ББК 22.143я73 К85

Юдович В.И.

К85 Математические модели естествознания. Курс лекций / В.И. Юдович. — М.: Вузовская книга, 2009. — 288 с.

ISBN 5-9502-0176-0

Курс лекций по математическим моделям естествознания В.И. Юдовича состоит из трех частей: «Математические модели», «Механика», «Элементы статистической механики».

Для студентов и преподавателей технических и экономических вузов, математических, механико-математических и естественно-научных факультетов и факультетов компьютерных наук и информационных технологий.

ББК 22.143я73

Учебное издание

ЮдовичВикторИосифович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

КУРСЛЕКЦИЙ

Книга издана в авторской редакции

Ответственный редактор Н.Г. Карасева

Технический редактор П.С. Корсунская Компьютерная верстка И.В. Островская

Подписано в печать 11.03.2009. Формат 60x84 1/16.

Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 34,17. Тираж 300 экз.

ЗАО «Издательское предприятие «Вузовская книга»

125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4, МАИ, Главный административный корпус, к. 301а.

Т/ф (499) 158-02-35. E-mail: vbook@mai.ru; vbook@mail.ru

c Юдович В.И., 2004

c ЗАО «Издательское предприятие

ISBN 5-9502-0176-0 «Вузовская книга», 2009

ОБАВТОРЕИЭТОЙКНИГЕ

Эта книга — курс лекций по математическим моделям естественных наук глубокого математика и механика, создателя научной школы по математической гидродинамике, профессора Виктора Иосифовича Юдовича (4.10.1934–19.04.2006).

Вся жизнь В.И. Юдовича связана с Ростовским государственным университетом (РГУ, ныне ЮФУ), куда он поступил на физмат в 1952 году и где через пять лет стал преподавать. После разделения физмата работал на механико-математическом факультете (мехмате), ведя интенсивную научную и преподавательскую работу, создавая свою научную школу и кафедру. Кандидатскую диссертацию В.И. Юдович защитил в МГУ, докторскую – в Институте проблем механики АН СССР, был членом редколлегий, ученых советов, председателем диссертационного Совета, президентом Ростовского математического общества.

Энциклопедически образованный, талантливый во всем и расположенный к людям В.И. Юдович занимался гидродинамикой, для решения сложнейших проблем которой освоил все, что могло помочь ему в исследовании проблемы турбулентности. Его понимание уравнений математической физики, теории динамических систем и многих разделов математики и механики было уникальным. Более сорока лет семинару В.И. Юдовича по математической гидродинамике, куда приезжали люди из разных мест: «доклад у Юдовича» означал высокий уровень экспертизы и зачастую самому докладчику давал лучшее понимание сделанного и прояснение перспектив работы.

На мехмате РГУ В.И. Юдович прочел множество курсов: от теории функций действительного переменного до механики сплошной среды. Это были оригинальные курсы, содержательные идейно и технически, сочетавшие научную точность и богатство русского языка. Остались конспекты прочитанных лекций, эти записи активно используются и помогают преподавателям. По ряду курсов В.И. Юдович подготовил печатные варианты. Это две книги «Лекции об уравнениях математической физики», с белой и синей обложками. К сожалению, не закончена третья часть, которая должна была выйти с красной обложкой, чтоб получился триколор. Двумя изданиями вышел «Практикум по решению дифференциальных уравнений»,

Об авторе и этой книге

написанный в соавторстве с А.А. Есиповым и Л.И. Сазоновым. В.И. Юдович говорил, что интересен новый предмет – поэтому, «поставив» тот или иной курс, передавал его ученикам.

Даже появлению первой в мире монографии по математической теории электрофореза (В.Г. Бабский, М.Ю. Жуков, В.И. Юдович, 1982 г.) предшествовал цикл лекций по моделированию задач массопереноса под действием электромагнитного поля. Помимо входивших в преподавательскую нагрузку лекций и заседаний еженедельного семинара, В.И. Юдович каждый год организовывал микросеминары, посвященные новым проблемам гидродинамики и математики. Прочитанные там лекции вводили учеников Юдовича и всех желающих в новые разделы и новые задачи, из этих лекций вырастали темы будущих исследований. Обзорные статьи В.И. Юдовича, написанные в начале 21 века, – попытка передать, сохранить свое понимание математической гидродинамики, которую он развивал до последних дней. В.И. Юдович был Учителем, ему было важно, чтобы начатые им исследования и работы продолжались трудами его сотрудников, он многое сделал для того, чтобы развивались механика и математика в Ростове, России и мире.

Курс математических моделей естественных наук (естествознания) первый раз был прочитан им в 1991 году для студентов четвертого курса специальности «прикладная математика» мехмата. С каждым годом курс развивался, пополняясь новым материалом, в планах было включение в курс разделов по термодинамике, конвекции. Подготовкой печатного варианта лекций В.И. Юдович занимался, уже борясь с болезнью, он работал над «Математическими моделями» до последних дней. Эти лекции были размещены на кафедральном сайте, и немало читателей поделилось своими замечаниями и советами. Особая благодарность студентам мехмата 20062008 гг., активно участвовавшим в устранении опечаток, уточнении ссылок и др. В интернетовском ресурсе vkontakte.ru появилась инициированная студентами «Группа любителей литературного таланта В.И. Юдовича».

В наборе и правке текстов участвовали О.А. Цывенкова, Е.В. Ширяева и И.В. Островская, взявшая на себя труд финальной редактирования и верстки. Тексты вычитывали М.Ю. Жуков, С.М. Зеньковская, Л.И. Сазонов и В.Г. Цибулин, занимавшийся подготовкой издания.

ПРЕДИСЛОВИЕАВТОРА

Цель этого курса — рассказать об основных моделях естествознания, научить подходам к исследованию явлений природы, её фундаментальных законов на основе математического анализа. Это — лекции. И хотя письменный курс не повторяет дословно то, что говорится на занятиях, я стараюсь сохранить стиль живого разговора с живой аудиторией.

До сих пор образцом для построения математических моделей служит механика, начиная с классического труда Ньютона «Математические основы натуральной философии» [32]. Дальнейшее развитие механики вплоть до XIX века, связанное с именами, пожалуй, всех великих математиков и физиков XVII–XX в.в. — Декарт, Гюйгенс, Лейбниц, Ферма, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Гаусс, Герц, Максвелл, Пуанкаре — привело к построению грандиозного здания механики систем с конечным числом степеней свободы, а также и механики сплошной среды. Вся история науки ясно показывает, что каждый серьёзный новый шаг в исследовании природы бывает неразрывно связан с развитием новых математических теорий. Нужно ли напоминать, что научные открытия непосредственно влияют на развитие технологии, а тем самым и на образ жизни людей?

Время от времени возникают споры о том, какое достижение математики было самым важным и кто из математиков был самым великим. (Я не считаю такие обсуждения слишком уж серьёзными, но всё-таки...). Очень многие считают, что главным достижением было введение позиционной системы счисления, а ее автор, имя которого неизвестно (возможно, араб, а, скорее всего, индус), и был величайшим из математиков на нашей планете. С этим можно поспорить. Я склонен думать, что величайшим достижением математики является, быть может, оглавление современных книг по глобальной дифференциальной геометрии. Оно начинается с понятий топологического и метрического пространств. Затем рассматриваются многообразия, векторные поля, дифференциальные формы, тензорные поля, геодезические на многообразиях, кривизны, вариационные принципы для геодезических, группы и алгебры Ли. Это оглавление представляет собой великий план исследования, созданный и реализованный прежде всего в механике, усилиями едва ли не всех ведущих математиков трех столетий. Оказалось, что геодезические линии в геометрии в точности соответствуют движениям в механике. Далее выяснилось, что явления, с виду совершен-

Предисловие автора

но непохожие на механические движения тел, описываются по сути теми же законами, лишь с некоторыми изменениями, носящими мало принципиальный характер с точки зрения общих геометрических теорий. Например, в основе электродинамики лежат вариационные принципы, установленные впервые в механике. Теория относительности с ее головокружительными следствиями тоже оказывается с формальной стороны не более, чем одной из глав механики.

План описания природы, созданный в механике и связанный, главным образом, с дифференциальной геометрией, является неким идеальным образцом для других наук. Однако полностью он не реализован даже в физике (за исключением, может быть, некоторых её областей, скажем, термодинамики). Время покажет, насколько этот план универсален, может ли он быть реализован, скажем, в биологии или придётся создавать иные планы. Пока что мы очень далеко от ответа на этот вопрос, хотя в различных частных областях биологии, химии, экономики применение идей и методов механики и математической физики дало уже немало интересных и глубоких результатов.

Сейчас постоянно употребляются названия «математическая физика», «математическая химия», «математическая биология», «математическая экономика». Но нет никакой «физической» или «биологической» математики. Правда, в последнее время стал мелькать термин «финансовая математика», но это лингвистическое недоразумение. По-английски говорят mathematical finance, математические финансы. Это, однако, неудобопроизносимо, что и привело к появлению «финансовой математики». Некоторые недалекие люди приняли это недоразумение всерьез и предлагают учить детей складывать и вычитать не яблоки и палочки, а доллары и рубли, и дальше продолжать развивать математику в том же духе. Ну, конечно, я считаю это чушью. На самом деле, в «финансовой математике» применяются всё те же методы математического анализа, алгебры, теории вероятностей, теории меры. Решаются уравнения, по сути (а то и вовсе ничем) не отличающиеся от уравнений математической физики. Кстати, высокомерное отношение математиков к этой области не очень оправдано. Конечно, халтурщики есть во всех областях, а в новых (модных, престижных и денежных) областях их в процентном отношении бывает чуть больше, но и в финансовой математике ставятся и решаются замечательно интересные математические задачи.

Имеется довольно много книг, названия которых начинаются словами «Математические модели ...» или «Математическое моделирование в ...» Дальше поминается биология, экономика, химия,... Знакомство с этими книгами сразу показывает, что речь в них идет по сути о тех или иных част-

6 В.И. Юдович. Математические модели естествознания

ных моделях математической физики. Естественнонаучная и технологическая специфика рассматриваемых проблем зачастую отражается довольно слабо. Недавно мне довелось участвовать в конференции по математическим моделям, описывающим плавающие живые организмы (biological swimmers, биологических пловцов, как образно выражается один из авторитетов в этой области Джон Кесслер (John Kessler)). На этой конференции одни докладчики рассматривали микроорганизмы в воде, другие говорили о рыбах и дельфинах. Довольно забавным образом математические модели были при этом почти одни и те же. Специфику жизни до сих пор не удается уловить и вставить в математические формулы.

Обычно, математики, занимающиеся биологией, любят ссылаться на то, что их предмет много сложней, чем то, чем эанимаются физики. Так-то оно так, но в реальной жизни пока что задачи , которые решаются в математической физике и механике, как правило, куда сложнее и глубже, чем те, которые решают математические биологи. Может быть, когда-нибудь это положение изменится — когда математика по-настоящему глубоко проникнет в биологию. Один мой друг, математический биолог, отвечая на вопрос анкеты о недостатках исследований по математической биологии, написал: «Их всего два: слабое проникновение в биологическую сущность проблем и низкий математический уровень».

В этом курсе я пытаюсь изложить те общие принципы и подходы к построению моделей, которые явно или неявно, правильно или не совсем правильно, применяются во всех этих областях.

Возможно, главная трудность построения этого курса связана с тем, что в математическом моделировании применяется едва ли не весь математический аппарат, созданный математикой прошлого и создаваемый на наших глазах современной математикой. Между тем, в курсах, прослушанных (в обоих смыслах) студентами-математиками (и чистыми, и прикладными), многие важнейшие теории и факты даже не упоминаются. Например, наши студенты ничего не знают о дифференциальных формах, и даже когда читается курс топологии, некоторые лекторы ухитряются не упомянуть числа Бетти, когомологии, степень отображения, вращение векторного поля и т.п. В курсах алгебры зачастую даже не упоминаются унитарные, ортогональные, якобиевы трехдиагональные матрицы, не разъясняется толком понятие кратности собственного значения. Дело усугубляется тем, что книги по топологии (за редким и счастливым исключением) пишутся для топологов, книги по геометрии — соответственно, для геометров и т.д. В литературе ощущается острый дефицит учебных пособий по различным разделам математической теории, изложенным для последующего применения в прикладной науке. В итоге в ряде случаев мне приходится бегло, без детальных

Предисловие автора

доказательств, рассказывать об основных понятиях линейного и нелинейного функционального анализа, методах спектральной теории операторов, вариационного исчисления, дифференциальных формах и т.д.

Изучение математики так или иначе начинается с освоения ее терминологии, словаря, набора определений. В современной математике вообще есть тенденция загонять все более значительную часть содержания в определения. Доказательства теорем при этом зачастую становятся короткими и тривиальными и дают не слишком много пищи для ума. В этих лекциях по ходу изложения поясняются математические термины, даются краткие определения основных понятий. Иногда они будут новыми для студента, а иногда их приходится приводить ради определенности, ввиду существующего ужасного разнобоя в употреблении слов. Один пример: некоторым лекторам кажется, что у понятия «отображение», «оператор» мало синонимов, и они добавляют еще один синоним — «функция». Лучше, по-старому, понимать функцию как отображение со значениями на вещественной оси. Синонимом служит слово «функционал», которое чаще употребляется, когда область определения — бесконечномерное пространство.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИ

1. Динамические системы

Под эволюцией той или иной системы будем понимать изменение ее состояния во времени. Первый вопрос, который возникает, когда мы приступаем к построению математической модели: что такое состояние данной системы? Это может быть скаляр, точка многомерного пространства, вектор, а вообще, элемент любого множества X , которое называется фазовым пространством данной системы.

Правильный выбор фазового пространства, соответствующего изучаемой системе, отнюдь не тривиален и в значительной мере предопределяет наш конечный успех (или неуспех). Дело в том, что к выбору фазового пространства предъявляются достаточно суровые требования. Главное из них состоит в том, что задание начального состояния, т.е. точки x ₀ ∈ X , должно однозначно определять эволюцию системы. В самом сильном варианте требуется, чтобы для каждого t ∈ R было определено состояние системы x (t ) ∈ X . Это означает, что должен быть задан эволюционный оператор

N^t : X → X , отображающий фазовое пространство X в себя, и такой, что

x (t ) = N^t x ₀ (1.1)

для всех t ∈ R и любой начальной точки x ₀ ∈ X . Поскольку x (0) = x ₀ для всех x_o ∈ X , эволюционный оператор очевидным образом удовлетворяет условию

N ⁰ = I, (1.2)

где I — тождественный оператор: Ix = x для всех x ∈ X . Иногда его также обозначают id (от латинского слова idem — тот же). Как правило, необходимо еще наложить на эволюционный оператор N^t те или иные условия непрерывности по t , чтобы получалось, что N^t x ₀ → x ₀ при t → 0; понятие предельного перехода для последовательности элементов фазового пространства должно быть также определено.

Иногда эволюционный оператор удаётся задать лишь для t ≥ 0. В некоторых случаях даже приходится рассматривать эволюционные операторы,

Динамические системы

определенные на интервале (−r ₁ ,r ₂ ), где r ₁ , r ₂ — некоторые положительные числа, а то и на полуинтервале [0,r ₂ ).

Фундаментальные математические модели физики обычно приводят к эволюционным операторам, обладающим дополнительным свойством, которое называется (на мой вкус, чересчур пышно) принципом причинности :

N t +s = N t ◦ N s (1.3)

для всех t,s ∈ R . В частности, из (1.3) следует, что для каждого t эволюционный оператор обратим, и (N^t )⁻¹ = N ^−t . Ясно также, что если уже известно состояние x (s ) в момент s , то, по прошествии времени t , состояние определяется равенством x (t + s ) = N^t x (s ).

Принцип причинности, выражаемый равенствами (1.2) и (1.3), означает, что семейство операторов N^t есть однопараметрическая группа с параметром t . Эта группа очевидно коммутативна: N^t ◦ N^s = N^s ◦ N^t .

Во многих задачах (например, для уравнения теплопроводности) эволюционный оператор определен лишь для t ≥ 0. Тогда и принцип причинности (1.3) выполняется лишь для t,s ≥ 0. В этом случае семейство эволюционных операторов N^t образует однопараметрическую полугруппу , тоже коммутативную.

Замечу, что иногда и в случае полугрупп равенство (1.3) удается доказать, но, вообще говоря, не для всех, а лишь для некоторых пар t,s таких, что, например, t > 0, а s < 0. Но во всяком случае нужно предположить, что t + s ≥ 0.

Фазовые пространства, встречающиеся в приложениях, весьма разнообразны. Это может быть конечное или счетное множество, конечномерное или бесконечномерное банахово пространство, скажем, то или иное пространство функций, вектор-функций или векторных полей, конечномерное или бесконечномерное дифференцируемое многообразие . Дальше я приведу много примеров, но сразу замечу, что в целом ряде областей физики и механики сплошных сред, в гидродинамике и теории поля (уж не говоря о биологии) до сих пор неизвестно, как правильно, адекватно выбрать фазовое пространство.

Кроме того, зачастую выбор фазового пространства неоднозначен — одно и то же явление может быть описано различными наборами переменных, а если даже переменные уже выбраны, то отчасти от нашего произвола зависит, какие на них налагаются дополнительные требования. Например, если фазовое пространство состоит из функций (поле температуры в области, занятой проводником тепла), то можно еще по-разному выбирать метрики или банаховы нормы. В частности, такой выбор определяет требо-

В.И. Юдович. Математические модели естествознания

вания к начальному состоянию (скажем, каковы требования регулярности к начальному полю температур).

Обычно под пространством понимается множество вместе с определенным на нем тем или иным способом предельным переходом для последовательностей его элементов. Наиболее общее определение (при помощи задания системы окрестностей, называемой топологией ) приводит к понятию топологического пространства . В этом курсе я не буду пользоваться столь общими пространствами. Надо сказать, что до настоящего времени общие топологические пространства мало применялись в исследовании математических моделей естественных наук (впрочем, в таких случаях всегда хочется добавить, что, быть может, потому-то и не решены некоторые из проблем, десятками, а то и сотнями лет остающихся неприступными). Как правило, достаточно рассматривать метрические пространства, и даже их специальный случай — банаховы пространства . Более того, во всех или почти во всех приложениях в физике и механике бывает достаточно считать, что фазовое пространство есть евклидово пространство, скажем, Rⁿ со стандартным скалярным произведением или гильбертово пространство H . Впрочем, в целом ряде задач необходимо считать фазовое пространство дифференцируемым многообразием , которое является евклидовым или банаховым лишь локально.

Замечу, что всякое подмножество банахова пространства является метрическим пространством (метрика сохраняется, индуцируется ). На самом деле, известно даже, что каждое метрическое пространство может быть реализовано как подмножество банахова пространства. Очевидно, каждое подмножество метрического пространства есть также метрическое пространство. С этой общностью понятия метрического пространства связана, в значительной мере, его полезность.

Нередко даже в тех случаях, когда нам нужен тот или иной результат лишь для конечномерного евклидова пространства, бывает целесообразно доказывать его для произвольного банахова или метрического пространства. Дело в том, что всякий математический факт, теорема, формула становятся особенно ясными и простыми, когда они рассматриваются в естественной степени общности. Именно так — не в самой общей форме, а в естественной степени общности , которую помогает определить развитый математический вкус. Когда он изменяет, появляются тяжеловесные и мелочные рассуждения, в которых тонут главные идеи. С другой стороны, когда ведущие идеи прояснены, вполне естественно возникают и становятся довольно очевидными дальнейшие обобщения и уточнения.

Определениединамическойсистемы. Под динамическойсистемой будем понимать пару (X,N^t ) — метрическое пространство X и однопара-

Динамические системы

метрическое семейство N^t : X → X отображений пространства X в себя такое, что выполняется принцип причинности (см.(1.3))

. (1.4)

Каждый раз надо особо оговорить, является ли семейство N^t группой преобразований (t ∈ R ) или лишь полугруппой (t ∈ R ₊ ).

Конечно, при рассмотрении конкретной динамической системы нужно оговорить, какими свойствами регулярности по t и по x обладает однопараметрическая группа N^t (непрерывность, существование тех или иных производных, условие Липшица или Гельдера и т.д.). Интересно заметить, что групповое соотношение (1.4) само влечет определенную гладкость операторов N^t . Например, в случае, когда X — банахово пространство, а N^t для каждого t есть линейный непрерывный оператор, оказывается, что N^t зависит от t аналитически, то есть разложимо в сходящийся ряд Тейлора по степеням величины (t − t ₀ ) для любого t ∈ R .

Движением динамической системы (X,N^t ), определяемым начальной точкой x ₀ ∈ X , назовем отображение x : t 7→ x (t ) вещественной оси R (или, соответственно, полуоси R ₊ ) в пространство X , определяемое равенством

x (t ) = N^t x ₀ . (1.5)

Таким образом, движение есть последовательность состояний данной динамической системы. Хотя нередко мы слышим и говорим «функция x (t )», следует различать функцию или отображение x и ее значение x (t ) при заданном t . Смешение этих понятий нередко сходит с рук, но лучше приучиться к аккуратному их употреблению, так как во многих серьезных случаях путаница между отображением и его значением может приводить к ошибкам.

Траекторией (или орбитой) данного движения x : t →7 x (t ) называется множество

T = ^[ x (t ). (1.6)

t ∈R

В случае полугруппы объединение следует брать по t ∈ R ₊ , иногда употребляется термин положительная полутраектория .

Когда я произношу слово «траектория», то представляю себе лыжню, на которой не видно лыжника. Мы видим пройденный им путь, но не знаем, в какой момент времени он был в той или другой точке траектории–лыжни. Траектория — множество состояний, пройденных данной системой в ходе

В.И. Юдович. Математические модели естественных наук

движения. Если траектория известна, то достаточно задать закон движения по ней , чтобы движение системы было полностью определено.

Нередко бывает полезным понятие графика данного движения. Это — множество точек (t,x (t )) в декартовом произведении R × X оси времени R и пространства X .

Лучше уяснить связи и различия между понятиями отображения и его значения в точке, движения и мгновенного состояния динамической системы, траектории, области значений отображения и графика отображения Вам помогут упражнения к этому параграфу.

2. Автономные дифференциальные уравнения

Главным источником динамических систем можно считать автономные дифференциальные уравнения — обыкновенные и в частных производных.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x ˙₁ = f ₁ (x ₁ ,x ₂ ,...,x_n ),

x ˙₂ = f ₂ (x ₁ ,x ₂ ,...,x_n ), (2.1)

.

Ее правые части не зависят явно от времени t , это и есть свойство автономности. Если при любых начальных данных x ₀₁ ,x ₀₂ ,...,x _0n задача Коши для системы (2.1) с начальными условиями

x ₁ (0) = x ₀₁ , x ₂ (0) = x ₀₂ , ..., x_n (0) = x _0n (2.2)

имеет, и притом единственное решение x ₁ (t ),x ₂ (t ),...,x_n (t ), определенное для всех t ∈ R (или хотя бы всех t ≥ 0), то определен эволюционный оператор N^t : Rⁿ → Rⁿ , который начальной точке x ₀ = (x ₀₁ ,x ₀₂ ,...,x _0n ) ставит в соответствие значение решения x (t ) = (x ₁ (t ),x ₂ (t ),...,x_n (t )) в момент времени t для каждого t ∈ R . Таким образом, решение x (t ) определяется равенством

x (t ) = N^t x ₀ . (2.3)

Решение дифференциального уравнения — это и есть движение определяемой им динамической системы.

Необходимо подчеркнуть, что предположение о глобальной однозначной разрешимости задачи Коши (2.1)–(2.2), которое необходимо для того,

Автономные дифференциальные уравнения

чтобы определить эволюционный оператор N^t , для каждой данной системы приходится проверять отдельно, и это зачастую оказывается нелегкой задачей. Все общие теоремы в теории дифференциальных уравнений говорят лишь о локальной разрешимости задачи Коши. Более того, можно утверждать, что глобальная разрешимость — существование решения, при любых начальных данных определенного для всех t , — является исключительным свойством системы дифференциальных уравнений. Подробнее об этом говорится в следующем разделе, здесь лишь замечу, что априорные оценки решений, которые необходимы для доказательства глобальной разрешимости, справедливы и могут быть получены лишь благодаря специальным свойствам системы. Таковыми являются основные законы физики — закон сохранения энергии, другие законы сохранения (момента, количества движения), второе начало термодинамики — закон возрастания энтропии и т.д.

Понятие эволюционного оператора весьма полезно в теории, но нам приходится с ним работать, не имея для него, как правило, никаких аналитических формул и представлений.

Заметим, что задание эволюционного оператора определяет соответствующее ему дифференциальное уравнение. Действительно, система (2.1) может быть записана как векторное дифференциальное уравнение

x ˙ = F (x ). (2.4)

Ее правая часть есть векторное поле на пространстве Rⁿ , определяемое равенством

F (x ) = (f ₁ (x ₁ ,...,x_n ),f ₂ (x ₁ ,...,x_n ),...,f_n (x ₁ ,...,x_n )). Начальное условие (2.2) записывается в виде

x (0) = x ₀ . (2.5)

Если N^t : Rⁿ → Rⁿ есть эволюционный оператор, то решение задачи Коши (2.4)–(2.5) может быть представлено в виде (2.3). Подстановка (2.3) в (2.4) дает равенство

, (2.6)

справедливое для всех x ₀ ∈ Rⁿ . Но это значит, что x ₀ можно опустить и записать равенство для операторов

. (2.7)

В.И. Юдович. Математические модели естественных наук

Справа стоит композиция операторов F и N^t :

.

Разумеется, существование производной по времени в (2.6) предполагается.

Оператор N^t обратим, и его обратный есть (N^t )⁻¹ = N ^−t . «Умножая» равенство (2.7) на N ^−t справа, выводим

. (2.8)

Это значит, что для любого x ∈ Rⁿ

(2.9)

Остается еще заметить, что левая часть здесь от t не зависит, значит, не зависит от t и правая часть. Таким образом, можно положить, например, справа t = 0. Получается выражение для векторного поля F через эволюционный оператор N^t

(2.10)

для любого x ∈ Rⁿ .

В случае линейного пространства, каковым является Rⁿ , векторы естественным образом отождествляются с точками, а векторные поля с отображениями, поэтому можно считать, что F — оператор, действующий в Rⁿ . Оператор (векторное поле) F , определяемый равенством (2.10), называется генератором или инфинитезимальным оператором однопараметрической группы {N^t }.

Мы видим, что даже гладкое векторное поле F может и не определять эволюционный оператор (если нет глобальной разрешимости), но если уж определяет, то однозначно — теорема единственности решения задачи Коши, конечно, имеет место для гладких векторных полей. С другой стороны, задание эволюционного оператора однозначно определяет его генератор — векторное поле F .

Значение дифференциальных уравнений, для которых нет единственности решения задачи Коши, в естествознании пока неясно. Иногда (как в задаче об ударных волнах в газе) неединственность просто означает, что мы пропустили некоторые условия. После того, как эти условия введены

3 О глобальной разрешимости задачи Коши и единственности решения

(в задаче об ударных волнах это условие Ренкина-Гюгонио на скачке), отбирается уже единственное решение. Встречается и такая ситуация, когда единственности решения задачи Коши нет при некоторых начальных данных, а при других она, возможно, есть.

Пожалуй, в задачах естествознания мы еще не встречались с эволюционными задачами, для которых нет единственности решения. Исключительные, и до сих пор не преодоленные, трудности в доказательстве единственности решения основных начально-краевых задач гидродинамики несжимаемой жидкости привели довольно многих исследователей к гипотезе о том, что теорема единственности здесь и не справедлива. Лично я в это не верю, и много лет выдерживаю споры по этому вопросу с другими математиками. Но допустим, что в какой-нибудь задаче естествознания такая ситуация встретится. Что бы это могло означать? Необходимость перехода к вероятностному описанию? Признание за системой некоторой свободы воли? Будущее покажет. Я думаю, действительно, покажет, потому что такие системы, наверное, еще появятся в математической физике. Так уже не раз бывало, что математические абстракции и (кажущиеся) патологии реализовывались в физике. Пример тому — канторовы множества , которые Георг Кантор ввел в своих весьма абстрактных исследованиях первоначально лишь для того, чтобы глубже понять взаимоотношение между такими понятиями, как мощность и мера множества. А в настоящее время канторовы множества появляются, например, едва ли не в каждой статье журнала “Physica D”.

3. О глобальной разрешимости задачи Коши и

единственности решения

Сейчас я собираюсь напомнить некоторые основные результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы особо сконцентрируем внимание на результатах, касающихся теорем единственности и существования решения задачи Коши, которые в общем Вам известны, но, возможно, оставались в тени. Замечу сразу, что положение с теоремами существования и единственности решения задачи Коши далеко не так благополучно, как это может показаться при чтении учебника.

Речь пойдет о задаче Коши для векторного дифференциального уравнения

x ˙ = F (x,t ) (3.1)

в пространстве Rⁿ с начальным условием

. (3.2)

Уравнение (3.1) можно записать в виде системы n скалярных уравнений, а начальное условие (3.2) — в виде n скалярных равенств. Когда выбран стандартный базис e ₁ = (1, 0,..., 0), e ₂ = (0, 1,..., 0),...,e_n =

где f ₁ ,f ₂ ,...,f_n — компоненты векторного поля F , зависящего от времени.

Обычно предполагается, что поле F непрерывно по совокупности переменных x,t в некоторой области пространства Rⁿ ×R = R^{n +1} , для краткости будем дальше предполагать, что поле F задано на всем пространстве R^{n +1} , т.е. для всех x ∈ Rⁿ и t ∈ R .

Замечу, что определение производной x ˙ по скалярному аргументу не требует привлечения базиса. Для любого банахова пространства X производная x ˙(t ) от вектор-функции x скалярного аргумента t ∈ R по t определяется равенством:

. (3.4)

Предел в этом равенстве, вообще говоря, можно понимать по-разному — возможны различные определения производной. Если это предел по норме пространства X , получается сильная производная . В конечномерном случае все нормы эквивалентны, так что понятие сильной производной не зависит от выбора нормы, например, ее можно считать евклидовой. Если рассматривать слабую сходимость, получится понятие слабой производной ; имеется даже, вообще говоря, два типа слабой сходимости. В конечномерном случае все эти виды сходимости совпадают — имеется по существу лишь одно понятие сходимости последовательности элементов и, соответственно, лишь одно понятие производной. Замечу еще, что при выбранном базисе сходимость в конечномерном пространстве есть покоординатная сходимость (должна сходиться последовательность первых координат, последовательность вторых координат и т.д.); к тому же понятие сходимости в конечномерном пространстве не зависит и от выбора базиса.

Общие теоремы существования решения задачи Коши (3.1)–(3.2) носят локальный характер. Это означает, что гарантируется лишь существование решения, определенного на некотором интервале (r ₁ ,r ₂ ), где r ₁ < 0, r ₂ > 0, содержащем начальный момент t = 0. Никак нельзя забывать (многие все-таки забывают ...), что по самому своему определению, решение дифференциального уравнения есть вектор-функция со значениями в X , определенная на интервале (именно на интервале, а не на каком-либо ином множестве!) (r ₁ ,r ₂ ), где −∞ ≤ r ₁ < 0 и r ₁ < r ₂ ≤ +∞. Как раз случай, когда r ₁ = −∞ и r ₂ = +∞ — самый хороший, это случай глобальной разрешимости.

Теорема Пеано. Пусть X — конечномерное банахово пространство, и F — непрерывная вектор-функция со значениями в X. Тогда для любого x ₀ ∈ X существует, по крайней мере, одно решение задачи Коши ( 3.1)–( 3.2), определенное на некотором интервале

(r ₁ ,r ₂ ).

Разумеется, r ₁ и r ₂ зависят от поля F , от выбора начального момента времени (вместо t = 0 можно было бы написать t = t ₀ ) и от начального значения x ₀ .

В условиях этой теоремы единственность решения нельзя гарантировать — даже в простейшем случае одного скалярного дифференциального уравнения нетрудно привести примеры неединственности. Классический_√

пример: x ˙ = ³ x , x (0) = 0.

Интересно еще поставить вопрос о том, насколько типична неединственность. Пример автономного скалярного дифференциального уравнения x ˙ = f (x ) оказывается здесь дезориентирующим. Для этого уравнения задача

Коши в случае, когда f (x ₀ ) 6= 0, имеет единственное решение при одном лишь условии непрерывности функции f . Вместе с тем, при f (x ₀ ) = 0 определенные условия регулярности — условие Липшица или условие Осгуда (см. ниже) — оказываются по сути необходимыми. Весьма неожиданным было открытие польского математика Владислава Орлича, который установил, что и для скалярного неавтономного уравнения x ˙ = f (x,t ) с непрерывной функцией f и для векторного дифференциального уравнения (3.1) типична единственность. В пространстве всевозможных непрерывных на всей плоскости (x,t ) функций f множество тех функций, для которых имеется хотя бы одна точка неединственности (x ₀ ,t ₀ ), имеет первую категорию в пространстве непрерывных функций, заданных на плоскости. Сходимость последовательности f_n (x,t ) в этом пространстве определяется как равномерная сходимость на каждом компактном множестве плоскости R ² (x ₀ называется точкой неединственности, если задача Коши для данного уравнения с начальным условием x (t ₀ ) = x ₀ имеет более одного решения).

Напомню, что множество первой категории определяется тем условием, что оно представимо в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Это одно из формальных определений «пренебрежимо малого» множества. Другие определения основываются на понятиях мощности, размерности, либо меры и вероятности. Подробнее о множествах первой и второй категории можно прочитать в любой книжке по теории функций вещественного переменного, например, [38], [1] или [30]. Множество называется множеством второй категории, если его дополнение в пространстве имеет первую категорию. Таким образом, множество второй категории — это массивное, большое множество, заполняющее подавляющую часть всего пространства (боюсь говорить «почти все» пространство, потому что этот термин захвачен теорией меры).

Хотя результат Орлича показывает, что гладкость функции f имеет мало отношения к единственности решения задачи Коши (или поля F ), все известные теоремы единственности основываются на тех или иных условиях некоторой регулярности функции f по переменной x .

Теорема единственности. Пусть, в дополнение к условиям теоремы Пеано, поле F удовлетворяет условию Липшица:

|F (x ⁰ ,t ) − F (x ⁰⁰ ,t )| ≤ L |x ⁰ − x ⁰⁰ |

с некоторой константой L > 0, хотя бы в некоторой окрестности начальной точки t = 0, x = x ₀ в R × X . Тогда решение задачи Коши

( 3.1)–( 3.2) единственно.

Напомню, что решения x ⁽¹⁾ (t ) и x ⁽²⁾ (t ) не считаются различными, если они совпадают в пересечении их интервалов определения. Немного усилил эту теорему единственности американский математик Осгуд, который установил, что условие Липшица можно заменить условием Осгуда

|F (x ⁰ ,t ) − F (x ⁰⁰ ,t )| ≤ _ω (|x ⁰ − x ⁰⁰ |), (3.5)

где ω(s ) — функция одной переменной, заданная для малых положительных s , принимающая положительные значения при s > 0 и такая, что удовлетворяет условию

. (3.6)

Верхний предел здесь несущественен. Легко заметить, что при ω(s ) = Ls , условие Осгуда превращается в условие Липшица. Если же взять ω(s ) = Ls ^α при 0 < α < 1, то условие Осгуда нарушается — и в самом деле, можно указать такие уравнения, для которых единственности нет. Это отнюдь не означает, что условие Осгуда необходимо для единственности — для уравнения в упражнении 5 оно нарушено, а единственность, тем не менее, имеет место.

Интересно еще заметить, что если уж задача Коши для уравнения (3.1) имеет более одного решения, то на самом деле существует целое непрерывное семейство решений, образующее континуум (связное компактное множество), называемый интегральной воронкой . Это — теорема Кнезера, см. [49].

Глобальная разрешимость. Теорема об альтернативе глобальной разрешимости. Простейшие примеры показывают, что для многих дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, по крайней мере, некоторые решения невозможно продолжить на всю вещественную ось времени или даже на полуось t ≥ 0. Более того, такую ситуацию следует считать типичной.

Проведите такой эксперимент. Введите в любую стандартную программу для решения систем дифференциальных уравнений «какую попало» систему, скажем 2-го или 3-го порядка или даже скалярное дифференциальное уравнение — используйте для написания правых частей полиномы, экспоненты, тригонометрические функции и т.д. Задайте начальные данные (тоже «какие попало»). Берусь предсказать результат такого эксперимента. Решение за конечное время уйдет на бесконечность, и вычисления остановятся. Ну, может быть (это очень невероятно), решение выйдет на некоторое равновесие. Тогда измените начальные данные, и решение уйдет на бесконечность.

В известной мне литературе нет строгих теорем о том, что отсутствие глобальной разрешимости, наличие взрывающихся решений является типичным. Некоторые такие теоремы, правда, довольно частного характера, мне известны, и я рассказывал о них в лекциях. Думаю, что исследование общих условий глобальной разрешимости эволюционных задач для различных классов дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных (а также и интегро-дифференциальных уравнений) представляет собой актуальную и многообещающую область исследования.

Особенно интересно связать глобальную разрешимость с фундаментальными законами физики. Я даже думаю, что само по себе требование глобальной разрешимости является одним из наиболее фундаментальных физических законов. Если будет развита соответствующая математическая теория, то можно ожидать, что некоторые физические законы окажутся следствием постулата глобальной разрешимости.

Здесь ограничусь лишь одним примером для иллюстрации этой общей идеи. Рассмотрим скалярное дифференциальной уравнение с полиномиальной правой частью

x ˙ = P (x ), P (x ) = a ₁ x + a ₂ x ² + ··· + a_n xⁿ , (3.7)

здесь a ₁ , a ₂ , ...,a_n — вещественные постоянные. Тогда (докажите это!) для глобальной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы этот полином был линейным, то есть, чтобы выполнялись равенства a ₂ = a ₃ = ··· = a_n = 0. Иными словами, когда это условие не выполнено, при некоторых начальных данных решение уходит на бесконечность (на самом деле, либо для всех начальных значений x (0), либо для значений на некотором луче). Можно сказать, что пространство параметров a ₁ ,a ₂ ,...,a_n есть Rⁿ , и каждому уравнению (3.7) отвечает точка этого пространства. Так вот, глобально разрешимым уравнениям отвечает прямая в Rⁿ — «очень тощее» множество. Его коразмерность есть n − 1.

Есть еще интересный и не слишком хорошо изученный класс дифференциальных уравнений, для которого почти все начальные данные (то есть все, за исключением множества лебеговой меры ноль) отвечают решениям, определенным на всей полуоси t ≥ 0 (или даже для всех t ). Интересные результаты о таких уравнениях имеются в работе А.Я. Повзнера [36]. В этой статье приведен довольно громоздкий пример такой системы уравнений, для которой, действительно, глобально продолжимы почти все (но не все) решения. Вот простой пример. Рассмотрим комплексное дифференциальное уравнение

z ˙ = z ² . (3.8)

Его решение с начальным условием z (0) = z ₀ есть

. (3.9)

Очевидно, что для невещественных z ₀ решение (3.9) определено для всех t . Если же z ₀ — вещественно, то при z ₀ > 0 решение (3.9) можно определить лишь на интервале , а если z ₀ < 0, то лишь на интервале . Замечу, что комплексное уравнение (3.8) эквивалентно (положим ) системе второго порядка

x ˙ = x ² − y ² , y ˙ = 2xy.

Выходит, что глобально продолжимы все решения этой системы кроме тех, которые отвечают начальным точкам (x ₀ , 0), x ₀ 6= 0.

Очень интересно было бы исследовать общие классы систем уравнений с аналогичным поведением решений, для которых глобально продолжимы все решения, начинающиеся вне некоторого множества положительной коразмерности. О таких уравнениях, пожалуй, почти ничего сейчас неизвестно.

Во всех учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям после доказательства классических теорем существования и единственности решения задачи Коши следует обсуждение вопроса о возможности продолжить решение на больший интервал. Обычно, однако, это обсуждение остается как-то в тени. Я сейчас сформулирую основную теорему об альтернативе глобальной разрешимости задачи Коши. Представим себе, что мы применяем метод рассуждения от противного. Мы произносим фразу: допустим, что решение невозможно продолжить на всю полуось t ≥ 0. Что делать дальше? Следующая теорема подсказывает нам план дальнейших действий.

Теорема1(обальтернативеглобальнойразрешимости). Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения в Rⁿ

x ˙ = F (x,t ), x (0) = x ₀ . (3.10)

Предположим, что выполнены условия классических теорем существования и единственности: F — непрерывная вектор-функция, заданная для всех (x,t ) ∈ Rⁿ × R , и существуют непрерывные про-

изводные .

Тогда для решения x (t ) имеется лишь две возможности: 1) решение x (t ) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0; 2) существует t ⁺ _∗ > 0 такое, что |x (t )| → ∞ при t → t ⁺ _∗ .

Конечно, аналогичный результат справедлив и для задачи продолжения решения на отрицательную полуось: если решение x (t ) нельзя продолжить на всю полуось t ≤ 0, то найдется t ⁻ _∗ < 0 такое, что что |x (t )| → ∞ при

.

Областью определения решения x (t ) может быть либо вся ось t , либо полуось, либо интервал , либо полуинтервал. Можно объединить все эти случаи, условившись полагать в случае, когда решение продолжимо на всю положительную полуось, и , когда решение продолжимо на всю отрицательную полуось.

Явление ухода решения на бесконечность за конечное время называется коллапсом или взрывом .

Согласно теореме об альтернативе, для доказательства глобальной разрешимости достаточно исключить взрыв, коллапс. А это значит, что необходимо доказать априорную оценку : предполагая, что решение существует и определено, скажем, для всех t ≥ 0, то есть нужно установить, что для него верна оценка

|x (t )| ≤ M (t ), (3.11)

где M (t ) — некоторая непрерывная функция. Не воспрещается даже, чтобы функция M (t ) была неограниченной на луче t ≥ 0. Важно, что априорная оценка (3.11) исключает взрыв, тогда согласно теореме, решение x (t ) определено для всех t ≥ 0.

Обратите внимание на изысканную логику применяемого здесь рассуждения: мы предполагаем , что решение на [0, +∞) существует и доказываем, что тогда для него выполняется оценка (3.11). А отсюда по теореме следует, что решение и в самом деле существует. К тому же иногда функция M (t ) нам в явном виде неизвестна, но оказывается возможным доказать, что она существует. Заметим еще, что в теореме речь идет о конкретном решении x (t ), соответственно, функция M (t ) определяется для этого решения.

Возможно, Вы помните из общего курса, что есть все-таки один очень важный класс систем дифференциальных уравнений (векторных дифференциальных уравнений), для которого имеет место глобальная разрешимость задачи Коши. Это линейные дифференциальные уравнения вида

x ˙ = A (t )x, (3.12)

в Rⁿ или, вообще, в конечномерном банаховом пространстве X . Здесь A (t ) — непрерывная по t оператор-функция: A (t ) : X → X есть линейный оператор для каждого t ∈ R . В случае конечномерного пространства X все линейные операторы непрерывны. Результат о глобальной разрешимости сохраняется и в случае бесконечномерного пространства X , если A (t ) для каждого t есть линейные оператор, а оператор-функция A (t ) непрерывна по t в смысле нормы оператора (доказательство можно найти, например, в книге [11]).

На самом деле, суть не в линейности дифференциального уравнения, а в том, что векторное поле на бесконечности растет не слишком быстро — разрешается не только линейный рост, но даже и чуть-чуть более сильный. При таких условиях удается непосредственно получить нужные априорные оценки. Об этом говорят следующие две теоремы. Сразу, однако, замечу, что уже степенной рост более быстрый, чем линейный, скажем, |x |^{1+ ε} , ε > 0, может (хотя, конечно, не обязательно) привести к коллапсу решений.

Теорема2. РассмотримзадачуКошидлядифференциальногоуравнения в Rⁿ

x ˙ = F (x,t ), x (0) = x ₀ . (3.13)

Пусть снова выполнены условия классических теорем существования и единственности: F — непрерывная вектор-функция, заданная для всех (x,t ) ∈ Rⁿ × R , и существуют непрерывные производ-

ные .

Предположим, что выполнена следующая оценка

|F(x,t)| ≤ m(t)|x|, (3.14)

для всех x ∈ Rⁿ , t ≥ 0 (достаточно потребовать, чтобы неравенство ( 3.14) выполнялось для всех x вне некоторого шара, скажем, при |x | ≥ a ). Здесь m (t ) — непрерывная функция, определенная для t ≥ 0.

Тогда всякое решение задачи Коши ( 3.13) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0.

Доказательство. Предположим, что задача Коши (3.13) имеет решение x (t ). Подставим его в уравнение (3.13). Умножая полученное равенство скалярно на x (t ), получим

. (3.15)

Дальше, ради краткости, вместо x (t ) будем писать x , а вместо |x |² — x ² . Применяя для оценки правой части неравенство Коши-Буняковского, а затем условие теоремы (3.14), получим

. (3.16)

Это известное Вам дифференциальное неравенство. Следующее рассуждение носит довольно общий характер, повторяя в нашем конкретном случае лемму Гронуолла (см. [49]).

Умножим (3.16) на . Тогда это неравенство перепишется в эквивалентной форме

. (3.17)

Интегрируя по времени, с учетом начального условия (3.13) получим

t

2^R m (s )ds

|x (t )|² ≤ |x ₀ |² e ⁰ (3.18)

или t

^R m (s )ds

def

|x (t )| ≤ |x ₀ |e ⁰ = M (t ). (3.19)

Итак, мы доказали априорную оценку (3.19). Поэтому коллапс невозможен. Осталось сослаться на теорему об альтернативе, и доказательство окончено.

Теорема 3. Пусть вместо условия ( 3.14) выполняется (хотя бы при больших |x |) неравенство

|F(x,t)| ≤ m(t)ϕ(|x|), (3.20)

где m (t )— непрерывная на луче t ≥ 0 функция, а функция ϕ(s ) определена для s ≥ 0 и удовлетворяет условию

, (3.21)

нижний предел можно поставить какой угодно.

Тогда сохраняется утверждение теоремы 2: всякое решение задачи задачи Коши ( 3.13) можно продолжить на всю полуось t ≥ 0.

Это так называемая теорема Хартмана-Уинтнера (см. книгу Ф. Хартмана [49]), достаточно тривиальная. Доказывается она в основном так же, как теорема 2, думаю, Вы справитесь с этим сами.

Можно сказать, что доказательства теорем 2 и 3 носят «силовой» характер, потому что они основываются на непосредственных и грубых оценках правых частей уравнений. Ограничения, принятые в этих теоремах, очень сильны, очень строги и не часто выполняются. Для большинства наиболее важных нелинейных систем правые части на бесконечности растут степенным образом (скажем, как |x |² или |x |³ ), а то и экспоненциально. Пожалуй, в приложениях помимо линейных уравнений, теорема 2 применяется еще к уравнениям и системам с ограниченными правыми частями. Например, из нее следует глобальная разрешимость для уравнения математического маятника x ¨ + _ω ² sinx = 0.

В упражнениях Вы найдете примеры систем уравнений, для которых априорные оценки решений и глобальную разрешимость задачи Коши можно вывести более тонкими приемами, с использованием их специфических свойств.

Упражнения

1. Докажите, что для скалярного уравнения

x ˙ = a ₁ x + a ₂ x ² + ...a_n xⁿ

(a ₁ ,...,a_n — вещественные параметры) глобальная разрешимость на всей оси времени имеет место тогда и только тогда, когда a ₂ = a ₃ = ... = a_n =

0.

Докажите также, что при n > 1 и a_n 6= 0 глобальная разрешимость для положительных времен t ≥ 0 имеет место в том и только в том случае, когда n — нечетно, и при этом a_n < 0.

2. Найдите априорную оценку решения и докажите глобальную разрешимость задачи Коши для уравнения в Rⁿ

x ˙ = F (x,t )

с ограниченной правой частью: задана оценка |F (x,t )| ≤ M (t ), где M (t ) — известная функция, определенная для всех t ∈ R , а x ∈ Rⁿ — произвольная точка.

3. Докажите, что если потенциальная энергия V (x ) ограничена снизу (так что V (x ) ≥ h для всех x ∈ Rⁿ при известной постоянной h ), то для обобщенного уравнения 2-го закона Ньютона

x ¨ = −grad V (x )

справедлива теорема о глобальной разрешимости. Сохраняется ли этот результат после введения внешней силы F (t ) — для уравнения

x ¨ = −grad V (x ) + F (t ).

4. Рассмотрите скалярное уравнение

при V (x ) = ax^m . При каких a и m возможен коллапс?

5. Приведите пример уравнения вида x ˙ = F (x ) на плоскости R² такого, что поле F (x ) непрерывно, ни в одной точке не имеет производной, не удовлетворяет условию Осгуда, но тем не менее решение задачи Коши существует и единственно.

6. Найдите и нарисуйте интегральную воронку решений задачи Коши

√ x ˙ = ³ x, x (0) = 0.

7. Возможно ли, что единственность решения имеет место для отрицательных t и ее нет для положительных t (присмотритесь к предыдущему примеру).

8. Доказать, что для скалярного уравнения

с начальным условием x (0) = x ₀ в случае коллапса при t = t _∗ > 0 решение x (t ) стремится к бесконечности определенного знака, то есть либо x (t ) → +∞, либо x (t ) → −∞ при t → t _∗ − 0.

4. Динамические системы с дискретным временем

Динамической системой с дискретным временем называется пара (X,N ), где X — метрическое пространство, N : X → X — отображение этого пространства в себя.

Движением этой системы с начальной точкой x ₀ называется последовательность

x ₀ , x ₁ = Nx ₀ , x ₂ = Nx ₁ = N ² x ₀ , ..., x_n = Nⁿ x ₀ . (4.1)

Множество {x_n }, n = 0, 1,... называется положительной полутраекторией, определенной начальной точкой x ₀ . Выполняются следующие равенства

N ⁰ = I, N^{m +n} = N^m Nⁿ . (4.2)

Первое из них — обычное определение, а второе выражает закон ассоциативности для композиции отображений.

Нетрудно видеть, что это тот же закон причинности (1.4), но записанный не для произвольных t,s ∈ R , а лишь для их неотрицательных целочисленных значений t = m , s = n . Если N — обратимое отображение, то

можно считать, что равенство (4.2) выполнено для всех целых m,n ∈ Z . В этом случае можно определить точки x_n = (N ⁻¹ )^{|n |} x ₀ . Множество {x_n }, n = 0, ±1, ±2,... называется траекторией . Очевидно, траектория определяется любой своей точкой, в частности точкой x ₀ .

Заметим, что множество операторов {I,N,N ² ,... } есть полугруппа. В случае, когда оператор N обратим, ее можно расширить до группы {Nⁿ }, n = 0, ±1, ±2,... .

Каскады и потоки. Динамическую систему с дискретным временем называют также каскадом , в отличие от динамической системы с непрерывным временем, у которой есть еще название поток . Оба названия весьма выразительны, хотя термин «каскад» не всеми принят. Если рассматривается автономное дифференциальное уравнение x ˙ = F (x ) в Rⁿ , то всегда полезно представить себе, что F есть поле скорости текущей жидкости. Это значит, что в точке x ∈ Rⁿ задана скорость течения, хотя в этой точке появляются все время новые частицы жидкости. Если хотим проследить за движением той частицы жидкости, которая в начальный момент t = 0 находилась в точке x ₀ ∈ Rⁿ , то для этого нужно решить задачу Коши с начальным условием x (0) = x ₀ . Тогда решение x (t ) = N^t x ₀ дает положение этой жидкой частицы в момент t .

Сейчас мы рассмотрим пути возникновения динамических систем с дискретным временем. Во-первых, динамические системы с дискретным временем (каскады) возникают при квантизации динамических систем с непрерывным временем (потоков). Во-вторых, в ряде случаев (в частности, в экологии) уже исходные математические модели оказываются динамическими системами с дискретным временем. В-третьих, рассматривая периодические дифференциальные уравнения, можно, а зачастую и полезно, перейти к рассмотрению решений лишь в точках np , кратных периоду p , что приводит к динамической системе с оператором монодромии . И, наконец, в-четвертых, динамические системы с дискретным временем возникают при исследовании автономных систем, для которых удается найти поверхность Пуанкаре и построить отображение Пуанкаре .

Квантизация. Случается, что, рассматривая динамическую систему с непрерывным временем, мы желаем сократить объем информации, с которой имеем дело (храним, обрабатываем, пересылаем) и фиксировать состояние системы лишь в дискретные моменты времени, скажем, только для t = nT , где T > 0 фиксировано. Так мы поступаем, например, составляя таблицы (T — шаг таблицы) решений дифференциальных уравнений. Так поступают и руководящие организации, запрашивая отчеты лишь ежегодно (T = 1 год), а не в каждый момент времени. Вместо x (t ) = N^t x ₀ мы в этом случае рассматриваем лишь последовательность x_n = x (nT ) = N^nT x ₀ . Таким путем приходим к динамической системе с дискретным временем (X,N^T ) с тем же пространством X и отображением N^T .

Математические модели с дискретным временем. Иногда исходная математическая модель для описания данного явления уже оказывается системой с дискретным временем. Таковы многие модели экологии и генетики. Ограничусь здесь одним примером. Рассмотрим изменение численности популяции бабочек. Будем характеризовать величину популяции в n -м поколении, скажем, ее биомассой x_n ; ясно, что x_n — неотрицательное число (x_n ≥ 0). Когда популяция развивается беспрепятственно, действует закон Мальтуса

x_{n +1} = bx_n . (4.3)

Здесь b > 0 — параметр, характеризующий популяцию.

Таким образом, мы приходим к рассмотрению динамической системы (R ₊ ,N ), где неотрицательная полуось R ₊ есть пространство динамической системы, а N : R ₊ → R ₊ — отображение, определяемое равенством

Nx = bx. (4.4)

Если в начальный момент n = 0 (дискретного времени n ) величина популяции есть x ₀ , то по рекуррентной формуле (4.3) непосредственно получаем

x_n = bⁿ x ₀ . (4.5)

Если b > 1, то x_n → ∞ при n → ∞. Если b = 1, то x_n = x ₀ для всех n , популяция не меняется со временем. Если b < 1, то x_m → 0, популяция вымирает. Теперь понятно, почему b называется параметром жизненной силы данной популяции.

Закон Мальтуса (4.3) достаточно хорошо описывает развитие не только популяции бабочек, но и вообще эволюцию всякой популяции в условиях практически неограниченного запаса питания и отсутствия сопротивления внешней среды (хищников, загрязнения среды, самоотравления популяции продуктами ее жизнедеятельности). Я говорю о бабочках, потому что для них характерно, что все особи n -го поколения погибают, рождая (n + 1)е поколение; рост может оказаться еще быстрее, чем экспоненциальный, если часть особей n -го поколения продолжает жить одновременно с (n + 1)–м, (n + 2)–м и последующими поколениями.

Часто говорят, что для проверки условий применимости данной математической модели нужно рассмотреть ее как частный случай более общих моделей. Это не совсем так. Иногда модель сама громко заявляет о своей неприменимости. С одним примером мы уже встретились раньше. Если решение x (t ) дифференциального уравнения испытывает коллапс, |x (t )| → ∞ при t → t _∗ , то ясно, что при t ≥ t _∗ (а на самом деле даже раньше) модель становится неприменимой для описания дальнейшей эволюции. Закон Мальтуса при b > 1 дает другой пример. Авторы популярных книг любят приводить подсчет роста популяций бабочек, или кроликов в n -м поколении и отсюда выводить, что очень скоро такая популяция заполнит всю Землю, или что ее масса станет больше массы Солнца. Такие выводы, очевидно, решительно противоречат реальности. Это означает, что для описания дальнейшего развития популяции модель должна быть изменена.

Один из простейших способов хоть как-то учесть сопротивление внешней среды развитию популяций был предложен Ферхюльстом [66] и состоял в том, что в уравнение Мальтуса добавлялось квадратичное слагаемое. После введения надлежащих масштабов измерения (максимально возможный размер популяции принимается за 1) получается динамическая система (X,N ), где X = [0, 1], а отображение N задается равенством

Nx = bx (1 − x ). (4.6)

Требование, чтобы для всякого x ∈ [0, 1] его образ Nx также принадлежал [0, 1], приводит к ограничению на параметр жизненной силы 0 ≤ b ≤ 4. Теперь получается, что

x_{n +1} = bx_n (1 − x_n ). (4.7)

С ростом n выражение для x_n (через x ₀ ) по этой рекуррентной формуле сильно усложняется. Чрезвычайно усложняется и поведение величин x_n .

Сейчас мы обсудим некоторые общие вопросы о поведении движений, а затем вернемся к нашим бабочкам.

Поведение движений динамической системы на больших временах. Вообще, когда мы изучаем динамическую систему, будь то поток или каскад, наиболее интересен вопрос: что происходит при неограниченно возрастающем времени (при t → +∞ или при n → +∞)?

Простейший вариант — когда последовательность x_n имеет предел: x_n → x _∗ . Переходя к пределу в равенстве

x_{n +1} = Nx_n (4.8)

и учитывая, что x_{n +1} → x _∗ , заключаем, что x _∗ — неподвижная точка отображения N :

Nx _∗ = x _∗ . (4.9)

Когда мы строим последовательность x_n по формуле (4.8), то по существу как будто бы пытаемся решить уравнение (4.9) методом итераций. Итерации могут, конечно, и не сходиться. Как ведет себя тогда последовательность x_n ? Бывает, что движение x_n стремится к циклу некоторого периода p . Циклом динамической системы (X,N ) или циклом отображения N : X → X называется инвариантное множество {x ¹ ,x ² ,...,x^p } (заметьте, что уже по смыслу слова «множество» все точки эти различны), для точек которого верно равенство

N p x j = x j ,

но если взять N в меньшей степени k < p , то N^k x^j 6= x^j ни для какого j . Например, если имеется три различные точки x ¹ ,x ² ,x ³ и выполняются равенства Nx ¹ = x ³ , Nx ³ = x ² , Nx ² = x ¹ , то это означает, что множество {x ¹ ,x ² ,x ³ } есть цикл периода 3. Заметьте, что определение периода цикла для отображений отличается от обычного определения периода функции скалярного аргумента — здесь в определение включается требование минимальности числа p , а в случае функций — нет. Например, правильно будет сказать, что функция sinx , наряду с периодом 2π, имеет периоды 4π, 6π,... , а у цикла отображения есть только один период.

Вообще, подмножество Y в X называется инвариантным множеством динамической системы (X,N ) или отображения N , если оно переводится отображением N в себя, так что N (Y ) ⊂ Y . Это означает, что для любого x ∈ Y и его образ Nx ∈ Y . В этом случае можно рассмотреть сужение отображения N и ввести в рассмотрение новую динамическую систе-

му .

Движение динамической системы может стремиться и к более сложному множеству, чем цикл. Например, даже для простого квадратичного отображения (4.6) случается, что движения стремятся к канторову множеству (это было доказано моими учениками Ю. С. Барковским и Г.М. Левиным (1980) и одновременно польским математиком Мисюревичем).

Но, конечно, бывает и так, что движение x_n уходит на бесконечность.

Надо сказать, что достаточно удивительным образом движения каскадов могут быть сложнее, чем движения потоков. Например, как Вы знаете из теории дифференциальных уравнений, поведение решений скалярного автономного уравнения x ˙(t ) = f (x ) очень просто: всякое решение x (t ), скажем, при t > 0, либо 1) уходит на бесконечность за конечное время, либо 2) x (t ) → +∞ (−∞) при t → +∞, либо 3) стремится к некоторому равновесию x (t ) → x _∗ при t → +∞, причем f (x _∗ ) = 0. Между тем, одномерное отображение (4.6) демонстрирует весьма сложное поведение. Заметьте, что уравнения типа (4.6) получаются из дифференциального уравнения при дискретизации, когда мы решаем задачу Коши численно, например, методом Эйлера. Такое резкое различие в качественном поведении движений лишний раз напоминает нам, как осторожно нужно относиться к выводам, полученным в результате приближенных вычислений, в особенности, когда речь идет о решении уравнений на больших промежутках времени.

Теорема Шарковского. В 1964 году советский математик А.Н. Шарковский доказал совершенно фантастическую теорему о циклах отображения прямой [51]. Довольно долго эта теорема была мало известной, и несколько американских математиков стали знамениты, доказав на десяток лет позже некоторые, наиболее простые частные случаи этой теоремы.

А.Н. Шарковский весьма изящно изложил свою теорему, введя cпециальный порядок на множестве N натуральных чисел. Для каждой пары натуральных чисел, скажем p и q , вводится соотношение p ≺ q , которое читается как “p предшествует q ”. Будем также писать и говорить, что q следует после p (можно не читать дальнейшее пояснение, если Вам понятна нижеследующая запись (4.10)). При этом первым числом считается число 3, за ним все нечетные числа, расположенные в обычном порядке возрастания. Далее следуют числа вида (4.10) (2n − 1) · 2, тоже в обычном порядке возрастания, начиная с числа 3 · 2. Затем идут все числа вида (2n − 1) · 2² , числа вида (2n − 1) · 2³ и т. д. Кончается эта последовательность числами вида 2ⁿ , но записанными в обратном порядке, так что последними оказываются числа 2³ ≺ 2² ≺ 2 ≺ 1. Ясно, что всякое натуральное число можно представить в виде произведения некоторой степени двойки и нечетного числа. В итоге, всевозможные натуральные числа располагаются в следующем порядке

3 ≺ 5 ≺ 7 ≺ 9 ≺ 11... ≺ 3 · 2 ≺ 5 · 2 ≺ ... ≺ 3 · 2² ≺ 5 · 2² ≺ ... ≺ ≺ 3 · 2³ ≺ 5 · 2³ ≺ ... 2³ ≺ 2² ≺ 2 ≺ 1.

(4.10)

Эта упорядоченность не используется при доказательстве, но позволяет сформулировать теорему в очень изящной форме.

Теорема 1 (А.Н. Шарковский, 1964). Пусть динамическая система с дискретным временем (R,T ) определяется непрерывной скалярной функцией f (x ) для x ∈ R . Отображение T : R → R определено равенством Tx = f (x ) для любого x ∈ R .

Предположим, что данная система имеет цикл периода p, тогда она также обладает циклом любого периода .

Из этой теоремы, в частности, следует, что при условии существования цикла периода 3 существуют циклы всевозможных периодов, и, в частности, неподвижная точка отображения T (цикл периода 1)! Вы сами сможете извлечь из этой теоремы другие удивительные следствия. Например, если имеется цикл периода 8, то существуют также циклы периодов 4, 2 и 1. При этом можно построить отображение, у которого нет циклов других периодов. В этом смысле теорема Шарковского точна.

Различные авторы приложили немало усилий в попытках перенести теорему Шарковского на многомерные отображения. Известные ныне аналогичные результаты относятся, однако, лишь к некоторым очень частным классам отображений. Усилия исследователей в этом направлении продолжаются.

Периодические системы и оператор монодромии. Следующими по сложности после автономных систем идут периодические системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

x ˙ = F (x,t ) (4.11)

в банаховом пространстве X . Предположим, что векторное поле F зависит от времени периодически, с периодом p > 0

F (x,t + p ) ≡ F (x,t ). (4.12)

Поставим для этого уравнения задачу Коши с начальным условием

x (0) = a. (4.13)

Предположим, что для любого a ∈ X существует единственное решение x (t ) задачи (4.11)–(4.13), определенное для t ∈ [0,p ]. Это означает, что существует оператор монодромии M_p : X → X , определяемый равенством

M_p a = x (p ). (4.14)

Теперь понятно, что можно, и это оказывается весьма полезным, ввести в рассмотрение динамическую систему с дискретным временем (X,M_p ).

При этом фазовое пространство X остается прежним, но вместо потока мы рассматриваем отображение M_p : X → X .

Ясно, что оператор монодромии M_p получается из эволюционного оператора уравнения (4.11) при t = p , так что . (Здесь индекс 0 отвечает выбору начального момента t = 0). Очевидно также, что в моменты времени t = p, 2p,...,np , имеем . Однако переход от эволюционного оператора к оператору монодромии не есть квантизация, потому что для неавтономного уравнения (4.11) эволюционный оператор не обладает групповым свойством, не удовлетворяет принципу причинности, не порождается динамической системой. Впрочем, понятие квантизации можно естественно обобщить и на неавтономные системы. Дальше при обсуждении неавтономных дифференциальных уравнений мы рассмотрим обобщенный принцип причинности и его следствия для случая периодических дифференциальных уравнений.

В теории периодических дифференциальных уравнений переход к дискретной динамической системе оказывается весьма полезным, например, при исследовании устойчивости периодических движений. На практике оператор монодромии остается неизвестным даже для линейного периодического уравнения (4.11) и не задается какими-либо явными формулами, но его вполне можно и нужно вычислять при помощи компьютера. Многие фундаментальные свойства оператора монодромии оказывается возможным исследовать, основываясь лишь на его определении посредством дифференциального уравнения — чем и гордится математика (точнее, раздел качественной теории дифференциальных уравнений).

Отображение Пуанкаре. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение

x ˙ = F (x ) (4.15)

в Rⁿ . Предположим, что нам известна гиперповерхность S (например, заданная скалярным уравнением Φ(x ) = 0), обладающая следующим свойством (см. Рис. 1): для любой точки x ₀ ∈ S начатое от нее движение x (t ) (то есть решение задачи Коши для уравнения (4.15) с начальным условием x (0) = x ₀ ) возвращается на эту поверхность. Иными словами, существует t _∗ = t _∗ (x ₀ ) > 0 такое, что x (t _∗ ) ∈ S .

Гиперповерхность, обладающая этим свойством, называется гиперповерхностьюПуанкаре . Чаще говорят поверхностьПуанкаре , хотя формально это правильно лишь при n = 3 (поверхность двумерна, по определению).

Понятно, что движущаяся точка x (t ) вернется на поверхность S бесконечно много раз. Пусть t _∗ = t _∗ (x ₀ ) > 0 — момент первого возвращения. Отображение Пуанкаре Π : S → S определяется равенством

Πx_o = x (t _∗ ). (4.16)

Рис. 1

Таким путем мы определим динамическую систему с дискретным временем (S, Π). При этом S — ее пространство, а Π : S → S — отображение. Исследование поведения движений системы (4.15) — во всяком случае, тех, которые пересекают поверхность S — в значительной мере сводится к исследованию итераций Πⁿ отображения Пуанкаре. Если, например, x ₀ — неподвижная точка отображения Π, так что Πx ₀ = x ₀ , то соответствующее движение x (t ) — периодическое. Его период есть p = t _∗ (x ₀ ).

К сожалению, нет общего способа найти поверхность Пуанкаре для заданной автономной системы. Известны лишь различные частные приемы такого построения. Пусть, например, мы знаем p –периодическое решение x (t ) уравнения (4.15). Его траектория есть замкнутая кривая (цикл) (см. Рис. 1), стрелка, как обычно, указывает направление движения.

Выберем какую-нибудь точку x ₀ (t ) на этой траектории и проведем через нее малую площадку S , трансверсальную к циклу Γ (то есть не касательную к Γ). Если точка x ₀ ∈ S достаточно близка к x (t ₀ ), то пользуясь теоремой о непрерывности решения задачи Коши от начальных данных, нетрудно установить, что движение x (t ), начатое с точки x ₀ , вернется на поверхность S . Тем самым для таких точек x ₀ определено отображение Пуанкаре Π : x ₀ →7 Πx ₀ . Нет гарантий, правда, что итерации Πⁿ x ₀ останутся на поверхности S . Это приходится доказывать отдельно. Данное построение входит существенной составной частью в доказательства теорем об устойчивости и неустойчивости периодических автоколебательных режимов (решений уравнения (4.15)). Существенно также, что при достаточно малом возмущении цикла, скажем, вызванного малым изменением параметров задачи, та же самая площадка остается поверхностью Пуанкаре. В ряде случаев таким путем удается обнаружить новые циклы, ответвляющиеся от известного при изменении параметров.

Проблема вложения каскада в поток. Давно и довольно естественно возник вопрос, можно ли данную динамическую систему (X,N ) с дискретным временем вложить в поток, то есть получить посредством квантизации из некоторой динамической системы с непрерывным временем. Оказывается, это возможно далеко не всегда, и условия, когда это возможно, в точности неизвестны. Я сейчас расскажу о двух препятствиях к такому вложению, ограничиваясь случаем, когда X = Rⁿ .

Необратимость . Предположим, что нам удалось построить такое автономное дифференциальное уравнение x ˙ = F (x ) с гладким векторным полем F (x ) и эволюционным оператором N^t так, что при некотором шаге квантизации h получается равенство N^h = N . Но оператор N^t для каждого t обратим, значит, и N^h обратим. Об этом говорят теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Выходит, что необратимое отображение N невозможно вложить в поток. Отображение N : x 7→ bx (1 − x ) в модели популяции бабочек как раз необратимо. Потомуто так сложна определяемая им динамика на отрезке [0, 1], а для скалярных дифференциальных уравнений x ˙ = f (x ) все очень просто. Решения либо уходят на бесконечность, либо стремятся к равновесиям.

Несохранение ориентации . Всякий эволюционный оператор N^t , наряду с обратимостью, имеет еще свойство сохранять ориентацию .

Ориентацию пространства Rⁿ можно задать, фиксируя упорядоченный базис e ₁ ,e ₂ ,...,e_n этого пространства. Его мы объявляем положительным. После этого все остальные мыслимые упорядоченные базисы разбиваются на два класса следующим образом. Определим

линейный оператор J : Rⁿ → Rⁿ его действием на элементы исходного базиса, полагая для k = 1, 2,...,n . Если определитель detJ > 0, то базис назовем положительным, а при detJ < 0

— отрицательным. Очевидно, что при малых деформациях положительного базиса получается также положительный базис. Действительно, при сохранении базиса J = I , detI = 1, а при его малом изменении элементы определителя меняются мало, и строгое неравенство detJ > 0 сохраняется. Отсюда нетрудно заключить, что при непрерывном изменении положительного базиса всегда будет получаться также положительный базис, при непрерывном изменении отрицательного базиса — отрицательный.

Вообще, если подействовать линейным обратимым оператором A : Rⁿ →

Rⁿ на данный базис e ₁ ,e ₂ ,...,e_n , то получается новый базис Ae ₁ ,Ae ₂ ,...,Ae_n . Он останется положительным, если detA > 0. В этом случае мы скажем, что оператор A сохраняет ориентацию пространства Rⁿ . Если же detA < 0, то оператор меняет ориентацию: базис Ae ₁ ,Ae ₂ , ...,Ae_n будет отрицательным. Случай detA = 0, конечно, исключен, потому что оператор предполагается обратимым.

Приведу пример. Пусть n = 3, e ₁ = (1, 0, 0), e ₂ = (0, 1, 0), e ₃ =

(0, 0, 1). Если теперь провести перестановку и положить ,

, то соответствующий оператор J задается матрицей

. (4.17)

Очевидно, detJ = −1, так что базис — отрицательный.

Типичным линейным оператором, нарушающим (говорят еще, меняющим ) ориентацию, является оператор зеркального отражения, скажем, A : (x ₁ ,x ₂ ,x ₃ ) 7→ (x ₁ ,x ₂ , −x ₃ ). Его определитель detA = −1.

Мы доказали, в частности, что невозможно непрерывным движением в пространстве R ³ преобразовать правую перчатку — в левую. Этот факт очень волновал великого философа Э. Канта (не читали? почитайте!). Он даже считал, что основные законы арифметики, алгебры и геометрии являются врожденными, человек знает их от рождения. А вот для явлений, связанных с ориентацией пространства, делал исключение, считая, что они познаются лишь на опыте.

Для нелинейного гладкого отображения ϕ : Rⁿ → Rⁿ понятия сохранения и несохранения ориентации определяются лишь локально. Говорят, что отображение ϕ сохраняет ориентацию в точке x ∈ Rⁿ , если в этой точке положителен его якобиан: det _ϕ ⁰ (x ) > 0. Замечу, что производная _ϕ ⁰ (x ) — линейный оператор и в стандартном базисе e ₁ ,...,e_n задается матри-

цей Якоби .

Нетрудно доказать, что эволюционный оператор дифференциального уравнения x ˙ = F (x,t ) в Rⁿ с гладким полем F всюду сохраняет ориентацию. Действительно, чтобы установить сохранение ориентации в точке x ₀ , найдем соответствующее решение задачи Коши x (t ) = N^t x ₀ . Теперь нам нужно найти производную (N^t )⁰ (x ₀ ) и вычислить ее детерминант. Нетрудно показать, что вектор-функция u (t ) = (N^t )⁰ (x ₀ )u ₀ является решением линеаризованной на x (t ) задачи Коши

u ˙ = F_x (x (t ),t )u, u (0) = u ₀ . (4.18)

Это означает, что операции вычисления эволюционного оператора N^t и линеаризации перестановочны (Докажите это самостоятельно). Но из курса

5 Интегралы и законы сохранения

обыкновенных дифференциальных уравнений мы знаем, что для векторного линейного уравнения в Rⁿ

u ˙ = A (t )u (4.19)

справедлива формула Лиувилля. Пусть U^t — эволюционый оператор уравнения (4.19), а его определитель есть detU^t = W (t ). Это вронскиан, отвечающий фундаментальной системе решений u ₁ (t ) = U^t e ₁ , ..., u_n (t ) = U^t e_n с базисными векторами e ₁ ,...,e_n в качестве начальных данных. Тогда

t

^R spA (τ)d τ

W (t ) = W (0)e ⁰ . (4.20)

Из этой формулы Лиувилля следует, что W (t ) остается положительным для всех t , если он положителен при t = 0. Но W (t ) = 1 при t = 0, так что W (t ) > 0.

Задача (4.18) есть, конечно, частный случай задачи (4.19) при A (t ) = F_x (x (t ),t ). При этом U^t = (N^t )⁰ (x ₀ ).

Итак, мы доказали, что det(N^t )⁰ (x ₀ ) > 0 при всех t, а эволюционный оператор N^t сохраняет ориентацию.

Отсюда следует, что невозможно вложить в поток никакое отображение, которое хотя бы в одной точке меняет ориентацию пространства. Например, нельзя вложить в поток оператор зеркального отражения (см. выше).

Не удержусь от рассказа об одной проблеме, связанной с ориентацией. Вы, конечно, знаете, что современная физика еще не решила, конечна или бесконечна наша Вселенная. Ответ зависит от того, положительной или нулевой окажется средняя плотность материи во Вселенной. Между тем, точность современных измерений пока не позволяет прийти к определенному выводу. С этим связана и еще одна проблема. Если наше пространство конечно, и Вселенная представляет собой ограниченное многообразие, то встает вопрос об его ориентируемости или неориентируемости. Если оно неориентируемо, то, в принципе, это можно установить при помощи следующего эксперимента. Двигайтесь все время в одном и том же направлении, тогда рано или поздно (если Вселенная конечна) Вы вернетесь к своему начальному положению. Однако, если Вселенная неориентируема, то сердце при этом окажется у Вас справа, и нужно будет еще раз совершить тот же путь, чтобы возвратить его на положенное место. Пока такой эксперимент не проведен, вопрос об ориентируемости Вселенной остается открытым.

5. Интегралы и законы сохранения

Рассмотрим дифференциальное уравнение в Rⁿ (или вообще в банаховом пространстве X )

x ˙ = F (x,t ). (5.1)

Функции, определенные на фазовом пространстве X , называются также наблюдаемыми . Если известна наблюдаемая ϕ = ϕ(x,t ), x ∈ X , t ∈ R , зависящая от времени, то можно и интересно подставить вместо x решение x (t ) уравнения (5.1) и следить за изменением величины ϕ = ϕ(x (t ),t ).

Ограничиваясь пока случаем Rⁿ , найдем производную от этой функции по t . Дифференцируя по t и учитывая, что x (t ) = (x ₁ (t ),...,x_n (t )) — решение уравнения (5.1), получаем

. (5.2)

Здесь F_k — есть k -я компонента поля F , так что F = (F ₁ ,F ₂ ,...,F_n ).

Глядя на эту формулу, нетрудно понять, что целесообразно ввести новое определение: производной по времени от функции ϕ(x,t ) в силу заданного уравнения движения (5.1) называется функция _ϕ ˙(x,t ), определенная для всех x ∈ Rⁿ и t ∈ R ₊ равенством

. (5.3)

Подчеркну, что здесь уже x не решение дифференциального уравнения, а просто произвольная точка фазового пространства Rⁿ . Сравнивая равенства (5.2) и (5.3), приходим к важной формуле

. (5.4)

Соль в том, что в формуле (5.4) присутствует одна и та же функция ϕ˙ для всех решений x (t ). Если X — евклидово пространство, то определение (5.3) можно записать в виде

(5.5)

где ∇ϕ — градиент функции ϕ, и аргументы x,t опущены во всех слагаемых.

Теперь ограничим себя рассмотрением автономного уравнения в X

x ˙ = F (x ). (5.6)

Наблюдаемая ϕ(x ) называется интегралом (или первым интегралом , или константой движения ), если для любого решения x (t ) уравнения (5.6) ϕ(x (t )) = C , где C — константа, зависящая от выбранного решения (движения) x (t ). Если задано начальное условие x (t ₀ ) = x ₀ , то константа C определяется: C = ϕ(x (t ₀ )) = ϕ(x ₀ ).

Конечно, всегда имеются тривиальные интегралы, это постоянные наблюдаемые: ϕ(x ) ≡ C , C = const .

Найти интеграл уравнения (5.6) бывает не так уж просто. Но проверить, является ли данная гладкая функция ϕ(x ) интегралом, несложно. С учетом формулы (5.5) и определения интеграла, приходим к следующему заключению: для того, чтобы C ¹ –гладкая функция была интегралом автономного уравнения (5.6), необходимо и достаточно, чтобы для всех x выполнялось уравнение

. (5.8)

Интересно заметить, что на практике мы чаще всего находим сначала именно ∇ϕ так, чтобы выполнялось уравнение (5.7). Затем уже по данному ∇ϕ находится ϕ. Это дает повод ввести следующие определения.

Косимметрия . Векторное поле L = L (x ) на евклидовом пространстве H называется косимметрией поля F на H , если для всех x ∈ H векторы F (x ) и L (x ) ортогональны:

(F (x ),L (x )) = 0. (5.9)

Будем также говорить, что поле L = L (x ) есть косимметрия дифференциального уравнения x ˙ = F (x ).

Векторное поле L (x ) назовем голономным , если оно допускает представление в виде L (x ) = grad ϕ(x ) с некоторой функцией ϕ(x ) (приведите пример неголономного векторного поля).

Теперь предыдущее утверждение об интегралах можно сформулировать иначе.

Для того, чтобы функция ϕ была интегралом уравнения ( 5.6), необходимо и достаточно, чтобы векторное поле L (x ) = grad ϕ(x ) было (голономной) косимметрией поля F (x ).

Эта терминология была введена в 1991 году в моей заметке [55]. Оказалось (собственно, об этом и была написана заметка), что и неголономные косимметрии имеют важные приложения в теории дифференциальных уравнений и математической физике. Голономные косимметрии, конечно, постоянно мелькали в математической литературе в связи с интегралами, но обычно оставались в тени. В действительности, однако, отыскание интеграла, как правило, начинается именно с поиска соответствующей косимметрии.

Знание одного или нескольких нетривиальных интегралов уравнения (5.6) много дает для понимания динамики системы, а когда интегралов достаточно много, позволяет получить явные или почти явные формулы для решения.

Долгое время усилия математиков были направлены на поиск интегралов дифференциальных уравнений и систем в надежде найти явные решения. К успеху это привело лишь в сравнительно немногих случаях. Постепенно стало ясно, что у типичного дифференциального уравнения вообще нет ни одного нетривиального интеграла. В полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, но, например, Пуанкаре (в конце XIX века) установил, что многие консервативные системы не имеют других нетривиальных интегралов, кроме интеграла энергии, о котором мы подробнее будем говорить дальше.

Кстати, одно из самых глупых высказываний, какие мне приходилось слышать в жизни (к сожалению, много раз), звучит примерно так: «Зачем мы будем возиться с интегралами, нам не нужны точные формулы, мы поставим систему на компьютер, да и вычислим то решение, которое нужно». На самом деле, никакой компьютер не позволяет вычислить решение на очень больших временах (за весьма редкими исключениями, к которым относятся такие решения, которые со временем асимптотически сходятся к равновесиям или к периодическим режимам). Кроме того, существование или несуществование интегралов во многом определяет качественное поведение данной системы. Вообще, применение компьютера к исследованию динамических систем требует не меньшей, а наоборот, более глубокой математической подготовки. Иначе не разобраться в том ворохе информации, который выдает машина, и даже не понять, имеет ли она какое-либо отношение к решениям заданного дифференциального уравнения. Не менее важно и то обстоятельство, что создавать адекватные и эффективные численные методы возможно лишь при достаточно глубоком понимании математической сущности уравнений и их решений. В частности, когда система уравнений обладает одним или несколькими интегралами, лучшие вычислительные схемы (скажем, сеточные или галеркинские) получаются при условии, что для приближенных решений интегралы сохраняются точно.

Геометрический смысл интеграла . Пусть ϕ — интеграл уравнения (5.6). Тогда уравнение

ϕ(x ) = C (5.10)

для любой постоянной C определяет множество уровня функции ϕ. Оно может быть пустым или, наоборот (если _ϕ ≡ C ), совпадать со всем пространством, но в нетривиальных случаях это — гиперповерхность . Например, непустые множества уровня функции ϕ : R ³ → R , заданной равенством , суть сферы в R ³ , за исключением лишь случая C = 0, когда это множество состоит из одной точки (0, 0, 0).

По определению интеграла, ϕ(x (t )) для любого решения x (t ) сохраняет постоянное значение. Если x (0) = x ₀ , то это постоянное значение есть, очевидно, ϕ(x ₀ ). Таким образом, движущаяся точка x (t ) все время остается на гиперповерхности

ϕ(x ) = ϕ(x ₀ ). (5.11)

Выходит, что при исследовании динамики, определяемой уравнением (5.6), мы можем ограничиться рассмотрением движений на отдельных гиперповерхностях ϕ(x ) = C . В принципе, динамика описывается в таком случае системой дифференциальных уравнений на единицу меньшего порядка.

Если имеется два интеграла ϕ₁ и ϕ₂ (обобщение на большее количество интегралов очевидно), то естественно ввести совместноемножествоуровня , определяемое для любых заданных констант C ₁ и C ₂ , равенствами

ϕ₁ (x ) = C ₁ , ϕ₂ (x ) = C ₂ . (5.12)

Теперь дело сведется к изучению динамики на инвариантных совместных множествах уровня. Их размерность (при условии функциональной независимости интегралов ϕ₁ и ϕ₂ ) уже на две единицы меньше, чем размерность фазового пространства системы. Говорят, что такие множества (подмногообразия) имеют коразмерность 2.

Условие функциональной независимости интегралов, разумеется, весьма существенно. Дело в том, что если ϕ₁ и ϕ₂ — интегралы, то также и F (ϕ₁ (x ), ϕ₂ (x )) также интеграл при произвольной функции двух переменных F . Обычным достаточным условием функциональной независимости функций ϕ₁ (x ) и ϕ₂ (x ) служит, как вы знаете из курса анализа, требование, чтобы их матрица Якоби имела максимальный ранг. Когда количество функций совпадает с числом независимых переменных, матрица Якоби — квадратная, и это условие сводится к неравенству нулю ее определителя — якобиана.

Замечу, что вполне возможно было бы по аналогии ввести интегралы ϕ(x,t ), зависящие от времени — как для автономного уравнения (5.6), так и для неавтономного уравнения (5.1). К сожалению, они редко встречаются. Приведу несколько примеров систем, допускающих интегралы.

Пример 1. Гармонический осциллятор. Рассмотрим уравнение 2-го порядка

x ¨ + x = 0. (5.13)

Для любого решения x (t ), умножая (5.13) на x ˙, получим

. (5.14)

Таким образом, есть интеграл. Это полная энергия.

Если решить уравнение (5.13) с начальным условием x (0) = 0, x ˙(0) = 1, то получим x (t ) = sint . Таким образом, закон сохранения энергии для гармонического осциллятора выражается равенством sin² t + cos² t = 1.

Пример2.УравненияЭйлеравращениятвердоготелавокругнеподвижной точки. Эти уравнения, возможно, самые красивые во всей механике, имеют вид

(5.15)

Неизвестные p , q , r суть компоненты абсолютной угловой скорости ω тела в системе координат, жестко связанной с телом. Параметры A , B , C суть главные моменты инерции тела. Мы теперь хотим умножить каждое из трех уравнений на надлежащие функции, потом сложить, да так, чтобы справа получился 0. Давайте умножим их соответственно на p , q , r . В результате получим

. (5.16)

Это, очевидно, означает, что система (5.16) имеет интеграл

. (5.17)

T — кинетическая энергия тела. А нет ли еще одного интеграла? Если умножить уравнения (5.15) соответственно на Ap , Bq , Cr , то аналогично получим интеграл момента:

. (5.18)

Очевидно, он независим с интегралом T . Нельзя ли найти еще один интеграл? Нет, получился бы перебор. Система x ˙ = F (x ) в Rⁿ (за исключением лишь не очень интересного случая уравнения x ˙ = 0) может иметь не более, чем n − 1 интеграл, наличие n независимых интегралов воспрещает всякое движение системы.

Итак, мы по существу уже пришли к точному решению уравнений Эйлера! Пользуясь двумя найденными интегралами (например, исключая p и q ), мы сведем эту систему третьего порядка к одному автономному уравнению. Мы знаем, как такие уравнения решать — методом разделения переменных. Конечно, это давно проделано, и решение уравнений Эйлера выражено через эллиптические функции (см. [20]).

Замечу, что фактически мы, разыскивая интегралы системы (5.15), нашли сначала две нетривиальные косимметрии этой системы:

. (5.19)

Пример 3 . На сей раз рассмотрим уравнение в частных производных — волновое уравнение

u_tt − c ² ∆u = 0, (5.20)

для неизвестной функции u (x,t ), x ∈ D , где D — ограниченная область в Rⁿ , ее границу ∂D будем считать гладкой. Предположим, что на границе ∂D выполняется краевое условие первого рода

. (5.21)

Возможны и условия третьего или второго рода (рассмотрите сами эти случаи). Для волнового уравнения следует ставить два начальных условия

, (5.22)

где u ₀ , v ₀ — известные функции, заданные в области D . Нужно, конечно, решить вопрос о том, каким функциональным пространствам принадлежат эти функции. Например, можно считать, что v ₀ ∈ L ₂ , а функция

— пространству функций, имеющих первые производные, интегрируемые с квадратом; нолик сверху означает, что эти функции в определенном смысле удовлетворяют краевому условию (5.21). — это энергетическое пространство оператора −∆ с краевым условием (5.21) (см. [29]). При таких условиях можно доказать существование и единственность обобщенного решения начально-краевой задачи (5.20)–(5.22).

Мы, однако, в следующем рассуждении предположим, что имеется гладкое решение. Для любого такого решения u (x,t ) запишем уравнение (5.20), умножим его на u_t и проинтегрируем по области D . Тогда получится равенство

(5.23)

Интегрируя по частям, преобразуем последний интеграл:

(5.24)

Поверхностный интеграл исчезает в силу краевого условия (5.21), из которого следует, что ; равенство (5.24) переписывается в виде

(5.25)

Из равенств (5.23) и (5.25) выводим

. (5.26)

Таким образом, функционал E (u,u_t ), определенный равенством

(5.27)

на всем фазовом пространстве , является интегралом рассматриваемой динамической системы. Это снова интеграл энергии, теперь для

6 Неавтономные дифференциальные уравнения

волнового уравнения, которое является одним из наиболее естественных бесконечномерных аналогов уравнения второго закона Ньютона. Обратите внимание на довольно неприятное столкновение слов — «интеграл» фигурирует здесь в двух смыслах: E — интеграл волнового уравнения, и сам он выражается посредством интеграла по области D . Такая трудность характерна для прикладной математики, когда приходится применять результаты разных областей, а в каждой из них имеется своя установившаяся терминология. Что тут поделаешь? Будем хотя бы избегать выражений типа «интеграл E равен интегралу», в котором одно и то же слово имеет более одного смысла.

6. Неавтономные дифференциальные уравнения

Наиболее фундаментальные законы природы инвариантны относительно сдвигов времени, а потому приводят к автономным дифференциальным уравнениям. Однако и неавтономные дифференциальные уравнения постоянно возникают в качестве математических моделей различных природных и технологических процессов. Так получается уже потому, что исключение неизвестных функций из системы автономных дифференциальных уравнений приводит к системам меньшего порядка, но неавтономным. Я покажу это на простом примере, хотя идея носит вполне общий характер.

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

x ˙ = xyz,

y ˙ = x + y + z, (6.1) z ˙ = z.

Последнее уравнение легко решить: z (t ) = z ₀ e^t , где z ₀ — начальное значение функции z (t ). Подставляя функцию z (t ) в остальные два уравнения, приходим к неавтономной системе второго порядка

x ˙ = z ₀ e^t xy,

y ˙ = x + y + z 0e t. (6.2)

Мы видим, что класс всевозможных автономных дифференциальных уравнений не замкнут относительно операции исключения некоторых из неизвестных функций . А вот, например, класс систем линейных алгебраических уравнений относительно такой операции замкнут: исключение неизвестной приводит к системе линейных алгебраических уравнений на единицу меньшего порядка. Менее очевидно, что и класс полиномиальных уравнений замкнут относительно исключения неизвестных. Это устанавливается в теории результантов , в которую значительный вклад внес многолетний чемпион мира по шахматам Э. Ласкер (см. [7]).

Ситуация, которую мы наблюдаем в приведенном примере, возникает всякий раз, когда рассматриваемая система разбивается на две или более подсистем, причем некоторые подсистемы эволюционируют независимо от других. Философия говорит нам, что все в мире взаимосвязано и взаимозависимо, но если это положение понимать слишком буквально, то получится, что ничего нельзя изучить, так как каждый раз мы в состоянии учитывать лишь конечное число факторов. Помогает то обстоятельство, что во многих случаях «большие системы» влияют на малые, а обратным воздействием малых систем на большие вполне допустимо пренебречь. Например, изучая динамику трамвая или космического корабля, разумно оставлять без внимания влияние их движения на движение Земли вокруг Солнца.

Обобщенный закон причинности. В случае неавтономного дифференциального уравнения

x ˙ = F (x,t ) (6.3)

эволюционный оператор зависит от выбора начального момента. Решение задачи Коши для уравнения (6.3) с начальным условием

(6.4)

представляется в виде

. (6.5)

Эволюционный оператор зависит теперь от двух параметров — начального момента τ и конечного момента t . Его называют также оператором сдвига по траектории уравнения ( 6.3) за время от τ до t . Разумеется, само существование эволюционного оператора является следствием теорем существования и единственности решения задачи Коши (6.3), (6.4). Эти теоремы и указывают, при каких τ и t определен оператор для данного уравнения. Вы уже знаете, с какими трудностями приходится сталкиваться, когда мы хотим определить оператор для всех t , τ или хотя бы при всех t > τ.

Рассмотрим три момента времени τ, s , t (см. Рис. 2). Наряду с выражением (6.5) для x (t ), можно получить и другое выражение. Сначала найдем , а затем еще раз решим задачу Коши с начальным условием

Неавтономные дифференциальные уравнения

Рис. 2

. Тогда для x (t ) получим

. (6.6)

Так как это равенство верно для любых x ₀ , получим равенство для операторов

. (6.7)

Это и есть обобщенный принцип причинности . Отметим очевидные равенства

. (6.8)

В случае автономного уравнения F = F (x ) нетрудно доказать (докажите!) равенство

(6.9)

для любого h ∈ R . Полагая здесь h = −τ, получим, что

. (6.10)

Если теперь в обобщенном принципе причинности (6.7) положить τ = 0, а затем заменить t на s + τ (это уже новое τ) и воспользоваться равенством (6.10), то получится

, (6.11)

то есть принцип причинности для автономного уравнения.

Посмотрим еще, какие специальные свойства имеет эволюционный оператор в случае периодического дифференциального уравнения с периодом p > 0. Если правая часть уравнения (6.3) p -периодична, то есть F (x,t + p ) = F (x,t ), то эволюционный оператор этого уравнения удовлетворяет очевидному равенству (докажите его!)

. (6.12)

Оператор сдвига по траекториям дифференциального уравнения (6.3) на период p называется оператором монодромии , отвечающим начальному моменту τ. Воспользуемся равенством (6.12) и обобщенным законом причинности (6.7). Положим τ = −p , s = p . Тогда получим сначала, что , а затем:

. (6.13)

Это равенство часто применяется в теории линейных периодических дифференциальных уравнений. Оно похоже на принцип причинности для автономных уравнений, но выполняется лишь в случае, когда один из моментов времени есть период p . Из (6.13) следует, что можно также в качестве второго момента выбрать np , где n — любое целое число:

. (6.14)

7. Интегро-дифференциальные уравнения

Этот термин крайне неудачен. Он говорит лишь о том, что в уравнении присутствуют операции дифференцирования и интегрирования, но такие уравнения могут иметь совершенно разную природу. Объясню это на примерах.

Рассмотрим уравнение для неизвестной функции f (x,t ) с областью определения x ∈ Rⁿ , t ∈ R

(7.1)

Здесь ∆ — оператор Лапласа, G — известное ядро интегрального оператора. Такого рода интегро-дифференциальные уравнения весьма интересны, регулярно возникают в приложениях, в частности, основные уравнения

Интегро-дифференциальные уравнения

статистической механики (уравнения Больцмана, Ландау, Власова) принадлежат этому типу. Характерно, что интегрирование в (7.1) производится

не по времени t , а по пространственной переменной x . Поэтому — скорость изменения функции f в момент времени t — выражается согласно (7.1), посредством операций над функцией f в тот же момент времени t . Это и есть основная общая идея дифференциального уравнения. Если трактовать функцию f как вектор-функцию времени t со значением в некотором банаховом пространстве функций от x (например, или X = C (Rⁿ )), то уравнение (7.1) может быть представлено как дифференциальное уравнение в банаховом пространстве X

(7.2)

Производная здесь не частная, а прямая, потому что f = f (·,t ) мыслится теперь как элемент функционального пространства. Оператор A (t ) определяется правой частью уравнения (7.1), он зависит от t потому (лишь потому), что от t зависит ядро G .

Уравнения, подобные (7.1), в которых присутствует интегрирование не по t , а, скажем, по пространственным переменным, собственно говоря, не требуют особой общей теории, а являются объектом теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (см., например,

[11]).

Более специфичны эволюционныеинтегро-дифференциальныеуравнения , содержащие интегрирование по времени. Именно уравнения этого типа лежат, например, в основе наследственной теории упругости , описывающей поведение полимерных материалов. Находят они существенные применения и в ряде задач экологии. В этих областях уже исходные уравнения являются не дифференциальными, а интегро-дифференциальными.

Я сейчас покажу, что даже если бы все исходные модели были автономными дифференциальными уравнениями, то очень скоро мы пришли бы и к интегро-дифференциальным уравнениям. Сказывается тот же недостаток класса дифференциальных уравнений — его незамкнутость относительно операции исключения части неизвестных. В благополучных случаях после операции исключения может получиться неавтономное дифференциальное уравнение (такой вариант мы с вами уже рассматривали). В более сложных ситуациях получается интегро-дифференциальное уравнение. И это я объясню на простом примере.

Рассмотрим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений

x ˙ = x + y,

y ˙ = −y + x. ^(7.3)

Потребуем, чтобы выполнялись начальные условия

. (7.4)

Исключим из этой системы неизвестную функцию y , пользуясь вторым уравнением. Если временно считать x (t ) известной функцией, то для y (t ) получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение. С использованием начального условия находим (проще всего использовать интегрирующий множитель e^t )

t

Z

−t −(t −_τ )

y (t ) = y ₀ e + e x (τ)d τ. (7.5)

0

Подстановка в первое уравнение системы (7.3) дает интегро-дифференциальное уравнение для неизвестной функции x (t )

t

Z

−t −(t −_τ )

x ˙ = x + y ₀ e + e x (τ)d τ. (7.6)

0

Конечно, это чисто иллюстративный пример. Однако случается,что посредством исключения переменных удается весьма существенно упростить задачу. Бывает даже, что удается свести к скалярному интегро-дифференциальному уравнению бесконечномерную систему уравнений [13]. Весьма возможно, что интегро-дифференциальные уравнения наследственной теории упругости и экологии тоже можно получить посредством исключения некоторых скрытых переменных из более общей системы дифференциальных уравнений . Я думаю, что так оно и есть, хотя этого еще никто не проделал.

Замечу еще, что бывают, конечно, сложные ситуации, в которых неизвестные исключить не удается, и не только потому, что мы не располагаем явными формулами, но и по существу, из-за того, что такое исключение, скажем, неизвестной y , возможно не для всех функций x . Такие ситуации могут быть очень интересны и до сих пор никем как следует не рассмотрены.

8 Декартово произведение динамических систем и разбиение системы на

независимые подсистемы 51

И еще одно замечание. Мы говорим об исключении неизвестных в задаче Коши. Для систем дифференциальных уравнений ставятся и другие задачи, например, задача Пуанкаре о периодических решениях. Для них тоже представляет интерес проблема исключения неизвестных. Все это до сих пор мало исследовано. Очень интересно выяснить, при каких условиях такое исключение возможно, какого рода уравнения при этом получаются, а главное — что это может дать для понимания исходной системы.

8. Декартово произведение динамических систем и

разбиение системы на независимые подсистемы

Обычные теоретико-множественные операции — взятие объединения, пересечения, разности, симметрической разности, скажем, над двумя множествами X , Y , хотя и всегда определенные формально, пожалуй, оказываются содержательными лишь в том случае, когда эти множества состоят из элементов одной и той же природы (впрочем, объединение самых разнородных элементов может появиться в списке товаров, продаваемых некоей фирмой). Операция декартова умножения бывает интересна и без этого ограничения. Напомню, что декартово произведение X × Y есть множество всевозможных пар (x,y ), где x ∈ X , y ∈ Y . Когда множества X и Y снабжены (или, как часто говорят, оснащены ) теми или иными дополнительными структурами, бывает интересно определить соответствующие структуры и на их декартовом произведении. Так оказывается возможным определить декартово произведение групп, метрических пространств, линейных пространств, гильбертовых пространств и т. д. таким образом, что и декартово произведение оказывается, соответственно, группой, метрическим пространством, линейным пространством и т. д.

Декартовым произведением динамических систем и называется динамическая система . Пространство этой динамической системы есть декартово произведение метрических пространств X ₁ и X ₂ . Расстояние в этом новом метрическом пространстве для любых двух его элементов

) определяется как сумма расстояний

. Здесь ρ₁ — расстояние в X ₁ , а ρ₂ — расстояние в X ₂ . Что касается декартова произведения отображений , то его действие на элемент (x ₁ ,x ₂ ) определяется равенством

. (8.1)

Говоря короче, сама идея декартова произведения состоит в том, что операции производятся отдельно в каждом пространстве X ₁ и X ₂ . Легко проверить, что для определенного таким образом отображения : X ₁ × X ₂ → X ₁ × X ₂ выполняется принцип причинности. Таким образом, данное определение действительно приводит к новой динамической системе

.

Вполне аналогично можно определить декартово произведение трех, четырех и вообще любого набора динамических систем. Имеются и определения декартова произведения бесконечного набора динамических систем, даже не обязательно счетного.

Великая операция декартова произведения множеств и отображений позволяет нам любую систему уравнений трактовать как одно уравнение. Выходит, что общая теория систем уравнений просто не нужна. Это хороший пример пользы, которую может принести концептуальный подход, удачное введение общих абстрактных понятий.

Если имеются два дифференциальных уравнения, скажем, x ˙ = F (x,t ) в банаховом пространстве X и y ˙ = G (y,t ) в банаховом пространстве Y , то операция декартова произведения этих уравнений сводится к тому, что мы записываем их вяясте и ряясмяяриваем как одно уравнение. Форяяльяя эяя означает,яято мы вводим вектор z = (x,y ) ∈ X × Y и записываем полученную систему как одно уравнение

z ˙ = Q (z,t ), (8.2)

причем поле Q определяется равенствами

Q (z,t ) = (F (x,t ),G (y,t )). (8.3)

Я бы хотел, чтобы Вы почувствовали, как тривиально все то, что до сих пор здесь сказано о декартовом произведении. А выигрыш состоит в том, что, например, не нужны новые теоремы существования решения задачи Коши для систем уравнений. Проведенная операция не вывела из класса дифференциальных уравнений на банаховом пространстве.

Если уравнение (8.2) можно представить в виде системы

x ˙ = F (x,t ),

(8.4) y ˙ = G (y,t ),

то, как говорят физики, исходная система (8.2) представлена в виде объединения двух невзаимодействующих или независимых подсистем. Когда все эти уравнения автономны, получается и соответствующее разбиение динамической системы на невзаимодействующие подсистемы.

9 Производные и градиенты

Задача разбиения заданной системы на невзаимодействующие подсистемы, в известном смысле обратная декартову умножению, отнюдь не тривиальна и далеко не всегда разрешима. Приведу пример, когда эта задача особенно хорошо решается.

Рассмотрим линейное уравнение в пространстве Rⁿ

x ˙ = Ax (8.5)

с самосопряженным оператором A (задаваемым симметричной вещественной матрицей). Известно, что у такого оператора существует ортонормальный базис векторов ϕ₁ ,..., ϕ_n , так что A ϕ_k = λ_k ϕ_k для k = 1,...,n . Если разыскивать решение векторного уравнения (8.5) в виде

(8.6)

с неизвестными коэффициентами ξ_k , то подстановка (8.6) в (8.5) дает для определения ξ_k уравнения

ξ˙_k = λ_k ξ_k , k = 1,...,n. (8.7)

Исходная система (8.5) разбилась таким образом, на n невзаимодействующих подсистем. Нетривиальность этого разбиения проявляется хотя бы в том, что оно изменяется при изменении оператора A .

Если теперь мы рассмотрим уравнение (8.5) с несимметричным оператором A , то увидим, что разбиение не всегда возможно. Например, если n = 2, то в случае жордановой клетки соответствующая система

x ˙ = λx + y,

(8.8)

y ˙ = λy

не может быть разбита на невзаимодействующие подсистемы, хотя независимое уравнение для y выделяется. Невозможно также разбиение на невзаимодействующие подсистемы для системы второго порядка, соответствующей гармоническому осциллятору

x ˙ = y,

y ˙ = −x. ^(8.9)

Припомнив нормальную жорданову форму матрицы, Вы легко решите вопрос о том, когда возможно, а когда невозможно разбить заданную линейную систему (8.5) на невзаимодействующие подсистемы.

9. Производные и градиенты

Производная по скалярному аргументу. Скорость как дифференциальный оператор . Начнем с определения производной по скалярному аргументу вектор-функции x (τ) со значениями в банаховом пространстве X . Естественно положить

. (9.1)

Здесь имеется два основных варианта: предел можно понимать в смысле сильной сходимости , то есть по норме пространства X , либо в смысле слабой сходимости . Соответственно, получаются понятия сильной и слабой производной . Когда речь будет идти о произведении, я буду в дальнейших приложениях иметь в виду, как правило, сильную производную.

Вообще, когда речь идет о дифференцировании по скалярному аргументу, определения стандартны. Вполне аналогично предыдущему определяются производные от оператор-функции, матричных или тензорных функций. Важно, конечно, чтобы это были элементы линейных пространств, чтобы имело смысл выражение (9.1).

Когда приходится дифференцировать вектор-функцию скалярного аргумента, принимающую значения на некотором многообразии, необходимы дополнительные ухищрения. Обойтись без этого нельзя, потому что необходимо выяснить, что такое скорость точки, движущейся по поверхности. Так как же все-таки обобщить столь привычное нам определение производной (9.1) с тем, чтобы обойтись без операции вычитания? Разумеется, когда поверхность вложена в линейное пространство, или вообще, когда рассматриваемое движение происходит на гладком подмногообразии линейного пространства, можно сохранить определение (9.1), не смущаясь тем, что разность x (τ + ε) − x (τ) не будет лежать на этой поверхности. В действительности, даже оказывается, что всякое конечномерное многообразие можно вложить в конечномерное линейное пространство достаточно высокой размерности, и притом, конечно, многими способами (это теорема Уитни). Тут, однако, получается, что определение зависит от вложения поверхности. Математику вполне понятно, что использование лишних объектов в определении может лишь усложнить рассмотрения. Если в начале такого дела, как развитие новой теории, полениться серьезно поработать над определениями, поддаться впечатлению от кажущейся простоты, то последствия будут весьма неприятными. Современная абстрактная математика очень действенна, предпочитает определения, которые кажутся, может быть, сложными на вид, но в дальнейшем обеспечивают простоту в

обращении и бесперебойность работы построенного математического аппарата. Очень важно, что при этом не нужно (даже вредно) слишком глубоко задумываться на каждом шаге выкладок, а достаточно автоматически следовать формальным правилам. Подобные выкладки легко перепоручить компьютеру. К слову сказать, такую формальную систему и называют исчислением , таковы (в идеале) дифференциальное и интегральное исчисления.

Я привел это лирическое вступление для того, чтобы Вы не поленились освоить следующее определение и применяли его в дальнейшем. Лишь поначалу оно может показаться вычурным.

Итак, рассмотрим отображение x : R → M вещественной прямой в гладкую поверхность (и вообще, многообразие) M , то есть точку, движущуюся вдоль многообразия M по известному закону x = x (t ). Возьмем произвольную гладкую функцию f : M → R . Теперь рассмотрим f (x (t )) — это уже скалярная функция скалярного переменного t . Мы хорошо знаем, как такие функции дифференцировать. Не буду приводить здесь точных определений гладкого многообразия M и гладкой функции f на M . Скажу лишь, что отображение x : t 7→ x (t ) называется гладким, если f (x (t )) для любых гладких f имеет производную по t . Она, конечно, зависит от f , так что можно написать

. (9.2)

Если x (t ₀ ) = a , и в окрестности точки a введены координаты x ₁ , x ₂ ,...,x_n , то это равенство можно переписать в виде

Здесь v_k (x (t )) есть k -я компонента скорости x ˙(t ) движущейся точки x (t ). А что такое скорость x ˙(t )? Теперь ясно, что ее следует определить как дифференциальный оператор первого порядка V в формуле (9.2). В выбранных координатах в момент времени t = t ₀ мы можем написать

. (9.4)

Итак, скорость x ˙(t ₀ ) оказалась линейным дифференциальным оператором! Первая практическая выгода такого определения состоит в том, что для вычисления компонент скорости в любой другой системе координат y ₁ ,...,y_n достаточно в равенстве (9.4) проделать замену x ₁ = x ₁ (y ₁ ,...,y_n ), ..., x_n = x_n (y ₁ ,...,y_n ). В качестве упражнения выразите компоненты вектора v в цилиндрических и сферических координатах, если он первоначально задан в декартовых координатах, так что v = (v ₁ ,v ₂ ,v ₃ ). Я надеюсь, что чтение предыдущих абзацев побудит Вас изучить многообразия, векторы и векторные поля на многообразиях, например, по книгам [2, 3, 10].

Производные операторов и функционалов . Пусть задан оператор F : X → Y , действующий из вещественного банахова пространства X в вещественное банахово пространство Y . В частности, когда Y = R , оператор F есть функционал или функция на пространстве X . Сейчас мы рассмотрим основные определения и простейшие результаты, относящиеся к дифференцированию операторов.

Производная по Гато. Для любого h ∈ X рассмотрим F (x + sh ), где s ∈ R . Согласно определению, производная Гато оператора F в точке x есть

(9.5)

Таким образом, есть оператор, зависящий от x , и для каждого x действующий из X в Y . Легко проверить, что он однороден:

. Однако, как показывают примеры, он не всегда

линеен. Предел в (9.5) можно понимать по разному, для определенности будем считать, что речь идет о сходимости по норме пространства Y . Замечу, что обрисованная вкратце идея дифференцирования скалярных функций на многообразиях позволяет перенести определение Гато и на операторы, заданные на банаховом многообразии .

Гато — талантливый французский математик, офицер французской армии, пропавший без вести во время I-й мировой войны.

Производная по Фреше. Производной Фреше в точке x ∈ X от оператора F : X → Y называется линейный оператор A : X → Y , обозначаемый через F ⁰ (x ), такой, что для любого h ∈ X выполняется равенство

F (x + h ) − F (x ) = Ah + ω(x,h ), (9.6)

причем для остаточного члена ω(x,h ) справедливо предельное соотношение

, (9.7)

при h → 0, то есть при kh k_X → 0.

Это означает, что ω(x,h ) — слагаемое порядка выше первого относительно h . соответственно Ah есть главная линейная часть приращения оператора F . Ее называют дифференциалом Фреше. Легко видеть, что производная Фреше, когда она существует, совпадает с производной Гато. (Доказывается это непосредственно: заменим в (9.6) h на sh , разделим на s и устремим s к 0).

На практике производная всегда вычисляется при помощи определения Гато, а в приложениях, как правило, нужна производная Фреше. Поэтому, найдя производную по Гато, приходится проверять условие (9.7) для остаточного члена.

А вообще, производная есть производная, ее вычисление для явно заданного оператора F не вызывает серьезных трудностей, лишь бы она существовала. Пусть, например, X = Rⁿ , Y = R^m , а оператор F задан своим координатным представлением: для любого x = (x ₁ ,...,x_n )

Fx = (F ₁ (x ₁ ,...,x_n ),...,F_m (x ₁ ,...,x_n )). (9.8)

Если функции F ₁ ,...,F_m — компоненты вектора F — непрерывно дифференцируемы, то производная F ⁰ (x ) задается матрицей Якоби:

. (9.9)

В частности, когда m = 1, получается производная функции (функционала).

Градиент. Согласно теореме Ф. Рисса, всякий линейный функционал ϕ : H → R на евклидовом или гильбертовом пространстве H может быть реализован в виде скалярного произведения. Точнее, для любого ϕ найдется элемент h ∈ H , и притом только один, такой что

ϕ(x ) = (x,h ) (9.10)

для всех x ∈ H . Более того, отображение J : H ^∗ → H , J ϕ = h есть изометрический изоморфизм, то есть J — линейный обратимый оператор, и kh k = kJ _ϕ k = k_ϕ k для всех _ϕ ∈ H ^∗ . В этом смысле иногда говорят, что сопряженное пространство H ^∗ (пространство линейных функционалов) совпадает с самим пространством H . Необходимо однако помнить, что такое отождествление законно лишь до тех пор, пока фиксирован изоморфизм J . Как мы увидим дальше, это очень существенно для приложений, в частности, в механике.

Пусть теперь f : H → R — функционал, заданный на H и имеющий при всех x производную f ⁰ (x ). Согласно теореме Рисса, существует такой элемент (вектор) g (x ) ∈ H , что линейный функционал f ⁰ (x ) представится в виде

f ⁰ (x )u = (u,g (x )). (9.11)

Элемент g (x ) называется градиентом функционала f в точке x и обозначается через grad f (x ). Согласно этому определению,

f ⁰ (x )u = (u, grad f (x )). (9.12)

Вектор grad f (x ) для каждого x определяет линейный функционал, который от x зависит, вообще говоря, нелинейно. Оператор grad f действует из H в H , или в символах grad f : x 7→ grad f (x ) : H → H .

В отличие от производной f ⁰ (x ), градиент определяется заданием скалярного произведения. Он изменится, если поменять скалярное произведение. Пусть A : H → H — самосопряженный положительно определенный оператор, заданный на всем пространстве H . Это означает, что оператор A линеен, и для любых ξ, _η ∈ H справедливо равенство (A ξ, η) = (ξ,A η), и (A ξ, ξ) ≥ γ² (ξ, ξ) при некотором γ > 0. Давайте еще предположим, что оператор A ограничен и обратим, имеет ограниченный обратный A ⁻¹ . На самом деле, и то и другое можно вывести, соответственно, из предположений, что оператор A задан всюду и что он положительно определен. В математической физике чрезвычайно интересны неограниченные самосопряженные операторы, которые определены не всюду, а лишь на некоторых всюду плотных в H линейных многообразиях, см. [28]. В случае конечномерного H все эти проблемы просто не возникают. Всякий положительно определенный оператор A в H определяет новое скалярное произведение

(ξ, η)_A = (A ξ, η) (9.13)

для любых ξ, _η ∈ H . Проверьте, что все аксиомы скалярного произведения действительно выполняются. Когда оператор A имеет ограниченный обратный, это скалярное произведение эквивалентно прежнему — в том смысле, что сходимость по соответствующим нормам одна и та же.

Найдем связь между градиентами, порождаемыми этими скалярным произведениями. Согласно определению (9.12), имеем равенства

f ⁰ (x )u = (u, grad f (x )) = (u, grad_A f (x ))_A . (9.14)

Учитывая определение (9.13), из (9.14) выводим равенства

(u, grad f (x )) = (u, grad_A f (x ))_A = (Au, grad_A f (x )) = _(9.15) = (u,A grad_A f (x )).

Так как равенство

(u, grad f (x )) = (u,A grad_A f (x )) (9.16)

выполнено при любых u ∈ H , заключаем, что grad и ^grad _A связаны соотношениями

grad f (x ) =A grad_A f (x ),

grad_A f (x ) =A ⁻¹ grad f (x ). ^(9.17)

Замечу, что подобные соотношения выполняются и в тех случаях, когда оператор A задан не на всем пространстве H , а лишь на некотором плотном в H линейном многообразии D_A (это область определения оператора A ). В такой ситуации, однако, приходится проделывать еще немалую дополнительную работу. Ее первая часть — пополнение линейного многообразия D_A по норме, порожденной скалярным произведением (9.13) (см. [28]). Потом еще приходится разбираться в необходимых ограничениях на функционал f и находить область определения градиентов. Сами градиенты могут и не быть непрерывными операторами — даже в случае, когда они линейны (по x ), что получается, когда f — квадратичный функционал.

МЕХАНИКА

Одним из главных источников фундаментальных математических моделей являются вариационные принципы механики. Современная механика началась с классической работы И.Ньютона «Математические принципы натуральной философии» (1687) [32]. Конечно, у механики была долгая и богатая предыстория (вспомним, например, Архимеда), а Галилея можно уже считать современным физиком, потому что он понял, что природу необходимо познавать при помощи экспериментов, строить теории путем обобщения полученных данных, а не искать ответы в трудах авторитетных древних авторов. До него считалось, что ответы на все вопросы можно найти у Аристотеля.

Дальнейшее развитие механики привело к широким обобщениям, к определенному слиянию теоретической (аналитической) механики с дифференциальной геометрией на многообразиях. Между прочим, оказалось, что уравнения движения механической системы можно представить в очень многих различных, зачастую разительно отличающихся друг от друга, формах. Ричард Фейнман заметил, что таким свойством обладают все фундаментальные модели физики (механика, квантовая физика и квантовая теория поля). Он поставил вопрос, почему это так. Я думаю, что разные формы эволюционных уравнений простейших (они-то и являются наиболее фундаментальными) математических моделей в физике наиболее приспособлены для различных обобщений. Так, вариационные принципы Гамильтона и Мопертюи (точнее, Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби), уравнение первого порядка в частных производных, называемое уравнением ГамильтонаЯкоби, в классической механике (почти) эквивалентны. Но принцип Гамильтона непосредственно обобщается на механику теории относительности (релятивистскую механику), за исключением механики фотонов (света, электромагнитных волн), принцип Мопертюи сохраняется и в динамике фотонов. А вот квантовая физика использует обобщение уравнения ГамильтонаЯкоби.

Подходы и результаты механики находят себе применение далеко за ее пределами. Например, мы увидим дальше, что электродинамика может считаться в определённом смысле частным случаем механики.

Механика

Второй закон Ньютона. Несомненно, начало современной механики — это второй закон Ньютона для материальной частицы:

mx ¨ = F.

Здесь m — масса частицы, x (t ) = (x ₁ (t ),x ₂ (t ),x ₃ (t )) — ее положение в момент времени t . Частица движется в пространстве R ³ , и x ₁ (t ), x ₂ (t ), x ₃ (t ) — ее координаты, а F — действующая на частицу сила. В самом простом случае F = F (t ), то есть сила задана как функция времени. В этом случае решение уравнения легко находится двумя интегрированиями по t . Обычно сила F бывает задана как вектор-функция от аргументов x ∈ R ³ , x ˙ ∈ R ³ и времени t . Тогда уравнение второго закона Ньютона есть векторное дифференциальное уравнение второго порядка

mx ¨ = F (x,x,t ˙ ).

...

Случается, что F зависит от x ¨ и даже от x , а может быть, и от высших производных. Однако, такое происходит не в фундаментальных моделях, а скорее, в результате исключения переменных в более широких системах. Например, уравнение движения электронов в электромагнитном поле — третьего порядка, но это получается потому, что из общей системы исключается поле.

Физики обычно говорят, что материальная точка — это тело «столь малых размеров», что ими при данных условиях можно пренебречь. Например, размеры планет столь малы по сравнению с их расстояниями до Солнца, что при изучении их движения планеты можно считать материальными точками. В астрономии так и делается, и теоретические результаты великолепно подтверждаются наблюдениями. Вместе с тем, при изучении вращения Земли или, скажем, движения самолетов и ракет необходимо учитывать размеры и форму нашей планеты.

Для того, чтобы описать движение материальной точки , конечно, недостаточно задать ее положение. Правильные начальные условия включают также задание скорости:

x (0) = x ₀ , x ˙(0) = v ₀ .

Здесь x ₀ = (x ₀₁ ,x ₀₂ ,x ₀₃ ) ∈ R ³ — начальное положение точки, а v ₀ = (v ₀₁ ,v ₀₂ ,v ₀₃ ) ∈ R ³ — ее начальная скорость. Таким образом, фазовое пространство данной системы есть R ³ × R ³ , а состояние системы есть пара (x,v ), где x — положение материальной точки, а v — ее скорость. Это было грандиозным открытием Ньютона — пространство, в котором мы живем, как бы удваивается. Аристотель, конечно, не знал дифференциальных уравнений, но если прочитать внимательно его рассуждения о движении камня, то видно, что он, пожалуй, пытался описать мир, который управляется дифференциальным уравнением первого порядка.

И. Ньютон на основе уравнения своего второго закона построил механику системы частиц и применил ее прежде всего к проблеме движения планет. Пожалуй, среди всех открытий Ньютона самым потрясающим было доказательство того факта, что одна и та же сила (всемирного тяготения) заставляет падать камень на Земле и удерживает планеты на их орбитах. Сначала он установил, что Луна на своей околоземной орбите действительно удерживается силой, обратно пропорциональной ее расстоянию до Земли. Забавно вспомнить, что Ньютона избрали действительным членом английской Академии наук (Royal Society) не за это открытие, и вообще не за научное открытие, а за то, что он изобрел прекрасный способ шлифовки стекла и изготовления зеркал для телескопов-рефлекторов. Сама идея телескопа-рефлектора, вместе с ее реализацией, тоже принадлежала И. Ньютону.

10. Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа II рода

В основу построения современной механики полагают обычно принцип Гамильтона, не вполне точно называемый также принципом наименьшего действия.

Конфигурационное и фазовое пространства

Положение механической системы есть, по определению, точка области D в пространстве Rⁿ . Область D называется конфигурационным пространством или пространством положений данной системы. Размерность dimD конфигурационного пространства называется числом степеней свободы системы. Например, материальная точка в R ³ имеет три степени свободы, а система, состоящая из двух материальных точек, имеет шесть степеней свободы. Таким образом, число степеней свободы — это количество скалярных параметров, которые необходимо задать, чтобы однозначно определить положение системы.

Сейчас мы рассматриваем системы с конечным числом степеней свободы. Однако в механике и физике сплошной среды необходимо изучать и системы с бесконечным числом степеней свободы — жидкость или газ, деформируемое упругое тело, электромагнитное поле. Соответствующие тео-

рии развиваются во многом по образцу классической механики систем с конечным числом степеней свободы. Во всяком случае, формальный аппарат механики сплошной среды строится по аналогии — конечные суммы заменяются интегралами или бесконечными суммами, вместо разностей возникают производные и так далее. Конечно, переход от конечного числу степеней свободы к бесконечному — дело серьезное, и возникают многие новые проблемы. Далеко не со всеми из них в настоящее время справляется современная наука, такие проблемы сейчас составляют один из важнейших стимулов к развитию математики.

Точка области D обычно обозначается через q = (q ₁ ,q ₂ ,...,q_n ), а величины q ₁ ,...,q_n