Лекція 18
Збудження об’ємних резонаторів.
1.
Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора.
,
, бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання:
.
,
.
Проінтегрувавши обидві рівності по всьому об’єму та врахувавши властивості
векторного добутку, отримаємо:
,
.
Враховуючи, що
та позначивши
маємо лінійну однорідну систему відносно
з коефіцієнтами
та :
. Система має нетрівіальні розв’язки якщо
;
. Тоді
, тобто
. Таким чином маємо ортонормованість власних функцій резонатора з нормою
, яку легко знайти.
2.
Знайдемо поля
та
всередині резонатора при наявності струмів.
- рівняння Максвела.
Псевдовектор
в математиці – вектор, що змінює свій напрямок при інверсії системи координат (напрямок, векторний добуток). У фізиці псевдовектор змінює напрямок при інверсії часу
. Наприклад, при інверсії часу електрон починає обертатися в протилежному напрямку, а відповідно змінює і напрямок МП.
Таким чином, МП – псевдовектор, ЕП – вектор. Звідси можна зробити висновок, що гамільтоніан не може містити
(щоб він був інваріантний до інверсії часу). Ще один висновок – що немає магнітного п’єзоефекту
.
Існує іще одна класифікація:
соленоїдальні та потенціальні.
Потенціальний (поздовжній):
- немає вихорів.
Соленоїдальний (поперечний):
- немає вузлів.
Записавши
ми зробили помилку, бо не врахували потенційні поля, пов’язані з електростатичними полями зарядів, що збуджують струми.
Отже,
,
, де
,
. Взагалі то,
, бо магнітних зарядів не існує. Проте, є припущення про існування магнітних зарядів – монополь Дірака
; тоді
.
,
.
Підставимо в рівняння Максвела:
. Прирівнявши відповідні коефіцієнти при базисних функціях
та
, одержимо
- з рівняння а). Оскільки
, то .
.
;
.
Таким чином, для гармонічних полів:
. Тоді
. Використаємо
,
.
,
бо
. Таким чином, довели строге рівняння Пуансона для електростатичної частини полів.
Проінтегруємо
по
, попередньо помноживши на
:
.
В результаті отримаємо:
, маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Амплітуда
.
Ми отримали формулу для резонансного збудження. Тут не враховано дисипацію
, тому можливо
. Якщо дисипацію врахувати наступним чином:
, то отримаємо Лоренцівську резонансну криву:
.
|