Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряюа сходятся, а равенство б) – если, сверх того, по меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно.
11. КК РС функ. ряда:
13. Признаки РС ф. рядов.
Признак Абеля: Ряд
сходится равномерно на X
, если: 1) Ряд an
сх. равн. на X
; 2) функции bn(x)
ограничены в совокупности и "x
образуют монотонную последовательность.
Признак Дирихле:
Ряд (1) сходится равномерно на множествеX
, если: 1) Част. суммы an(x) (n=1,…,N)
в совокупности ограничены; 2) посл-ть bn(x) (n=1,2,…)
монотонна "x
и равномерно на X
стремится к нулю при n®µ
.
15. Непрерывность и lim пер.
Th:
{ft
; t
ÎT
}, ft
: X®C
; B-
база в T
. Если ft
сх.равн. к f
на X
при базе B
и функции ft
непрерывны в точке x0
ÎX,
то функция f
:X®C
тоже непрерывна в этой точке.
Следствие 1
: Если посл-ть функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве.
Следствие 2
: Если ряд из функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.
17. Интегрирование и lim.
Th:
{ft
, t
ÎT
}, ft
:[a
,b
]®C
; B-
база T
; Если функции семейства интегрируемы на [a
,b
] и ft
сх. равн. к f
на [a
,b
] при базе B
, то предельная функция f
:[a
,b
]®C
тоже интегрируема на отрезке [a
,b
] и
Следствие
: Если ряд из интегрируемых на [a
,b
] ф. сх.равн., то его сумма тоже интегрируема на [a
,b
],
19. Характер сх. ст. ряда.
Th:
Степенной ряд
сходится в круге K=
{z
ÎC
| | z – z0
| < R
}, радиус которого определяется по ф-ле Коши-Адамара:
Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом круге, лежащем строго внутри круга K
сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно.
21. Дифф. и ò ст. рядов:
Th:
Если круг K
ÎC
сходимости ст. ряда
не сводится к единственной точке z=z0
, то внутри K
сумма f(z)
этого ряда дифференцируема, причем
Кроме того, f(z)
:K
®C
можно интегрировать по любому гладкому пути g:[0,1]®K
, и если
то
23. Ряд Тейлора.
Аналитическая в точке a
ф-я f
(x
) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд
Остаточный член
в форме Лагранжа
:
в форме Коши
:
Основные разложения:
25. Алгебры функций.
Совокупность A
вещественно (комплексно)-значных функций на множестве X
наз. вещественной
(комплексной
) алгеброй функций
на X
, если из f
,g
ÎA
и a
ÎR(C)
следует, что
27. Теорема Стоуна:
Пусть A
– алгебра определенных на компакте K
непрерывных вещественнозначных функций. Если A
разделяет точки компакта K
и не исчезает на K
, то A
является всюду плотным подмножеством простанства C
(K
,R
).
29. Теорема Вейерштрасса:
Если f
ÎC
([a,b
],C
), то $ {Pn
; n
ÎN
} многочленов Pn
:[a,b
]®C
, что Pn
сх. равн. к f
на [a,b
]. При этом, если f
ÎC
([a,b
],R
), то и многочлены Pn
можно выбрать из C
([a.b
],R
).
31. Дифф. и непр. собств. ò(пар).
Непрерывность
: P=
{(x,y
)ÎR2
| x
Î[a,b
], y
Î[c,d
]}. Если функция f
:P
®R
непрерывна, то ф-я
непрерывна в любой точке y
Î[c,d
].
Дифференцирование
: Если на прямоугольнике P
функция f
непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y
, то интеграл принадлежит к классу C(1)
([c,d
], R
), причем
33. Пр. Вейерш.РС несоб.ò(пар).
Пусть f(x,y), g(x,y)
интегрируемы по x
на любом отрезке [a,b
]Ì[a,w
] "y
ÎY.
Если "x
Î[a,w
],
"y
ÎY
| f(x,y)
| ≤ g(x,y)
, а интеграл
сходится равномерно на Y
, то интеграл
сходится абсолютно "y
и равномерно на мн-ве Y
.
35. lim перех. под. знаком.н.ò.
Th:
Пустьf(x,y)
– сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на x
Î[a,w
), и пусть BY
-база в Y
.
Следствие
: Пусть "y
ÎY
ÌR
вещ. ф-я f(x,y)
неотрицательна и непрерывна на x
Î[a,w
). Если с ростом y
ф-ции f(x,y)
, монотонно возрастая, стр. к j
(x
), jÎC
([a,w
],R
) и
то справедливо равенство (*).
37. Дифф. н.ò(пар).
Th:
Если
а)
ф-ции f(x,y)
, f’y(x,y)
непрерывны на {(x,y)ÎR2
| x
Î[a,w
),y
Î[c,d
]},
b)
интеграл
c)
интеграл
то он сх. равн. на Y
; при этом ф-я F(y)
оказывается дифференцируемой и
39. Интегрирование н.ò(пар):
Если f(x,y)
непрерывна на {(x,y
)ÎR2
| x
Î[a,w
),y
Î[c,d
]} и интеграл
то ф-я F
интегрируема на [c,d
] и
41.
43. Ряды Фурье.
Если X –
Л.П. со скал. пр-ем < , >, а {lk
}–ортог. система ненулевых векторов в X
, то любому в. x
можно сопоставить ряд Фурье
:
Экстремальное свойство
: "y
ÎL
||x–xl
||≤||x–y
||. Равенство возможно только при y
=xl
.
Неравенство Бесселя
:
Равенство Парсеваля
:
45. Гильбертово пр-во.
Линейное нормированное пр-во наз. гильбертовым
, если оно полно и имеет бесконечную размерность.
47. Тригонометр. ряд Фурье.
Систему экспонент
{einx
;n
ÎN
} называют триг. сист. в комплексной записи.
Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R
([-p
,p
], C
) отн. скал. пр-ния в-в.
Сопоставляемый ф. f
триг.ряд
наз. триг.рядом Фурье ф-ции f
.
Th:
(ТРФ
)"f
ÎR
([-p
,p
],C
)сх.к f
в средн.,т.е.f=ТРФ,
49. Лемма Римана.
Если локально интегрируемая ф-я f
:[w1
,w2
]®R
абсолютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [w1
,w2
], то
51. Д.У.сх.ряда Фурье в т.
Гов., что f
:U0®C
, заданная в проколотой окр-ти точки x
ÎR
, удовлетворяет усл. Дини
, если
а) в т. x
$ оба односторонних предела
б) сходится абсолютно следующий интеграл:
Th:f
:R
®C
– 2p-периодич.ф-я, абс.инт-я на [-p,p]. Если f
удовл. в т. x
ÎR
условиям Дини, то её ряд Фурье сходится в точке x
, причем
53.Свойства пр-ва CL2[-∞,+
∞]
_____________
55. Преобразование Фурье.
называется нормиров.преобр. Фурье
ф-ции f
:R®C
.
называется интегралом Фурье
ф-ции f
.
Свойства
: 1. Линейность преобразования Фурье.
2. Th:f
:R®C
– абс. инт-мая ф-я, кусочно непрерывная на каждом конечном отрезке числ. Оси R
. Если ф-я f
удовл. Усл. Дини в x
ÎR
, то её òФурье сх. в этой точке к значению ½(f
(x-
)+f
(x+
)).
57. Пр-е Фурье для ф. мн.пер.
f
:R
®C
– лок. инт. на Rn
ф-ция. Функция
называется преобр. Фурье функции f
.
Многомерное пр-е Фурье можно рассматривать как n
одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных x1,
…,xn
.
59. Теорема обращения.
Оператор, определяемый равенством
называется обратным преорбазованием Фурье
.
Формула обращения преобразования Фурье:
или в форме интеграла Фурье
10. Сх. и РС семейства f(ПАР)
_________________________
8. Теорема Римана:
Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу.
6. Признак Лейбница:
Условно сходищимся
наз. ряд an
, если ряд an
сходится, а ряд |an
| -расходится.(n=1,2,…)
сходится (вообще гов. не абсолютно), если
В этом случае для остатка ряда
имеем оценку
4. Признак Даламбера:
2. Признак сравнения I:
Признак сравнения II:
20. Теоремы Абеля.
Первая Теорема Абеля
: Если степенной ряд
сх. в концевой точке x=R
интервала сход-ти, то
Вторая Теорема Абеля
: Если степенной ряд
сходится в некоторой точке zÎС
, то он сходится равномерно на отрезке с концами z0
,z
.
18. Дифференцирование и lim.
Th:
{ft
, t
ÎT
}–семейство ft
: X
®C
, определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X
; B-
база T
. Если функции семейства дифференцируемы на X
, семейство {ft’
, t
ÎT
} производных сх. равн. на X
к некоторой ф-ции j
:X
®C
, а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x0
ÎX
, то оно сх. равн. на всем мн-ве X
к дифференцируемой функции f
:X
®C
, причем f’=j
.
16. Теорема Дини:
Если последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная.
Следствие
: Если члены ряда an
(x
) (n
=1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K
функции an
: K®R
и ряд сходится на K
к непрерывной функции. То он сходится на K
равномерно.
14. Условия комм. 2х пр.пер:
Th:
{Ft
;t
ÎT
}, Ft
: X®C
; BX –
база в X
,BT–
база в T
. Если при базе BT
cем-во сх. равн. на X
к F
:X®C
, а "t
$
то $ оба повторных предела
и имеет место равенство этих пределов
.
12. Признак Вейерштрасса РС функционального ряда:
u1(x)+…+un(x)+…
сходится абсолютно и равномерно на множестве X
, если существует сходящийся числовой ряд c1+c2+…+cn+…
такой, что
30. Собственные ò, их интег-е.
Интеграл, зависящий от параметра, – это ф-я вида
Если "t
ò явл. собственным, то F
есть собственный интеграл, зав. от параметра.
Th:
Если ф-яf
:P
®R
непрерывна в прямоугольнике P=
{(x,y
)ÎR2
| x
Î[a,b
], y
Î[c,d
]}, то интеграл
интегрируем на отрезке [c,d
] и имеет место рав-во
28. Компл. вар. теоремы Стоуна:
Если комплексная алгебра A
функций f
:X®C
не вырождается на X
и разделяет точки X
, то при условии самосопряженности алгебры A
можно утверждать, что она плотна в C
(X
,C
).
26. Банахова Алгебра в С
(K).
Нормированная алгебра называется Банаховой
, если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B
-пространством).
Подмн-во пространства C(K,Y
) наз. всюду плотным
, если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимировать любую непрерывную функцию f
:K
®Y
.
24. Формула Стирлинга.
где
Или
22. Аналит. ф. в действ. обл.
40. Эйлеровы интегралы.
38. Интеграл Дирихле.
36. Непрерывность н.ò(пар):
Если а)
ф-я f(x,y)
непрерывна на {(x,y)ÎR2
| x
Î[a,w
),y
Î[c,d
]}, b)
интеграл
то ф-я F(y)
непрерывна на [c,d
].
34. Пр. Абеля-Дирихле РС.н.ò.
Th:
Пусть f(x,y), g(x,y)
"y
ÎY
интегрируемы по x
на любом отрезке [a,b
]Ì[a,w
]. Для равн.сх. интеграла
на мн-ве Y
достаточно:
32. Несоб.ò(пар), КК РС.
Говорят, что несобственный интеграл
зав. от пар. y
ÎY
, сх. равн. на мн-ве E
ÌY
, если
КК
: Чтобы несоб. ò (1) сходился равномерно на множестве E
ÌY
Û
50. Ядра Дирихле.
Dn
называется ядром Дирихле
. Ядро Дирихле 2p-периодично, четно, и, кроме того,
48. Ряды Фурье д/чет./неч. ф.
а)
Если ф-я f(x)
четная, то
б)
если ф-я f(x)
нечетная, то
Ряд Фурье в комплексной форме
:
Th(О сх-ти в среднем):
"f(x)
ÎR
([-p
,p
],C
)
46. Предгильбертово пр-во.
Линейное нормированное пр-во бесконечной размерности наз. предгильбертовым
, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем.
44. Ортонорм. сист.в-в.
Система в-в наз. {ek
; k
ÎK
}ортонормированной
, если "i,j
ÎK
< ei
,ej
>=di,j
, где di,j
– символ Кронекера
Система {xa
; a
ÎA
} в-в нормир.пр-ваX
наз. полной по отношению к мн-ву E
ÌX
, если "x
ÎE
можно сколь угодно точно в смысле нормы пр-ва X
приблизить конечными лин. комб-ми в-в системы.
В конечномерном пр-ве X
полнота в X
сист.в-в, как следует из сообр. компактности и непрер-ти, равносильна тому, что эта сист. явл. базисом в X
.
Th:X
– лин.пр-во со скал. пр-ем < , >; l1,…,ln,…
– кон. или счет.сист.¹0 вз. ортогон.в-в X
. Þ Эквив:
a)
{lk
} полна по отн. к E
ÌX;b)
"x
ÎE
ÌX
им.место
42. Интеграл Пуассона
60. Теорема Планшереля.
L2
– пополнение (S,d
), d
– метрика сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Rn
.
58. Пространство S(Rn).
S(Rn,C
) – сов-ть всех ф-ций f
ÎC(∞)
(Rn,C
), удовлетворяющих условию
такие ф-ции наз. быстро убывающими
.
Если f
ÎS
, то
Более того,
56. Пр-е Фурье свертки.
- Ф-лы, связывающие операции свертки и умножения функций посредством пр.Фурье.
54. Теорема Фейера.
f
: R
®C
– 2p-периодическая абс. инт-мая на [-p,p] ф-я. Тогда
a) если на E
ÌRf
равномерно непрерывна, то
b) если f
ÎC
(R
,C
), то
c) еслиf
непрерывна в x
ÎR
, то
__________________________________________
52. ДУ РС триг. ряда Фурье.
Th:
Если f
:[-p,p]®C
такова, что а) f
ÎC(m-1)
[-p,p], m
ÎN
; b) f(j)
(-p)=f(j)
(p), j=0,1,…m–
1; c) f
имеет на [-p,p] непрерывную производную f(m)
порядка m
>=1,
то ряд Фурье ф-й f
сх. к f
абсолютно и равномерно на отрезке [-p,p], причем отклонение n-
й частичной суммы Sn
(x
) ряда Фурье от f(x)
на всем отрезке [-p,p] имеет оценку
где {en
}–стремящаяся к нулю посл-ть положительных чисел.