Математичекие основы теории систем анализ сигнального графа и синтез комбинационных схем - реферат

Министерство специального и высшего образования

Хабаровский государственный технический университет

Кафедра «Автоматика и системотехника»

Курсовой проект

По предмету: Математические основы теории систем

г. Хабаровск

2003 г.
ЗАДАНИЕ

Курсовая работа состоит из 3-х разделов, в каждом из которых рассматривается отдельный параграф дисциплины «Математические основы теории систем».

В первом разделе данной курсовой работы требуется, имея схему системы автоматического управления перейти к сигнальному графу, определить его структурные характеристики и проанализировать с помощью формулы Мезона.

Во втором разделе необходимо рассмотреть логические функции, способы их задания и синтез комбинационных схем.

В третьем разделе необходимо синтезировать автомат с памятью на основе содержательного описания алгоритма его работы.

РЕФЕРАТ

Курсовая работа содержит пояснительную записку состоящую из трех разделов на 38 листах формата А4, включающую 6 рисунков, 2 схемы, 14 таблиц и 3 литературных источника.

Объектом исследования являются система автоматического управления и логическое устройство, в данном случае семисегментный элемент.

Цель работы состоит в том чтобы закрепить на практике теоретический материал курса лекций «Математические основы теории систем» и приобретение навыков по анализу систем и синтезу схем.

Ключевые слова: структурная схема, сигнальный граф, путь, конур, САУ, синтез схем, конечный автомат, логическая функция, таблица истинности, минимизация, карты Карно, неопределенные коэффициенты, первичные импликаты, минитермы, функциональная схема, триггер.

Содержание

ЗАДАНИЕ 2

РЕФЕРАТ 3

Содержание 4

Задание 1. Анализ сигнальных графов. 7

1.1 Выбор варианта задания 7

1.2 Преобразование структурной схемы к сигнальному графу 7

1.2 Преобразование структурной схемы к сигнальному графу 8

1.4 Матрица инцидентности 9

1.5 Построение бинарных матриц путей выхода для заданных контрольных точек. 10

1.6 Бинарная матрица контуров. 12

1.7 Матрица касания контуров 12

1. 8 Матрица касания путей и контуров 13

1.9 Формула Мэзона для заданного сигнального графа 13

Задание 2. Синтез комбинационных схем. 16

2.1 Определение поставленной задачи 16

2.2 Составление логических функций 19

2.2.1 Дизъюнктивная совершенная нормальная форма 19

2.2.2 Конъюнктивная совершенная нормальная форма 20

2.3 Минимизация булевых функций 20

2.3.1 Пример минимизации методом неопределенных коэффициентов 21

2.3.2 Пример минимизации методом Квайна-Мак-Класки. 22

2.3.3 Пример минимизации картами Карно 25

2.4 Совместная минимизация всех функций 26

2.5 Запись МДНФ в заданном базисе 27

3. СИНТЕЗ АВТОМАТА С ПАМЯТЬЮ 29

3.1 Анализ технического задания 29

3.2 Формальное описание абстрактного автомата 29

3.3 Кодирование входных и выходных символов состояний 31

3.4 Обобщенная функциональная схема структурного автомата 32

3.5 Каноническая система логических уравнений 33

3.6 Минимизация логических функций 35

3 .7 Построение комбинационной схемы автомата с памятью 35

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 36

Приложение 1. 37

Приложение 2 38

Задание 1. Анализ сигнальных графов.

1.1 Выбор варианта задания

Из букв, образующих фамилию, имя и отчество получим три множества А, В и С символов русского алфавита.

Хоменко А={Х, О, М, Е, Н, К}

Дмитрий B ={Д, М, И, Т, Р, Й}

C ={И, Г, О, Р, Е, В, Ч}

Произведя соответствующие операции над множествами получим их мощности. Из таблицы возможных мощностей методического указания выбираются типы соответствующих полученным результатам типы соединений элементов в системе автоматического управления.

½ A È B ½ = ½ { Х, О, М, Е, Н, К , Д, И, Т, Р, Й } ½ =11

½ ( A È B ) Ç С ½ = ½ {Е, И, О, Р} ½ =4

½ C \ A ½ = ½ {И, Г, Р, В, Ч} ½ =5

½ A È B ½ = ½ U \ A È B ½ =33-11=22

По полученным результатам построим схему автоматического управления системой.

Рисунок 1.1.1

1.2 Преобразование структурной схемы к сигнальному графу

Граф прохождения сигнала G =< x , q >, где Х – множество вершин, q - множество дуг, имеет следующие особенности.

1. Каждой вершине графа x_i Î X ставится в соответствие одна переменная структурной схемы (обозначение переменных сигналов приведено на рисунке 1.1).

2. Каждой дуге ( x_i , x_j ) Î X поставлена в соответствие передаточная функция одного из блоков структурной схемы.

3. Если из вершины исходит несколько дуг, то для них входная величина общая. Это устраняет в графе точки разветвления.

4. Если в вершину входит несколько ребер, то соответствующая этой вершине переменная равна сумме входных сигналов. Это делает не нужным использование в графе сумматоров.

Учитывая перечисленные особенности перехода от структурной схемы к сигнальному графу, перейдем от схемы рис. 1.1 к соответствующему сигнальному графу (см. рис. 1.2).

Матицей смежности графа G называется матрица R=[r_ij ] размером nxn, где n – число вершин графа, в которой

1.4 Матрица инцидентности

Матрицей инцидентности графа G называется матрица S=[s_ij ] размера nxm, где n – число вершин графа, а m – число дуг графа, в которой:

Для построения графа пронумеруем все дуги графа в произвольном порядке, но с учетом нумерации передаточных функций.

1.5 Построение бинарных матриц путей выхода для заданных контрольных точек.

Согласно заданию на курсовую работу выделено множество К контрольных точек (выходов). Оно имеет вид:

К={ x ₁ , x ₄ , y , x ₁₃ }

Построим матрицы путей для каждого из этих выходов.

Бинарная матрица P = || p_ij || путей размера l xm , где l – число путей, строится по следующему правилу:

Матрица путей выхода для x 1

Матрица путей выхода для x 4

Матрица путей выхода для y

Матрица путей выхода для x13

1.6 Бинарная матрица контуров.

Бинарная матрица контуров C = || c_ij || размера h xm , где h - число контуров, строится по следующему правилу:

Предварительно пронумеруем все контуры в произвольном порядке.

1 .7 Матрица касания контуров

Бинарная матрица контуров C_k = || c_ij || размера h xk , где k - число контуров, строится по следующему правилу:

1. 8 Матрица касания путей и контуров

Бинарная матрица контуров C_l = || c_ij || размера l xk , где l - число путей для заданного выхода, строится по следующему правилу:

Для x 1

Для x 4

Для y

Для x13

1.9 Формула Мэзона для заданного сигнального графа

Используя универсальную топологическую формулу, носящую имя Мэзона, можно получить передачу между любыми двумя вершинами. Формула имеет следующий вид:

где - передача k -го пути между вершинами j и r ; D - определитель графа. Он характеризует контурную часть графа и имеет следующий вид:

где, L – множество индексов контуров, L ₂ - множество пар индексов не касающихся контуров, L ₃ - множество троек индексов не касающихся контуров, K_i – передача i-го контура, - минор пути, это определитель подграфа, полученного удалением из полного графа вершин и дуг, образующих путь .

D=1-К1-К2-К3-К4-К5-К6-К7-К8+К7К2+К7К3+К7К5+К7К6+К7К8=1- К1-К2-К3-К4-К5-К6-К7-К8+К7(К2+К3+К5+К6+К8)

К₁ = W₁ W₃ W₄ W₅ W₆

K₂ = W₃ W₄ W₇

K3= W₁ W₃ W₄ W₈

K4= W₂ W₃ W₄ W₆ W₇

K5= W₂ W₃ W₄ W₇

K6= W₂ W₃ W₄ W₈

K7= W₅ W₆

K8= W₃ W₄

D=1- W₃ W₄ ( W₁ W₅ W₆ + W₇ + W₁ W₈ + W₂ W₆ W₇ + W₂ W₇ +2 W₂ W₈ + 1)+ W₅ W₆ ( W₃ W₄ ( W₇ + W₁ W₅ W₆ + W₂ W₇ + W₂ W₈ +1)-1)

Для x1

Для x4

Для y

Для х13

Задание 2. Синтез комбинационных схем.

2.1 Определение поставленной задачи

Устройство, работа которого может быть представлена на языке алгебры высказываний, принято называть логическим. Пусть такое устройство имеет n выходов и m входов. На каждый вход может быть подан произвольный символ конечного множества Х, называемого входным алфавитом. Совокупность входных символов, поданных на входы устройства, образует входное слово Р _i в алфавите Х . На выходе устройства появляются выходные слова Q_j