Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.
п.1. Понятие кольца.
Определение. Алгебра
, где
- бинарные операции,
- унарная операция,
называется кольцом, если выполнены аксиомы.
I.
- абелева группа.
1)
2)
3)
4)
II. 1)
- ассоциативность умножения.
2) законы дистрибутивности:
- левый дистрибутивный закон,
- правый дистрибутивный закон.
- называется аддитивной группой кольца.
Определение. Кольцо
называется кольцом с единицей
, если существует
Определение. Кольцо
называется коммутативным, если
Определение. Элементы
называются делителями
, если
Определение. Кольцо
называется областью целостности, если оно обладает свойствами:
Кольцо
- коммутативно.
Кольцо
с единицей
, где
.
Кольцо не имеет делителей нуля.
п.2. Примеры колец.
Рассмотрим
. Операции
- бинарная операция на множестве
, операция
- унарная операция на множестве
,
, значит
- алгебра. Аксиомы кольца на множестве
выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит
- кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как
и
. Это коммутативное кольцо, так как
. Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.
Пусть
- множество целых чётных чисел,
- алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.
- проверим, будет ли на множестве
- кольцо.
- бинарная операция на множестве .
- бинарная операция на множестве .
- унарная операция на множестве
.
Значит
- алгебра.
Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как
, а на
аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит
- это кольцо.
.
. Кольцо с единицей
- это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.
Пусть
. Определим операции
,
;
, .
- бинарные операции на множестве
значит
- унарная операция на множестве .
,
, значит
- алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство
- равенство функции:
из определения операций. Рассмотрим произведение
, вычислим значения левой и правой частей от
а)
б)
. Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит
является кольцом. Это кольцо с единицей
. Действительно,
(свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как
. Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть
,
,
,
(нулевая функция). Вычислим
(равно нулевой функции). Значит
,
- делители нуля, значит кольцо - не является областью целостности.
п.3. Простейшие свойства кольца.
Пусть
- кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:
.
Доказательство.
- абелева группа, имеем
.
Доказательство.
- абелева группа, имеем
.
, если
, если
.
Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве
.
, если
, если
.
Доказательство. Следует из свойства 4 групп.
если
, если
.
Доказательство. Следует из 5 свойства групп.
.
Доказательство. Следует из 6 свойства групп.
.
Доказательство. Докажем, что
.
.
Доказательство. Докажем, что
рассмотрим сумму
. Аналогично доказывается, что .
. Обозначение:
.
(правый дистрибутивный закон),
(левый дистрибутивный закон).
Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна
равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.
.
Доказательство. Вычислим сумму
.
п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Дано два кольца
и
.
Определение. Гомоморфизмом кольца
в кольце
называется функция
и обладающая свойствами:
Другими словами, гомоморфизм колец – это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если
- гомоморфизм кольца
в
, то
- гомоморфизм абелевых групп
в группу .
Теорема. Пусть
и
- кольца и
, обладающих свойствами:
Тогда
- гомоморфизм колец.
Доказательство. Из свойства
является гомоморфизмом групп
и
, поэтому
обладает свойствами:
,
, значит по определению
- гомоморфизм колец.
Определение. Отображение
называется изоморфизмом кольца
на
, если
обладает свойствами:
- гомоморфизм колец.
- биекция.
Другими словами: изоморфизм – это гомоморфизм, являющийся биекцией.
п.5. Подкольца.
Пусть
- кольцо,
,
.
Определение. Множество
- замкнуто относительно операции
, если
.
Множество
- замкнуто относительно операции
, если
. Множество
- замкнуто относительно операции
, если
.
Теорема. Пусть
- кольцо,
,
, если
- замкнуто относительно операции
, то
- кольцо, которое называется подкольцом, кольца .
Доказательство.
- бинарные операции,
- унарная операция, так как
- замкнутое множество. Так как
, то существует
, так как
- замкнуто относительно операции
, то
, значит
- алгебра, так как аксиомы выполнены на
, то они выполнены и на
, потому алгебра - кольцо.
Теорема. Пусть
- числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.
п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.
Алгебраическая система
, где
бинарные операции,
- унарная операция,
,
,
называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:
I.
- кольцо.
Абелева группа
Аддитивная группа
II. Множество
- замкнуто относительно операций
и алгебраическая система
является системой натуральных чисел (системой Пеано).
Для
,
Для
,
Для
,
Для
,
Для
,
Для
,
Аксиома индукции: пусть
. Если множество
удовлетворяет условиям:
а)
б)
,
, то
III. Аксиома минимальности.
Если
и обладает свойствами:
а)
б)
, то
.
Свойства целых чисел.
Теорема 1. О делении с остатком.
|
, где
. Число
называется делимым,
- делителем,
- частным,
- остатком при делении
на .
Доказательство. Докажем существование хотя бы одной пары чисел
,
. Для этого рассмотрим множество
. Множество
содержит как отрицательные, так и неотрицательные числа, пусть
- наименьшее неотрицательное число в
, тогда
. Докажем, что
, предположим противное
. Рассмотрим число
.
противоречие с выбором
. Доказано, что
,
. Докажем единственность чисел
и
, пусть
.
,
. Докажем, что
, предположим противное
. Пусть
. Имеем
противоречие, так как между числами
нет чисел, делящихся на
. Доказано, что
, если
, то
, а отсюда следует, что
. Доказана единственность чисел
и .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
|