Выявление творчески одаренных школьников на примере олимпиады «Ломоносов» по математике (5–9 классы) - 2011 год

 

 

 

 

 

8.2.1. Общая информация о сроках и ходе проведения олимпиады по математике

 

Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике для учащихся выпускных классов проводится ежегодно с 2005 года. В 2010/2011 учебном году олимпиада школьников «Ломоносов» по математике впервые проводилась также для учащихся 5–10 классов.

Основными целями и задачами проведения олимпиады для учащихся 5–10 классов являются раскрытие творческих способностей школьников на наиболее раннем этапе изучения математики, помощь в определении их профессиональной ориентации, привлечение талантливой молодежи в Московский университет.

Организационное и методическое обеспечение проведения олимпиады осуществлялось силами сотрудников, аспирантов и студентов механико-математического факультета . В работе был использован многолетний опыт проведения на механико-математическом факультете математических олимпиад и конкурсов для старшеклассников.

Согласно Порядку проведения олимпиад школьников, в 2010/2011 учебном году олимпиада «Ломоносов» проводилась в два этапа: отборочный (заочный) и заключительный (очный).

Отборочный этап проводился с середины ноября 2010 г. по конец января 2011 г. в заочной форме с применением дистанционных образовательных технологий. Задания отборочного этапа, требования к оформлению решений и результаты отборочного этапа размещались на официальном портале олимпиады http://lomonosov.msu.ru (для участия в отборочном этапе требовалось пройти регистрацию на портале олимпиады).

К участию в заключительном (очном) этапе олимпиады допускались только победители и призеры отборочного этапа. Заключительный этап проводился 20–21 марта 2011 г. в -и на региональных площадках.

С целью обеспечения школьникам равного доступа к участию в олимпиаде вне зависимости от места их проживания, по решению Оргкомитета иногородним учащимся 5–9 классов была предоставлена возможность участия в очном этапе в средних общеобразовательных учреждениях по месту жительства (по предварительному согласованию с руководителями общеобразовательных учреждений).

По решению Оргкомитета олимпиады на заключительном (очном) этапе десятиклассники выполняли задания для учащихся выпускных классов. Отдельные комплекты заданий были подготовлены для школьников 7, 8 и 9 классов (при этом учащимся 5–6 классов предлагались задания для 7 класса). На выполнение заданий заключительного этапа участникам отводилось 3 астрономических часа.

 

8.2.2. Краткая статистическая справка об олимпиаде по математике

 

Всего в 2010/2011 учебном году в олимпиаде приняли участие 752 учащихся 5–9 классов из более 50 регионов России, а также 34 школьника из стран СНГ.

Количество участников, победителей и призеров олимпиады среди участников 5–9 классов представлено в следующей таблице:

 

Количество победителей олимпиады (учащихся 5–9 классов) составило 1,4% от общего количества участников олимпиады (19,3% от количества участников заключительного этапа); количество призеров – 2,0% от общего количества участников олимпиады (28,1% от количества участников заключительного этапа).

 

8.2.3. Примеры заданий олимпиады по математике

 

Основной целью методической комиссии была подготовка олимпиадных заданий, которые были бы доступны учащимся соответствующих классов (т.е. для решения которых не требовалось бы знаний, выходящих за рамки стандартной школьной программы соответствующего класса), и при этом имели бы значительную творческую составляющую, отличающую их от стандартных школьных задач.

Итоги олимпиады, решаемость заданий, отклики участников и их учителей позволяют утверждать, что составителям заданий удалось заинтересовать школьников и мотивировать их к всестороннему раскрытию интеллектуальных способностей. На олимпиаде были предложены задания, при решении которых участники не только демонстрировали знание школьной математики (алгебры, геометрии), но и применяли нестандартные подходы и «смекалку», позволяющие решить задания просто и элегантно.

Для отборочного этапа были подготовлены отдельные комплекты заданий для учащихся 7 и 8 классов; учащиеся 9 классов выполняли задания для 10 класса. Для заключительного этапа были подготовлены отдельные варианты заданий для учащихся 7, 8 и 9 классов. Учащиеся 5–6 классов выполняли задания для 7 класса (как на отборочном, так и на заключительном этапе).

Приведем примеры заданий со значительной творческой составляющей. (Номер задания содержит этап, класс и позицию задачи в варианте, например: I-7.5 – 5-я задача в варианте отборочного этапа для 7 класса; I-8.4 – 4-я задача в варианте заключительного этапа для 8 класса.)

 

Задачи на проценты

I-7.1. После обработки сада средством от гусениц садовод заметил, что с 12 кустов смородины стал получаться такой же урожай, как прежде с 15 кустов. На сколько процентов повысилась урожайность смородины в саду?

Ответ: на 25%.

I-8.1. Избавившись от колорадского жука, фермер стал собирать c 24 га столько картофеля, сколько прежде собирал с 27 га. На сколько процентов повысилась урожайность картофеля?

Ответ: на 12,5%.

Несмотря на то, что эти задачи относились к категории простых, от участников требовалось четкое понимание понятия «повышения урожайности» в количественном выражении (в процентах).

II-7.5 (II-9.1). На какое наименьшее число процентов следует увеличить цену товара, чтобы, продавая его затем с 20%-ной скидкой от новой цены, не остаться в убытке, т. е. чтобы цена товара со скидкой была не меньше первоначальной?

Ответ: на 25%.

Отличительной особенностью этой (также несложной) задачи является простота и естественность формулировки.

 

Геометрические задачи

I-7.2. Чему равна градусная мера угла A, если его биссектриса образует с одной из его сторон угол, в три раза меньший угла, смежного с A?

Ответ: 72^◦.

I-8.2. Могут ли две биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаться под прямым углом?

Ответ: нет.

I-7.4. На огромном лугу пасется барашек, привязанный двумя веревками к двум колам (к каждому — своей веревкой).

а) Какой окажется фигура на лугу, с которой барашек сможет съесть траву?

б) Посередине между колами растет роза, а расстояние между колами равно 20 м. Какими должны быть длины веревок, чтобы барашек не смог съесть розу?

Ответ: а) см. рис.; б) ровно одна из веревок короче 10 м.

В этих несложных геометрических задачах используются лишь понятия, изучаемые на первых уроках геометрии в соответствующем классе (понятия градусной меры угла, смежного угла, биссектрисы угла).

Эти задания были предложены на отборочном этапе, который кроме цели отбора для заключительного этапа имеет также образовательную функцию: знакомство с понятиями допустимой геометрической конфигурации, геометрического места точек, методом доказательства от противного и т.п.

I-7.8. Прямоугольник разбили прямыми, параллельными сторонам, на несколько прямоугольников так, как показано на рисунке. Площади некоторых из них известны и отмечены на рисунке, а площади a и b неизвестны. Найдите a и b.

Ответ: , .

I-8.8. Прямоугольник разбили прямыми, параллельными сторонам, на несколько прямоугольников так, как показано на рисунке. Площади некоторых из них известны и отмечены на рисунке, а площади a, b, c неизвестны. Найдите a, b, c.

Ответ: , , .

         

К задаче I-7.8.                                           К задаче I-8.8.

Эти задачи, геометрические по формулировке, по сути являются задачами на пропорции – для их решения требуется рассмотреть отношения площадей прямоугольников с известными и неизвестными площадями.

I-7.6 (I-8.4). Можно ли фигуру, изображенную на рисунке, разрезать по клеточкам на четыре равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат?

К задаче I-7.6. (I-8.4.)

Ответ: да (см. рис.).

II-7.2. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, по клеточкам на три нераспадающиеся части так, чтобы из них можно было сложить квадрат (поворачивать части можно, переворачивать нельзя).

II-8.2 (II-9.2). Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три части так, чтобы линии разреза не проходили по сторонам клеток, и чтобы из частей можно было сложить квадрат. Предложите как можно большее число способов такого разрезания.

                              

К задаче II-7.2                                 К задаче II-8.2 (II-9.2)

Для решения этих нестандартных геометрических задач участникам требовалось применить комбинаторную изобретательность.

II-8.5. Из прямого угла C треугольника ABC проведена медиана CM. Окружность, вписанная в треугольник ACM, касается стороны CM в ее середине. Найдите углы треугольника ABC.

Ответ: 30^◦, 60^◦, 90^◦.

Обоснованное решение этой задачи требует уверенного владения свойствами вписанной окружности, медианы треугольника, касательной к окружности, знания признаков равенства треугольников и т.п. Интересно, что участниками были предложены несколько существенно разных способов решения этой задачи.

II-9.8. В равнобедренном треугольнике ABC провели биссектрису BP. Докажите, что если угол BAC равен 100^◦, то AP + PB = BC.

Для решения этой сложной геометрической задачи для участников 9-х классов необходимо не только уверенное владение методами школьной планиметрии, но и способность угадать дополнительное построение, приводящее к требуемому результату.

 

 

Логические задачи

I-7.3. В записи умножения в столбик

большинство цифр заменено знаком *. Восстановите эти цифры (найдите все возможные решения).

Ответ:

II-7.4 (II-8.4, II-9.3). Найдите все варианты расшифровки ребуса (разные буквы означают разные цифры) и найдите значение выражения в нижней строке:

Ответ: 11.

Решение задач на «расшифровку ребусов» доступно учащимся уже начиная с 5 класса. Хотя в школьном курсе математики логическим задачам уделяется мало внимания, такие задачи позволяют проверять у участников способность логически мыслить, делать правильные выводы из известных данных.

В первом из предложенных числовых ребусов известны лишь 2 цифры (из 12), тем не менее запись умножения в столбик восстанавливается однозначно. Для второго ребуса существует два способа расшифровки, однако в обоих случаях значение выражения в нижней строке одинаково и равно 11.

 

Комбинаторные задачи

II-8.8 (II-9.7). Петя и Ваня составили из кубиков столбики по четыре кубика в каждом, но действовали по разным правилам: у Пети в каждом столбике есть кубики красного, желтого, зеленого и синего цветов, а у Вани – только красного, желтого и зеленого цветов. Оказалось, что все составленные столбики между собой различны, причем ни Петя, ни Ваня, следуя своим правилам, новых столбиков составить не могут. Кто из мальчиков составил больше столбиков и во сколько раз?

Ответ: Ваня составил в полтора раза больше.

Прямой подсчет вариантов в данной задаче возможен, но является трудоемким, и, кроме того, зачастую в нем допускались ошибки. Лишь немногие участники заметили, что ответ можно получить без прямого подсчета: достаточно понять, как связаны между собой множества столбиков Пети и Вани.

Красота данной задачи состоит в том, что, как видно из ответа, Ваня составил существенно больше столбиков, используя меньший набор цветов.

II-7.6. Города A, B, C и D соединены дорогами так, как показано на рисунке. Сколькими способами можно проделать путь из города A в город D, побывав в каждом городе ровно по одному разу?

Ответ: 20.

«Хитрость» этой задачи заключается в том, что из города А в город D можно попасть не только по траектории A – B – C – D, но также и по траектории A – С – B – D. Для каждого из этих двух вариантов ответ получается перемножением количества путей, соединяющих два соседних города.

 

Задачи «на движение» (текстовые задачи)

II-7.7 (II-8.6, II-9.5). Ваня опаздывал в школу и, поднимаясь бегом по эскалатору, не сразу заметил, что в момент, когда он ступил на эскалатор, из его сумки выпал учебник. Обнаружив пропажу, Ваня побежал вниз c удвоенной скоростью и через 20 секунд поднял книжку, оказавшись в этот момент ровно посередине эскалатора. От бега Ваня устал и остаток пути провел стоя. Сколько времени провел Ваня на эскалаторе?

Ответ: 2 мин.

Стандартное «школьное» решение этой задачи требует введения нескольких переменных и составления уравнений, из которых после преобразований находится искомая величина. Однако в данном случае решение можно получить гораздо проще, без введения неизвестных – достаточно рассмотреть скорость Вани относительно учебника до и после обнаружения пропажи. Суммарное время от момента потери учебника до его поднятия составляет 1 мин – время, за которое учебник проехал половину эскалатора, поэтому Ваня провел на эскалаторе 2 мин.

I-7.7. Из-за пробки на выезде из города междугородный автобус прошел первую треть пути в полтора раза медленнее расчетного времени. Сможет ли автобус без опоздания прибыть в пункт назначения, если на оставшейся части пути увеличит скорость на треть?

Ответ: да.

I-8.5. Из пунктов A и B навстречу друг другу одновременно отправились два поезда. Известно, что в 14:00 они встретились и, не меняя скорости, продолжили движение. Один поезд прибыл в пункт B в 18:00, а другой прибыл в пункт A в 23:00. В какой момент времени поезда отправились в путь?

Ответ: 8:00.

Данные задачи отличаются от стандартных задач на движение тем, что в них не заданы ни скорости, ни расстояния между пунктами. Тем не менее, зная лишь заданные в условии величины (время движения или отношение одной части пути к другой), можно получить ответ.

II-7.1 (II-8.1). Сколько раз в течение суток угол между часовой и минутной стрелками составляет 90^◦?

Ответ: 44.

Прямой, но трудоемкий подсчет количества искомых моментов времени в течение суток приводит к ответу. Однако более простое решение можно получить, рассмотрев движение минутной стрелки не относительно циферблата, а относительно часовой стрелки: в течение суток она обгоняет последнюю ровно 24 – 2 = 22 раза, поэтому общее число искомых положений стрелок равно 44.

 

Вычислительные задачи

Под условным термином «вычислительные задачи» здесь понимаются задачи на вычисление и упрощение числовых и алгебраических выражений, сравнение чисел и т.п.

I-7.5. Какое из чисел больше:  или ?

Ответ: второе.

II-7.3 (II-8.3). Вычислите .

Ответ: 3.

 

 

I-8.6. Вычислите

при ,.

Ответ: 343.

Приведенные задачи нестандартны уже по своей постановке: производить непосредственные вычисления со столь большими числами затруднительно. Выход состоит в том, чтобы предварительно последовательно упростить заданные выражения (в каждой задаче – своим способом), после чего ответ получается мгновенно.

 

Задачи на десятичную запись чисел

I-8.9 (I-9-10.1). Найдите наименьшее натуральное число, которое больше суммы своих цифр на 1755 (год основания Московского университета).

Ответ: 1770.

II-9.6. Найдите все трехзначные числа, которые в пять раз больше произведения своих цифр.

Ответ: 175.

Способ решения этих задач (с классической «олимпиадной» постановкой) заключается в последовательном выяснении цифр искомых чисел, исходя из заданных условий. При этом требуется не только применять свойства делимости чисел и преобразовывать уравнения, но и использовать соображения, позволяющие сократить число возможных вариантов.

II-8.7. (II-9.4.) Число  обратили в бесконечную десятичную дробь, затем стерли первую цифру после запятой и обратили получившуюся десятичную дробь в обыкновенную. Какую дробь получили?

Ответ: .

Непосредственное обращение данной обыкновенной дроби в десятичную и обратно практически неосуществимо в условиях ограниченного времени выполнения заданий. Но этого и не требовалось: от участников ожидалось, что они догадаются, каким образом связаны исходная и искомая обыкновенные дроби, после чего вычисление не составляет труда.

Из приведенных примеров видно, насколько широким оказался охват тем школьной математики, доступных учащимся 5–9 классов, в олимпиадных заданиях отборочного и заключительного этапа.

В заключение отметим, что в 2011 году исполняется 300 лет со дня рождения великого русского ученого-энциклопедиста, основателя Московского университета Михаила Васильевича Ломоносова. При составлении заданий олимпиады методическая комиссия стремилась соответствовать инициативе Председателя Российского совета олимпиад школьников академика В.А. Садовничего по проведению олимпиад школьников в 2010/2011 учебном году под знаком юбилейного Года М.В. Ломоносова в ознаменование 300-летия со дня его рождения. Задания I-8.9 (I-9-10.1), II-7.4 (II-8.4, II-9.3), II-8.7 (II-9.4) были предложены школьникам именно в рамках указанной инициативы, еще раз напоминая школьникам о знаменательном юбилее.

 

8.2.4. Ход проведения и итоги отборочного этапа олимпиады по математике

 

Отборочный (заочный) этап проходил с середины ноября 2010 г. по конец января 2011 г. Задания отборочного этапа были размещены на официальном сайте олимпиады «Ломоносов» в сети Интернет. Пройдя предварительную регистрацию на портале, участники отправляли выполненные работы с решениями заданий через свой «личный кабинет» (в отсканированном виде).

Проверка работ проходила в первой половине февраля 2011 г. По результатам отборочного этапа победителями были признаны 57 участников из 786 (по решению жюри олимпиады, победителями среди учащихся 5–9 классов считались только участники, полностью и верно решившие все задания отборочного этапа для своего класса).

Результаты отборочного этапа были объявлены в середине февраля 2011 г. (без разделения по параллелям). На заключительный (очный) этап, запланированный на конец марта 2011 г., были приглашены победители отборочного этапа.

 

8.2.5. Заключительный этап олимпиады по математике

 

Заключительный этап олимпиады «Ломоносов» по математике для учащихся 5–9 классов проводился 20 и 21 марта 2011 г. в Московском университете и на региональных площадках.

Участникам из Москвы и ближайшего Подмосковья для участия в олимпиаде требовалось прибыть 20 марта к 10:00 к Главному зданию -(для проведения заключительного этапа олимпиады среди участников 5–9 классов была выделена отдельная аудитория).

С целью обеспечения школьникам равного доступа к участию в олимпиаде вне зависимости от места их проживания, Оргкомитет принял решение предоставить иногородним учащимся 5–9 классов возможность участия в очном этапе в средних общеобразовательных учреждениях по месту их учебы.

По окончании подведения итогов отборочного этапа с этой целью была проведена работа по организации возможности проведения очного этапа для иногородних участников в их школах (см. приложение А):

1)  собрана контактная информация школ, в которых учатся участники заключительного этапа (использовалась информация, полученная непосредственно от участников, а также из открытых источников в сети Интернет – официальные сайты школ, местных органов образования и т.п.; список школ приведен в приложении);

2)  каждому директору школы было направлено письмо-запрос из Оргкомитета с предложением провести заключительный этап олимпиады 20 или 21 марта 2011 г. для участника на базе школы, при этом с целью популяризации олимпиады «Ломоносов» и организации более массового интеллектуального соревнования школам предлагалось также провести олимпиаду и для других школьников (участвующих вне конкурса);

3)  после получения положительного ответа, на адрес школы высылалась вся необходимая информация и материалы для ответственного от школы за проведение олимпиады: бланк титульного листа, правила проведения олимпиады и отправки работ по интернету на проверку, порядок написания и оформления работы участником, информация о получении олимпиадных заданий в день проведения заключительного этапа и т.п.

Дальнейшее взаимодействие с организаторами проведения олимпиады в школах происходило по следующей схеме.

1.   В день проведения заключительного этапа к 10:00 по московскому времени из Оргкомитета на электронный адрес школы высылались задания в виде файла (формат pdf). Ответственный от школы распечатывал файлы и предлагал задания участникам олимпиады. На выполнение заданий давалось ровно 3 астрономических часа (например, с 10:10 до 13:10 или с 10:30 до 13:30).

2.   По окончании отведенного времени работа сканировалась или фотографировалась и до 14:00 по московскому времени направлялась в Оргкомитет по электронной почте pk@mech.math.msu.su. В течение часа ответным письмом отправлялось подтверждение получения работы Оргкомитетом.

3.   По окончании проверки работ в школы сообщались результаты участников, а также направлялись краткие решения задач и критерии проверки работ заключительного этапа.

4.   Если школа проводила олимпиаду не только для победителя отборочного этапа, но и для других учеников, по окончании проверки (не позднее 31 марта 2011 года) из школы на адрес pk@mech.math.msu.su высылались таблица результатов (ФИО – класс – балл) и предложения школы по награждению остальных участников похвальными грамотами Оргкомитета.

 

8.2.6. Подведение итогов олимпиады по математике

 

По итогам заключительного этапа было определено 11 победителей и 16 призеров олимпиады (полный список награжденных приведен в приложении Б). Распределение дипломов I, II и III степени среди участников по классам представлено в следующей таблице:

 

 

Трое следующих участников заключительного этапа показали наивысший результат (100 баллов), полностью решив все предложенные задачи:

·         Азарова Наталья (гимназия № 22 г. Белгорода, 7 класс);

·         Стрельцова Елизавета (лицей № 8 г. Майкопа респ. Адыгея, 8 класс).

·         Троханчук Никита (лицей № 1 г. Воркуты респ. Коми, 7 класс);

Для награждения победителей, призеров и участников, отмеченных похвальными грамотами, были разработаны и утверждены формы диплома и похвальной грамоты (см. приложение Д). Позднее победители и призеры олимпиады могли получить также дипломы образца РСОШ (оригинал или электронную версию с сайта http://rsr-olymp.ru).

На базе ряда общеобразовательных учреждений был проведен заключительный этап олимпиады 20 или 21 марта 2011 г. и для других учащихся, из числа которых более 100 человек были награждены похвальными грамотами олимпиады по представлению администраций этих учреждений.

 

Участники олимпиады, признанные победителями или призерами олимпиады, а также отмеченные похвальными грамотами, кроме наградных бумаг награждались также ценными призами – учебными и научно-популярными книгами по математике для школьников (распределение призов по классам и степеням дипломов приведено в приложении В).

Выбор книг для награждения (среди которых присутствуют как классические издания по «занимательной» математике и пособия для занятий школьных математических кружков, так и объемные издания по комбинаторике, геометрии и олимпиадным задачам) обусловлен, в первую очередь, стремлением привлечь школьников к более широкому и углубленному изучению математики, усилить их заинтересованность в математическом творчестве, участию в олимпиадах, интеллектуальном саморазвитии, расширении горизонтов своих знаний (см. приложение Г).

Победителям и призерам из регионов, участвовавшим в олимпиаде в своей школе, дипломы (похвальные грамоты) и призы отсылались по почте в их школы с сопровождающим письмом из Оргкомитета о награждении. Кроме того, в каждую школу направлялась брошюра «Творческие конкурсы учителей математики», предназначенная для педагогов.

Ввиду небольшого количества участников из Москвы и ближайшего Подмосковья призы и дипломы отправлялись им также по почте (по сообщенным ими домашним адресам).

Средства на закупку книг для награждения и их отправку по просьбе организаторов олимпиады были выделены Попечительским советом механико-математического факультета.