ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ (Профильный уровень). Тренировочный вариант №1 (2021 год)

Единый государственный экзамен, 2021 г. 

МАТЕМАТИКА. 

Профильный уровень

 

Тренировочный вариант №1 

 Единый государственный экзамен 

по МАТЕМАТИКЕ 

Профильный уровень 

Инструкция по выполнению работы 

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 

19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня 
сложности.  Часть  2  содержит  4  задания  с  кратким  ответом  повышенного 
уровня  сложности  и  7  заданий  с  развёрнутым  ответом  повышенного  и 
высокого уровней сложности. 

На  выполнение  экзаменационной  работы  по  математике  отводится  3 

часа 55 минут (235 минут).  

Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу 

в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля 
ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1. 

При  выполнении  заданий  13–19  требуется  записать  полное  решение 

и ответ в бланке ответов № 2.  

Все  бланки  ЕГЭ  заполняются  яркими  чёрными  чернилами. 

Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.  

При  выполнении  заданий  можно  пользоваться  черновиком. 

Записи 

в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов 
не учитываются при оценивании работы.

 

Баллы,  полученные  Вами  за  выполненные  задания,  суммируются. 

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее 
количество баллов. 

После  завершения  работы  проверьте,  что  ответ  на  каждое  задание 

в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером. 

Желаем успеха! 

Справочные материалы 

sin

2

𝛼 + cos

2

𝛼 = 1

 

sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼

 

cos 2𝛼 = cos

2

𝛼 − sin

2

𝛼

 

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽

 

cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 − sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽

 

Ответом  к  заданиям  1–12  является  целое  число  или  конечная 
десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, 
затем  перенесите  его  в  БЛАНК  ОТВЕТОВ  №  1  справа  от  номера 
соответствующего  задания,  начиная  с  первой  клеточки.  Каждую 
цифру,  знак  «минус»  и  запятую  пишите  в  отдельной  клеточке  в 
соответствии  с  приведёнными  в  бланке  образцами.  Единицы 
измерений писать не нужно. 

Часть 1 

Бегун пробежал 250 м за 36 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на 
дистанции. Ответ дайте в километрах в час. 

Ответ: ___________________________. 

На  рисунке  жирными  точками  показано  суточное  количество  осадков, 
выпадавших  в  Томске  с  8  по  24  января  2005  года.  По  горизонтали 
указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в 
соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на 
рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Томске 
впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков. 

Ответ: ___________________________. 

1 

2 

На  клетчатой  бумаге  с  размером  клетки 

1 × 1

  изображён  угол.  Найдите 

косинус этого угла. 

Ответ: ___________________________. 

Фабрика  выпускает  сумки.  В  среднем  на  100  качественных  сумок 
приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что 
купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. 

Ответ: ___________________________. 

Найдите корень уравнения 

2
9

𝑥 = −3

7
9

.

 

Ответ: ___________________________. 

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую 
из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих 
сторон треугольника. 

Ответ: ___________________________. 

На рисунке изображён график функции 

𝑦 = 𝑓(𝑥)

. На оси абсцисс отмечены 

восемь  точек: 

𝑥

1

, 

𝑥

2

, 

𝑥

3

, 

𝑥

4

, 

𝑥

5

, 

𝑥

6

, 

𝑥

7

, 

𝑥

8

.  В  скольких  из  этих  точек

производная функции 

𝑓(𝑥)

 отрицательна? 

Ответ: ___________________________. 

3 

4 

5 

6 

7 

Объём  треугольной  призмы,  отсекаемой  от  куба  плоскостью,  проходящей 
через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной 
третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 1,5. Найдите объём 
куба. 

Ответ: ___________________________. 

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

 

Часть 2 

Найдите значение выражения 

(5

3
5

∙ 7

2
3

)

15

35

9

.

 

Ответ: ___________________________. 

На  рисунке  изображена  схема  моста.  Вертикальные 

пилоны

  связаны 

провисающей 

цепью

.  Тросы,  которые  свисают  с  цепи  и  поддерживают 

полотно

 моста, называются 

вантами

. 

Введём систему координат: 
ось 

𝑂𝑦

  направим  вертикально  вверх  вдоль  одного  из  пилонов,  а  ось 

𝑂𝑥

 

направим  вдоль  полотна  моста,  как  показано  на  рисунке.  В  этой  системе 
координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой 

𝑦 = 0,0043𝑥

2

− 0,74𝑥 + 35

,

где 

𝑥

 и 

𝑦

 измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 70 

метрах от пилона. Ответ дайте в метрах. 

Ответ: ___________________________. 

Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 
25 км. Путь из A в B занял у туриста 6 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. 
Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме 
на 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 

Ответ: ___________________________. 

Найдите наибольшее значение функции 

𝑦 = 𝑥

5

+ 20𝑥

3

− 65𝑥

 на отрезке 

[−4; 0]

.

Ответ: ___________________________. 

Не  забудьте  перенести  все  ответы  в  бланк  ответов  №  1  в 
соответствии с инструкцией по выполнению работы. 
Проверьте,  чтобы  каждый  ответ  был  записан  в  строке  с  номером 
соответствующего задания.

 

8 

9 

10 

11 

12 

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК 
ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 
и  т.  д.),  а  затем  полное  обоснованное  решение  и  ответ.  Ответы 
записывайте чётко и разборчиво. 

а) Решите уравнение 

sin 2𝑥 + 2 sin 𝑥 = √3 cos 𝑥 + √3.

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

[−3𝜋; −

3𝜋

2

].

 

В  основании  четырёхугольной  пирамиды 

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷

  лежит  прямоугольник 

𝐴𝐵𝐶𝐷

 со сторонами 

𝐴𝐵 = 8

 и 

𝐵𝐶 = 6

. Длины боковых рёбер пирамиды  

𝑆𝐴 = √21

, 

𝑆𝐵 = √85

, 

𝑆𝐷 = √57

. 

а) Докажите, что 

𝑆𝐴 −

 высота пирамиды. 

б) Найдите угол между прямыми 

𝑆𝐶

 и 

𝐵𝐷

. 

Решите неравенство 

𝑥

3

+ 6𝑥

2

+

28𝑥

2

+ 2𝑥 − 10

𝑥 − 5

≤ 2.

 

Дана трапеция с диагоналями равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13. 

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. 
б) Найдите высоту трапеции. 

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 
11%  годовых.  Схема  выплаты  кредита  следующая  –  31  декабря  каждого 
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то 
есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3 696 300 
рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя 
равными платежами (то есть за два года)? 

Найдите все значения 

𝑎

, при каждом из которых уравнение 

𝑎𝑥 + √−7 − 8𝑥 − 𝑥

2

= 2𝑎 + 3

 

имеет единственный корень. 

В игре «Дротики» есть 20 наружных секторов, пронумерованных от 1 до 20 
и  два  центральных  сектора.  При  попадании  в  наружный  сектор  игрок 
получает количество очков, совпадающее с номером сектора, а за попадание 
в  центральные  сектора  он  получает  25  или  50  очков  соответственно.  В 
каждом из наружных секторов есть области удвоения и утроения, которые, 
соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Так, например, 
попадание в сектор 10 (не в зоны удвоения и утроения) даёт 10 очков, в зону 
удвоения сектора – 20 очков, в зону утроения – 30 очков. 

а) Может ли игрок тремя бросками набрать ровно 161 очко? 
б) Может ли игрок четырьмя бросками набрать ровно 235 очков? 
в)  С  помощью  какого  наименьшего  количества  бросков,  игрок  может 
набрать ровно 947 очков? 

Проверьте,  чтобы  каждый  ответ  был  записан  рядом  с  номером 
соответствующего задания.

 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

 

 

Система оценивания экзаменационной работы по математике 

(профильный уровень) 

Каждое  из  заданий  1–12  считается  выполненными  верно,  если 

экзаменуемый  дал  верный  ответ  в  виде  целого  числа  или  конечной 
десятичной  дроби.  Каждое  верно  выполненное  задание  оценивается  1 
баллом.  

Номер 

задания 

Правильный ответ 

Видео 

решение 

1 

25 

2 

9 

3 

-0,6 

4 

0,97 

5 

-17 

6 

20 

7 

4 

8 

12 

9 

7 

10 

4,27 

11 

5 

12 

44 

13 

а) 𝜋 + 2𝜋𝑛,

𝜋
3

+ 2𝜋𝑛,

2𝜋

3

+ 2𝜋𝑛;  𝑛 ∈ 𝑍

 

б) − 3

𝜋;  −

5𝜋

3

14 

arccos

14
55

15 

(−∞; −2] ∪ {0} ∪ [1; 5)

 

16 

60
13

17 

6 330 000 

18 

[−1; −

1
3

) ∪ {0}

 

19 

а) да, например 50, 3

×

20, 3

×

17 

б) нет 

в) 16 

 

Решения и критерии оценивания заданий 13–19 

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит 

от полноты решения и правильности ответа. 

Общие  требования  к  выполнению  заданий  с  развёрнутым  ответом: 

решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные 
случаи должны быть рассмотрены. 

Методы решения, формы его записи и 

формы  записи  ответа  могут  быть  разными.  За  решение,  в  котором 
обоснованно получен  правильный ответ, выставляется  максимальное 
количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения 
оценивается в 0 баллов.

 

Эксперты 

проверяют 

только 

математическое 

содержание 

представленного решения, а особенности записи не учитывают. 

При  выполнении  задания  могут  использоваться  без  доказательства  и 

ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных 
пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к 
использованию  при  реализации  имеющих  государственную  аккредитацию 
образовательных программ среднего общего образования. 

В  соответствии  с  Порядком  проведения  государственной  итоговой 

аттестации по образовательным программам среднего общего  образования 
(приказ  Минпросвещения  России  и  Рособрнадзора  от  07.11.2018  № 
190/1512, зарегистрирован Минюстом России 10.12.2018 № 52952) 

«82.  <…>  По  результатам  первой  и  второй  проверок  эксперты 

независимо  друг  от  друга  выставляют  баллы  за  каждый  ответ  на  задания 
экзаменационной работы ЕГЭ с развернутым ответом. <…> 

В  случае  существенного  расхождения  в  баллах,  выставленных  двумя 

экспертами,  назначается  третья  проверка.  Существенное  расхождение  в 
баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному 
предмету. 

Эксперту,  осуществляющему  третью  проверку,  предоставляется 

информация  о  баллах,  выставленных  экспертами,  ранее  проверявшими 
экзаменационную работу». 

Существенными считаются следующие расхождения: 
1) расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение

любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий 
эксперт проверяет только ответ на  то задание, который был оценен двумя 
экспертами со столь существенным расхождением; 

2) расхождения  экспертов  при  оценивании  ответов  на  хотя  бы  два  из

заданий  13–19.  В  этом  случае  третий  эксперт  проверяет  ответы  на  все 
задания работы.