Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости.
Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.)
, задано некоторое распределение
с функцией распределения
и
— произвольная с. в., имеющая распределение .
Определение.
Говорят, что последовательность с. в.
при
сходится слабо или по распределению к с. в.
и пишут:
, или
, или
, если для любого
такого, что функция распределения
непрерывна в точке
, имеет место сходимость
при .
Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Свойство 1.
Если
, и функция распределения
непрерывна в точках
и
, то
и т.д. (продолжить ряд).
Наоборот, если во всех точках
и
непрерывности функции распределения
имеет место, например, сходимость
, то .
Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.
Свойство 2.
1.
Если
, то
.
2.
Если
, то
.
Свойство 3.
1.
Если
и
, то
.
2.
Если
и
, то
.
Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема.
Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин.
Центральная предельная теорема.
Пусть
— независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией:
. Обозначим через
сумму первых
случайных величин: .
Тогда последовательность случайных величин
слабо сходится к стандартному нормальному распределению.
Доказательство.
Пусть
— последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через
математическое ожидание
и через
— дисперсию
. Требуется доказать, что
Введем стандартизированные случайные величины
— независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть
есть их сумма
. Требуется доказать, что
Характеристическая функция величины
равна
Характеристическую функцию с.в.
можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты
,
. Получим
Подставим это разложение, взятое в точке
, в равенство и устремим
к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:
В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :
распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.
Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения
любого нормального закона непрерывна всюду на
, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.
Пусть
— независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.
· Для любых вещественных
при
имеет место сходимость
· Для любых вещественных
при
имеет место сходимость
· Для любых вещественных
при
имеет место сходимость
· Если
— произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то
Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.
Предельная теорема Муавра — Лапласа.
Пусть
— событие, которое может произойти в любом из
независимых испытаний с одной и той же вероятностью
. Пусть
— число осуществлений события
в
испытаниях. Тогда .
Иначе говоря, для любых вещественных
при
имеет место сходимость
Доказательство.
По-прежнему
есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха
:
Осталось воспользоваться ЦПТ.
Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.
Пример 1
.
З а д а ч а. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.
Р е ш е н и е. Требуется найти
, где
,
— число выпадений герба, а
— независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на
и поделим на корень из дисперсии
одного слагаемого.
Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность
слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в.
, имеющую распределение
.
Пример 2.
Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив его дисперсию как DZ
, а математическое ожидание (среднее значение суммарного иска) как <
Z> = <
N><
Q>
- где <N>, <Q> - среднее значение числа страховых случаев и величины страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr
:
Т
r
= [(
Т
0
*
a
)/(<
N
>
*
<
Q
>)]
*
(<
N
>
*
D
Q
+ <
Q
>2
*
D
N
) 0.5
- где DQ
и DN
-дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых случаев.
В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их дисперсия равна нулю), имеем:
Т
r
= (
Т
0
*
a
)/
N
0.5
Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации уровня страховых выплат значительно меньше единицы.
|