.
Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке
, значит корень уравнения .
3.
Уточнение корня.
Если искомый корень уравнения
отделён, т.е. определён отрезок
, на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.
Такая задача называется задачей уточнения корня.
Уточнение корня можно производить различными методами:
1) метод половинного деления (бисекции);
2) метод итераций;
3) метод хорд (секущих);
4) метод касательных (Ньютона);
5) комбинированные методы.
4. Метод половинного деления (бисекции).
Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.
Такой метод можно применять, если функция
непрерывна на отрезке
и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие
(1).
Разделим отрезок
пополам точкой
, которая будет приближённым значением корня .
Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.
Из отрезков
и
выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).
В нашем случае это отрезок
, где
.
Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим
и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность
. Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства .
Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).
Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.
Пример.
Решить уравнение
методом половинного деления с точностью до 0,001.
Решение.
Известен отрезок изоляции корня
и заданная точность
. По уравнению составим функцию .
Найдём значения функции на концах отрезка:
,
.
Проверим выполнение неравенства (1):
- условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.
Найдём середину отрезка
и вычислим значение функции в полученной точке:
,
.
Среди значений
и
выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это
и
. Следовательно, из отрезков
и
выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок
и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:
,
,
,
- заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.
,
,
, .
,
,
, .
,
,
, .
,
,
, .
,
,
, .
,
,
, .
,
,
, .
,
,
, .
,
- заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня
.
Ответ: корень уравнения
с точностью до 0,001.
5. Метод хорд (секущих).
Этот метод применяется при решении уравнений вида
, если корень уравнения отделён, т.е.
и выполняются условия:
1)
(функция
принимает значения разных знаков на концах отрезка
);
2) производная
сохраняет знак на отрезке
(функция
либо возрастает, либо убывает на отрезке ).
Первое приближение корня находится по формуле:
.
Для следующего приближения из отрезков
и
выбирается тот, на концах которого функция
имеет значения разных знаков.
Тогда второе приближение вычисляется по формуле:
, если
или
, если .
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.
6. Метод касательных (Ньютона).
Этот метод применяется, если уравнение
имеет корень
, и выполняются условия:
1)
(функция принимает значения разных знаков на концах отрезка
);
2) производные
и
сохраняют знак на отрезке
(т.е. функция
либо возрастает, либо убывает на отрезке
, сохраняя при этом направление выпуклости).
На отрезке
выбирается такое число
, при котором
имеет тот же знак, что и
, т. е. выполняется условие
. Таким образом, выбирается точка с абсциссой
, в которой касательная к кривой
на отрезке
пересекает ось
. За точку
сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Первое приближение корня определяется по формуле:
.
Второе приближение корня определяется по формуле:
.
Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности
- до выполнения неравенства
.
Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.
7. Комбинированный метод хорд и касательных.
Если выполняются условия:
1)
,
2)
и
сохраняют знак на отрезке
,
то приближения корня
уравнения
по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.
Схема решения уравнения методом хорд и касательных
1. Вычислить значения функции
и
.
2. Проверить выполнение условия
. Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок
.
3. Найти производные
и
.
4. Проверить постоянство знака производных на отрезке
. Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок
.
5. Для метода касательных выбирается за
тот из концов отрезка
, в котором выполняется условие
, т.е.
и
одного знака.
6. Приближения корней находятся:
а) по методу касательных:
,
б) по методу хорд:
.
7. Вычисляется первое приближение корня:
.
8. Проверяется выполнение условия:
, где
- заданная точность.
Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид
. Приближённые значения корня находятся по формулам:
и
.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение
, при котором
и
совпадут с точностью .
Пример. Решить уравнение
методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения
.
Решение.
1. Вычислим значения функции
на концах отрезка:
,
.
2. Проверим выполнение условия:
- условие выполняется.
3. Найдём производные:
и
.
4. На отрезке
производные
и
, т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.
5. Выберем значение
для метода касательных. Т.к.
и
, то .
6. Найдём приближения корня:
а) по методу касательных:
б) по методу хорд:
.
7. Найдём первое приближение корня:
.
8. Проверим выполнение условия:
- условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.
9. Отрезок изоляции корня имеет вид:
.
10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:
,
.
11. Проверим условие:
- выполняется, значит можно продолжить применение метода.
12. Так как
и
на отрезке
, то для метода касательных: .
13. Вычислим значение производной:
.
14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:
,
.
15. Найдём второе приближение корня:
.
16. Проверим выполнение условия:
- неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.
17. Отрезок изоляции корня имеет вид:
.
18. Вычислим значения функции:
,
.
19. Условие
- выполняется.
20. Так как
и
на
, то для метода касательных .
21. Вычислим производную:
.
22. Вычислим:
,
.
23. Найдём третье приближение корня:
.
24. Проверим выполнение неравенства:
- условие выполняется, значит, цель достигнута.
25. Следовательно,
или
- приближённое значение корня с точностью до 0,001.
Ответ:
.
9. Задания для расчётных работ.
Решить уравнение методами:
а) бисекции,
б) хорд и касательных.
Вариант
|
Вид алгебраического уравнения
|
Корень, который необходимо вычислить
|
1
|
|
единственный
|
2
|
|
единственный
|
3
|
|
единственный
|
4
|
|
единственный
|
5
|
|
единственный
|
6
|
|
единственный
|
7
|
|
единственный
|
8
|
|
единственный
|
9
|
|
положительный
|
10
|
|
единственный
|
11
|
|
положительный
|
12
|
|
единственный
|
13
|
|
больший отрицательный
|
14
|
|
единственный
|
15
|
|
единственный
|
16
|
|
единственный
|
17
|
|
единственный
|
18
|
|
единственный
|
19
|
|
единственный
|
20
|
|
единственный
|
21
|
|
единственный
|
22
|
|
меньший положительный
|
23
|
|
единственный
|
24
|
|
меньший положительный
|
25
|
|
единственный
|
26
|
|
единственный
|
27
|
|
единственный
|
28
|
|
единственный
|
29
|
|
единственный
|
30
|
|
единственный
|
31
|
|
меньший положительный
|
32
|
|
единственный
|
33
|
|
больший отрицательный
|
34
|
|
единственный
|
35
|
|
единственный
|
36
|
|
единственный
|
37
|
|
меньший положительный
|
38
|
|
единственный
|
39
|
|
единственный
|
40
|
|
единственный
|