Лекция 10
Комплексные числа и действия над ними
Рассмотрим уравнение
.
Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число
(мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению
. Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида
,
, .
Совокупность всех чисел
называется множеством комплексных чисел. При этом число
называется вещественной частью комплексного числа
и обозначается как
,
а число
называется мнимой частью комплексного числа
и обозначается как
.
Удобно изображать комплексные числа
в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами
. В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.
Операции умножения и деления комплексных чисел.
При умножении комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):
Пример.
.
При делении следует использовать операцию умножения на сопряженное выражение.
Пример.
Комплексному числу можно приписать понятие модуля
и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.
Модуль числа
равен
.
Аргументом числа
называется полярный угол
,
(аргумент является многозначной функцией).
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
, где
.
Теперь умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, выполняется по формуле
(то есть при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).
Следствием формулы умножения является следующая формула.
Формула возведения в степень (формула Муавра)
.
Пример.
,
, ,
Формула извлечения корня
-й степени
,
.
Пример. Вычислить
.
Запишем
в тригонометрической форме:
.
Тогда получаем
при
при
при
Таким образом, всего имеется три комплексных кубических корня из числа
:
,
, .
Формула Эйлера
.
Пример использования.
Вычислить
.
Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции
через показательную функцию. Имеем:
откуда
Û
.
Следовательно,
,
откуда
.
Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.
,
Отсюда следует
Ответ:
.
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Рассмотрим уравнение
где
и
константы, а функция
в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов
,
, ,
- произвольный многочлен степени
. Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение
назовем характеристическим уравнением
для нашего уравнения. Пусть
,
– корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения
имеет вид
,
если
,
- два различных вещественных числа; имеет вид
,
если
и, наконец, решение имеет вид
,
если
,
- комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения
и произвольного частного решения неоднородного уравнения
. Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.
Сопоставим функции
в правой части исходного уравнения число
. Если
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение
ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть
если
, и в виде
если
или
. Здесь
,
многочлены степени
, коэффициенты которых можно определить, подставив
в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если
является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов
,
увеличивается на 1.
Пример.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение
Û
Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
.
Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части
, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
Получаем:
,
Подставляя
,
,
в исходное уравнение, получаем:
Сокращая на
и приводя подобные, получим
,
,
откуда
Û
Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид
.
Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:
,
Поскольку
, второе уравнение имеет вид
. Решаем систему линейных уравнений на неизвестные
и :
Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:
Û
.
Далее,
.
Ответ:
.
Пример
.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
,
откуда
,
где
- мнимая единица. Следовательно,
,
, и общее решение однородного уравнения есть
.
Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
.
Подставляя
в исходное уравнение, с учетом того, что
,
получим:
откуда
и, следовательно,
,
.
Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция
.
Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде
.
Найдем константы
и
, при которых выполнены краевые условия
,
.
Так как
,
получаем систему линейных уравнений на
и
:
откуда
.
|