ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра микроэлектроники

Курсовая работа

по курсу ФОМ

Тема

Емкость резкого p-n перехода

г. Пенза, 2005 г.

Содержание

Задание

Обозначение основных величин

Основная часть

1. Расчет собственной концентрации электронов и дырок

2. Расчет контактной разности потенциалов

3. Расчет толщины слоя объемного заряда

4. Расчет барьерной емкости

Список используемой литературы

Задание

1. Вывести выражение для емкости резкого p-n перехода в случае полностью ионизированных примесей

2. Рассчитать величину барьерной емкости резкого p-n перехода при 300 К и напряжении V. Считать что примеси полностью истощены, а собственная проводимость еще очень мала.

3. Построить график зависимости барьерной емкости от температуры.

4. Составить программу вычисления значений барьерной емкости для графика.

Обозначение основных величин

DE – ширина запрещенной зоны.

[DE] =1,8 10 Дж=1,13 эВ.

e – электрическая постоянная.

e =8,86 10 .

– подвижность электронов.

[ ]=0,14 м /(В с)

– подвижность дырок.

[ ]=0,05 м /(В с)

m – эффективная масса электрона.

m =0,33 m =0,33 9,1 10 =3,003 10кг

m – эффективная масса дырки.

m =0,55 m =0,55 9,1 10 =5,005 10кг

m – масса покоя электрона.

m =9,1 10 кг.

– время релаксации электрона.

=2 10с.

– время релаксации дырки.

=10 с.

S – площадь p-n перехода.

[S]= 10 мм

n – собственная концентрация электронов.

[n ]=м

p – собственная концентрация дырок.

[p ]=м

N – эффективное число состояний в зоне проводимости, приведенное ко дну зоны.

[N ]=м

N – эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны.

[N ]=м

k – константа Больцмана.

k = 1,38 10 .

Т – температура.

[T]=K.

- число Пи.

=3,14.

h – константа Планка.

h = 6,63 10 Дж с.

V –контактная разность потенциалов.

[V ]=B.

j – потенциальный барьер.

[j ]=Дж или эВ.

q – заряд электрона.

q=1,6 10 Кл.

n – концентрация донорных атомов в n-области.

[n ]=[N ]=2,0 10 м

p – концентрация акцепторных атомов в p-области.

[p ]=[N ]=9,0 10 м

e – диэлектрическая проницаемость.

e=15,4

d – толщина слоя объемного заряда.

[d]=м.

N – концентрация акцепторов.

[N ]=1,0 10 см

N – концентрация доноров.

[N ]=1,0 10 см

V – напряжение.

[V]=0 В.

C – барьерная емкость.

[C ]=Ф.

– удельная барьерная емкость.

[ ]= Ф/м

m – уровень Ферми.

[m ]=Дж или эВ.

1. Расчет собственной концентрации электронов и дырок

Е Е+dЕ

Зона проводимости

Е

0 Е

- m

Е

-m¢

Е

Валентная зона.

Рис.1.Положение уровня Ферми в невырожденном полупроводнике.

На рис. 1 показана зонная структура невырожденного полупроводника. За нулевой уровень отсчета энергии принимают обычно дно зоны проводимости Е . Так как для невырожденного газа уровень Ферми m должен располагаться ниже этого уровня, т.е. в запрещенной зоне, то m является величиной отрицательной (-m >>kT). При температуре Т, отличной от абсолютного нуля, в зоне проводимости находятся электроны, в валентной зоне – дырки. Обозначим их концентрацию соответственно через n и p. Выделим около дна зоны проводимости узкий интервал энергий dЕ, заключенный между Е и Е+dЕ. Так как электронный газ в полупроводнике является невырожденным, то число электронов dn, заполняющих интервал энергии dЕ (в расчете на единицу объема полупроводника), можно определить, воспользовавшись формулой :

N(E)dE= (2m) e EdE

dn= (2m ) e e EdE

где m – эффективная масса электронов, располагающихся у дна зоны проводимости.

Обозначим расстояние от дна зоны проводимости до уровня Ферми через -m, а от уровня Ферми до потолка валентной зоны через -m¢. Из рис. 1 видно, что

m+m¢=-E ,

m¢=-(Е +m)

где Е ( Е) - ширина запрещенной зоны.

E =Е +bТ

Полное число электронов n, находящихся при температуре Т в зоне проводимости, получим, интегрируя (1.2) по всем энергиям зоны проводимости, т.е. в пределах от 0 до Е :

n=4

Так как с ростом Е функция exp(-E/kT) спадает очень быстро, то верхний предел можно заменить на бесконечность:

n=4

Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату:

n=2 exp (1.5)

Введем обозначение

N =2(2 m kT/h ) (1.6)

Тогда (1.5) примет следующий вид:

n=N exp( /kT) (1.7)

Множитель N в (1.7) называют эффективным числом состояний в зоне проводимости, приведенным ко дну зоны. Смысл этого числа состоит в следующем. Если с дном зоны проводимости, для которой Е=0, совместить N состояний, то, умножив это число на вероятность заполнения дна зоны, равную f (0)=exp( /kT), получим концентрацию электронов в этой зоне.

Подобный расчет, проведенный для дырок, возникающих в валентной зоне, приводит к выражению:

p=2 exp =N exp = N exp (1.8)

где

N =2 (1.9)

– эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны.

Из формул (1.7) и (1.8) следует, что концентрация свободных носителей заряда в данной зоне определяется расстоянием этой зоны от уровня Ферми: чем больше это расстояние, тем ниже концентрация носителей, так как m и m¢ отрицательны.

В собственных полупроводниках концентрация электронов в зоне проводимости n равна концентрации дырок в валентной зоне p , так как

каждый электрон, переходящий в зону проводимости, «оставляет» в валентной зоне после своего ухода дырку. Приравнивая правые части соотношения (1.5) и (1.8), находим

2 exp =2 exp

Решая это уравнение относительно m, получаем

m = - + kTln (1.10)

Подставив m из (1.10) в (1.5) и (1.7), получим

n =p =2 exp =(N N ) exp (1.11)

Из формулы (6.12) видно, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещенной зоны и температурой. Причем зависимость n и p от этих параметров является очень резкой.

Рассчитаем собственную концентрацию электронов и дырок при Т=300К.

E_g =(0,782-3,9 10 300)1,6 10^-19 =1,064 10^-19 Дж

N =2(2 m kT/h ) =2 =2 = =2 =4,7 10 (см)

N =2 =2 =2 =10,2 10 (см)

n =p =(N N ) exp ==

6,92 10 2 10 =13,8 10 (см)

2. Расчет контактной разности потенциалов

Для n-области основными носителями являются электроны, для p-области – дырки. Основные носители возникают почти целиком вследствие ионизации донорных и акцепторных примесей. При не слишком низких температурах эти примеси ионизированы практически полностью, вследствие чего концентрацию электронов в n-области n можно считать равной концентрации донорных атомов: n »N , а концентрацию дырок в p-области p – концентрация акцепторных атомов в p-области: p »N.

Помимо основных носителей эти области содержат не основные носители: n-область – дырки (p ), p-область – электроны (n ). Их концентрацию можно определить, пользуясь законом действующих масс:

n p = p n =n.

Как видим, концентрация дырок в p-области на 6 порядков выше концентрации их в n-области, точно так же концентрация электронов в n-области на 6 порядков выше их концентрации в p-области. Такое различие в концентрации однотипных носителей в контактирующих областях полупроводника приводит к возникновению диффузионных потоков электронов из n-области в p-область и дырок из p-области в n-область. При этом электроны, перешедшие из n- в p-область, рекомбинируют вблизи границы раздела этих областей с дырками p-области, точно так же дырки, перешедшие из p- в n-область, рекомбинируют здесьс электронами этой области. В результате этого в приконтактном слое n-области практически не остается свободных электронов и в нем формируется неподвижный объемный положительный заряд ионизированных доноров. В приконтактном слое p-области практически не остается дырок и в нем формируется неподвижный объемный отрицательный заряд ионизированных акцепторов.

Неподвижные объемные заряды создают в p–n-переходе контактное электрическое поле с разностью потенциалов V , локализованное в области перехода и практически не выходящее за его пределы. Поэтому вне этого слоя, где поля нет, свободные носители заряда движутся по-прежнему хаотично и число носителей, ежесекундно наталкивающихся на слой объемного заряда, зависит только от их концентрации и скорости теплового движения. Как следует из кинетической теории газов, для частиц, подчиняющихся классической статистике Максвела–Больцмана, это число nопределяется следующим соотношением:

n= n S, (2.1)

где n - концентрация частиц; - средняя скорость теплового движения; S – площадь, на которую они падают.

Неосновные носители – электроны из p-области и дырки из n-области, попадая в слой объемного заряда, подхватываются контактным полем V и переносятся через p–n-переход.

Обозначим поток электронов, переходящих из p- в n-область, через n , поток дырок, переходящих из n- в p-область, через p .

Согласно (2.1) имеем

n = n S, (2.2)

p = p S. (2.3)

Иные условия складываются для основных носителей. При переходе из одной области в другую они должны преодолевать потенциальный барьер высотой qV , сформировавшийся в p–n-переходе. Для этого они должны обладать кинетической энергией движения вдоль оси c, не меньшей qV . Согласно (2.1) к p–n-переходу подходят следующие потоки основных носителей:

n = n S,

p = p S.

В соответствии с законом Больцмана преодолеть потенциальный барьер qV сможет только n exp (-qV /kT) электронов и p exp (-qV /kT) дырок. Поэтому потоки основных носителей, проходящие через p–n-переход, равны

n = n exp (-qV /kT), (2.4)

p = p exp (-qV /kT), (2.5)

На первых порах после мысленного приведения n- и p-областей в контакт потоки основных носителей значительно превосходят потоки неосновных носителей: n >>n , p >>p . Но по мере роста объемного заряда увеличивается потенциальный барьер p–n-перехода qV и потоки основных носителей согласно (2.4) и (2.5) резко уменьшаются. В то же время потоки неосновных носителей, не зависящие от qV [ см. (2.2) и (2.3)] остаются неизменными. Поэтому относительно быстро потенциальный барьер достигает такой высоты j = qV , при которой потоки основных носителей сравниваются с потоками неосновных носителей:

n =n , (2.6)

p =p . (2.7)

Это соответствует установлению в p–n-переходе состояния динамического равновесия.

Подставляя в (2.6) n из (2.4) и n из (2.2), а в (2.7) p из (2.5) и p из (2.3), получаем

n exp (-qV /kT)= n , (2.8)

p exp (-qV /kT)= p . (2.9)

Отсюда легко определить равновесный потенциальный барьер p–n-перехода j = qV . Из (2.8) находим

j = qV = kTln (n / n )= kTln (n p /n ). (2.10)

Из (2.9) получаем

j = kTln (p / p )=kTln (p n / n ). (2.11)

Из (2.10) и (2.11) следует, что выравнивание встречных потоков электронов и дырок происходит при одной и той же высоте потенциального барьера j . Этот барьер тем выше, чем больше различие в концентрации носителей одного знака в n- и p-областях полупроводника.

Рассчитаем контактную разность потенциалов при 300 К.

n =N =1,0 10

p =N =1,0 10

j = kTln(p n /n )=1,38 10 300 ln=

= 414 10 6,26=2,6 10(Дж)

V = = =0,16 (В)

3. Расчет толщины слоя объемного заряда

Для определения вида функции j (x), характеризующей изменение потенциальной энергии электрона при переходе его из n- в p-область (или дырки при переходе ее из p- в n-область), воспользуемся уравнением Пуассона

= r (x), (3.1)

в котором r (x) представляет собой объемную плотность зарядов, создающих поле. Будем полагать, что донорные и акцепторные уровни ионизированы полностью и слой d покинули практически все электроны, а слой d – все дырки. Тогда для области n (x>0) r (x) »qN »qn , для области p (x<0) ) r (x) » - qN » -qp . Подставляя это в (3.1), получаем

= N для x>0, (3.2)

= N для x<0. (3.3)

Так как на расстояниях x£d и x³- d контактное поле в полупроводнике отсутствует, то граничными условиями для этих уравнений являются :

j (x) ½ =0, j (x) ½ =j ; (3.4)

½ =0, ½ =0. (3.5)

Решение уравнений (3.2) и (3.3) с граничными условиями (3.4) и (3.5) приводит к следующим результатам:

j= N (d - x) для 0<x< d , (3.6)

j=j - N (d + x) для - d <x<0, (3.7)

d= = , (3.8)

d /d =N /N , (3.9)

Из уравнений (3.6) и (3.7) видно, что высота потенциального барьера j (x) является квадратичной функцией координаты x. Толщина слоя объемного заряда согласно (3.8) тем больше, чем ниже концентрация основных носителей, равная концентрации легирующей примеси. При этом глубина проникновения контактного поля больше в ту область полупроводника, которая легирована слабее. При N <<N , например, практически весь слой локализуется в n-области:

d»d = = . (3.10)

Произведенный расчет толщины слоя объемного заряда относится к резкому p–n-переходу, в котором концентрация примесей меняется скачкообразно. Рассчитаем толщину слоя объемного заряда резкого p–n-перехода при 300 К.

d= = = = =5,26 10(см)

4. Расчет барьерной емкости

Электронно–дырочный переход обладает барьерной, или зарядовой, емкостью, связанной с изменением величины объемного заряда p–n-перехода под влиянием внешнего смещения.

Толщина слоя объемного заряда d перехода связана с высотой потенциального барьера j = qV соотношением (3.8) (или (3.10) для несимметричного перехода). Поэтому повышение потенциального барьера p–n-перехода при обратном смещении происходит за счет расширения слоя объемного заряда.

При прямом смещении потенциальный барьер p–n-перехода уменьшается за счет суждения слоя объемного заряда.

Для асимметричного p–n-перехода, например, в том и другом случае толщина слоя объемного заряда определяется соотношением, аналогично (3.10):

d = = , (4.1)

Здесь V>0 при прямом и V<0 при обратном смещении.

Установление стационарного состояния при наличии смещения происходит следующим образом. Обратное смещение V, приложенное к полупроводнику, создает в n- и p-областях внешнее поле Е , вызывающее дрейф основных носителей к омическим контактам, с помощью которых полупроводник подключается в цепь. Отток основных носителей от p–n-перехода приводит к обнажению новых слоев ионизированных доноров и акцепторов и расширению области объемного заряда. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все внешнее смещение V не окажется приложенным к p–n-переходу.

Прямое смещение вызывает приток основных носителей к области объемного заряда, в результате которого заряды, созданные внешним источником э.д.с. на омических контактах, переносятся к p–n-переходу и сужают его.

После установления стационарного состояния практически все напряжение V падает на p–n-переходе, так как его сопротивление на много порядков выше сопротивления остальных областей полупроводника.

Таким образом, приложенное к p–n-переходу внешнее напряжение вызывает появление в первый момент времени импульса тока во внешней цепи, приводящего, в конечном счете, к увеличению или уменьшению объемного заряда p–n-перехода. Поэтому переход ведет себя как емкость. Ее называют барьерной, или зарядовой, емкостью, так как она связана с изменением потенциального барьера p–n-перехода. При подаче на переход обратного смещения барьерная емкость заряжается, при подаче прямого смещения – разряжается.

Величину барьерной емкости можно вычислять по формуле плоского конденсатора

С = S/d, (4.2)

где S- площадь p–n-перехода; e - диэлектрическая проницаемость полупроводника; d – толщина слоя объемного заряда, играющая роль расстояния между обкладками конденсатора. Отличие от конденсатора состоит в том, что d в выражении (4.3) не является величиной постоянной, а зависит от внешнего смещения V. Поэтому и барьерная емкость С также зависит от внешнего смещения V. Подставляя в (4.2) d из (4.1), получаем

С =S = S . (4.3)

С =S =0,15 = =0,15 =0,15 3,44 =0,516 (Ф)

C писок используемой литературы

1. Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Физические основы конструирования и технологии РЭА и ЭВА. - М.: Советское радио, 1979.

2. Пасынков В.В., Сорокин В.С. Материалы электронной техники. – М.: Высшая школа, 1986.

3. Пасынков В.В., Чиркин Л.К. полупроводниковые приборы. – М.: Высшая школа, 1987.