БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра радиотехнических систем
РЕФЕРАТ
На тему:
«Параметры кодов. Контроль, обнаружение и исправление ошибок»
МИНСК, 2008
1.
Параметры кодов
Определение 1.
Код – это множество дискретных сигналов, выбранное для передачи сообщений. Коды характеризуются следующими параметрами:
1
Основание кода
– число элементов множества
, выбранное для построения кода. Например, если:
а)
, то
для троичного кода;
б)
для двоичного кода.
Практически
.
Замечание – Эффективность каналов передачи (хранения) информации возрастает с переходом на недвоичные коды.
2
Длина кода
(значность) – число символов кодового слова.
Определение 2.
Последовательности элементов (символов) длиной
называются кодовыми словами или кодовыми векторами. Говорят, что слово
имеет длину
;
,
Параметр
определяет следующие особенности класса кодов. Коды бывают:
а)
равномерные (блоковые),
;
б)
неравномерные,
;
в)
бесконечные,
. К бесконечным относят коды:
1) свёрточные;
2) цепные;
3) непрерывные.
У равномерных (блоковых) кодов поток данных разделяется на блоки по
информационных символов, и далее они кодируются
– символьными кодовыми словами.
Для непрерывного кода поток данных разбивается на блоки длины
, которые называются кадрами информационных символов. Эти кадры кодируются
символами кодового слова (кадрами кодового слова). При этом кодирование каждого кадра информационных символов в отдельные кадры кодового слова производится с учетом предыдущих
кадров информационных символов.
На рисунке 1.1 показаны структуры кодирования блоковыми и непрерывными кодами.
k-битовый n-битовый n-битовый k-битовый
блок блок блок блок
Блоковый код
k0
битов/кадр n0
битов/кадр n0
битов/кадр k0
битов/кадр
Непрерывный код
Рисунок 1.1
3
Размерность кода
– число информационных позиций кодового слова.
4
Мощность кода
– число различных кодовых последовательностей (комбинаций), используемых для кодирования.
– максимальное число кодовых комбинаций при заданных
и
. Например,
;
; .
Определение 3.
Код, у которого используются все комбинации, называется полным (безизбыточным).
Определение 4.
Если число кодовых слов кода
, то код называется избыточным.
Пример
– Пусть
,
,
.
Код
– избыточный;
.
5
Число проверочных (избыточных) позиций кодового слова
.
Пусть
,
,
. Тогда на длине слова из семи символов – три избыточных.
6
Скорость передачи кода
. Для приведенного примера
.
7
Кратность ошибки
. Параметр
указывает, что все конфигурации из
или менее ошибок в любом кодовом слове могут быть исправлены.
8
Расстояние Хэмминга между двумя векторами (степень удаленности любых кодовых последовательностей друг от друга)
.
Определение 5.
Если
и
кодовые векторы, то расстояние Хэмминга равно числу позиций, в которых они различаются. Может обозначаться и как –
. Например,
;.
Замечание – С позиции теории кодирования
показывает, сколько символов в слове надо исказить, чтобы перевести одно кодовое слово в другое.
9
Кодовое расстояние (минимальное расстояние кода)
.
Определение 6.
Наименьшее значение расстояния Хэмминга для всех пар кодовых последовательностей кода называют кодовым расстоянием.
, где
;
; .
Определение 7.
Код значности
, размерности
и расстояния
называется
- кодом.
Пример
– Можно построить следующий код:
;
;
; .
Данный код можно использовать для кодирования 2–битовых двоичных чисел,
используя следующее (произвольное) соответствие:
Найдем кодовое расстояние этого кода:
;
;
;
;
;
.
Следовательно, для этого кода
.
Замечание –
характеризует корректирующую способность кода
.
10
Вес Хэмминга вектора
равен числу ненулевых позиций
, обозначается
. Например, .
Используя определение веса Хэмминга, получим очевидное выражение
(1.1)
Пример
–
;
. Из выражения (1.1) следует, что минимальное расстояние Хэмминга равно
, где
;
; .
Замечание – Для нахождения минимального расстояния линейного кода не обязательно сравнивать все возможные пары кодовых слов. Если
и
принадлежат линейному коду
, то
– также является кодовым словом кода
. Такой код является аддитивной группой (определена операция сложения) и, следовательно,
, где
и
, т.е. справедлива теорема.
Теорема 1.
Минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу ненулевых кодовых слов.
Т.к.
, то возникает вопрос о величине
, такой, чтобы код обеспечивал контроль ошибок, т.е. обнаружение и исправление ошибок.
2 Контроль ошибок
Кодовое слово можно представить в виде вектора с координатами в
– мерном векторном пространстве. Например, для
вектор
находится в трёхмерном евклидовом пространстве, рисунок 1.2. Разрешенными для передачи выбраны вектора
и .
X0
1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 0 X1
0 0 1 0 1 1
X2
Рисунок 1.2
Рисунок дает наглядную алгебраическую интерпретацию понятия “мощность кода”:
а)
кодовые слова полного кода определяют
– мерное пространство, состоящее из
последовательностей (
– трехмерное пространство, состоящее при
из 8 последовательностей полного кода);
б)
кодовые слова избыточного кода определяют подпространство (подмножество)
– мерного пространства, состоящее из
последовательностей.
Под воздействием помех происходит искажение отдельных разрядов слова. В результате разрешённые для передачи кодовые векторы переходят в другие векторы (с иными координатами) – запрещённые. Факт перехода разрешённого слова в запрещённое для передачи слово можно использовать для контроля за ошибками.
Возможна ситуация, когда разрешённый вектор переходит в другой разрешённый кодовый вектор:
. В этом случае ошибки не обнаруживаются, и контроль становится неэффективным.
Из рассмотренной модели можно сделать следующий важный вывод: для
того чтобы передаваемые векторы можно было бы отличать друг от друга при наличии помех, необходимо располагать эти векторы в
– мерном пространстве
как можно дальше друг от друга. Из этой же
– мерной модели следует геометрическая интерпретация расстояния Хэмминга:
– это число рёбер, которые нужно пройти, чтобы перевести один вектор в другой, т.е. попасть из вершины одного вектора в вершину другого.
2.1 Обнаружение и исправление ошибок
Стратегия обнаружения заключается в следующем. Декодер обнаруживает ошибку при априорном условии, что переданным словом было ближайшее по расстоянию к принятому слову. Покажем применение этого утверждения.
Пример
1
. Пусть
;
. Разрешенным для передачи является множество кодовых слов:
.
Очевидно, что код
имеет
. Любая одиночная ошибка трансформирует данное кодовое слово в другое разрешенное слово. Это случай безизбыточного кода, не обладающего корректирующей возможностью.
Пример
2.
Пусть теперь подмножество
разрешённых кодовых слов предоставлено в виде двоичных комбинаций с чётным числом единиц.
.
Заданный код
имеет
. Запрещенные кодовые слова представлены в виде подмножества
:
.
Если
, то ни одно из разрешенных кодовых слов (т.е. кода
) при одиночной ошибке не переходит в другое разрешённое слово этого же кода. Таким образом, код
обнаруживает:
– одиночные ошибки;
– ошибки нечетной кратности (для
- тройные).
Например, тройная ошибка кодового слова
;
, переводит его в запрещенный вектор
.
Вывод – В общем случае, при необходимости обнаруживать ошибки кратности
кодовое расстояние кода должно быть
.
Пример
3
. Пусть
;
; код
задан векторами
и .
При возникновении одиночных ошибок или множества векторов
кодовому слову
соответствует следующее запрещенное подмножество
.
Кодовому слову
соответствует запрещенное подмножество
=
=
Таким образом, коду
– разрешенному для передачи подмножеств векторов соответствует два запрещенных подмножества векторов
и
:
=
=
.
=
Стратегия исправления ошибок заключается в следующем:
– каждая из одиночных ошибок приводит к запрещенному кодовому слову того или иного запрещенного подмножества (
и
);
– структура кодового запрещенного подмножества, относящаяся к соответствующему исходному разрешенному подмножеству, позволяет определить местоположение ошибки, т.е. исправить ошибку.
Для исправления ошибок кратности
кодовое расстояние должно удовлетворять соотношению
. (1.2)
Используя эту формулу, можно записать
,
где
обозначает целую часть числа
.
Замечание – Существуют модели каналов (например, канал с дефектами), в которых величина
может быть больше, чем в выражении (1.2).
ЛИТЕРАТУРА
· Митюхин А.И., Игнатович В.Г. Линейные групповые коды: Учеб. пособие. – Мн. :БГУИР, 2002.
· Митюхин А.И. Элементы абстрактной алгебры: Учеб.пособие. – Мн.: БГУИР, 2000.
· Лосев В.В. Помехоустойчивое кодирование в радиотехнических системах передачи информации: Метод. Пособие Ч.1. Линейные коды. – Мн.: ВШ, 2004.
|