корреляции, которые при-

водят к чрезмерному сужению доверительных интервалов. Существует несколько ме-

тодов, которые позволяют оценить такой эффект «автокорреляции».

8. ТАБЛИЦЫ И ПРОЦЕДУРЫ ГЕНЕРИРОВАНИЯ

В данном разделе приведены таблицы, в которых указаны критические значения

для наиболее часто встречающихся оценок степеней свободы. Если необходимое зна-

чение отсутствует в таблице, следует обратиться к более полным таблицам. Статисти-

ческие функции включены во многие компьютерные программы, которые могут быть

использованы вместо таблиц. В качестве альтернативы могут использоваться приве-

денные после каждой таблицы процедуры генерирования, которые позволяют рассчи-

тать вероятность, соответствующую заданной статистике и заданному числу степеней

свободы.

8.1. F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Если полученное значение превышает табличное, оно рассматривается как зна-

чимое (верхняя строка, р=0,05), либо как высоко значимое (нижняя строка, р=0,01). Df1

- число степеней свободы числителя, df2 - число степеней свободы знаменателя.

Df1

•

df2

4,965

4,103

3,708

3,478

3,326

3,217

3,072

2,978

2,913

2,845

2,774

2,538

10,044

7,559

6,552

5,994

5,636

5,386

5,057

4,849

4,706

4,558

4,405

3,909

4,747

3,885

3,490

3,259

3,106

2,996

2,849

2,753

2,687

2,617

2,544

2,296

9,330

6,927

5,953

5,412

5,064

4,821

4,499

4,296

4,155

4,010

3,858

3,361

4,543

3,682

3,287

3,056

2,901

2,790

2,641

2,544

2,475

2,403

2,328

2,066

8,683

6,359

5,417

4,893

4,556

4,318

4,004

3,805

3,666

3,522

3,372

2,868

4,351

3,493

3,098

2,866

2,711

2,599

2,447

2,348

2,278

2,203

2,124

1,843

8,096

5,849

4,938

4,431

4,103

3,871

3,564

3,368

3,231

3,088

2,938

2,421

4,242

3,385

2,991

2,759

2,603

2,490

2,337

2,236

2,165

2,089

2,007

1,711

7,770

5,568

4,675

4,177

3,855

3,627

3,324

3,129

2,993

2,850

2,699

2,169

4,171

3,316

2,922

2,690

2,534

2,421

2,266

2,165

2,092

2,015

1,932

1,622

7,562

5,390

4,510

4,018

3,699

3,473

3,173

2,979

2,843

2,700

2,549

2,006

4,034

3,183

2,790

2,557

2,400

2,286

2,130

2,026

1,952

1,871

1,784

1,438

7,171

5,057

4,199

3,720

3,408

3,186

2,890

2,698

2,563

2,419

2,265

1,683

∞

3,841

2,996

2,605

2,372

2,214

2,099

1,938

1,831

1,752

1,666

1,571

1,000

6,635

4,605

3,782

3,319

3,017

2,802

2,511

2,321

2,185

2,039

1,878

1,000

Процедура генерирования: Примем F равным F-отношению, а df1 и df2 присвоим те же значения, как опи-

сано выше. Пусть p= 3.14159265358979… . Тогда генерирование р-значения статистики будет выполняться

следующей процедурой.

Если df парное

Если df1 непарное, а df2

Если df1и df2 непарные

парное

x=df1/(df1+df2/F)

x=df2/(df2+df1*F)

x=atn(sqr(df1*F/df2))

s=1

cs=cos(x): sn=sin(x) x=x/2

t=1

s=0: t=sn*cs/2: v=0 w=1

for i=2 to (df1-2) step 2

for i=2 to (df2-2) step 2

for i=2 to (df2-1) step 2

t=t*x*(df2+i-2)/i

t=t*x*(df1+i-2)/i

s=s+t

t=t*i/(i+1)*cs*cs

next i

p=s*(1-x)^(df2/2)

p=1-s*(1-x)^(df1/2)

for i=1 to (df1-2) step 2

v=v+w

w=w*(df2+i)/(i+2)*sn*sn

next i

p=1+(t*df2*v-x-s)/pi*4

8.2. t-РАСПЕРЕДЕЛЕНИЕ

p = 0,05 p = 0,01

12,706

63,656

2,074

2,819

4,303

9,925

2,064

2,797

3,182

5,841

2,056

2,779

2,776

4,604

2,048

2,763

2,571

4,032

2,042

2,750

2,447

3,707

2,030

2,724

2,365

3,499

2,021

2,704

2,306

3,355

2,014

2,690

2,262

3,250

2,009

2,678

2,228

3,169

2,000

2,660

2,179

3,055

1,994

2,648

2,145

2,977

1,990

2,639

2,120

2,921

1,987

2,632

2,101

2,878

100

1,984

2,626

2,086

2,845

∞

1,960

2,576

Если полученное значение превышает табличное, оно рассматривается как значимое

(р=0,05), либо как высоко значимое (р=0,01).

Процедуры генерирования: для заданного значения t при числе степеней свобо-

ды df значение р может быть найдено при помощи процедур, описанных в Разделе 8.1,

где F=t², df1=1, a df2=df.

Для заданного числа степеней свободы df значение t (при p=0.05) может быть

найдено с помощью следующей процедуры (точность в этом случае должна быть до 6

десятичного знака):

1,959964+

2,37228/df+

2,82202/df²+

2,56449/df³+

1,51956/df⁴+

1,02579/df⁵+

0,44210/df⁷

8.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ c²

p = 0,05 p = 0,01

3,841

6,635

19,675

24,725

5,991

9,210

21,026

26,217

7,815

11,345

22,362

27,688

9,488

13,277

23,685

29,141

11,070

15,086

24,996

30,578

12,592

16,812

26,296

32,000

14,067

18,475

31,410

37,566

15,507

20,090

37,652

44,314

16,919

21,666

43,773

50,892

18,307

23,209

55,758

63,691

Если полученное значение превышает табличное, оно рассматривается как зна-

чимое (р=0,05), либо как высоко значимое (р=0,01).

Процедура генерирования: Обозначим c² через х2, а df присвоим значение, ука-

занное выше. Выполнение следующей процедуры генерирует значение р.

s=0: t=exp(-x2/2)

x=sqr(x2) : s=0

t=x*exp(-x2/2)/sqr(pi/2)

for i=2 to df step 2

for i=3 to df step 2

s=s+t

t=t*x2/i

next i

p=1-s

p=1-s-2*phi(x)

В этой процедуре phi является функцией кумулятивного стандартного нормаль-

ного распределения Φ (см. Раздел 8.4).

8.4. Φ-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (КУМУЛЯТИВНАЯ СТАНДАРТНАЯ ФУНКЦИЯ НОРМАЛЬ-

НОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ)

0,00

0,500

1,00

0,841

2,00

0,977

0,05

0,520

1,05

0,853

2,05

0,980

0,10

0,540

1,10

0,864

2,10

0,982

0,15

0,560

1,15

0,875

2,15

0,984

0,20

0,579

1,20

0,885

2,20

0,986

0,25

0,599

1,25

0,894

2,25

0,988

0,30

0,618

1,30

0,903

2,30

0,989

0,35

0,637

1,35

0,911

2,35

0,991

0,40

0,655

1,40

0,919

2,40

0,992

0,45

0,674

1,45

0,926

2,45

0,993

0,50

0,691

1,50

0,933

2,50

0,994

0,55

0,709

1,55

0,939

2,55

0,995

0,60

0,726

1,60

0,945

2,60

0,995

0,65

0,742

1,65

0,951

2,65

0,996

0,70

0,758

1,70

0,955

2,70

0,997

0,75

0,773

1,75

0,960

2,75

0,997

0,80

0,788

1,80

0,964

2,80

0,997

0,85

0,802

1,85

0,968

2,85

0,998

0,90

0,816

1,90

0,971

2,90

0,998

0,95

0,829

1,95

0,974

2,95

0,998

Для отрицательных х Φ-значение находят из таблицы, как 1-Φ(-х).

Процедура генерирования: примем значение х равно х. Следующая процедура позво-

ляет получить значения Φ при 0

£ х £ 8,15. Если х больше 8,15, Φ -значение можно

принять равным 1. Для отрицательных х может быть использована формула, приве-

денная выше. Данная процедура предполагает, что компьютер может представлять

около 15 десятичных знаков. Если число десятичных знаков меньше или больше, в

процедуру необходимо внести определенные простые преобразования.

s=0 : t=[ : i=1

repeat

s=s+t : i=i+2 : t=t*x*x/i

until t<1E-16

phi=0.5+s*exp(-

[*x/2)/sqr(2*phi)

8.5. СЛУЧАЙНЫЕ РАЗМЕЩЕНИЯ

Необходимость в случайных размещениях возникает в случае использования

схемы рандомизированных блоков. Приведенный ниже алгоритм позволяет получить

случайное размещение N исследований, используя встроенный в компьютер генератор

псевдослучайных чисел.

1. записывают N возможных исследований в ряд;

2. генерируют случайное целое число r, чтобы 1

£ r £ N;

3. Меняют местами r-тое и N-тое исследования;

4. Уменьшают N на единицу (N=N-1) и повторяют шаги 2-4 до тех пор, пока N не станет

равно 1.

Например, проиллюстрируем этот алгоритм случаем из 6 исследований

N = 6 S₁ S₂ S₃ T₁ T₂ T₃

r = 2

→

←

S₁ T₃ S₃ T₁ T₂ S₂

N = 5

r = 4

→ ←

S₁ T₃ S₃ T₂ T₁ S₂

N = 4

r = 4

↓

S₁ T₃ S₃ T₂ T₁ S₂

N = 3

r = 1

→

←

S₃ T₃

S₁ T₂ T₁ S₂

N = 2

r = 1

→ ←

T₃ S₃ S₁ T₂ T₁ S₂

N = 1

8.6. ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

Приведенный ниже пример показывает, как можно построить латинский квадрат,

используя три независимых размещения.

1. Генерируют случайное размещение N возможных исследований (см. Раздел 8.5);

T₃

S₃

S₁

T₂

T₁

S₂

2. Используя это размещение, можно построить простой латинский квадрат. Для этого

размещение «поворачивают» по часовой стрелке следующим образом. Полученное

в ходе выполнения шага 1 размещение записывают в первой строке. Во вторую

строку записывают те же значения, но смещенные на один столбец вправо. При этом

крайнее правое значение записывают в левую пустую ячейку. Процедуру повторяют

до тех пор, пока каждое исследование не встретится по одному разу в каждом

столбце:

T₃

S₃

S₁

T₂

T₁

S₂

T₃

S₃

S₁

T₂

T₁

S₂

T₃

S₃

S₁

T₂

T₁

S₂

T₃

S₃

S₁

T₂

T₁

S₂

T₃

S₃

S₁

T₂

T₁

S₂

T₃

3. Генерируют два независимых случайных размещения натуральных чисел от 1 до N:

Одно для строк

И одно для столбцов

Теперь можно построить латинский квадрат, сортируя строки и столбцы простого

латинского квадрата в порядке возрастания для этих двух размещений для строк и

столбцов:

2 T₃ S₃ S₁ T₂ T₁ S₂

3 S₂ T₃ S₃ S₁ T₂ T₁

6 T₁ S₂ T₃ S₃ S₁ T₂

1 T₂ T₁ S₂ T₃ S₃ S₁

4 S₁ T₂ T₁ S₂ T₃ S₃

5 S₃ S₁ T₂ T₁ S₂ T₃

↓

1 S₁ T₃ T₂ T₁ S₃ S₂

2 S₂ T₂ T₃ S₃ T₁ S₁

3 T₁ S₁ S₂ T₃ T₂ S₃

4 S₃ S₂ S₁ T₂ T₃ T₁

5 T₃ T₁ S₃ S₁ S₂ T₂

6 T₂ S₃ T₁ S₂ S₁ T₃

9. ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Символ

Определение

Точка пересечения с осью ординат линейной регрессии зависимости полу-

ченных результатов от дозы или натурального логарифма дозы

Угловой коэффициент линейной регрессии зависимости полученных резуль-

татов от дозы или натурального логарифма дозы

Число уровней дозы для каждого из препаратов (кроме плацебо препарата

для модели угловых коэффициентов)

Основание натурального логарифма (= 2,71828182845905...)

-1

Статистика, применяемая в теореме Филлера (Fieller’s):

Число препаратов, используемых при количественном определении, вклю-

чая стандартный препарат

Оценка активности, рассчитанная как отношение эффектов в общей линей-

ной модели

Число повторений для каждого испытания

Вероятность того, что данная статистика будет больше полученного значе-

ния. Используется также для обозначения отношения r/n в пробит методе

Число единиц в группе, которые дали позитивный эффект в ходе количест-

венного определения с альтернативными эффектами

Оценка стандартного отклонения (=

)

s²

Оценка дисперсии неисключенной (остаточной) вариации. При дисперсион-

ном анализе рассчитывается как средний квадрат погрешности

Критерий Стьюдента (Таблица 8.2)

v₁₁

,v₁₂,v₂₂

(ко)вариационные множители для числителя и знаменателя отношения m в

теореме Филлера

Весовой коэффициент

Натуральный логарифм дозы

Полученный результат или преобразованный результат

Предполагаемые активности испытуемых препаратов на стадии подбора доз

Средний результат плацебо испытаний для модели угловых коэффициентов

Статистика, используемая при расчете доверительных интервалов:

C =

C₁,..., C_n

Среднее значение для каждого столбца латинского квадрата

Доза стандартного или испытуемого препарата

D₁, D₂

Среднее значение для Периода 1 и Периода 2 для двойной перекрестной

схемы

Отношение двух независимых значений дисперсии при F-распределении

(Таблица 8.1)

G_S, G_T,...

Усредненные значения, используемые при дисперсионном анализе для мо-

дели угловых коэффициентов

H_P, H_L

Множители, используемые при дисперсионном анализе для модели парал-

лельных линий

H_B, H_I

Множители, используемые при дисперсионном анализе для модели угловых

коэффициентов

Натуральный логарифм отношения между соседними дозами, для модели

параллельных линий или интервал между соседними дозами, для модели

угловых коэффициентов

J_S, J_T,...

Характеристики линейности, используемые при дисперсионном анализе для

модели угловых коэффициентов

Поправочный коэффициент, используемый для расчета сумм квадратов от-

клонений при дисперсионном анализе

Ширина доверительного интервала, выраженная в логарифмах

L_S, L_T,...

Линейные контрасты стандартного и испытуемого препаратов

M′

Натуральный логарифм отношения активностей для данного испытуемого

препарата

Суммарное число испытаний в ходе количественного определения (=dh)

PS, PT,...

Сумма стандартного (S) и испытуемого (T)препаратов

Оцененная активность данного испытуемого препарата

R′

Отношение активностей данного испытуемого препарата

R₁,..., R_n

Среднее значение данных в каждой строке от 1 до n для схемы латинского

квадрата или в каждом боке, для схемы рандомизированных блоков

Стандартный препарат

S₁,... , S_d

Среднее значение дозы (от минимальной дозы 1 до максимальной дозы d)

стандартного препарата S

Сумма квадратов, обусловленная данным источником вариации

T, U, V, ...

Испытуемые препараты

T₁ ,... , T_d

Среднее значение дозы (от минимальной дозы 1 до максимальной дозы d)

испытуемого препарата T

Коэффициент вариации, используемый при расчете границ доверительного

интервала

Весовой коэффициент, применяемый при объединении результатов количе-

ственного определения

Линейная структура или матрица планирования, используемые в общих ли-

нейных моделях

Вектор, представляющий данные (преобразованные) в общих линейных мо-

делях

Первая производная от Φ

3.141592653589793238...

Функция кумулятивного стандартного нормального распределения характе-

ристической кривой (Таблица 8.4)

Критерий хи-квадрат (Таблица 8.3.)

# 5.3.2 СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ХИМИЧЕСКОГО

ЭКСПЕРИМЕНТА

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

В настоящей статье приняты следующие обозначения:

измеряемая величина

свободный член линейной зависимости

угловой коэффициент линейной зависимости

критерий Фишера

f(x , μ ,s)

функция плотности вероятности нормального распределения

Н₀

нулевая гипотеза

Н₁

альтернативная гипотеза

порядковый номер варианты

фактор, используемый при оценке сходимости результатов па-

раллельных определений

Т, n

объемы выборки

доверительная вероятность без конкретизации постановки зада-

чи

Р₂, P₁

доверительная вероятность соответственно при двух- и одно-

сторонней постановке задачи

Q₁, Q_n

контрольные критерии для идентификации грубых погрешностей

размах варьирования

общий индекс корреляции

(линейный) коэффициент корреляции

RSD

¥100%

относительное стандартное отклонение, в процентах

RSD

¥100%

относительное стандартное отклонение среднего значения, в

x,r

процентах

стандартное отклонение

s_r

относительное (по отношению к среднему результату) стандарт-

ное отклонение

s²

дисперсия

относительная дисперсия

стандартное отклонение среднего результата

относительное

(по отношению к среднему результату)

x,r

стандартное отклонение среднего результата

s_lg

логарифмическое стандартное отклонение

логарифмическая дисперсия

логарифмическое стандартное отклонение среднего резуль-

тата

общая дисперсия и дисперсия коэффициентов линейной за-

висимости

критерий Стьюдента

коэффициент для расчета границ среднего результата гаран-

тии качества анализируемого продукта

х, у

текущие координаты в уравнении линейной зависимости

X_i, Y_i

вычисленные, исходя из уравнения линейной зависимости,

значения переменных х и у;

x,y

средние значения выборки (координаты центра линейной за-

висимости);

х_i,у_i

i-тая варианта (i-тая пара экспериментальных значений х и у);

граничные значения доверительного интервала среднего ре-

x±D

зультата

граничные значения доверительного интервала результата

±D

единичного определения;

разность некоторых величин;

уровень значимости, степень надежности; погрешность пер-

вого рода (вероятность принятия гипотезы H₁ , в то время как

на самом деле верна гипотеза H₀);

погрешность второго рода (вероятность принятия гипотезы H₀

, в то время как на самом деле верна гипотеза H₁);

критическая статистика;

D_х

полуширина доверительного интервала неопределенности

единичного определения;

полуширина доверительного интервала неопределенности

среднего результата;

D_х,r

полуширина относительного доверительного интервала не-

определенности единичного определения

полуширина относительного доверительного интервала не-

x,r

определенности среднего результата;

Δ_As,r

суммарная неопределенность анализа

Δ_FAO,r

неопределенность конечной аналитической операции

Δ_RS,r

неопределенность аттестации стандартного образца;

Δ_SP,r

неопределенность пробоподготовки

относительная величина систематической погрешности;

относительные неопределенности, соответственно, результа-

та отдельного определения и среднего результата;

истинное значение измеряемой величины

число степеней свободы; переменный объем выборки при по-

следовательном анализе;

n_eff

«эффективное» число степеней свободы в подходе Уэлча-

Сатертуэйта

знак суммирования (сумма)

s²

дисперсия генеральной совокупности

c²

критерий хи-квадрат

Метрологические характеристики методик и результатов, получаемых при стати-

стической обработке данных эксперимента, позволяют проводить оценку и сравнение

как экспериментальных методик, так и изучаемых объектов и на этой основе решать

ряд прикладных задач, связанных с определением статистической достоверности ре-

зультатов исследования. В частности, описанные ниже статистические подходы и мет-

рологические характеристики используются при валидации разрабатываемых методик

и оценке корректности полученных результатов анализа.

В главах 1-9 описаны подходы, применяемые при статистическом анализе ре-

зультатов, являющихся функцией одной случайной переменной. Применение этих под-

ходов для функции нескольких случайных переменных описано в главе 10. В главе 11

приведены необходимые статистические таблицы.

При изложении материала используются термины, принятые в общей статье

«Валидация аналитических методик и испытаний».

ВЫБОРКА

Термином «выборка» обозначают совокупность статистически эквивалентных

результатов (вариант). В качестве такой совокупности можно, например, рассматри-

вать ряд результатов, полученных при параллельных определениях содержания како-

го-либо вещества в однородной по составу пробе. Отдельные значения вариант вы-

борки объема n принято обозначать через х_i, (1

£ i £ n). Упорядоченная в порядке воз-

растания выборка может быть представлена в виде:

;...x

;

(1.1)

n-1

Результаты, полученные при статистической обработке выборки, будут достоверны

лишь в том случае, если эта выборка однородна. Проверка однородности выборки об-

суждается в разделе 1.2. Однако, если целью испытаний является проверка однород-

ности серии препарата (например, при проведении испытания «Однородность содер-

жания действующего вещества в единице дозированного лекарственного средства»),

то оцениваются все полученные результаты (значения вариант) без предварительной

проверки однородности выборки.

1.1. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ

В большинстве случаев среднее выборки x является наилучшей оценкой истин-

ного значения измеряемой величины m, если его вычисляют как среднее арифметиче-

ское всех вариант:

Âx_i

(1.2)

При этом разброс вариант х_i вокруг среднего x характеризуется величиной

стандартного отклонения s. В количественном химическом анализе величина s часто

рассматривается как мера случайной погрешности, свойственной данной методике

анализа. Квадрат этой величины s² называют дисперсией. Величина дисперсии может

рассматриваться как мера воспроизводимости (сходимости) результатов, представ-

ленных в данной выборке. Вычисление величин s² и s проводят по уравнениям 1.5 и

1.6. Иногда для этого предварительно определяют значения отклонений d_i и число сте-

пеней свободы (число независимых вариант) n:

di= xi- x

(1.3)

n =n-1

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Стандартное отклонение среднего результата

рассчитывают по уравнению:

s_x =

(1.7)

Во многих случаях при контроле качества лекарственных средств целесообразно

использовать относительные (по отношению к

x ) величины - относительное стандарт-

ное отклонение

, относительную дисперсию

и относительное стандартное откло-

нение среднего результата

. Их рассчитывают по соотношениям:

x,r

(1.5а)

s_r

(1.6а)

x,r

(1.7а)

Эти относительные величины, в зависимости от решаемой задачи, могут выражаться

также и в % к x . В этом случае они часто обозначаются, соответственно, как RSD и

RSD

RSD =s

¥100%

(1.6b)

RSDx=s

100%

(1.7b)

x,r ¥

В фармакопейном анализе абсолютные величины обычно используют для пря-

мых, а относительные - для косвенных методов анализа.

Пример расчетов приведен в Разделе 9.1.

Если при измерениях получают логарифмы искомых вариант, среднее выборки

вычисляют как среднее геометрическое, используя логарифм вариант:

(1.8)

откуда

¥x

¥...¥ x

= anti lg

(

)

(1.9)

Значения s², s и

в этом случае также рассчитывают, исходя из логарифмов

вариант, и обозначают соответственно через

, s_lg и

1.2. ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ ВЫБОРКИ. ИСКЛЮЧЕНИЕ ВЫПАДАЮЩИХ

ЗНАЧЕНИЙ ВАРИАНТ.

Как было указано выше, значения х, s², s и

могут быть признаны достовер-

ными, если ни одна из вариант выборки не отягощена грубой погрешностью, т. е. если

выборка однородна. Выявление грубых погрешностей (выбросов) - это весьма дели-

катная задача, относительно которой в литературе нет единого устоявшегося мнения

(смотрите, например, раздел 7.3. статьи "5.3. Статистический анализ результатов

биологических тестов и количественных определений"). Особенно это относится к

выборкам совсем малого объема (3-5 измерений). Проверку таких выборок на одно-

родность целесообразно проводить только в том случае, если методика метрологиче-

ски аттестована (см. раздел 6.1). Ниже приводятся наиболее часто используемые под-

ходы для проверки однородности выборок малого (n £ 10) и большого (n > 10) объема.

Проверка однородности выборок малого объема (n ≤ 10) осуществляется без

предварительного вычисления статистических характеристик. С этой целью после

представления выборки в виде (1.1) для крайних вариант х₁ и x_n (которые предполага-

ются выпадающими) рассчитывают значения контрольного критерия Q, исходя из ве-

личины размаха варьирования R:

для

(1.10)

для

8...10

n-1

(1.11а)

n-1

(1.11b)

Выборка признается неоднородной, если хотя бы одно из вычисленных значений

Q₁или Q_n превышает табличное значение Q(P₁,n), найденное для доверительной ве-

роятности P₁ (см. Таблицу 11.1 Приложения). Варианты х₁ или x_n, для которых соот-

ветствующее значение Q > Q(P₁,n), отбрасываются, и для полученной выборки умень-

шенного объема выполняют новый цикл вычислений по уравнениям 1.10 и 1.11 с це-

лью проверки ее однородности.

При

-x

уравнения 1.11а и 1.11б принимают

n 1

n-2

вид:

n 1

n-2

;

(1.12)

Полученная в конечном счете однородная выборка используется для вычисления х, s²,

s и

Для выборок большого объема (n > 10) проверку однородности проводят после

предварительного вычисления статистических характеристик х, s², s и

. При этом

выборка признается однородной, если для всех вариант (1.3) выполняется условие:

(1.13)

Если выборка признана неоднородной, то варианты, для которых

, от-

брасываются, как отягощенные грубыми погрешностями с доверительной вероятно-

стью Р₂ > 99,0%. В этом случае для полученной выборки сокращенного объема по-

вторяют цикл вычислений статистических характеристик по уравнениям 1.2-1.7 и

снова проводят проверку однородности. Вычисление статистических характеристик

считают законченным, когда выборка сокращенного объема оказывается однород-

ной.

1.3. Доверительные интервалы и оценка их величины.

Если случайная однородная выборка конечного объема п получена в результате

последовательных измерений некоторой величины A, имеющей истинное значение m,

то среднее этой выборки x следует рассматривать лишь как приближенную оценку А.

Достоверность этой оценки характеризуется величиной доверительного интервала

x±D

, для которой с заданной доверительной вероятностью Р выполняется условие:

(

x-D

)

£m£

(

)

(1.14)

Следует отметить, что данный доверительный интервал не характеризует (как

это нередко считается) погрешность определения величины m, поскольку найденная

величина x может быть в действительности очень близка к истинному значению m. Но

мы этого истинного значения не знаем. Полученный доверительный интервал характе-

ризуют степень неопределенности наших знаний об истинном значении m величины A

по результатам последовательных измерений выборки конечного объема n. Поэтому

правильно говорить (и далее это будет использоваться) о «неопределенности резуль-

татов анализа» (которая характеризуется доверительным интервалом) вместо выра-

жения «погрешность результатов анализа», которое нередко не совсем корректно ис-

пользуется.

Расчет граничных значений доверительного интервала при известном значении

стандартного отклонения s или для выборок большого объема проводят по уравнению

U(P)¥s

(

±D

)

(1.15)

предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально. Здесь

U(P) - табличное значение функции нормального распределения.

Для выборок небольшого объема граничные значения доверительного интерва-

ла рассчитывают с использованием критерия Стьюдента:

t(P,n

)¥ s

(

)

(1.16)

или, с использованием относительных величин:

t(P,n

)¥s

Á1±

˜=

(

)

=1±

(1.16а)

x,r

где:

t(Р,n)

- табличное значение критерия Стьюдента (см. Таблицу 11.2). Распределе-

ние Стьюдента t(Р,n) является обобщением нормального распределения

U(P) и переходит в него при достаточно большом числе степеней свобо-

ды n , т.е. t(Р,n)à U(P). С учетом этого для единообразия далее везде бу-

дет использоваться более часто употребляемое соотношения (1.16) и

(1.16а), даже если речь идет об обработке выборок достаточно большого

объема.

Полуширины относительных доверительных интервалов единичного

(D_x,r) и

среднего (D

) результатов часто выражают в процентах к x . В этом случае в выра-

x,r

жении (1.16а) вместо величины s_r используют RSD , а вместо 1 берут 100%, т.е.:

t(P,n

)¥RSD

(

100

)

=100

(1.16b)

x,r

Если при измерении одной и той же методикой двух близких значений A были

получены две случайные однородные выборки с объемами n и m, то при m < n для

выборки объема т справедливо выражение:

t(P,n

)¥S

(n)

(

)

(1.17)

(m)

x(m)

(

)

(индекс указывает принадлежность величин к выборке объема m или n).

Выражение 1.17 позволяет оценить величину доверительного интервала средне-

го

(

)

, найденного, исходя из выборки объема m. Иными словами, доверительный

интервал среднего

выборки относительно малого объема т может быть сужен

(

)

благодаря использованию известных величин s_(n) и t(P, n_(n)), найденных ранее для вы-

борки большего объема п. Более общим подходом является объединение выборок с

расчетом объединенного стандартного отклонения и степеней свободы по уравнениям

(2.1-2.2). Это стандартное отклонение и соответствующий объединенному числу степе-

ней свободы критерий Стьюдента подставляются затем в выражение (1.17).

Аналогично (1.14-.1.16) определяется доверительный интервал результата от-

дельного определения. Подставляя n = 1 в выражение 1.16, получаем:

±D

xi±t(P,n

)¥s

(1.18)

или, с использованием относительных величин:

±Dx,r

t(P,n

)¥ s

(1.18а)

Этот интервал является доверительным интервалом результата отдельного оп-

ределения. Для него с доверительной вероятностью Р выполняются взаимосвязанные

условия:

-D

£m£

(1.19)

m-D

£x

£m+D

(1.20)

Значения

D и

из выражений (1.16) и (1.18) используют при вычислении от-

носительных неопределенностей отдельной варианты (e) и среднего результата (e ),

выражая эти величины в процентах:

¥100%

= D

¥100%

(1.21)

x,r

¥100%

= D

¥100%

(1.21a)

x,r

Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, выражения (1.16)

и (1.18) принимают вид:

t(P,n

)¥ s

lg x

(1.22)

lg x

±D

= lg x

± t(P,n

)

(1.23)

lg x

Потенцирование выражений (1.22) и (1.23) приводит к несимметричным довери-

тельным интервалам для значений x и х_i,:

anti lg(lg x

)

x £ anti lg(lg

)

(1.24)

lg x

anti lg(lg x

)£ x

anti lg(lg

)

(1.25)

где:

t(P,n

)¥s

(1.26)

= t(P,n

)

(1.27)

lg x

При этом для нижних и верхних границ доверительных интервалов x и х_i имеем:

anti lg(lg x

±D

) -

100%

(1.28a)

anti lg(lg x

±D

) -

˙¥100%

(1.28b)

x_i

1.4. Односторонние и двусторонние доверительные интервалы.

Соотношение (1.14-1.28) характеризуют так называемые «двусторонние» дове-

рительные интервалы. Они основаны на двустороннем t-распределении и широко

применяются при оценке точности методик и представлении результатов. Однако при

решении вопросов гарантии качества продукции (см. Раздел 6), а также при контроле

серийной продукции, в частности, при контроле качества лекарственных средств, не-

редко возникает необходимость использования так называемых «односторонних» до-

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФАРМАКОПЕЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ (ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ, 2006 год) - часть 53