Такие задачи можно назвать задачами по математическому моделированию. Их формулировки скорее похожи на описания жизненных ситуаций, чем на учебную задачу. Приведем несколько примеров такого сорта задач.

1.        Восьмиклассник Гаврила не любил чистить зубы и поплатился за это воспалением зубных нервов. Воспаленные нервы не позволяли мальчику пить воду, температура которой меньше , иначе зубы начинали болеть. Какое максимальное количество тающего льда может положить Гаврила в стакан с 200 г воды, температура которой равна , так, чтобы, когда лед растает, напиток не вызвал зубной боли? Удельная теплоемкость воды , удельная теплоемкость льда , удельная теплота плавления льда .

Решение: Введем обозначения:  – масса тающего льда, который Гаврила положил в стакан с водой;  – масса воды в стакане;  – температура воды в стакане;  – предельная температура;  – удельная теплоемкость воды;  – удельная теплоемкость льда;  – удельная теплота плавления льда.

Понятно, что, исходя из условия задачи, температура воды не должна быть меньше, чем , а максимальное количество льда определяется, как раз, условием, что температура достигнет предельной величины . Составим уравнение баланса тепла:  (вода отдает тепло льду, за счет которого сначала лед тает и затем нагревается до конечной температуры). Отсюда получим .

2.        В морозный полдень девятиклассник по дороге из школы домой купил в аптеке пузырек дистиллированной воды для проведения химических опытов. Известно, что в первую минуту пузырек отдает в окружающую среду  того количества теплоты, которое в два раза превышает необходимое для того, чтобы заморозить дистиллированную воду. В каждую следующую минуту в окружающую среду уходит количество теплоты на 50% меньше, чем в предыдущую. Успеет ли мальчик добежать до дома, пока содержимое флакона не замерзло?

Решение: Обозначим буквой  – количество теплоты, необходимое для того, чтобы содержимое флакона замерзло. Тогда в первую минуту в окружающую среду уйдет количество тепла . Во вторую – , в третью –  и т.д., например, в -ю минуту – . Таким образом, количество тепла, отданное в окружающую среду за  минут, определяется как сумма  членов геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем . Так как знаменатель прогрессии меньше единицы, то для этой прогрессии можно вычислить сумму бесконечного числа ее членов, которая оказывается меньше необходимого для замерзания теплоты. Отсюда следует, что мальчик может не торопиться, сколько бы он не шел домой, содержимое пузырька не замерзнет. Следует заметить, что в вопросе задачи содержится определенный намек на такой ответ, так как в условии не указано время, затраченное мальчиком на дорогу домой.

3.        По просьбе завуча школы на перемене Чукин и Геков перетаскивали тяжелый учительский стол из одного класса в другой, толкая его по полу. Стол равномерно двигался по полу, поскрипывая всеми четырьмя ножками. Мальчики подумали, что ножки могут сломаться.  Чукин предположил, что, скорее всего, сломаются передние ножки, Геков – задние. Кто из них ближе к истине? Считать, что качество крепления всех ножек одинаково.

Решение: При прочих равных условиях сломается та ножка, на которую действует большая сила трения. Сила трения между ножками стола и полом пропорциональна силе нормального давления. Поэтому для ответа на поставленный в задаче вопрос необходимо оценить силу давления ножек на пол. Напишем уравнения равновесия стола в форме уравнений моментов сил относительно точек касания передних и задних ножек стола:

                   ,         (1)

где  вес стола, нормальная реакция опоры на передние и задние ножки, сила, с которой мальчики давили на стол, расстояния между передними и задними ножками стола, высота стола. Из (1) следует

         , что прав был Чукин.

4.        На следующей перемене Чукин стал бросать мячик в направлении стены школьного здания, посылая его горизонтально, а Геков пытался его поймать и внимательно следил за отскакивающим мячиком. В один момент Геков обнаружил, что мячик отлетает от стенки горизонтально. Мальчики очень удивились, так как брошенный Чукиным горизонтально мячик подлетал к стене под определенным углом, и ожидалось, что и отлетать он будет под углом к горизонту, но, проведя еще несколько аналогичных испытаний, убедились в справедливости того факта, что мячик отлетает горизонтально. Как такое может быть? Считать мяч материальной точкой.

Решение: Если бы стенка была бы гладкой, то подлетающее тело под углом , упруго ударившись, отлетало бы  под таким же углом к нормали  поверхности стены. В этом случае импульс силы удара направлен по нормали. Погасить составляющую импульса тела, направленного вертикально вниз, можно только за счет силы трения, причем импульс этой силы должен равняться .

5.        Во время влажной уборки класса Чукин и Геков стали экспериментировать со шваброй. Чукин положил один конец швабры на ребро ладони, а Геков – другой конец. После этого ребята стали сдвигать ладони навстречу друг другу. По мере движения ладоней швабра все время находилась в равновесии, вплоть до момента времени, когда ладони мальчиков сошлись в одной точке. Повторяя этот эксперимент несколько раз, ребята получали тот же самый результат – их ладони встречались в одной и той же точке. Помогите мальчикам объяснить этот результат испытания. В каком отношении эта точка встречи ладоней делит древко швабры, если вес поперечного бруска в два раза меньше древка?

Решение: Сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления. Сила давления пропорциональна близости положения пальца к центру тяжести швабры. Поэтому, тот палец, который будет ближе к центру тяжести, будет стоять на месте, а более удаленный – будет двигаться.  В итоге оба пальца подойдут к точке центра тяжести и соединятся в этой точке. Из условия задачи следует, что центр тяжести делит древко в отношении , считая от места крепления поперечного бруска.

6.        Ориентироваться в лесу можно по мху на деревьях.  Мох на северной стороне растет в два раза медленнее, а на западной – в два раза быстрее, чем на восточной; на южной стороне мох растет в два раза быстрее, чем на западной стороне. Можно ли определить стороны света по мху на дереве, если на одной стороне весь мох был съеден лосем?

Решение: Если лось съел мох на южной или восточной сторонах, то можно; если на северной, то не всегда можно; если на западной, то нельзя.

Указания: Условие означает, что минимальное количество мха – на севере; большее – на востоке; максимальное – или на юге, или на западе (или и там, и там). Поэтому, если минимум находится напротив объеденной стороны, то мох съеден на юге; если минимум находится справа от объеденной стороны, то мох съеден на востоке. Если минимум находится слева, а максимум напротив, то мох объеден на северной стороне. Если же минимум находится слева, а максимум справа, то мох может быть объеден или на севере, или на западе, что не позволяет определить стороны света.

7.        Как  по часам со стрелками определить стороны света в солнечный день, зная, что до перехода на летнее время в 13 часов солнце находится на юге, а в 7 утра – на востоке?

Решение: За сутки солнце делает один оборот по небосводу, а часовая стрелка – два оборота по циферблату. Это значит, что стрелка часов вращается в два раза быстрее направления на Солнце. При переходе на летнее время стрелки переводят на 1 час вперед, то есть летом Солнце на юге – в 14-00, а на востоке – в 08-00.

Направим часовую стрелку на солнце. Угол между этим направлением и югом в два раза меньше, чем между часовой стрелкой и направлением на деление «2». Поэтому на юг будет указывать биссектриса угла между часовой стрелкой и направлением на деление «2».

Ответ: На юг указывает биссектриса угла между часовой стрелкой, направленной на солнце, и направлением на деление «2». До 14-00 угол отсчитывается от стрелки к делению, после 14-00 от деления к стрелке.

8.        Курочка Ряба снесла три яйца правильной сферической формы. Первое было совершенно гладкое, два других – шершавые. Дед нашел яйца и решил разбить их, отпустив вниз по наклонной плоскости. При этом одно из шершавых яиц он предварительно отварил «вкрутую». Определите, какое из яиц разовьет меньшую, а какое - большую скорость в конце спуска.

Решение: Самым быстрым будет гладкое яйцо, так как у него вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию поступательного движения. Медленнее всех будет двигаться шершавое невареное яйцо: помимо затрат энергии на вращение, которое будет точно таким же и у варенного «вкрутую» яйца, у него будут происходить затраты на внутреннее трение жидкой субстанции.

Мы также используем задачи, которые можно решать и алгебраически, и геометрически, и физически. Например, в 2010 году учащимся 11-го класса предлагалась следующая задача. Раненый богатырь находится на прямолинейной дороге и стремится к колодцу, который находится в стороне от дороги на заданном расстоянии. Также известно было расстояние между колодцем и богатырем в начальный момент времени. Спрашивалось, какое минимальное время потребуется богатырю для достижения цели, и требовалось сравнение полученного результата (правильный ответ – иррациональное число) с некоторой заданной величиной. Отметим, что подходы к решению задач возникают самые разнообразные. В приведенной задаче предложенные верные решения разделились на три группы: геометрические, аналитические (введен параметр, выписано время, найдено положение, соответствующее нулевой производной) и физическое (проведена аналогия с распространением света и применен принцип Ферма). Ниже приведены примеры такого сорта задач.

1.        Сухогруз вышел из порта А и двинулся строго на запад со скоростью 10 узлов (1 узел = 1 морская миля в час). Через 10 часов он сменил направление на северное и прибыл в порт Б еще через 10 часов. На следующий день он вышел из порта Б с той же скоростью   в юго-восточном направлении, одновременно с ним из порта А  на юго-запад вышел катер со скоростью =20 узлов. Найти минимальное расстояние  между сухогрузом и катером. Ответ записать в  милях, округлив до ближайшего целого.

Решение: Ломаная  линия АРБ (АР=РБ=100) – путь, который прошел сухогруз в первый день (см. рисунок). Заметим, что по условию задачи векторы  и  (скорости соответственно сухогруза и катера), показанные на рисунке, перпендикулярны. Сделаем дополнительное построение . В треугольнике БВГ тангенс угла  равен . Рассмотрим движение сухогруза в системе координат, связанной с катером. Скорость относительного движения сухогруза  определяется из векторного закона сложения скоростей . Тогда искомое расстояние равно длине перпендикуляра АД. Так как в треугольнике АБД угол ДАБ равен , то .

Таким образом, получим . Оценку этого числа можно сделать, сравнив квадраты целых чисел, ближайшие к числу . Прямая проверка показывает, что 126²=15876, 127²=16129, т. е.  находится между 126 и 127. При этом  находится ближе к числу 126. Это обосновывается либо, исходя из того, что  (т. е. ), либо из того, что  (доказывается возведением в квадрат обеих частей неравенства ).

Можно было вычислить  и «в столбик» (существует соответствующий алгоритм), получается 126,4911…, т. е. ответ будет 126. Нужно только иметь в виду, что это, конечно, не вполне строгое решение.

Ответ: 126 морских миль.

2.        Планета радиуса  с расстояния  от ее поверхности видна под некоторым плоским углом. На какое расстояние надо приблизиться наблюдателю к планете, чтобы этот угол увеличился вдвое? Имеет ли задача решение, если

?

Решение: По условию ; , где  – новое расстояние до планеты.

Т. к. , что при  равно , то получаем уравнение:

.

Это уравнение при выполнении условия  (т. е. ) имеет решение:

.

Ответ на второй вопрос положительный, т.к. .

Ответ: а) ; б) имеет.

3.        По реке с постоянными скоростями плывут два катера, каждый строго по своей прямой линии. В некоторый момент времени первый из них оказался в точке , а второй – в точке . Причем направление течения реки в этот момент времени составило угол  к направлению . Через некоторое время катера встретились в точке . Оказалось, что треугольник  – прямоугольный равнобедренный  с вершиной в точке . Найдите минимальное отношение собственной скорости второго катера к скорости реки, при котором это осуществимо. Ответ выразите в виде десятичной дроби и округлите до сотых долей.

Решение: Для того чтобы второй катер из точки B смог попасть в точку C, вектор  (здесь  – скорость второго катера,  – скорость реки) должен быть направлен вдоль .

Это может быть реализовано только при выполнении условия    .

Поэтому, т. к.   , то .

Также можно было выразить  иначе:

.

Ответ: .

Для младших школьников часто предлагаются текстовые задачи, традиционно используемые в программе по математике для развития логики мышления школьников. В качестве примера приведем несколько задач такого рода.

1.        В свободное от уроков время Гаврила любил заниматься легкой атлетикой. Его успехи в беге были не столь высоки, как у другого мальчика, который тренировался на том же самом стадионе. Гаврила заметил, что когда они стартуют одновременно и из одной точки и бегут в одну сторону, то его соперник, вырвавшись вперед,  догоняет его в месте старта в тот момент, когда Гаврила успевает пробежать ровно два круга. На сколько процентов Гаврила в результате изнурительных тренировок должен увеличить скорость бега, чтобы его соперник смог его догнать в тот момент, когда он (Гаврила) успеет пробежать ровно четыре круга? Скорость бега на дистанции считать постоянной.

Решение: В тот момент времени, когда соперник догоняет Гаврилу, он пробегает расстояние на один круг больше, чем Гаврила. Сначала по условию задачи выполняются следующие условия

и

(2), где

     S0– длина круга,  _V1– скорость соперника,   _V1–

 скорость Гаврилы, t 

 – время движения спортсменов от старта до момента встречи.

Затем, после интенсивных тренировок – 

и

(3)

 где – новая скорость Гаврилы,  – новое время движения спортсменов от старта до момента встречи.

Четыре уравнения (2) и (3) содержат шесть неизвестных величин. Из такой системы уравнений нельзя найти все неизвестные величины, например, скорости движения спортсменов. Но отношение скоростей  найти можно. Для этого, используя второе уравнение (2), из первого уравнения (2) получим  (4). Аналогично, из (3) получим  (5). Поделим уравнение (4) на уравнение (5). Тогда получим  (6). Теперь поделим второе уравнение (2) на второе уравнение (3). Тогда с учетом (6) получим , что скорость надо увеличить на 20%.

2.        Дирижабль прошел из пункта А в пункт Б расстояние 40 км против ветра (скорость ветра 30 км/ч), затем прошел этот же путь в обратном направлении, затратив в оба конца 2,5 часа. Определить скорость дирижабля относительно воздуха.

 

Решение: Пусть V – скорость дирижабля относительно воздуха, а U – скорость ветра. Тогда на путь из п. А в п. Б он затратит время , а на обратный путь время . Из условия задачи следует уравнение , из которого получим .                                              Ответ: .

3.        Восьмикласснику родители подарили мопед, который, по заводским данным, мог проехать 20 км, затратив один литр бензина. Мальчик, изучив устройство мопеда, усовершенствовал работу карбюратора так, что он проезжал на мопеде 1 км, затрачивая на 20% меньше бензина, чем по заводским данным. Сколько километров проедет мальчик на мопеде с полным баком, объем которого 10 литров?

Решение: Задача решается в рамках естественного предположения о линейной зависимости объема затраченного бензина от пройденного расстояния , где  коэффициент пропорциональности (удельный расход топлива), размерность которого .

Пусть по заводским настройкам удельный расход топлива равен , а после усовершенствования – . Из первого условия задачи следует , а из второго условия находится  .

Теперь, подставив известные величины в уравнение , получим ответ задачи:     км.

Ответ: 250 км.

4.        Два зубчатых колеса, соединенные цепью, вращаются так, что первое делает в минуту на 400 оборотов больше второго. Второе колесо делает 5 оборотов за время на 1 секунду большее, чем делает 5 оборотов первое колесо. Сколько оборотов делает каждое колесо в минуту?

Решение: Пусть   – количество оборотов в минуту первого и второго колеса соответственно. Из первого условия задачи следует уравнение , из второго условия – уравнение  (величина  – это время в минутах, за которое колесо делает один оборот). Решая систему двух уравнений, получим: , .                        

Ответ: 600 об/мин; 200 об/мин.

 
Безусловно, особое место в олимпиаде по механике занимают задачи математические, так как хорошее знание математики – необходимая часть образования специалиста-механика. Приведем несколько примеров.
1.        Прямая призма, изготовленная из однородного материала, основанием которой является неравнобедренная трапеция, лежит одной из своих боковых граней на гладкой поверхности. Объясните, как с помощью циркуля и линейки найти такую точку основания призмы, чтобы под действием силы, приложенной в этой точке перпендикулярно основанию, призма двигалась поступательно.
Решение: Точка приложения силы, обеспечивающей плоскопараллельное движение призмы по плоскости, должна находиться в центре масс основания.
Четырехугольник основания разбивается одной из диагоналей на два треугольника, центр масс каждого находится как точка пересечения медиан (с помощью циркуля и линейки это сделать несложно). Эти две точки соединяются отрезком №1, на котором должен находиться центр масс основания.
Затем четырехугольник разбивается на два треугольника другой диагональю, и центры масс этих треугольников также соединяются отрезком, который обозначается №2.
Центр масс основания находится в точке пересечения отрезков №1 и №2.

 

2.        Ученый в некоторый момент  начал измерять величину , характеризующую некоторое непрерывно происходящее во времени физическое явление. В результате экспериментов он пришел к выводу, что зависимость данной величины от времени описывается выражением       (1). Позднее, в момент времени , другой ученый, независимо от первого, приступил к изучению той же величины и пришел к выводу, что она изменяется по закону

   (2). Оба ученых использовали верные часы и одну и ту же систему единиц измерения, а время каждый отсчитывал от начала своего эксперимента. При каких значениях  данные ученых совпадают?

Решение: Преобразуем выражение

,

полученное первым ученым, к виду

 , что после использования тождества  приводится к виду .

Из условия задачи следует, что при искомых значениях T, должно выполняться условие , где через  обозначено выражение, полученное вторым ученым:

.

Так как условие  должно выполняться для любого значения , то необходимо выполнения двух равенств – равенство оснований:

            (1)

и равенство показателей степени:

                             (2)

Условия (1) и (2) также должны выполняться для любого значения t. Подставим в (2) , получим для определения возможных значений Т уравнение  или , которое сводится к простому уравнению . Отсюда получим возможные значения , . Проверка показывает, что только при четных k эти значения T обращают в тождества уравнения (1) и (2).

Ответ: , .

3.        По двум гладким наклонным полубесконечным плоскостям KL и LM с одинаковым углом  к горизонту запустили вверх материальные точки с одинаковой начальной скоростью. Третья точка движется равномерно по третьей плоскости KN под углом  к горизонту со скоростью  в направлении точки N. С каким интервалом времени начали движение первые две точки, если все три указанные точки, дважды оказалась на одной вертикали? Принять g равным 10 м/с², ответ дать в миллисекундах. Плоскость KLMN вертикальна.

Решение: Из условия задачи следует, что первые две точки движутся по наклонным плоскостям с замедлением, равным . Рассмотрим движение всех трех точек в проекции на горизонтальную ось:

                              (1)

Здесь , ,  – начальная скорость, d – расстояние между начальными положениями первых двух точек по горизонтали,  – промежуток времени между началом движения первой и второй точки,  – начальная координата третьей точки.

По условию задачи в два различных момента времени ,  горизонтальные координаты трех точек совпадают. Это значит, что числа ,  являются корнями следующих уравнений:

                                     (2)

Из законов движения (1) следует, что каждое из уравнений (2) представляет собой квадратное уравнение. Эти два уравнения имеют одинаковые корни. Отсюда следует, что сумма этих уравнений  имеет эти же корни. Подставив сюда (1), получим уравнение с нулевым коэффициентом при старшем члене:

,

т. е. линейное уравнение.
У линейного уравнения два различных корня может быть лишь в случае равенства нулю всех коэффициентов:
 

,   .                        (3)

Из первого условия (3) получим искомый результат .

Ответ: 120 мс.

4.        Рассмотрим задачу о планировании летательного аппарата на максимальную дальность. Уравнение движения центра масс в вертикальной плоскости имеют вид:где x – дальность полета, y – высота полета, v – скорость движения центра масс,  - угол наклона траектории, k - положительный аэродинамический коэффициент подъемной силы, подлежащий выбору. Время полета T считается заданным. Рассмотрите стационарный режим планирования, полагая v и  константами. Из двух последних уравнений получите алгебраические уравнения движения с постоянной  скоростью и постоянным углом наклона траектории. Найдите соответствующие значения этих постоянных. Определите зависимость х от времени из первого уравнения системы и получите функцию «дальность полета на стационарном режиме в зависимости от заданного времени T и управляющего параметра k». Найдите наибольшее значение этой функции в зависимости от параметра k и соответствующее значение этого параметра.

Решение: Из системы уравнений   находим стационарные угол планирования и скорость полета: 

Тогда , функция  должна быть максимизирована по k.

Производная  имеет единственный нуль, в котором и достигается максимум функции дальности полета.

Ответ: .

 
5.        Во время школьных каникул Гаврила экспериментировал с двумя жидкостями. Плотность первой жидкости была в два раза больше, чем второй. Мальчик взял одинаковые массы жидкостей в надежде получить новую жидкость со средней арифметической плотностью. Но измерения плотности показали иной результат. Какой? В каком отношении надо взять массы этих жидкостей, чтобы плотность смеси равнялась среднему арифметическому между плотностями данных жидкостей? Известно, что суммарный объем этих жидкостей после смешивания не меняется.

Решение: Исходя из определения плотности, для одинаковых масс первой и второй жидкости можно записать следующие соотношения:

  и  (7), где  – плотности, а  – объемы первой и второй жидкостей соответственно. После смешивания плотность смеси будет определяться следующей формулой:

 (8).

Выразим объемы из соотношений (7) и подставим в (8), тогда после простых преобразований получим

(9)

Формула (9) выражает плотность смеси через плотности каждой жидкости и называется средним гармоническим значением плотности.

Возьмем теперь разные массы жидкостей  и  соответственно. Теперь будем иметь для каждой жидкости  и  и для смеси . Аналогично предыдущему действию выразим объемы и подставим их в последнюю формулу с учетом условия о том, что в результате должна получиться жидкость со средней арифметической плотностью. Тогда получим:  (10). Введем для простоты новые переменные  и . В этих переменных уравнение (10) после некоторых преобразований будет выглядеть значительно проще:  (11).        После приведения уравнения (11) к общему знаменателю и сокращения подобных членов с учетом того, что исходные жидкости по условию имеют разные плотности , окончательно получим искомый результат, простое условие . Это значит, что в ответе на второй вопрос задачи отношение масс жидкостей должно равняться отношению их плотностей.

Точно так же как математика, важной частью образования механика является физика. Физические задачи широко представлены в олимпиаде по механике. Приведем несколько примеров.

1.        Экипаж трансгалактического глиссера упустил сферический контейнер, полностью заполненный жидкостью, в которую погружено небольшое твердое тело. Как будет располагаться тело в объеме жидкости? Считать, что какие либо другие космические тела, способные оказывать на контейнер световое, гравитационное, электромагнитное и другие воздействия, отсутствуют.

Решение: Пусть тело имеет объем  и плотность . Плотность жидкости – . Мысленно удалим тело и заполним занимаемый им объем  той же жидкостью. Если центр масс объема  не совпадает с центром сферы, то этот объем в силу гравитационного взаимодействия притягивается к центру сферы. Так как фактически объем неподвижен, эта гравитационная сила должна уравновешиваться давлением остальной жидкости. Эта сила аналогична обычной архимедовой силе. Ее величина зависит от формы и размера объема , его положения в толще жидкости, но не зависит от плотности вещества. Вернем на место тело объема . Сила, в соответствии с законом всемирного тяготения, пропорциональна плотности вещества в объеме . Следовательно, если , то тело будет «тонуть» к центру сферы. Если , то тело не будет двигаться. Если , то тело «всплывет» к поверхности сферы. Следует заметить, что у тела существует положение неустойчивого равновесия в центре сферы.

2.        Два лягушонка сидят рядом посреди пруда на большом листе кувшинки, оторвавшемся от растения. В каком случае лист кувшинки приобретает большую скорость – когда лягушата прыгнут одновременно или когда они будут прыгать последовательно? Считать, что лягушата прыгают в одном направлении и, оттолкнувшись, приобретают одинаковую скорость относительно листа. Сопротивлением воды пренебречь.

Решение: Если лягушата прыгают одновременно, то по закону сохранения импульса можно записать: уравнение:

(12)

откуда скорость листа кувшинки  определяется формулой

 (13),

где,  – скорость лягушонка относительно листа,  – масса лягушонка,  – масса листа. Заметим, что множитель  первого члена в уравнении (12) выражает собой скорость прыгнувшего лягушонка относительно воды.

Если лягушата прыгают по очереди, то после прыжка первого из закона сохранения импульса получим следующее уравнение:  (14) и для скорости листа кувшинки с одним лягушонком получим формулу . Прыжок второго лягушонка, описывается законом сохранения импульса следующим образом: . Отсюда получим скорость после второго прыжка. Сравнение показывает, что в первом случае скорость листа будет меньше.

3.        Два туриста хотели приготовить себе чай. Для этого они набрали  чистой ключевой воды, имеющей температуру , и  воды из сточной трубы химического комбината, имеющей температуру . Первый из туристов объяснил, что в силу второго начала термодинамики, которое говорит о невозможности передачи тепла от холодного тела к горячему, они смогут нагреть  холодной воды только до температуры . Второй турист немного подумал и предложил свой способ. А Вы могли бы приготовить  чистой воды, имеющей температуру более 

Решение: Предложим конкретный вариант. Разделим 1л холодной воды на две части по 0,5л. Одну часть нагреем, приведя ее в контакт с 1л сточных вод. По уравнению баланса тепла получим, что установится равновесная температура . Нагретую чистую воду отольем в отдельную посуду. Другую часть холодной воды приведем в контакт с 1л сточных вод, у которой теперь уже температура  . В этом случае установится температура . Нагретые до этой температуры 0,5л чистой воды в ту же посуду. В результате получится смесь двух равных частей чистой воды с температурами  и . Ясно, что в результате чистая вода будет иметь среднюю арифметическую температуру .

4.        Ледяной кубик плавает в стакане c водой. Поверх воды наливают рыбий жир, плотность которого на 17% меньше плотности воды. При этом половина объема кубика находится  в воде, а половина – в масле. Найти плотность кубика.

Решение: Введем обозначения:  – плотность льда, воды и масла соответственно. Из условия задачи следует, что:

(15)

Составим уравнение равновесия кубика льда:

(16)

Здесь введены обозначения: высота кубика льда, ускорение свободного падения. Подставляя (15) в (16), получим .

5.        Если кубик льда, который в начальный момент находился при условиях, описанных в предыдущей задаче, с течением времени растает, то как изменятся уровни воды и масла в стакане?

Решение: Понятно, что чем большую часть тела погрузить в жидкость, тем выше будет уровень жидкости. Исходя из решения задачи №2 8 класс 2006 года, уровень воды не изменится, если лед, погружен в воду на 92,5% в соответствии со значением плотности (см. предыдущую задачу), а так как в условиях задачи известно, что в воду погружена только половина объема льда, то понятно, что после таяния льда уровень воды повысится. Повышение уровня воды можно оценить следующим образом. Из закона сохранения массы следует: 

(17)

где  – объем льда,  – плотность воды, _V – объем полученной из льда воды. При этом, исходя из условия задачи, объем воды после таяния льда уменьшится на объем льда, погруженной в воду . В результате итоговое изменение объема воды  определяется разностью двух величин 

(18)

Для оценки изменения уровня масла после таяния льда также надо сравнить два процесса. Во-первых, уровень масла понизится на объем половины объема куска льда . Во-вторых, уровень повысится на  за счет повышения уровня воды от таяния второй половины объема льда. Изменение уровня масла определяется знаком разности , которая, исходя из Ошибка!, оказывается отрицательной. Это значит, что уровень масла понизится.

6.        В одной жидкости деревянный брусок погружается на три четверти своего объема, а в другой – на половину своего объема. Какая часть объема бруска останется на поверхности смеси равных масс этих жидкостей, если они хорошо смешиваются? Известно, что суммарный объем этих жидкостей после смешивания не меняется.

Решение: Условия плавания бруска в первой и второй жидкости из условия задачи будут выглядеть следующим образом:

(19)

Здесь плотности бруска, первой и второй жидкостей соответственно; объем бруска. При смешивании равных масс двух жидкостей плотность смеси  равна среднему гармоническому плотностей компонент смеси (см. решение задачи №5 8 класс 2006 год)

(20)

Тогда из условия плавания бруска в смеси , выражая плотности из (19) и (20), для объема погруженной части бруска  получим .

7.        Какая часть объема деревянного кубика окажется под водой, если его положить сверху на такой же кубик изо льда и опустить в стакан с водой? Плотность воды 1000 , плотность льда 900 , плотность дерева 500 .

Решение: Обозначим:  – плотность льда, воды и дерева соответственно; h – высота кубика. Составим уравнение равновесия кубиков льда и дерева в воде в предположении, что кубик льда окажется полностью под водой, а расположенный над ним деревянный кубик частично погружен в воду на глубину х:

.

Отсюда следует, что .

Ответ: .

8.        Изменится ли (и каким образом) уровень воды в условиях предыдущей задачи, после того как лед растает? Ответ обосновать.

Решение: Пока лед не растаял, уровень воды при погружении двух кубиков так, как сказано в предыдущей задаче, повысился на величину  , где S – площадь сечения стакана. Как следует из закона сохранения массы, от таяния льда добавится объем .

После того, как лед растает, объем погруженной части деревянного кубика определится из условия плавания тел . Тогда уровень воды после таяния льда поднимется на величину .

Видно, что , то есть уровень воды не изменится.

Ответ: не изменится.

9.        Два девятиклассника на переменке вышли на улицу и стали играть в мяч. Игра заключалась в перекидывании мяча друг другу. По мере игры ребята обнаружили, что если один мальчик кидает мяч под углом  к горизонту против ветра, то к другому мальчику мяч подлетает под углом  к вертикали. Определить отношение силы ветра , действующей на мяч, к его весу . Считать, что сила сопротивления движению мяча постоянна и направлена горизонтально.

Решение: В случае движения тела в поле силы тяжести и горизонтальной силы сопротивления движению закон движения тела, брошенного с начальной скоростью  под углом , выглядит следующим образом:

(21)

Момент времени , когда мяч подлетает к партнеру, математически характеризуется цепочкой условий . Тогда из последнего условия (21) получим  и для тангенса угла падения . Откуда получим .

10.   По горизонтальной трубе с помощью насоса перекачивается жидкость. Во сколько раз нужно увеличить мощность насоса для того, чтобы за то же время количество перекачиваемой жидкости возросло в 2 раза? Сопротивлением трения в трубе пренебречь.

Решение: Мощность – это механическая работа в единицу времени. За время , на выходе из трубы вытечет                (*)

Отсюда следует, что для увеличения массы в два раза, необходимо увеличить скорость в два раза. В данном случае, работа  по перекачке порции воды  по трубе со скоростью  равна . При этом из (*) следует, что . Значит, мощность надо увеличить в 8 раз.

11.   После уроков Чукин и Геков пошли купаться в пруду и, имея с собой мерный стакан для сыпучих материалов (стакан с делениями) цилиндрической формы, умудрились, донырнув до дна, померить глубину пруда в месте купания. Как им это удалось сделать? Считать атмосферное давление, плотность воды и ускорение свободного падения известными.

Решение: Над поверхностью воды при атмосферном давлении  воздух в стакане занимал объем , где высота и площадь поперечного сечения стакана.

На дне пруда глубиной 

изменится давление 

и объем 

(стакан надо опускать отверстием вниз).

По закону Бойля – Мариотта . Откуда  .

Заметим, что в скобках стоит безразмерная величина. Это значит, что не важно в каких единицах измерять высоту стакана. Ее можно померить в делениях, нанесенных на боковой поверхности. Коэффициент перед скобкой имеет размерность длины и приближенно может быть посчитан, исходя из следующих данных: атмосферное давление

 ;

плотность воды

 ;

ускорение свободного падения .

Отсюда получим оценку глубины водоема .

12.   Какая часть объема деревянного кубика окажется под водой, если его положить сверху на такой же кубик изо льда и опустить в стакан с водой? Плотность воды 1000 , плотность льда 900 , плотность дерева 500 .

Изменится ли (и каким образом) уровень воды в условиях предыдущей задачи, после того как лед растает? Ответ обосновать.

Решение: Обозначим:  – плотность льда, воды и дерева соответственно; h – высота кубика. Составим уравнение равновесия кубиков льда и дерева в воде в предположении, что кубик льда окажется полностью под водой, а расположенный над ним деревянный кубик частично погружен в воду на глубину х:

.

Отсюда следует, что .

Ответ: .

13.   В вертикальный цилиндрический сосуд с одним молем одноатомного идеального газа поступает за единицу времени количества тепла . Сосуд закрывают сверху тяжелым поршнем веса . С какой скоростью поднимается вверх этот поршень, если его сечение равно , а атмосферное давление ?

Решение: В соответствии с первым началом термодинамики можно записать

, (**)

где  – промежуток времени,  – совершенная газом работа,  – изменение внутренней энергии. Так как процесс изобарный, то для работы и внутренней энергии можно записать следующие соотношения:

, (***)

где  – количество вещества. Подставив (***) в (**), получим . Откуда для скорости движения поршня получим .

14.   Из изолированного сосуда с M кг воды с начальной температурой  откачивают насосом воздух. При понижении давления до определенной величины температура кипения понижается до  и начинается кипение, которое продолжается на фоне дальнейшего понижения давления. При этом часть воды выкипает, а остальная замерзает. Найти максимальное количество льда в сосуде, если Y – удельная теплота плавления льда, L – удельная теплота испарения воды, С – удельная теплоемкость воды.

Решение: Для поддержания процесса кипения необходимо затрачивать энергию. В замкнутой системе поддержание кипения одной части жидкости может происходить только за счет охлаждения другой части жидкости вплоть до замерзания. В этом случае уравнение баланса тепла выглядит следующим образом

                               (22)

Здесь учтено, что масса льда  будет наибольшей, если он будет иметь температуру равную .

Из (22) получим 

15.   Сколько стоит вскипятить полтора литра холодной воды, если начальная температура воды ; удельная теплоемкость воды ; коэффициент полезного действия электрического чайника ; стоимость одного киловатт-часа затраченной электроэнергии  рубля?

Решение: Теоретически количество теплоты Q, необходимое для нагрева  воды до температуры кипения , определяется по формуле . Здесь  – начальная температура, с – удельная теплоемкость воды,  – масса воды,  – плотность воды.

Но, так как чайник не идеальное устройство, то реальное количество теплоты Q, затраченное на нагрев, определится формулой . Для расчета затрат Z остается воспользоваться формулой .

Ответ: Z = 24 коп.

16.   Обычно воздушный шар наполняли газом плотности . Но однажды наполнили газом вдвое большей плотности . При каком отношении  к плотности воздуха  подъемная сила воздушного шара изменится вдвое при замене газа плотности   на газ плотности .  Весом оболочки шара пренебречь. Температуру и давление газов считать постоянными.

Решение: Подъемная сила воздушного шара равна разности выталкивающей архимедовой силы и веса газа в оболочке. Если заменить газ на более тяжелый, то подъемная сила уменьшится. Отсюда и из условий задачи вытекает следующая процедура ее решения: 

17.   Зная радиус Земли R=6400 км и атмосферное давление P=0,1 МПа, найти массу земной атмосферы. Подсказка: площадь поверхности Земли (S) вычисляется по формуле S=4πR².

Решение: Сила давления атмосферы на землю , исходя из условий равновесия, равна весу атмосферы . По определению давления эта сила определяется соотношением . Отсюда масса атмосферы равна .

18.   Под поршнем массы m находится газ, давление p которого не равно атмосферному p₀. Затем провели два эксперимента. Поршень внезапно освободили и он начал двигаться с ускорением. Во втором случае на поршень поставили дополнительный груз и вновь внезапно освободили поршень. В каком случае, когда p>p₀ или когда p<p₀, ускорение  поршня не зависит от массы груза?

Решение: В том случае, если p>p₀  ускорение поршня оказывается меньше, чем ускорение свободного падения и наличие груза будет влиять на ускорение, так как груз оказывает давление на поршень.  В случае p<p₀ ускорение поршня больше, чем ускорение свободного падения и груз будет свободно падать, не оказывая давления на поршень, а значит не будет влиять на ускорение поршня.

Главное место в олимпиаде занимают задачи по механике – задачи, в которых, как было отмечено выше, школьник должен проявить знание, как математики, так и физики. Следующие примеры иллюстрируют эту мысль.

1.        В протекторе колеса радиуса  автомобиля, движущегося со скоростью , застрял камень. На какую максимальную высоту может подняться камень, внезапно вылетев из протектора?

2.        На соревнованиях мотодельтапланеристов все участники стартуют из одной точки, но двигаться должны в разных направлениях. Всем необходимо пролететь расстояние  и вернуться в исходную точку. Участник имеет право сам выбрать направление полета. Ветер дует с запада на восток. Имеет ли смысл участнику задуматься о том, какое направление полета выбрать, или правы организаторы соревнований, считая, что все находятся в равных условиях – те, кому ветер дует навстречу и мешает, будут в выигрышном положении при возвращении, когда ветер будет «дуть в спину» и помогать?

3.        Десятиклассник гулял с собакой. Размахнувшись изо всех сил, он бросил мячик под углом  к горизонту. Собака побежала за мячом со скоростью в два раза меньшей, чем начальная скорость бросания мяча. При каком угле бросания собака поймает мячик?

4.        Для измерения длины медленно движущегося товарного поезда смекалистый восьмиклассник проехал на велосипеде из хвоста поезда в начало и обратно. При этом измерил пройденный им путь и расстояние, на которое за это время переместился поезд. Спидометр велосипеда показал, что велосипедист проехал . За это время поезд проехал  . Найти длину поезда?

5.        Из туристического речного трамвайчика, движущегося против течения, выпал  чемодан туриста. Через промежуток времени t₀ после этого команда заметила потерю багажа и немедленно выслала быстроходный катер. Во сколько раз скорость катера больше скорости трамвайчика, если с момента выхода катера до его возвращения с потерянным чемоданом прошел промежуток времени 4t₀?

6.        Во время поединка с ветряной мельницей Дон-Кихот сломал копье, наконечник которого застрял в конце лопасти длины l, вращающейся с постоянной угловой скоростью  вокруг горизонтальной оси, расположенной на высоте h, . Какой максимальной высоты достигнет наконечник, если он оторвется от лопасти?

7.        Стоящий на высоком берегу озера человек подтягивает лодку, выбирая с постоянной скоростью привязанную к носу веревку. Установить, как будет изменяться скорость лодки по мере ее приближения к берегу: уменьшаться, увеличиваться, оставаться постоянной. Ответ обосновать.

8.        Один моль одноатомного идеального газа совершает циклический процесс, в котором давление газа зависит от времени по закону , а его объем . Какова ее средняя мощность за цикл, если  = 0,1 атм,  = 2 л, T=1 c?

9.         Зависимость скорости материальной точки от времени при значениях времени от нуля до  выражается формулой . Определите среднюю скорость точки в этот промежуток времени.

10.        В некотором термодинамическом процессе давление и объем заданной порции газа изменяются со временем по закону , где время в секундах, известные начальные параметры процесса. Какой минимальной величины достигает температура этой порции газа в течение второй секунды данного процесса, если начальная температура равна ?

Дальнейшее развитие структуры олимпиады будет направлено в сторону разработки комплексных задач, включающих в себя все аспекты знаний и навыков, необходимых для специалиста в фундаментальной механике.

1.2.2. Критерии оценивания олимпиадных заданий по комплексу предметов «механика»
 
В работе жюри принимают участие как известные ученые механико-математического факультета, так и молодые сотрудники, аспиранты и студенты. Жюри разрабатывает систему оценки работ и, анализируя результаты олимпиад прошлых лет, постоянно совершенствует эту систему. Сложности оценки работ связаны с комплексностью содержания задач олимпиады по механике. На сегодняшний день при оценке решений задач олимпиады «Ломоносов» для 11 класса принята 20-балльная система для каждой задачи. Критерии оценок здесь сильно отличаются от критериев в предметах, имеющих аналогичные испытания в рамках ЕГЭ. В силу того, что олимпиада по механике – это комплексная олимпиада, основанная на двух предметах – математике и физике, критерии оценок разработаны так, чтобы учесть все аспекты знаний участников.
Каждый год публикуются критерии оценок олимпиады по механике. Из этих критериев следует несколько важных для участников олимпиады выводов. Во-первых, для того, чтобы стать победителем или призером олимпиады не обязательно решить все задачи. Во-вторых, решение каждой задачи оценивается по нескольким критериям. То есть, можно, не дойдя до верного ответа, но разобравшись в явлении, получить некоторое количество баллов за задачу. Например, в задаче:
«Шарик массой 
г падает с большой высоты без начальной скорости. Численное значение силы сопротивления среды в ньютонах определяется формулой 
 

, где V – значение модуля скорости тела в метрах в секунду. Вычислите приближенно, за какое время шарик пройдет первый сантиметр и первый километр пути? Принимаемые предположения обоснуйте.», решение которой представлено выше, за умение сделать разумное приближение участник получал 15 баллов из 20 (при неверном ответе в силу вычислительных ошибок).

В задаче: «Во время поединка с ветряной мельницей Дон-Кихот сломал копье, наконечник которого застрял в конце лопасти длины l, вращающейся с постоянной угловой скоростью  вокруг горизонтальной оси, расположенной на высоте h, . Какой максимальной высоты достигнет наконечник, если он оторвется от лопасти?» решение физических проблем, т.е. перевод задачи в математическую постановку оценивался в 5 баллов. Остальные 15 можно было заработать только разобравшись с решением математической задачи поиска экстремума квадратичной функции на полубесконечном интервале.

Другой пример, задача по термодинамике:

«В некотором термодинамическом процессе давление и объем заданной порции газа изменяются со временем по закону , где время в секундах, известные начальные параметры процесса. Какой минимальной величины достигает температура этой порции газа в течение второй секунды данного процесса, если начальная температура равна ?». Здесь, решить задачу школьными методами удается, если представить процесс в виде окружности в осях (P/P₀; V/V₀). Это понимание оценивалось в 10 баллов.

Таким образом, задачи оцениваются из 20 баллов, с шагом по 5 баллов. Более подробная градация оценок пока считается избыточной, хотя в будущем в этом направлении можно развиваться и более дифференцированно учитывать успехи и неудачи участников олимпиады.

Работы школьников 7-10 классов оцениваются из 20 баллов за работу, т.е. каждая задача – из 4 баллов. На сегодняшний день, в связи с увеличением количества участников олимпиады, и с необходимостью более дифференцированной оценки результатов, рассматривается вопрос о переходе на 10-бальную систему оценки задач для школьников 7-10 классов.

Критерии оценок составлены так, чтобы любое продвижение в физическом понимании или в математическом моделировании по ходу решения задачи, было оценено баллами.

1.2.3. Литература для подготовки к олимпиаде школьников по комплексу предметов «механика»
 
1.       Юмашев М.В. Олимпиада по механике для школьников 8-10 классов. – М.: Изд. ЦПИ при мехмат ф-те МГУ. 2006. 22 с.
2.       Юмашев М.В. Олимпиада по механике для школьников 11 класса. – М.: Изд. мехмат ф-та МГУ.2009. 12 с.
3.       Зеленский А.С., Могилевский Е.И., Юмашев М.В. Олимпиады «Ломоносов» 2008-2009 по механике для школьников 7-11 классов. – М.: Изд. мехмат ф-та МГУ.2010. 46 с.
4.       Зеленский А.С., Могилевский Е.И., Юмашев М.В.. Олимпиада «Ломоносов» по механике для школьников 7-11 классов. – М.: Изд. мехмат ф-та МГУ.2010. 93 с.
 
 

////////////////////////////