Ульяновский государственный университет
Кафедра алгебро-геометрических вычислений
Л.А. Штраус, И.В. Баринова
П Р Е Д Е Л Ы
Методические указания для студентов факультета математики
и информационных технологий и факультета управления
Ульяновск-2007
Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы. Ульяновск: УлГУ.-2007.
Методические указания составлены в соответствии с учебными программами курсов математического анализа для факультета математики и информационных технологий и факультета управления и относятся к разделу «Введение в анализ». Они будут способствовать усвоению теоретического материала и формированию вычислительных навыков у студентов первого курса по одной из первых тем дисциплины, преодолению разрыва между уровнем математической подготовки выпускников средней школы и требованиями, предъявляемыми к уровню знаний студентов. Рассматриваемые задачи занимают максимально широкий диапазон - от простейших упражнений, соответствующих сборнику [3](по которому можно составлять индивидуальные семестровые задания) и контролирующих формирование необходимых вычислительных навыков, до серьёзных задач из сборника [1]. В последнем случае предлагаемые решения классических задач не копируют решений из [2] и соответствуют логике изучения дисциплины. Некоторые понятия, обязательные для изучения на факультете математики и информационных технологий (верхний и нижний пределы последовательности, равномерная непрерывность функции и др.) не рассматриваются в данных указаниях. Однако многие из основных определений здесь приведены. Перед их применением необходимо ознакомиться с соответствующим материалом по конспекту лекций или учебнику.
Предел последовательности
Определение
. Число а называется пределом последовательности
, если для любого
существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство
(
).
Пример 1
. Доказать, что
(указать
).
Решение.
Неравенство
из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид
Пусть
. Тогда
, откуда
, следовательно, в качестве N можно взять
. Здесь
- целая часть числа
, то есть наибольшее целое число, не превосходящее
. Если, например,
, то условиям задачи отвечают натуральные числа
, то есть
Пример 2
. Доказать, что
(указать
).
Решение.
Неравенство
принимает вид
,
Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Неравенство будет выполняться, если справедливо следующее двойное неравенство:
Его левая часть заведомо выполняется при
. Правая часть выполняется при
. Следовательно, условиям задачи отвечают числа
Отсюда
При вычислении предела
в случае
и
(т.е. в случае неопределённости вида
) или в случае
,
и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение
, чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае
бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.
Пример 3.
Найти предел
.
Решение.
Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:
. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень
, получим
. Поскольку
то по свойствам предела получаем
Вообще предел отношения двух многочленов переменной
можно находить по правилу
(1)
так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на
.
При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона
(2)
Также следует знать формулу
( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например,
).
Пример 4
. Найти предел
.
Решение.
Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на
-
старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 (
). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений
равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда
Поскольку
при
то
,
и по свойствам предела получаем
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения
(3)
(4)
(5)
(первая и вторая из них получаются из третьей при
и
соответственно).
Так, например, если выражение содержит множитель
, где
и
и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на
, т.е. на выражение, сопряжённое к .
Пример 5
. Найти предел
Решение.
Имеем неопределённость
.Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на
:
Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что
при
Замечание.
Сразу после (6) можно было записать
, поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе
и
равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть
и коэффициент при
равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно
, то есть
,
эквивалентно
, а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с. ).
Пример 6
. Найти предел
Решение.
Имеем неопределённость
. Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на
и воспользуемся арифметическими свойствами предела:
. (7)
Замечание. С
разу после (7) можно было записать
(см. предыдущее замечание).
Пример 7
. Найти предел
Решение.
Поскольку
, то
. Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле
:
. Так как
, то
. Окончательно получаем
Пример 8
. Найти предел
Решение.
Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии
:
. Кроме того,
, откуда
. Подставляем полученные выражения в исходное:
.
Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на
и
:
поскольку
Пример 9.
Найти предел
Решение.
Обозначим
Если
- чётное,
, то
Если
- нечётное, , то
Таким образом, при любом
Поскольку
то .
Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
.
Пример 10.
Доказать, что
Решение.
1-й способ
. Обозначим
Заметим, что
при
Поэтому последовательность
убывает при
и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим
и перейдём к пределу в равенстве
2-й способ
. Используя формулу (2), получаем
Отсюда
Поскольку
, из последнего неравенства следует, что
3-й способ
. Найдём
, при которых выполняется неравенство
Следовательно, при
, то есть
. Поскольку
то из последнего неравенства следует, что .
Пример 11.
Доказать, что последовательность
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность
монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел
.
Второй замечательный предел
задаётся формулами
,
, где
или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов
, где
т.е. в случае неопределённости вида
Пример 12.
Найти предел
Решение.
Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида
Выделяем в исходном выражении формулу
и вычисляем предел.
Пример 13.
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности
Пример 14
. Доказать, что
Решение
. Покажем, что при любом
Действительно, это неравенство равносильно неравенствам
Последнее неравенство верно, поскольку последовательность
убывает(см. пример ) и её предел равен
Тогда
Поскольку
то
и
Пример 15.
Для нахождения
применяется следующий процесс:
произвольно,
(8)
Доказать, что
Решение
. Из известного неравенства
, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого
Теперь убедимся в том, что последовательность
не возрастает. Действительно, неравенство
то есть
, равносильно
,
. В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность
имеет предел
, который находим, переходя в (8) к пределу:
, .
Пример 16.
Последовательность
определяется следующим образом:
,
Найти .
Решение
. Оценим разность между
и числом
, являющимся корнем уравнения
:
,
. Применяя полученное неравенство к разности
и т.д., получим
, .
Поскольку
, то
и
.
Предел функции
Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел,
– предельная точка множества Е,
- функция, определённая на Е.
Определение
. Число
называется пределом функции
в точке
, если
e
d>0
d Þ
e). (9)
Предел функции в точке
обозначается символом
. Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки
, поэтому мы будем использовать символ
. Определение предела в случае
аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).
Определение
. Функция
есть бесконечно малая при
, если
Функции
и
называются эквивалентными (f ~ g) при
, если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение
, где .
Определение
. Функция
есть бесконечно малая относительно
при
, если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение
, где
При этом пишут
Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.
Справедливы следующие предложения.
1. (f(х) ~ g(х)) при
.
2. (f(х) ~ g(х)) при
Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например
3. Если f(х) ~ах и g(х) ~bх и
, то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.
При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при
:
1. sinx~x ,
,
2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),
3. tgx~x , tgx=x+o(x),
4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),
5.
~x ,
,
6.
~xlna,
,
7.
~x ,
,
8.
~
,
,
9.
~
,
,
10. 1-cosx~
,
.
Пример
17
. Доказать (найти d(e)), что
.
Решение.
Заметив, что квадратный трёхчлен
имеет корни
и
, упростим исходное выражение:
.
Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид
e. Это неравенство будет выполняться, если
. Следовательно, можно взять
.
Пример
18
. Найти предел
.
Решение.
При
многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке
равны нулю и мы имеем неопределённость вида
. Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что
является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2:
,
.
Получаем
Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел:
.
Пример 19
. Найти предел
.
Решение.
Имеем неопределённость вида
. Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель
, сопряжённый к числителю.
Поскольку
, то
.
Пример 20
. Найти предел
.
Решение
. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида
. Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель
, дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель
, сопряжённый к знаменателю. Получаем
Поскольку
,
, то
.
Пример 20
. Найти предел
.
Решение.
Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.
, поскольку
при
.
Далее,
.
Пример 21
. Найти предел a
.
Решение.
Применим формулу (5)
, положив в ней
,
. Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение
и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:
Пример 22
. Найти предел
.
Решение.
1-й способ. Сделаем замену переменной:
По
предложению 3 выражение в числителе эквивалентно
, следовательно,
2-й способ
. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.
Пример 23
. Вычислить предел функции
Решение
. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем
Пример24
. Вычислить предел функции
.
Решение.
Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при
, заменим их, кроме
, на эквивалентные:
Получаем
.
Пример 25
. Вычислить предел функции
.
Решение. 1-й способ
. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х:
. Тогда по арифметическим свойствам предела
. По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:
2-й способ. Поскольку
, то
. Точно так же
и
при
. Воспользовавшись этими соотношениями, получаем
.
Пример 26
. Вычислить предел функции
.
Решение
. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель
и учтём, что
:
. Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:
.
.
Пример 27. Вычислить предел функции
Решение
. 1-й способ.
Преобразуем числитель исходного выражения:
Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел
и табличные эквивалентности, получаем:
+
+
=
+
+
=
+ 1 +
2-й способ.
Последовательно используя табличные формулы
при
, получаем
Пример 28. Вычислить предел функции
Решение. Сделаем подстановку
и воспользуемся табличными формулами:
Пример 29. Вычислить предел функции
Решение. Сделаем подстановку
:
(10)
Преобразуем выражение
Подставляем полученное выражение в (10):
Пример 30.
Вычислить предел функции
Решение.
Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что
есть бесконечно большая, а
и
-бесконечно малые при
Пример 31.
Найти предел
Решение.
Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня:
Теперь используем табличное представление
, где
при
, формулу приведения и то, что
(непрерывность косинуса):
Пример 32.
Вычислить предел функции
Решение.
Величина
является ограниченной, а x - бесконечно малой при
. Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее,
поэтому
;
. Отсюда
Пример 33.
Вычислить предел функции
Решение.
Воспользуемся тем, что если
, то
В нашем случае
,
Тогда
Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
Второй замечательный предел
(11)
применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов
, где
т.е. в случае неопределённости вида
Следующие три примера решим различными способами.
Пример 34.
Вычислить предел функции
Решение
. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида
Выделяем в исходном выражении формулу
и вычисляем предел.
Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.
Пример 35.
Вычислить предел функции
Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу
Отсюда
Теперь находим искомый предел:
Для вычисления предела
, где
т.е. в случае неопределённости вида
, можно использовать правило:
. (12)
Пример 36.
Вычислить предел функции
Решение.
Находим
Далее,
и в силу (12) получаем
Пример 37. Последовательность функций
определяется следующим образом:
Найти
Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что
Оценим разность между
и числом
являющимся корнем уравнения
. Последнее неравенство следует из того, что
и
Применяя полученное неравенство
к разности
и т.д., получим
то есть
. Отсюда видно, что
Непрерывность функции
Определение. Функция
, заданная на множестве Е
R, называется непрерывной в точке а
Е, если
(13)
Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что
Пример 38.
Доказать, что функция
непрерывна в точке а=2(найти
).
Решение. 1-й способ.
Поскольку
определена при всех значениях
R,
то Е=
R и (13) принимает вид:
Переходим к неравенству для значений функции:
(14)
Пусть выполнено неравенство
то есть
Тогда
Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство
,
то неравенство (14) также будет выполнено:
Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы
и
.
Поэтому
2-й способ. Неравенство
для значений функции выполнено, если выполнено неравенство
Последнее неравенство, (квадратное относительно
) выполнено, если
Таким образом,
Рис.1
3-й способ. Найдём
по
графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).
Пример 39.
С помощью «
» рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1)
:2)
.
Решение.
1). Пусть
Тогда
если
. Кроме того, должно выполняться условие
,откуда
и
При а=0
если
( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f)
берётся ).
2). Покажем, что для любых х и а
(15)
Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству
где
(16)
Если х и а одного знака, то
Мы воспользовались известным неравенством
Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого
можно взять
: если
, то получаем, что
Пусть функция
определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.
Определение. Точка а называется точкой разрыва функции
, если она не определена в точке а или
определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы
и
, то а называется точкой разрыва первого рода. Если при этом
, то а называется точкой устранимого разрыва.
Точки разрыва функции
, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом
или
, то а называется точкой бесконечного разрыва.
Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а
не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только
или
.
Пример 40
. Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Решение.
В точках
функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке
оба односторонних предела существуют и не равны:
. Следовательно,
- точка разрыва первого рода. В точке х=1
, следовательно,
- точка разрыва второго рода
( точка бесконечного разрыва).
Пример 41
. Определить точки разрыва функции
и исследовать их характер.
Решение.
Находим область определения
функции:
Отсюда
или
. На
функция непрерывна: на множестве
в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках
- поскольку они являются изолированными (отдельными) точками
. Таким образом, точками разрыва могут быть только
. Находим
. Поскольку
чётная, то и
. Следовательно,
- точки устранимого разрыва.
Пример 42
. Исследовать на непрерывность функцию
и построить её график.
Решение.
Пусть х>0. При х>1
и у=0. При
у=1. При
и
Таким образом, при
(одновременно строим график, рис. 2 );
Следовательно,
, являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1
и .
При
, у=1. При
и
Таким образом, при
Получаем, что и точки
, являются точками разрыва первого рода. Поскольку
то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.
Рис. 2
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.
2. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.
3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.
4. Кузнецова М.Г. Типовой расчёт по высшей математике: Пределы.- Ульяновск: УлПИ, 1987.- 24 с.
|