Глава 2. Расчет температурного поля.
2.1. Математическая постановка задачи.
Расчет температурного поля ограждающих конструкций с математической точки зрения приводит к необходимости решения третьей краевой задачи для уравнения Лапласа. При этом нужно иметь в виду, что ограждающие конструкции, как правило, являются, неоднородными. Отсюда следует, что функция коэффициента теплопроводности является разрывной кусочно-постоянной функцией двух переменных.
Хотя алгоритм решение задачи остается верным для неоднородных ограждающих конструкций, мы, для примера, будем рассматривать однородную ограждающую конструкцию из дерева размером
. Считаем, что по «краям» стенок, где проведен срез конструкции, установилась стабилизация температуры вдоль стенок, то есть отсутствует поток тепла на границах Г3
и Г4
.
Наружная температура считается постоянной
. Внутренняя температура в помещении считается постоянной
. Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения
, коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения .
(3)
где
- граница области
;
- искомая температура,
;
- коэффициент теплопроводности,
;
- производная по внешней нормали;
- температура среды (не зависит от времени),
;
- коэффициент теплоотдачи поверхности ограждения,
;
- начальная температура, град.
Решение будем искать методом Зейделя
(1)
(3)
Граничные условия
Г1
:
Г2
:
Г3
:
Г4
:
2.2. Метод Зейделя.
Прямоугольную декартову систему координат расположим, как показано на Рис.1.
Задачу (1) (3) будем решать конечно-разностным методом с помощью явной схемы.
Условие устойчивости явной схемы имеет вид
где
, если h=0.004, то
Расчет проводится до тех пор, пока температурное поле не выйдет на стационар, т.е. когда норма разности (равномерная норма) между соседними итерациями по времени не окажется меньше заданной погрешности
. В численных экспериментах полагали
=0,0001.
И вместо (1) (3) получим разностные уравнения
1 этап
Начальное приближение
2 этап
Для последующих итераций
2.1 (j=0)
Сперва находим значение в точке (0,0)
Затем находи значение в точках (i,0), i=1..n-1
Затем находим значение в точке (n,0)
2.2 (j=1..n-1)
Сперва находим значение в точке (0,j)
Затем находи значение в точках (i,j), i=1..n-1
Затем находим значение в точке (n,j)
2.3 (j=n)
Сперва находим значение в точке (0,n)
Затем находи значение в точках (i,n), i=1..n-1
Затем находим значение в точке (n,n)
3 этап
Вычисляем
, пробегая по всем i,j.
И проверяем
, если
>= e, то переходим к этапу 2 до тех пор пока
<e.
4 этап
Получили приближенное решение уравнения Лапласа методом Зейделя.
2.3. Метод Гаусса.
Для решения уравнения (1) (3)
нужна матрица А размерности
, (
n
+1)2
неизвестных и (
n
+1)2
уравнений. Ax=b,
где
Но в нашем случае
, и можем использовать матрицу размерности
, (
n
+1)
неизвестных и (
n
+1)
уравнений.
В нашем случае
С помощью метода Гаусса находим решения системы.
2.4 Двухсеточный метод.
Алгоритм нашего метода
Этап 1.
Задается
(например
=0).
Этап 2.
Вычисляется невязка
.
Этап 3.
, где
Рестрикция (Restriction) с мелкой сетки на грубую.
Этап 4.
Решаем
прямым методом.
Этап 5.
Вычисляем поправки с помощью пролонгации (Prolongation)
Этап 6.
, вычисляем
Этап 7.
Проверяем
- заданная точность.
Этап 8.
Если точность достигается, то конец счета, если же нет, то k:=k+1 и идем во 2-ой этап.
Глава 3. Расчет тестовой задачи.
Для расчета мы используем однородную наружную ограждающую конструкцию, где по вей области
. Размером 0,2×0,2 м2
. Наружная температура считается постоянной
. Внутренняя температура в помещении считается постоянной
. Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения
, коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения
.
3.1. Точное решение.
Для решения точного решения используем одномерную задачу с граничными условиями. Наружная температура считается постоянной
. Внутренняя температура в помещении считается постоянной
. Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения
, коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения .
вычисляется однозначно.
- точное решение (функция одной переменной).
Точное решение.
3.2. Результаты вычислений.
Данная задача нами решена двумя способами: обычным методом Зейделя и двухсеточным методом.
Результаты вычислений простым методом Зейделя.
Результаты вычисления двухсеточным методом.
Заключение.
Разработан алгоритм расчета двумерного стационарного неоднородного поля, показывающий возможность применения данного алгоритма для расчета стационарного двумерного температурного поля наружных ограждающих конструкций при достаточно большого количества узлов сетки.
При сравнении обычного итерационного метода Зейделя и нашего двухсеточного метода получили следующие результаты.
Метод решения
|
n
|
|
|
|
Кол-во итераций
|
Простой итерационный метод Зейделя
|
50
|
0,01
|
0,009993
|
6,045654
|
756
|
0,001
|
0,000999
|
0,616282
|
2167
|
0,0001
|
0,000100
|
0,061866
|
3590
|
0,00001
|
0,000010
|
0,006486
|
5012
|
Двухсеточный метод
|
50
|
0,01
|
0,009084
|
0,095964
|
35
|
0,001
|
0,000940
|
0,012935
|
61
|
0,0001
|
0,000096
|
0,001656
|
93
|
0,00001
|
0,000010
|
0,000471
|
127
|
Из этой таблицы очевидно видно, что двухсеточный метод в разы решает задачу быстрее и точнее чем обычные итерационные методы.