Единый государственный экзамен по
МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов единого
государственного экзамена 2012 года
по
математике
подготовлен Федеральным государственным научным учреждением
«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»
Пояснения к демонстрационному варианту
контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2012 года по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2012 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.
Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2012 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2012 года.
Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами, С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 32.
Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.
К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, даётся возможное решение. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов 2012 года
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.
Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.
При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха
!
Часть 1
Ответом на задания В1–В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
|
Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.
Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Строительная фирма планирует купить 70
пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
Поставщик
|
Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3
)
|
Стоимость доставки (руб.)
|
Дополнительные
условия доставки
|
А |
2 600 |
10 000 |
Нет |
Б |
2 800 |
8 000 |
При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная |
В |
2 700 |
8 000 |
При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная |
Найдите корень уравнения
.
Треугольник
вписан в окружность с центром
. Найдите угол
, если угол
равен .
Найдите
, если
и
.
На рисунке изображён график дифференцируемой функции
. На оси абсцисс отмечены девять точек:
. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции
отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Диагональ
основания правильной четырёхугольной пирамиды
равна 6. Высота пирамиды
равна 4. Найдите длину бокового ребра .
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).
Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой
, где
– высота в метрах,
– время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.
Весной катер идёт против течения реки в
раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в
раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
Часть 2
а)
Решите уравнение
.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Сторона основания правильной треугольной призмы
равна
, а диагональ боковой грани равна
. Найдите угол между плоскостью
и плоскостью основания призмы.
Решите систему неравенств
На стороне BA
угла
, равного
, взята такая точка D
, что
и
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и касающейся прямой BC
.
Найдите все значения
, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше 1.
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Система оценивания демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ
Ответы к заданиям части 1
Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Задание
|
Ответ
|
В1 |
5 |
В2 |
5 |
В3 |
18 |
В4 |
192000 |
В5 |
12 |
В6 |
64 |
В7 |
–0,8 |
В8 |
3 |
В9 |
5 |
В10 |
0,92 |
В11 |
9 |
В12 |
2,4 |
В13 |
5 |
В14 |
1 |
Ответы к заданиям части 2
Задание
|
Ответ
|
С1 |
а)
,
,
б)
|
С2 |
|
С3 |
|
С4 |
1 или 7 |
С5 |
|
С6 |
а) 44; б) отрицательных; в) 17 |
Решения и критерии оценивания заданий части 2
Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.
При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.
а)
Решите уравнение
.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а)
Так как
,
, то
.
Корни уравнения:
,
б)
Корни уравнения
изображаются точками
и
, а корни уравнения
— точками
и
, промежуток
изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения:
,
и .
Ответ:
а)
,
,
б)
.
Другие решения пункта б).
б)
Корни, принадлежащие промежутку
, отберем по графику
. Прямая
(ось
) пересекает график в единственной точке
, абсцисса которой принадлежит промежутку .
Прямая
пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат
(см. рис.). Так как период функции
равен
, то эти абсциссы равны, соответственно,
и
.
В промежутке
содержатся три корня:
.
б)
Пусть
. Подставляя
, получаем
. Промежутку
принадлежит только .
Пусть
. Подставляя
, получаем:
. Промежутку
принадлежат только .
Промежутку
принадлежат корни:
.
б)
Отберем корни, принадлежащие промежутку
.
Пусть
Тогда
. Корень, принадлежащий промежутку
: .
Пусть
.
Тогда
.
Корень, принадлежащий промежутку
:
.
Пусть
.
Тогда
.
Корень, принадлежащий промежутку
:
.
Промежутку
принадлежат корни:
.
Содержание критерия |
Баллы |
Обоснованно получены верные ответы в п. а)
и в п. б)
|
2 |
Обоснованно получен верный ответ в п. а)
, но обоснование отбора корней в п. б)
не приведено или
задача в п. а)
обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б)
приведен обоснованный отбор корней
|
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл
|
2 |
Сторона основания правильной треугольной призмы
равна
, а диагональ боковой грани равна
. Найдите угол между плоскостью
и плоскостью основания призмы.
Решение.
Обозначим
середину ребра
(см. рисунок). Так как треугольник
равносторонний, а треугольник
– равнобедренный, отрезки
и
перпендикулярны
. Следовательно,
– линейный угол двугранного угла с гранями
и .
Из треугольника
найдём:
.
Из треугольника
найдём:
.
Из треугольника
найдём:
Искомый угол равен
.
Ответ:
.
Возможны другие формы записи ответа.
Например:
А)
;
Б)
рад.
В)
и т.п.
Возможны другие решения.
Например, с использованием векторов или метода координат.
Содержание критерия |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ |
2 |
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный
балл
|
2 |
Решите систему неравенств
Решение.
1. Неравенство
запишем в виде
. Относительно
неравенство имеет вид:
, откуда получаем:
, .
Значит,
,
.
2. Второе неравенство системы определено при
то есть при
и
.
При допустимых значениях переменной получаем:
,
,
,
, .
С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:
.
3. Сравним
и
. Так как
, то
, следовательно,
.
Решение системы неравенств:
.
Ответ:
.
Содержание критерия |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ |
3 |
Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков |
2 |
Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный
балл
|
3 |
Комментарий.
Если обоснованно получены оба ответа:
и
, после чего лишь сказано
, но никак не обосновано, что
, то такое решение оценивается в 2 балла.
На стороне BA
угла
, равного
, взята такая точка D
, что
и
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, D
и касающейся прямой BC
.
Решение.
Центр O
искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD
. Обозначим P
середину отрезка AD
, Q
– основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую BC
,E
–
точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC
(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC
следует, что отрезки OA
, OD
и OQ
равны радиусу R
окружности.
Заметим, что точка
не может лежать по ту же сторону от прямой AB
, что и точка E
, так как в этом случае расстояние от точки O
до прямой BC
меньше, чем расстояние от неё до точки A
.
Из прямоугольного треугольника BPE
с катетом BP
=
2 и
находим, что PE
=
.
Так как OA
=
R
и
, получаем:
, следовательно,
.
Из прямоугольного треугольника OQE
, в котором
, находим:
.
В результате получаем уравнение:
.
Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R
2
– 8R +
7 = 0, решая которое находим два корня: R
1
= 1, R
2
= 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка
(см. рисунок б).
Ответ:
1 или 7.
Другое решение.
Пусть точка
касания окружности с прямой
лежит на луче
(см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей
,
откуда
.
Пусть
– точка пересечения луча
и перпендикуляра к
, проведённого через точку
. Из прямоугольного треугольника
находим:
, тогда
и
.
Таким образом, точка
удалена от точек
,
и
на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно,
– центр искомой окружности, а её радиус равен 1.
Пусть теперь точка
касания окружности с прямой
лежит на продолжении
за точку
(см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку
перпендикулярно
, пересекает прямую
в точке
, а окружность вторично – в точке . Тогда
Если
– радиус окружности, то
. По теореме о двух секущих
, то есть
, откуда находим, что .
Ответ:
1 или 7.
Возможны другие формы записи ответа.
Например:
А) 1, 7;
Б) радиус окружности равен 7 или 1.
Содержание критерия |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ |
3 |
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок |
2 |
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный
балл
|
3 |
Найдите все значения
, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше 1.
Решение.
1. Функция
имеет вид:
a) при
:
, а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
;
б) при
:
, а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции
показаны на рисунках:
Рис. 1
Рис. 3
|
Рис. 2
Рис. 4
|
2. Наименьшее значение функция
может принять только в точках
или
, а если
– то в точке .
3. Наименьшее значение функции
больше 1 тогда и только тогда, когда
.
Ответ:
Содержание критерия |
Баллы |
Обоснованно получен правильный ответ |
4 |
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки |
3 |
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна |
2 |
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл
|
4 |
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
Пусть среди написанных чисел
положительных,
отрицательных и
нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому .
а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому
— количество целых чисел — делится на 4. По условию
, поэтому
. Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство
к виду
. Так как
, получаем, что
, откуда
. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
воценка
) Подставим
в правую часть равенства
:
, откуда
. Так как
, получаем:
то есть положительных чисел не более 17.
впример
) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число
и два раза написан 0. Тогда
, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ:
а) 44; б) отрицательных; в) 17.
Содержание критерия |
Баллы |
Верно выполнены: а), б), впример
), воценка
) |
4 |
Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), впример
), воценка
) |
3 |
Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), впример
), воценка
) |
2 |
Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), впример
), воценка
) |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл
|
4 |
|