Всероссийский заочный финансово-экономический институт
по Эконометрике
вариант № 6
К.ф. – м.н., доцент кафедры: Василенко В.В.
Студент: Чмиль А.А., ФиК, 3 Курс
Краснодар, 2009
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (X, млн.руб.).
Xi
Yi
33
43
17
27
23
32
17
29
36
45
25
35
39
47
20
32
13
22
12
24
Исходные данные.Табл.1
n
Xi
Yi
Yi*Xi
Xi2
Yi2
Y(xi)
Yi - Y(xi)
(Yi - Y(xi))2
A
1
33
43
1419
1089
1849
42,23428
0,765721183
0,5863289
1,78%
2
17
27
459
289
729
27,69234
-0,692335546
0,4793285
2,56%
3
23
32
736
529
1024
33,14556
-1,145564273
1,3123175
3,58%
4
17
29
493
289
841
27,69234
1,307664454
1,7099863
4,51%
5
36
45
1620
1296
2025
44,96089
0,03910682
0,0015293
0,09%
6
25
35
875
625
1225
34,96331
0,036692818
0,0013464
0,10%
7
39
47
1833
1521
2209
47,68751
-0,687507544
0,4726666
1,46%
8
20
32
640
400
1024
30,41895
1,581050091
2,4997194
4,94%
9
13
22
286
169
484
24,05685
-2,056849728
4,2306308
9,35%
10
12
24
288
144
576
23,14798
0,852021726
0,725941
3,55%
сумма
235
336
8649
6351
11986
336
0,00
12,019795
31,93%
средняя
23,5
33,6
864,9
635,1
1198,6
33,6
0,00
1,2019795
3,19%
δ
9,102198
8,345058
-
-
-
-
-
-
-
δ2
82,85
69,64
-
-
-
-
-
-
-
Вспомогательная таблица для расчетов параметров линейной регрессии. Табл.2
Задание 1
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
После проведенных расчетов линейная модель имеет вид:
Y = 12,24152 + 0,908871x , коэффициент регрессии составил 0,908871. Экономический смысл параметра регрессии заключается в следующем: с увеличением капиталовложений на 1 единицу выпуск продукции увеличивается на 0,908871 единиц.
Задание 2
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.
Вычисленные остатки приведены в таблице 2. Остаточная сумма квадратов составила 12,02. Дисперсия остатков составила:
Остатки гомоскедастичны, автокорреляция отсутствует (корреляция остатков и фактора Х равна нулю, рис.1), математическое ожидание остатков равно нулю, остатки нормально распределены.
Корреляция остатков и переменной Х. Рис 2.
Задание 4
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента (α = 0,05).
Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии:
mb = (Dост. / ∑(x – xср.) 2
) ½
= 0,042585061
Теперь проведем оценку значимости коэффициента регрессии:
tb = b / mb= 21,3424949
При α = 0,05 и числе степеней свободы (n – 2) tтабл. = 2,3060. Так как фактическое значение t – критерия больше табличного, то гипотезу о несущественности коэффициента можно отклонить. Доверительный интервал для коэффицента регрессии определяется как b ± t* mb. Для коэффициента регрессии b границы составят: 0,908871 – 2,3060*0,042585061 ≤ b ≤ 0,908871+2,3060*0,042585061
Мы видим, что фактическое значение параметра а больше, чем табличное, следовательно, гипотезу о несущественности параметра а можно отклонить. Доверительный интервал составит: a± t* ma. Границы параметра составят:
12,24152 ± 2,3060*1,073194241
9,766735 ≤ a ≤14,716305
Проверим значимость линейного коэффициента корреляции на основе ошибки коэффициента корреляции:
mr
= ((1 – r2
) / (n – 2))1/2
= 0,046448763
Фактическое значение t – критерия Стьюдента определяется:
tr
= (r / (1 – r2
)) * (n – 2)1/2
= 21,3424949
Значение tr
фактическое больше табличного, следовательно при уровне значимости α = 0,05 и степени свободы (n – 2), коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.
Задание 5
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью f – критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
R2
= Rxy2
= 0,98274 – детерминация.
F = (R2
/(1 – R2
))*((n – m – 1)/m) = 455,5020887
Fтабл. 5,32 < Fкр. 455,5020887– это говорит о том, что уравнение регрессии статистически значимо.
Средняя ошибка аппроксимации А = 3,19%. Это говорит о том, что качество уравнения регрессии хорошее. Расчетные значения отклоняются от фактических на 3,19%.
Задание 6
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от максимального значения.
Если прогнозируемое значение Хр
= 0,8Хmax
= 0,8*39 = 31,2 млн.руб., тогда прогнозное значение объема капиталовложений составит:
Графикимоделей представлены ниже на рисунках 4,5 и 6.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
Задание 9
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициент эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.
Коэффициенты (индексы) детерминации:
R2гип
= Rxy
= 0,869064776
R2степ
= Rxy
= 0,978207122
R2показ
= Rxy
= 0,959136358
Коэффициенты эластичности:
Эгип
= -b / (a * x + b) = 0,484804473
Эстеп
= b = 0,625215
Эпоказ
= x * lnb = 0,628221
Средние относительные ошибки аппроксимации:
А = 1/n * ∑ |y – yxi
| * 100%
Агип
= 7,26%
Астеп
= 3,40%
Апоказ
= 3,82%
Как мы видим, степенная регрессия наиболее интересна в экономическом смысле, потому что у нее самый низкий показатель средней ошибки аппроксимации, самый высокий показатель эластичности и детерминации. Это говорит о том, что у степенной регрессионной модели высокое качество, она предлагает наибольшую прибыль и более зависима от фактора Х (капиталовложений).
Список использованной литературы
1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курашева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192.: ил.
2. Эконометрика. Учебник для вузов.; Под ред. чл. – кор. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344.