Составление параметрических уравненийпоправок измеренных длин сторон.
В проектируемой сети могут планироваться измерения отдельных длин сторон. Параметрическое уравнение поправок стороны имеет вид: где с и d — коэффициенты уравнений, вычисляемые по формулам а l - исключаемая постоянная систематическая ошибка, обусловленная разностью уровней принимаемых сигналов при проведении измерений и определении поправок. Параметрические уравнения поправок измеренных длин сторон: VS 51 = c15 ξ5 + d15 η5 + l51 = cosα15 ξ5 + sinα15 η5 + l15 VS 52 = c25 ξ5 + d25 η5 + l25 = cosα25 ξ5 + sinα25 η5 + l25 VS 42 = c24 ξ4 + d24 η4 + l24 = cosα24 ξ4 + sinα24 η5 + l24 VS 43 = c34 ξ4 + d34 η4 + l34 = cosα34 ξ4 + sinα34 η4 + l34 VS 35 = c35 ξ5 + d35 η5 + l35 = cosα35 ξ5 + sinα35 η5 + l35 VS 45 = c45 ξ4 + d45 η4 + c54 ξ5 + d54 η5 + l45 = −cosα45 ξ4 − sinα45 η4 + cosα45 ξ5 + sinα45 η5 + l45 Таблица коэффициентов параметрических уравнений поправок
|
Определяемые пункты |
||||
Изм. |
Скочково |
Лесное |
||
|
|
|
|
|
S5 1 |
0 |
0 |
-0,4981 |
-0,8671 |
S5 2 |
0 |
0 |
0,9761 |
-0,2175 |
S4 2 |
0,6828 |
-0,7306 |
0 |
0 |
S4 3 |
0,9833 |
0,1818 |
0 |
0 |
S45 |
0,2405 |
-0,9706 |
-0,2405 |
0,9706 |
Установление единицы веса и вычисление исходной весовой матрицы P для уравниваемых величин.
Измеряемые углы на пунктах триангуляции представляются рядом равноточных независимых направлений. Поэтому в качестве единицы веса целесообразно взять вес измерения направлений. Тогда корреляционная матрица ошибок направлений, а следовательно, и ее весовая матрица PМ , будут равны единичной матрице
Q = PМ = Е .
Вычисление корреляционной матрицы ошибок координат определяемых пунктов.
Корреляционная матрица ошибок необходимых параметров равна обратной матрице коэффициентов нормальных уравнений
Благодаря диагональной конструкции матрицы P формулу для вычисления коэффициентов нормальных уравнений представим в виде
Учитывая, что
В результате вычислений получим:
0,7547 |
-0,0536 |
0,0224 |
0,0522 |
-0,0639 |
-0,3958 |
0,0593 |
0,4551 |
0,1392 |
-0,0536 |
0,3158 |
0,0566 |
-0,128 |
0,0382 |
0,2224 |
-0,166 |
-0,1546 |
-0,1527 |
0,0064 |
0,0566 |
0,7559 |
-0,2869 |
0,0368 |
-0,0061 |
-0,5632 |
0,0366 |
-0,0135 |
0,0522 |
-0,128 |
-0,2869 |
0,8841 |
-0,2239 |
-0,677 |
0,7581 |
0,2277 |
0,0151 |
-0,0639 |
0,0382 |
0,0368 |
-0,2239 |
0,5244 |
0,6486 |
-0,2013 |
-0,3494 |
0,1048 |
-0,3958 |
0,2224 |
-0,0061 |
-0,677 |
0,6486 |
2,6272 |
-0,4731 |
-1,756 |
-0,061 |
0,0593 |
-0,166 |
-0,5632 |
0,7581 |
-0,2013 |
-0,4731 |
1,3295 |
0,2446 |
0,0412 |
0,4551 |
-0,1546 |
0,0366 |
0,2277 |
-0,3494 |
-1,756 |
0,2446 |
1,9114 |
0,2573 |
0,1392 |
-0,1527 |
-0,0135 |
0,0151 |
0,1048 |
-0,061 |
0,0412 |
0,2573 |
0,648 |
матрицу
где
3,5788 |
-0,4731 |
-1,756 |
-0,061 |
-0,4731 |
2,3295 |
0,2446 |
0,0412 |
-1,756 |
0,2446 |
2,9114 |
0,2573 |
-0,061 |
0,0412 |
0,2573 |
2,648 |
Вычисление корреляционных матриц ошибок
дирекционных углов и длин сторон сети.
Дирекционные углы и длины сторон геодезической сети являются функциями координат:
Корреляционные матрицы их ошибок в уравненной сети вычисляются по формулам:
F a — матрица частных производных оцениваемых дирекционных углов;
Fs — матрица частных производных оцениваемых длин сторон сети.
Известно, что
где
Производные
Определяемые пункты |
||||
Изм. |
Жихарево |
Марково |
||
|
|
|
|
|
a51 |
0, |
0 |
-0,4235 |
-07546 |
a52 |
0 |
0 |
0,3428 |
-0,3426 |
a43 |
0,5678 |
-0,5673 |
0 |
0 |
a42 |
09734 |
0,4536 |
0 |
0 |
a45 |
0,4632 |
-0,4256 |
-0,2533 |
0,3527 |
Матрица частных производных оцениваемых
длин сторон (матрица Fs ):
Определяемые пункты |
||||
Изм. |
Жихарево |
Марково |
||
|
|
|
|
|
S 51 |
0 |
0 |
-34,25 |
-35,43 |
S 52 |
0 |
0 |
-23.44 |
76,38 |
S42 |
45,45 |
37,54 |
0 |
0 |
S43 |
23,45 |
43,26 |
0 |
0 |
S45 |
-64,53 |
54,16 |
-34.56 |
32,34 |
После перемножения матриц
0,5414 |
0,3007 |
-0,1319 |
-0,02 |
0,1519 |
0,3007 |
0,628 |
0,1568 |
0,0782 |
-0,235 |
-0,1319 |
0,1568 |
0,6979 |
0,1815 |
0,1206 |
-0,02 |
0,0782 |
0,1815 |
0,7445 |
0,074 |
0,1519 |
-0,235 |
0,1206 |
0,074 |
0,8055 |
После перемножения матриц
0,557835 |
0,007676 |
-0,002272 |
-0,004542 |
0,001327 |
0,007676 |
0,000300 |
-0,000057 |
-0,000205 |
0,000009 |
-0,002272 |
-0,000057 |
0,000135 |
0,000033 |
0,000002 |
-0,004542 |
-0,000205 |
0,000033 |
0,000212 |
0,000009 |
0,001327 |
0,000009 |
0,000002 |
0,000009 |
0,000062 |
Определение средней квадратической ошибки единицы веса .
Имея заданную точность определения дирекционных углов и длин сторон сети, а также корреляционные матрицы их ошибок
По формулам:
вычисляются значения средней квадратической ошибки единицы веса.
Из двух значений m выбирается наименьшее значение. В этих формулах
Для данной сети имеем:
для средней квадратической ошибки единицы веса необходимо установить значение равное 6,78". Оно является максимально возможным из всех, которые могут доставить дирекционным углам и длинам сторон проектируемой сети требуемую точность.
Определение случайной и систематической
средних квадратических ошибок измерений .
За единицу веса принят вес измерения направлений. Известно, что угловые измерения сопровождаются случайными и систематическими ошибками. Поэтому среднюю квадратическую ошибку единицы веса представим в виде:
где m D - средняя квадратическая случайная ошибка измерения направлений;
m d - средняя квадратическая систематическая ошибка измерения направлений.
Влияние случайных ошибок ослабляется путем увеличения числа приемов. По экономическим соображениям число приемов ограничивается и доводится до определенного минимума, который позволяет свести случайные ошибки к пренебрегаемым величинам. Если
Отсюда находим:
В развиваемой сети случайная составляющая средней квадратической ошибки единицы веса должна быть равной:
|
Влияние систематических ошибок на точность измерений горизонтальных направлений в рассматриваемой сети не должно превосходить:
Требования к точности прибора и числу приемов.
Величина
равными:
где
Тогда предельные ошибки будут равны:
Предельные ошибки при проектировании измерений, как правило, определяются по формуле:
Проектируемая сеть является сетью триангуляции. Значения горизонтальных направлений на пунктах триангуляции могут быть получены в результате измерения горизонтальных углов способом круговых приемов (способ Струве) и способом во всех комбинациях (способ Шрейбера). Предельные ошибки значений горизонтальных углов, полученных в результате многократных измерений будут равны:
где
Горизонтальные углы являются функциями равноточных направлений. Поэтому для рассматриваемой сети будем иметь:
|
предельная ошибка измерения горизонтальных углов составит:
|
Для обоснования требований к точности прибора и числу приемов рассмотрим величину:
где m — средняя квадратическая случайная ошибка измерений одним приемом, вычисляемая по результатам измерений (по формуле Бесселя).
Величина T
является случайной. Она имеет распределение Стьюдента. Функция распределения по закону Стьюдента выражает вероятность того, что случайная величина T
принимает по абсолютной величине значения меньшие заданного
Распределение Стьюдента зависит от числа степеней свободы r . Для измеряемых величин число степеней свободы определяется по формуле:
r = n – 1 ,
где n — количество приемов.
Приняв определенное значение g и задавая степень свободы r
по таблице Стьюдента можно найти
.
Отсюда следует:
Степень свободы подбирается такой, чтобы точность измерения одним приемом m и число приемов n = r + 1 были приемлемы при производстве наблюдений на пунктах сети.
По величине m определяется класс прибора, обеспечивающий данную точность измерений одним приемом:
m п < m ,
где m п — паспортное значение средней квадратической ошибки измерения одним приемом.
Значение g должно назначаться примерно равным единице. Если взять, например, g = 0,9 — то в десяти случаях из ста могут оказаться незамеченными измерения, для которых случайная ошибка среднего арифметического значения будет больше предельной, т.е. 10% некачественных измерений будут приняты в обработку. При g = 0,99 только 1% некачественных измерений будет незамеченным. Обычно g принимается равным 0,995; 0,997; 0,999.
Примем g = 0,999. По таблице распределения Стьюдента для r
= 2 находим
n = r + 1 = 3.
Среднюю квадратическую ошибку измерения угла одним приемом вычислим по формуле
Таким образом, чтобы получить значения горизонтальных углов с точностью
Для r = 3 будем иметь
n = r + 1 = 4;
требуемую точность измерений может обеспечить теодолит Т1.
Следовательно, значения горизонтальных углов с точностью
Для r = 5 будем иметь
n = r + 1 = 6;
требуемую точность измерений может обеспечить теодолит Т2.
Следовательно, значения горизонтальных углов с точностью
шестью приемами.
Установление допуска на разброс измеренных значений.
При известном числе наблюдений n и известной средней квадратической ошибке измерения одним приемом m п допустимое расхождение между приемами определяется равенством:
В проектируемой сети триангуляции измерение горизонтальных углов может выполняться как круговыми приемами, так и во всех комбинациях. Число круговых приемов при измерении теодолитами Т-05 и Т-1(ОТ-02М) должно быть 4 и 6 соответственно. Определим допустимое расхождение между приемами при измерении теодолитом Т05 .
При надежности g = 0,999 и числе приемов n = 4 из таблицы (приложение 3) имеем t0.999,4 = 5,31 Величина размаха Rp.n будет равна:
mT-05 = 0.8"
t0.999,4 = 4,57
R0.999,4 = t0.999,4 ∙ mT-05 = 3,746"
Это значит, что при измерении горизонтальных углов теодолитом Т-05 четырьмя приемами в 99 случаях из 100 расхождение между приемами не должно превзойти 2,655".
При надежности g = 0,999 и числе приемов n = 6 по таблице (приложение 3) находим t0.999,6 = 5.62. Для теодолита Т-1(ОТ-02М) получим:
mT-1 = 2.0"
t0.999,6 = 4.54
R0.999,6 = t0.999,6 ∙ mT-1 = 6,44"
Следовательно, при измерении теодолитом Т-1(ОТ-02М) горизонтальных углов круговыми приемами в сети триангуляции расхождение между приемами не должно превосходить более 5.6".
Установим допуск для не замыкания горизонта при измерении углов круговыми приемами. При надежности g = 0,999 и n =2 из таблицы (приложение 3) находим t0.999,2 =4,65. Средние квадратические ошибки измерения углов в полу приемах теодолитами Т-05 и Т-1(ОТ-02М) соответственно равны:
Тогда:
Таким образом, при измерении горизонтальных углов теодолитами Т-05 и Т-1(ОТ-02М) расхождение значений результатов наблюдений начального направления в начале и конце полприема не должно превышать 3.30" и 6.56" соответственно.
Горизонтальные углы с требуемой точностью могут измеряться и способом Шрейбера. Однако число приемов будет отличаться от числа круговых приемов. Установим допустимое расхождение между приемами при измерении горизонтальных углов во всех комбинациях. Сначала определим число приемов.
Число приемов во всех комбинациях определяется следующим образом. произведение числа приемов на количество направлений приравнивается к удвоенному числу круговых приемов
где n '— число приемов в способе Шрейбера;
m — число направлений;
n — число приемов в способе Струве.
в триангуляции это произведение при измерении углов теодолитом Т-05 равно 8. В проектируемой сети планируются наблюдения 3-х направлений. Следовательно, необходимое число приемов составит:
n=8/3=3
Необходимые расчеты при надежности g = 0,999 выполним в таблице:
число направлений |
3 |
Число приемов |
3 |
Значение tp.n |
5.05 |
Расхождение между приемами |
2,5" |
При измерении углов теодолитом Т-1(ОТ-02М) произведение составит 12
n=12/3=4
Необходимые расчеты при надежности g = 0,999 приведены в таблице:
число направлений |
2 |
Число приемов |
3 |
Значение tp.n |
5,53 |
Расхождение между приемами |
4,5" |
Установление допусков на невязки геометрических условий .
Wдоп =2,5mw - определяет величину допустимой невязки.
Проектируемая сеть состоит из пяти пунктов (три исходных, два
определяемых) в ней планируется измерить 9 углов.
n- количество измеряемых углов - 9.
s- количество определяемых сторон -5.
m- количество определяемых пунктов - 2.
угловых условий- r1 =n-s=9-5=4
- синусных условий r2 =s-2m= 5-4=1
- общее число условий. rоб = r1 + r2 =5
- проверка. r= n-2m=5
- условия фигур - 3
- условия дир. углов - 1
- условие базиса - 1
Всего -5
Установим для невязок допустимые значения; вычислим mw .
wl=βl+β2+β3 - 180° w1= -16”
w2=β4+β5 +β6 - 180° w2= -31”
w3=β7+β8+ β9 - 180" w3= +14”
w4=β1+β4+ β7 – (α21 -α23 ) w4=-23”
S32 · sin2 · sin5 · sin8
w5= ――――――――― -S21 w5= -0,867
sin9 · sin6 · sin3
Таблица коэффициентов условных уравнений поправок. А
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
w |
|
а1 i |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
w1 |
а2i |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
w2 |
а3i |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
w3 |
а4i |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
w4 |
а5i |
0,675 |
0,789 |
0 |
0,678 |
0,457 |
0 |
0,762 |
0976 |
0 |
w5 |
Среднее кв. значение невязок можно получить
Определение необходимой точности учета систематических ошибок.
Суммарное влияние систематических ошибок на точность измерений направлений не должны превышать mδ .
mδ - является результатом совокупного влияния приборных и внешних систематических ошибок, следовательно, при условии равного влияния должно выполняться равенство.
mпр 2 + mвн 2 < mδ 2 -> mпр = mвн < mδ /√2=6.51/√2=4.60"
mпр - выражает совместное влияние ошибок прибора: погрешности в изготовлении, регулировка, юстировка отдельных узлов и деталей, на точность измерений.
mδ 1 2 + mδ 2 2 +к+ mδk 2 < mпр 2
mδ 1 2 <mпр √к=4.60/√3÷5=2.06" ÷ 2.66"
Влияние каждого частного источника приборных ошибок в среднем не
должно превышать этой величины.
Во время угловых измерений существенным источником ошибок является влияние внешней среды (боковая рефракция, кручение и гнутие
геодезических сигналов, ошибки визирования, ошибки за центрировку и
редукцию). Ошибки, вызванные внешней средой, не должны превышать
mδk +1 2 + mδk +2 2 + к+ mδk +1 2 < mвн 2
Применяя принцип равного влияния, приходим к выводу, что ранее перечисленные систематические ошибки не должны превышать mεi < mвн /√t=4.60/√6=1.88"
Установление точности определения элементов приведения.
В проектируемой сети поправки за центрировку и редукцию должны быть получены со средними квадратическими ошибками менее 1.88". Минимальная длина стороны сети равна 2079,929м. Следовательно, линейные элементы приведения должны определяться с точностью,
равной mλ = mλ 1 = mс s/√2p"Sin(M+Ө)=1.88*2079,929/√2*206265=13 мм.
Точность определения угловых элементов приведения зависит от величины линейного элемента. Для значений √ и √1 , равных 50см, 30см, 20см, и 10см имеем:
mӨ = mӨ 1 = mc s/√2 λ Sin(M+Ө)= 1.88*2079,929/√2*0,5м=26΄
mӨ = mӨ 1 = mc s/√2 λ Sin(M+Ө)= 1.88*2079,929/√2*0,3м=45΄
mӨ = mӨ 1 = mc s/√2 λ Sin(M+Ө)= 1.88*2079,929/√2*0,2м=1.14°
mӨ = mӨ 1 = mc s/√2 λ Sin(M+Ө)=1,88*2079,929/√2*0,1м=2.28°
Такие точности может обеспечить графический способ определения
элементов приведения.
При цене деления уровня т=8" и высоте h=20м. будем иметь:
х= τ"h/ρ"=8*20000/206265=1.5мм.
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза
больше радиуса вписанной. Как видим, графический метод обеспечивает
определение линейных элементов приведения с требуемой точностью.
Предельное значение, для вероятности 0,95 будем иметь:
(Δs)пред =3 mλ √3=27мм.
Технические указания на производство геодезических работ
Выполненные расчеты являются основой для разработки технических указаний на выполнение полевых работ по развитию специальной геодезической сети.
В технических указаниях отражается:
Краткая физико-географическая характеристика района работ;
Схема сети, требования к центрам пунктов и наружным знакам;
Приборы, выполняемые поверки и исследования, требования к ним;
Методики измерений, число приемов, допуски на размах варьирования результатов измерений и величину невязок геометрических условий;
Требования к определению элементов приведений;
Меры по ограничению влияний систематических ошибок.