Содержание
Задание на курсовую работу ....................................................................... 2
Замечания руководителя .............................................................................. 3
1. Бесселевы функции с любым индексом ................................................... 5
2. Формулы приведения для бесселевых функций ..................................... 10
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................. 13
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. 15
5. Ряды Фурье-Бесселя ................................................................................. 18
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента ...................................................................... 23
Список литературы ...................................................................................... 30
1. Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
. (1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:
,
,
,
то уравнение (1) примет следующий вид:
. (2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
,
где
,
,
предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть
есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
,
откуда (после деления на
)
.
Записав это в виде:
,
найдем, что левая часть не зависит от
, правая не зависит от
,
; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная
. Отсюда:
;
;
;
;
.
В последнем равенстве левая часть не зависит от
, правая не зависит от
; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная
. Отсюда:
,
;
,
.
Таким образом,
,
,
должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
,
(3)
,
,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если
,
,
удовлетворяют уравнениям (3), то
есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя
в левую часть (2) и деля затем на
, получим:
.
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть
, где
,
,
– любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел
, .
Первое из уравнений (3) в случае
,
называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае
, обозначая независимую переменную буквой
(вместо
), а неизвестную функцию – буквой
(вместо
), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
. (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы функции первого рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:
.
Тогда
,
,
,
.
Следовательно, приходим к требованию
или к бесконечной системе уравнений
,
которая распадается на две системы:
Первая из них удовлетворится, если взять
… Во второй системе
можно взять произвольно; тогда
… однозначно определяются (если
не является целым отрицательным числом). Взяв
,
найдем последовательно:
,
,
,
и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений
и, следовательно, является решением уравнения (4) в области
(в случае целого
в области
).
Функция
(5)
называется бесселевой функцией первого рода с индексом
. Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса
получим:
, (5`)
и, в частности,
. (5``)
Общее решение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса
функции
и
являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени
. Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:
. (6)
Если
(целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что
равно нулю для
…), принимает вид:
(5```)
или, после замены индекса суммирования
на
,
, (7)
откуда видно, что
удовлетворяет вместе с
уравнению Бесселя
.
Но формула (6) в случае целого
уже не дает общего решения уравнения (4).
Полагая
(
– не целое) (8)
и дополняя это определение для
(целое число) формулой:
, (8`)
получим функцию
, удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от
(в случае
, где
– целое). Функция
называется бесселевой функцией второго рода с индексом
. Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:
. (9)
2. Формулы приведения для бесселевых функций
Имеем:
;
;
,
;
.
Следовательно,
. (10)
Таким образом, операция
(состоящая в дифференцировании с последующим умножением на
), примененная к
, повышает в этом выражении индекс
на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию
раз, где
– любое натуральное число, получаем:
. (10`)
Имеем:
;
Следовательно,
. (11)
Таким образом, операция
, примененная к
, понижает в этом выражении индекс
на единицу. Применяя эту операцию
раз, получаем:
. (11`)
Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
;
;
.
Отсюда, в частности, следует, что
. Используя (11), получим:
;
;
.
Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:
, (12)
. (13)
Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через
,
. Действительно, из (13) находим (полагая
):
, (13`)
откуда последовательно получаем:
,
, …………………
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом
, где
– целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
,
,
следовательно,
.
Но
, значит:
. (14)
Далее
,
,
следовательно,
.
Но
, поэтому
. (15)
С помощью (10`) находим:
,
а учитывая (14)
,
следовательно, при целом положительном
. (14`)
С помощью (11`) находим:
,
но в силу (15)
,
и, следовательно, при целом положительном
. (15`)
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом
Производящая функция системы функций
Рассмотрим систему
функций
(с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
Составим ряд
,
где
– комплексная переменная. Предположим, что при каждом
(принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность
. В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.
Функция
(16)
(где x лежит в области определения функций системы
,
– внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению
) называется производящей функцией системы .
Обратно, пусть задана функция
, где
пробегает некоторое множество,
находится внутри некоторого кольца, зависящего от
, с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если
при каждом
аналитична относительно
внутри соответствующего кольца, то
есть производящая функция некоторой системы
функций. В самом деле, разложив при каждом
функцию
в ряд Лорана по степеням :
,
найдем, что система коэффициентов
этого ряда будет искомой системой
.
Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции
рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности
в простой интеграл, получим:
. (17)
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами
(
…) производящая функция есть:
.
Имеем:
,
,
откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:
(так как в предпоследней внутренней сумме
и
были связаны зависимостью
, то мы могли положить
, получив суммирование по одному индексу
). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым
, для которых
, следовательно, при
это будет
; при
это будет
. Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть
в силу формул (5`) и (5```). Итак,
, (18)
но это и доказывает, что
есть производящая функция для системы
.
Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней
, получим:
,
откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что
)
(18`)
(18``)
Заменяя в (18`) и (18``)
на
, найдем:
, (18```)
. (18````)
Интегральное представление Jn
(x)
Так как, по доказанному, при
имеем
, то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):
где принято во внимание, что
есть четная функция от
есть нечетная функция от
. Итак, доказано, что для любого целого числа
. (19)
Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра
. Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для
, правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при
найдем:
. (19`)
5. Ряды Фурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либо интервале
(конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения
,
, (20)
где
и
– непрерывные функции на
. Пусть
и
– ненулевые решения этих уравнений. Умножение на
и на
и последующее вычитание дают
.
Пусть
и
принадлежат
и
, тогда после интегрирования в пределах от
до
получим
. (21)
Если
и
– соседние нули решения
, то между
и
сохраняет постоянный знак, пусть, например,
на (
,
) (в противном случае следует заменить
на
), тогда
,
(равенство нулю исключено, так как
– ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на
, то
должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между
и
, так как иначе
сохранит постоянный знак на (
,
). Пусть, например,
на (
,
) (в противном случае заменяем
на
), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если
на
, то каждое ненулевое решение уравнения
может иметь на
не более одного нуля (это легко видеть, если положить
и взять
). Если
на
(где
), то для всяких двух соседних нулей
и
(
) каждого ненулевого решения уравнения
имеем
(это легко видеть, если положить
, взять
и заметить, что нулями
будут только числа вида
,
целое). Если
на
(где
), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения
имеем
(это легко видеть, если положить
и взять
). Из сказанного следует, что если
на
, то для всяких двух соседних нулей
и
(
) каждого ненулевого решения уравнения
имеем .
Изложенное показывает, что если
непрерывна на
и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение
уравнения
имеет на
бесконечно много нулей. Если еще
вблизи
не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность
, имеющую пределом +∞, а если, кроме того,
, где
, то .
Рассмотрим уравнение Бесселя
на интервале
. Подстановка
приводит к уравнению
.
Очевидно,
и
имеют одни и те же нули. Так как
, где
– целая функция, то
не имеет нулей на
при достаточно малом
, и так как
при
, то при каждом
нули
на
образуют бесконечную возрастающую последовательность
причем
.
Если
, то
удовлетворит уравнению
на интервале (0, +∞). Подстановка
приводит к уравнению
и, следовательно,
удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных
и
имеем
, где
,
, где
,
откуда
,
следовательно,
, где
. (22)
Пусть теперь
. Разложение
по степеням
начинается с члена, содержащего
, разложение
по степеням
начинается с члена, содержащего
, так как коэффициент при
равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при получим
,
то есть
, (23)
откуда видно, что если
и
являются разными нулями функции
, то
. (23`)
Этим доказано, что при
система функций
на интервале
является ортогональной относительно веса
.
Переходя к пределу при
в соотношении
и используя правило Лопиталя, получим при всяком
, (24)
следовательно, если
является нулем функции
, то
. (24`)
Таким образом, при каждом
всякой непрерывной функции
на
, удовлетворяющей требованию
,
поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя
, (25)
коэффициенты которого определяются формулами
. (25`)
Можно доказать, что система функций
на
, ортогональная относительно веса
, замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .
Можно показать, что если
и
непрерывная на
и кусочно-гладкая на
функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента
Пусть
- положительная функция и
- какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений
. Запись
при
означает, что найдутся такие числа
и M, что при
имеем
.
Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если
- положительная функция и
- какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений
, то запись
при
означает, что найдутся такие числа
и
, что
на .
Вспомогательная лемма
Если
дважды непрерывно дифференцируема на
, то для функции
имеет место асимптотическое представление
при
.
Докажем эту лемму. Заменяя на
, получим:
. (26)
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя
на
, найдем:
,
но, заменив на
, получим:
.
Если
положительна, убывает и стремиться к нулю при
, то
и
, а следовательно, и
есть
при
, поэтому
при
,
откуда
при
.
Итак, получаем асимптотическое представление:
при
. (27)
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
,
.
Очевидно,
дважды непрерывно дифференцируема на
, но существуют
и
, поэтому
становится непрерывно дифференцируема на
. Интегрирование по частям дает:
,
где первое слагаемое правой части
есть
при
, а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом
,
который сходится, так как
при
;
следовательно, второе слагаемое есть тоже
при
.
Итак, имеем:
при
. (28)
Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:
при
. (29)
Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
при
. (29`)
Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций
.
Вывод асимптотической формулы для Jn
(x)
Заменяя
на
, получим:
(учитывая, что
есть четная функция от
, а
есть нечетная функция от
). Подстановка
дает:
,
где
есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что
есть полином n-й степени относительно
. Но
и, заменяя в первом из этих интегралов
на
, получим:
Так как
и
на
имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:
;
но
;
, следовательно,
.
Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:
при
. (30)
Эта формула показывает, что
с точностью до слагаемого порядка
является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
при
; (30`)
при
. (30``)
Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решение уравнения Бесселя при
,
удовлетворяющее начальным условиям при
,
и
.
Решение.
На основании формулы (5`) находим одно частное решение:
.
2. Найти одно из решений уравнения:
,
.
Решение.
Сделаем замену
.
При
получим:
.
При
будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:
.
Уравнение на
имеет вид
;
,
,
,
, поэтому
,
,
.
Рисунок 1 – График функции y=J0
(x)
Рисунок 2 – График функции y=J1
(x)
Список литературы
1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.
|