ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÍÀÓÊÈ È ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
ÌÀÐÈÉÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Êàôåäðà ÏèÏÝÂÑ
Êóðñîâàÿ ðàáîòà
ïî äèñöèïëèíå «Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì»
Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ÎÄÓ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.
Éîøêàð-Îëà
2010
Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü.
Êðàåâûå çàäà÷è, çàäà÷è, â êîòîðûõ èç íåêîòîðîãî êëàññà ôóíêöèé, îïðåäåë¸ííûõ â äàííîé îáëàñòè, òðåáóåòñÿ íàéòè òó, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò íà ãðàíèöå (êðàå) ýòîé îáëàñòè çàäàííûì óñëîâèÿì. Ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå êîíêðåòíûå ÿâëåíèÿ ïðèðîäû (ôèçè÷åñêèå, õèìè÷åñêèå è äð.), êàê ïðàâèëî, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, âûâåäåííûõ èç îáùèõ çàêîíîâ, êîòîðûì ïîä÷èíÿþòñÿ ýòè ÿâëåíèÿ. Êîãäà ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ äîïóñêàþò öåëûå ñåìåéñòâà ðåøåíèé, äîïîëíèòåëüíî çàäàþò òàê íàçûâàåìûå êðàåâûå èëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïîçâîëÿþùèå îäíîçíà÷íî âûäåëèòü èíòåðåñóþùåå íàñ ðåøåíèå.  òî âðåìÿ, êàê êðàåâûå óñëîâèÿ çàäàþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî íà ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ îáëàñòè, ãäå èùåòñÿ ðåøåíèå, íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ìîãóò îêàçàòüñÿ çàäàííûìè íà îïðåäåë¸ííîì ìíîæåñòâå òî÷åê âíóòðè îáëàñòè.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ïîòåíöèàëà), àïðèîðíûõ îöåíîê è êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.
Êîíå÷íûå ðàçíîñòè.
Èñ÷èñëåíèå êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ñâÿçàíî ñ èçó÷åíèåì ñâîéñòâ è ïðèìåíåíèé ðàçíîñòåé ìåæäó ñîñåäíèìè ÷ëåíàìè êàêîé-íèáóäü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èëè ìåæäó çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè â òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ ñ ïîñòîÿííûì èíòåðâàëîì â íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå. Ñëîâî «êîíå÷íûå» èñïîëüçóåòñÿ çäåñü â íåñêîëüêî óñòàðåâøåì ñìûñëå «íå áåñêîíå÷íî ìàëûå», ò.å. íå ñâÿçàííûå ñ ïðåäåëüíûìè ïåðåõîäàìè. Ïîñêîëüêó äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå çàíèìàåòñÿ èçó÷åíèåì ïðåäåëîâ ðàçíîñòåé, à èñ÷èñëåíèå êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé – ñàìèìè ðàçíîñòÿìè, òî åñòåñòâåííî, ÷òî ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òåîðèÿìè ñóùåñòâóþò ìíîãî ïàðàëëåëåé. Èñ÷èñëåíèÿ êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé èñïîëüçóþòñÿ ïðè èíòåðïîëÿöèè â ìàòåìàòè÷åñêèõ òàáëèöàõ, ïðè ñóììèðîâàíèè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ è äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèé. Ðàçíîñòè âñòðå÷àþòñÿ òàêæå â ëþáîé ñèòóàöèè, êîãäà íàäî îïèñàòü ïîâåäåíèå îáúåêòà, êîòîðûé èñïûòûâàåò âîçäåéñòâèå ìåíÿþùèõñÿ óñëîâèé íà îïðåäåëåííîì ðàññòîÿíèè (âî âðåìåíè è â ïðîñòðàíñòâå). Íàïðèìåð, òåðìîñòàòó òðåáóåòñÿ çíà÷èòåëüíîå âðåìÿ, ÷òîáû îòðåàãèðîâàòü íà èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû, ïîýòîìó îí ðåàãèðóåò íå íà òåêóùóþ òåìïåðàòóðó, à íà òó, ÷òî áûëà ìèíóòó íàçàä. Äðóãîé ïðèìåð: àâòîìàøèíîé óïðàâëÿåò âîäèòåëü, êîòîðîìó òðåáóåòñÿ êàêîå-òî âðåìÿ, ÷òîáû îòðåàãèðîâàòü íà âîçíèêøóþ íà äîðîãå ñèòóàöèþ.
Ïîä êîíå÷íîé ðàçíîñòüþ ïåðâîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f (x) ïðèíÿòî ïîíèìàòü âåëè÷èíó
ãäå d – íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, êîòîðóþ ÷àñòî, íî íå âñåãäà, ïðèíèìàþò ðàâíîé 1. Ðàçíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà îáîçíà÷àåòñÿ D2f è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü ðàçíîñòåé, ò.å.
Ïðîäîëæèâ ýòîò ïðîöåññ, ìû ïîëó÷èì ðàçíîñòè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ D3f (x), D4f (x), ¼ .
Ó èñòîêîâ òåîðèè.
Õîòÿ èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ è èñïîëüçîâàíèå êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ïðèõîäèòñÿ íà ñîâðåìåííûé ïåðèîä ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè, Ïòîëåìåé (îê. 150 í.ý.) ââåë â Àëüìàãåñòå òàáëèöó ðàçíîñòåé ïåðâîãî ïîðÿäêà, ÷òîáû îáëåã÷èòü ðàñ÷åòû â òàáëèöå äëèí õîðä. Ðàçíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èñïîëüçîâàë ïðè âû÷èñëåíèè ñâîèõ òàáëèö ëîãàðèôìîâ â 1624 Ã.Áðèããñ. Òåîðèÿ èíòåðïîëÿöèè áåðåò íà÷àëî ñî çíàìåíèòîé ïÿòîé ëåììû èç 3-é êíèãè Ìàòåìàòè÷åñêèõ íà÷àë (1687) È.Íüþòîíà, â êîòîðîé âïåðâûå áûëà ïðèâåäåíà ôîðìóëà, íîñÿùàÿ íûíå åãî èìÿ. ×àñòíûé ñëó÷àé ôîðìóëû Íüþòîíà, îòêðûòûé òàêæå íåçàâèñèìî åãî ñîâðåìåííèêîì Äæ.Ãðåãîðè (1638–1675), ïðèâåäåí íèæå (ñì. ôîðìóëó (7)).  îáùåé ôîðìóëå èíòåðïîëÿöèè Íüþòîíà èñïîëüçîâàëèñü ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè, õîòÿ ýòîò òåðìèí, ïî-âèäèìîìó, áûë ââåäåí Î.äå Ìîðãàíîì (1806–1871) â 1848. Ïåðâîå ïðèìåíåíèå èñ÷èñëåíèÿ êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ê çàäà÷àì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðèíÿòî ñâÿçûâàòü ñ èìåíàìè Ï.äå Ìîíòìîðà (1678–1719) è À.äå Ìóàâðà (1667–1754).
Õîòÿ Ë.Ýéëåð (1707–1783) â ñâîèõ ðàáîòàõ ïî äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ èñïîëüçîâàë ïðåäåëüíûå ïåðåõîäû â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ, îñíîâàíèÿ ñîâðåìåííîé òåîðèè êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé áûëè çàëîæåíû â îñíîâíîì Æ.Ëàãðàíæåì (1736–1813) è Ï.Ëàïëàñîì (1749–1827). Ïåðâûé èç íèõ ââåë â èñ÷èñëåíèå êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ñèìâîëè÷åñêèå ìåòîäû, âòîðîé ñäåëàë êîíå÷íûå ðàçíîñòè ãëàâíûì èíñòðóìåíòîì â ñâîåé Àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (1812).
Ïîä âëèÿíèåì ýòèõ ðàáîò ìàòåìàòèêè 19 â. ïðèíÿëèñü èíòåíñèâíî ðàçðàáàòûâàòü ïðåäìåò, è â 1860 Äæ.Áóëü âûïóñòèë ñâîé êëàññè÷åñêèé Òðàêòàò îá èñ÷èñëåíèè êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé. Ñ òåõ ïîð ýòî èñ÷èñëåíèå è êðóã åãî ïðèëîæåíèé ñóùåñòâåííî ðàñøèðèëèñü. Îäíî èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðèëîæåíèé êîíå÷íûå ðàçíîñòè íàøëè â ñòàòèñòèêå. Îñîáåííî ïîëåçíûìè îíè îêàçàëèñü â òåîðèè ñåðèàëüíîé êîððåëÿöèè, â àíàëèçå ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ñòàòèñòè÷åñêèõ âðåìåííûõ ðÿäîâ.
Àëãîðèòì ìåòîäà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé.
1. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a,b] íà n
ðàâíûõ ÷àñòåé äëèíû, èëè øàãà
Òî÷êè ðàçáèåíèÿ
íàçûâàþòñÿ óçëàìè, à èõ ñîâîêóïíîñòü – ñåòêîéíà îòðåçêå [a,b]
2. Ââîäèì îáîçíà÷åíèÿ
3. Çàìåíèì ïðîèçâîäíûå îäíîñòîðîííèìè êîíå÷íî-ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè:
Ýòè ôîðìóëû ïðèáëèæåííî âûðàæàþò çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ èíòåðâàëà [a,b].
Êðîìå òîãî, êðàåâûå óñëîâèÿ äîïîëíèòåëüíî äàþò åùå äâà óðàâíåíèÿ:
Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó óðàâíåíèé, êîòîðóþ ìîæíî ðåøèòü ëþáûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì.
Ïðàêòè÷åñêàÿ ÷àñòü.
Çàäàíèå:
Èñïîëüçóÿ ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, ñîñòàâèòü ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ÎÄÓ ñ òî÷íîñòüþ
, h=0,1.
Ðàçáèâ îòðåçîê [1;1,3] íà ÷àñòè ñ øàãîì h=0.1 ïîëó÷èì 4 óçëîâûå òî÷êè ñ àáñöèññàìè:
äâå òî÷êè x0 è x3 – êîíå÷íûå;
äâå äðóãèå x1 è x2 – âíóòðåííèå.
Çàìåíèì ïðîèçâîäíûå îäíîñòîðîííèìè êîíå÷íî-ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè:
Âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ (i=1,2)
=
Êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ â êîíå÷íûõ òî÷êàõ:
Ïîñëå óïðîùåíèÿ ñèñòåìà ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîðíåé äàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì Ãàóññà. (Ïðèëîæåíèå) Ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ:
Âûâîä:
Ðàçðàáîòàíî ìíîãî ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå èç íèõ - ìåòîäû êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé è êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ.  õîäå äàííîé ðàáîòû èçó÷àëñÿ ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé êàê îäèí èç ìåòîäîâ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé áûë ðàçðàáîòàí ðàíüøå îñòàëüíûõ è íà ïåðâûé âçãëÿä ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ïðîñòûì â ðåàëèçàöèè. Èäåÿ åãî ñîñòîèò â ðàçáèåíèè ïðÿìîóãîëüíîé ñåòêîé îáëàñòè, â êîòîðîé ðåøàåòñÿ óðàâíåíèå, è äèñêðåòèçàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà. Ðåøàÿ ëèíåéíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàõîäÿò ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ â óçëàõ ðåøåòêè. Îñíîâíûå òðóäíîñòè ñâÿçàíû ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, åñëè ãðàíèöà îáëàñòè èìååò ñëîæíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ôîðìó.
Ê íåäîñòàòêàì ìåòîäà ñëåäóåò îòíåñòè ïëîõóþ àïïðîêñèìàöèþ ãðàíèö ñëîæíûõ îáëàñòåé, ÷òî íå ñëèøêîì ïðèíöèïèàëüíî äëÿ óðàâíåíèé òåïëîïðîâîäíîñòè, íî äîâîëüíî ñóùåñòâåííî äëÿ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè. Êðîìå òîãî, ìåòîä ïëîõî ðàáîòàåò â ñëó÷àå òîíêîñòåííûõ îòëèâîê, êîãäà òîëùèíà ñòåíîê ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìîé ñ øàãîì ñåòêè. Òî åñòü ïðèìåíÿòü äàííûé ìåòîä ñòîèò ëèøü â óñëîâèÿõ, ïðèãîäíûõ äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è, êîãäà ñòàâèòñÿ âîïðîñ òî÷íîñòè è ñêîðîñòè âû÷èñëåíèé.
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
Ëèñòèíã ïðîãðàììû:
program Kraevaja;
uses crt;
var
x1,x2,x3,x4:real;
i,j:integer;
Z:real;
B:array [1..4,1..5] of real;
C:array [1..4,1..5] of real;
procedure EnterMatrix;
begin
writeln('Ââåäèòåýëåìåíòûóïðîùåííîéìàòðèöû:');
for i:=1 to 4 do
for j:=1 to 5 do begin
write ('B[',i,',',j,']=');
readln (B[i,j]);
end;
end;
procedure PrintMatrix;
begin
for i:=1 to 4 do begin
for j:=1 to 5 do
write(B[i,j]:6:2);
writeln;
end;
end;
begin
clrscr;
gotoxy(30,1);
writeln('Ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé');
gotoxy(1,2);
writeln('Èñõîäíîå çàäàíèå);
gotoxy(20,2);
writeln('d^2ã/dx^2-(dy/dx)/2+3y=2x^2');
gotoxy(20,4);
writeln('y(1)+2(dy/dx)(1)=0,6');
gotoxy(20,5);
writeln('y(1,3)=1');
gotoxy(1,6);
writeln('˜ £ h=0,1');
EnterMatrix;
writeln('Èñõîäíàÿìàòðèöà:');
PrintMatrix;
Z:=B[1,1];
for j:=1 to 5 do
begin
B[1,j]:=B[1,j]/z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
C[1,j]:=B[1,j];
end;
Z:=B[2,1];
for j:=1 to 5 do
begin
B[1,j]:=B[1,j]*Z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[2,j]:=B[2,j]-B[1,j];
end;
Z:=B[2,2];
for j:=1 to 5 do
begin
B[2,j]:=B[2,j]/Z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
C[2,j]:=B[2,j];
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[1,j]:=C[1,j];
end;
Z:=B[3,1];
for j:=1 to 5 do
begin
B[1,j]:=B[1,j]*Z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[3,j]:=B[3,j]-B[1,j];
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[2,j]:=C[2,j];
end;
Z:=B[3,2];
for j:=1 to 5 do
begin
B[2,j]:=B[2,j]*Z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[3,j]:=B[3,j]-B[2,j];
end;
Z:=B[3,3];
for j:=1 to 5 do
begin
B[3,j]:=B[3,j]/Z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
C[3,j]:=B[3,j];
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[1,j]:=C[1,j];
end;
Z:=B[4,1];
for j:=1 to 5 do
begin
B[1,j]:=B[1,j]*Z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[4,j]:=B[4,j]-B[1,j];
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[2,j]:=C[2,j];
end;
Z:=B[4,2];
for j:=1 to 5 do
begin
B[2,j]:=B[2,j]*Z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[4,j]:=B[4,j]-B[2,j];
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[3,j]:=C[3,j];
end;
Z:=B[4,3];
for j:=1 to 5 do
begin
B[3,j]:=B[3,j]*Z;
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[4,j]:=B[4,j]-B[3,j];
end;
for j:=1 to 5 do
begin
C[4,j]:=B[4,j];
end;
for j:=1 to 5 do
begin
B[2,j]:=C[2,j];
end;
x4:=C[4,5]/C[4,4];
x3:=C[3,5]-x4*C[3,4];
x2:=C[2,5]-x4*C[2,4]-x3*C[2,3];
x1:=C[1,5]-x4*C[1,4]-x3*C[1,3]-x2*C[1,2];
writeln('y(1)=',x1:3:3);
writeln('y(1,1)=',x2:3:3);
writeln('y(1,2)=',x3:3:3);
writeln('y(1,3)=',x4:3:3);
readkey;
end.
program tochki;
uses crt, graph;
var
gd,gm,a:integer;
begin
clrscr;
initgraph(gd,gm,'');
setcolor(12);
line(320,0,320,480);
line(0,240,640,240);
outtextxy(400,100,'tochka1');
outtextxy(440,110,'tochka2');
outtextxy(480,120,'tochka3');
outtextxy(530,130,'tochka4');
readkey;
|