Частица вращается по окружности
, и уравнение движения
. Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент
.
Найдем угловую скорость
:
;
Линейная скорость находиться по формуле
Тангенциальное ускорение
:
,
Нормальное ускорение
:
,
Полное ускорение
:
,
Ответ: тангенциальное ускорение
, нормальное ускорение
, полное ускорение
.
Тело движется вдоль прямой, замедляясь при
. В начальной точке скорость была
. Какой путь пройдет тело до остановки.
Мгновенная скорость
, следовательно
Мгновенное ускорение
, следовательно
Получаем равенство
Проинтегрируем равенство
Ответ: тело пройдет путь равный
На брусок массой
, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, действует сила
. При прямолинейном движении угол между силой и горизонтом изменяется по закону
, где
- постоянная. Найти скорость бруска как функцию от .
Уравнение движения в проекции
имеет вид
Заменим в уравнении
, тогда
Ответ: скорость бруска равна
Конькобежец массой
кг, стоя на коньках на льду, толкает камень
кг под углом 30° к горизонту со скоростью
. Найти начальную скорость движения конькобежца.
Импульс и закон сохранения импульса
;
;
Перед броском все тела находились в покое: импульс каждого из них был равен 0, равнялась 0 и их векторная сумма
В конце броска импульс груза равен
, конькобежца -
В проекции на ось Ox импульс груза равен
, конькобежца -
.
т.к.
, то
.
Ответ:
;
Тело массой
начинает двигаться вдоль оси
со скоростью
, где
- перемещение. Найти выражение для работы и вычислить работу при
кг за 3с движения.
Найдем ускорение как производную от скорости
;
;
Ускорение постоянно, значит движение равноускоренное. Зависимость скорости от времени.
Через 3с скорость будет:
Работа равна изменению кинетической энергии. Т.к. в начале тело находилось в состоянии покоя:
;
кДж
Ответ:
,
;
Диск массой 10 кг и радиусом 20 см вращается относительно оси симметрии под действием момента сил М = 1,8t2
. Найти угловую скорость колеса через 3 с после начала движения.
Момент инерции диска вычисляется по формуле
;
Основной закон динамики вращательного движения
Проинтегрируем выражение по
:
Т.к.
, то
Через 3с угловая скорость будет
Ответ:
Найти момент инерции стержни сечением S и плотностью р = p0
(1-r/l) , где l - длина, r - расстояние до оси вращения, проходящей черев конец стержня. Вычислить при р = 7800 кг/м3
, S = 2 см2
и I= 80 см.
Выделим бесконечно тонкий участок стержня толщиной
. Его момент инерции:
,
где
- масса участка.
Т.к. момент инерции аддитивен, момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции всех его участков.
Ответ:
На скамье Жуковского I = 50 кг-м2
стоит человек и держит в руках колесо, момент инерции которого 0,25 кг-м2
и скорость вращения 25 рад/с. Ось колеса совпадает с осью скамьи. Найти угловую скорость вращения скамьи и работу внешних сил, если колесо расположить горизонтально.
Когда колесо повернули горизонтально, момент импульса вокруг вертикальной оси сохранился. То есть
,
где
- момент инерции колеса,
- угловая скорость скамьи,
- угловая скорость колеса.
Скамья начала вращаться с угловой скоростью
,
Скорость и энергия внешних сил колеса почти не изменилась. Работа внешних сил пошла на изменение энергии вращения скамьи и равна:
,
Ответ:
,
.
Колебания точки происходят по закону х = Acos(w t+j ). В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость V = 20 см/с и ускорение а = - 80 см/с2
. Найти амплитуду А. циклическую частоту w , период колебаний Т и фазу (w t+j ) в рассматриваемый момент времени.
Запишем закон движения и его производные:
(1),
(2),
(3).
Подставив
и
в (3), найдем
:
,
Преобразуем формулу (2) следующим образом:
(2’).
Возведем в квадрат (1) и (2’) и сложим:
см
Период колебаний
с.
Найдем фазу:
,
Что соответствует точке на окружности с углом -
Ответ:
см,
,
с, .
Уравнение колебаний частицы массой 1.6-10 -2
кг имеет вид х = 0,lsin(p t/8 + л/4) (м). Построить график зависимости от времени силы F, действующей на частицу. Найти значение максимальной силы.
Найдем ускорение как вторую производную
по
:
Произведение ускорения на массу даст силу:
,
Значение максимальной силы при
График – синусоида с периодом 16 и смещенная на 2 влево.
Диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, походящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину и период колебаний.
Пусть диск повернулся на малый угол
, тогда возвращающий момент сил:
, где
- плечо силы.
Момент инерции диска относительно центра:
относительно оси вращения:
Тогда уравнение движения имеет вид:
или
Это уравнение колебаний с частотой:
У математического маятника
Значит приведенная длина:
,
м.
Период колебаний:
Ответ:
,
.
Определить скорость, если разность фаз D j колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на D x = 10 см, равна p /З. Частота колебаний равна 25 Гц.
Отношение разности фаз к расстоянию между точками есть волновое число
,
- длина волны.
Выразим частоту:
,
где
- скорость распространения.
Ответ:
.
При изменении давления газа на 200 Па объем газа изменится на 3 л. Если давление изменить на 500 Па, объем изменится на 5 л. Найти начальный объем и давление гaзa. Температура газа сохраняется постоянной.
Используем, что при
. Тогда
.
Аналогично для (2)
Выразим из (1)
и подставим в (2).
, отсюда
.
При
и
положительных мы не знаем, когда газ сжимается, а когда расширяется. Поэтому выберем все величины отрицательными.
Тогда
л. Подставив в формулу для
, получим
Па.
В обоих случаях газ сжимали.
Ответ:
,
Па.
Найти с помощью распределения Максвелла <V2
x
> среднее значение квадрата проекции скорости молекулы газа при температуре Т.
Распределение Максвелла по проекциям:
Среднее значение квадрата проекции ищем по формуле:
Введем новую переменную
,
,
- табличный интеграл.
Ответ:
.
Найти работу, совершающуюся при изотермическом расширении водорода массой 5 г, при температуре 290°К. при увеличении объема газа в три раза.
Количество водорода
моль.
- при расширении от
до
.
кДж.
Ответ:
кДж.
Во сколько раз увеличится КПД цикла Карно при увеличении температуры нагревателя от t1
= 300°К до T 2
= 380 К при температуре холодильника T2
= 200°К?
КПД находим по формуле
,
где
- температура нагревателя, а
- температура холодильника.
- во столько раз увеличивается КПД.
|