|
|
|
Теоретические вопросы для теста 1 курса по математике (2021 год)
1. Чему равен объем конуса?
2. Чему равна производная сложной функции?
3. Чему равно основное логарифмическое тождество?
4. Какое уравнение называется логарифмическим?
5. Какая функция называется показательной?
6. Дайте определение степени с рациональным показателем.
7. Дайте определение интеграла.
8. Сформулируйте свойство скалярного произведения векторов.
Практические вопросы для теста (все практические вопросы смотрите в лекциях и
практиках.)
1.Решите простейшее тригонометрическое уравнение с применение частных случаев
корней.
2. Найдите производную сложной степенной функции.
3. Вычислите определенный интеграл.
4. Решите задачу по теории вероятностей на подбрасывание двух игральных костей.
5. Вычислите значение выражения, содержащего степень с рациональным показателем,
логарифм, корень энной степени.
6. Решите показательное неравенство.
7. Решите геометрическую задачу (используя свойство цилиндра и конуса, имеющих
общее основание и высоту.)
8. Решите логарифмическое уравнение.
9. Решите систему показательных уравнений.
10. Вычислите ( пример на выполнение действий с десятичными и смешанными
числами).
11. Вычислите значение угла тригонометрической функции. Например .
12. Упростите выражение с помощью формул сокращенного умножения с рациональным
показателем.
13. Решите прикладную задачу с применением производной.
14. Упростите тригонометрическое выражение с помощью формул сложения
тригонометрических функций.
15. Решите геометрическую задачу на вычисление объема пирамиды.
16. Найдите первообразную функции.
17. Найдите область определения функции.
18. Решите задачу на арифметическую прогрессию.
19. Решите геометрическую задачу на вычисление скалярного произведения векторов,
если даны координаты точек.
20. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.
21. Решите прикладную задачу на вычисление ускорения материальной точки.
22.Решите задачу на проценты.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ I КУРСА СПО
Определение целых и рациональных, действительных чисел
Определение процента. Нахождение процента от числа, числа по проценту
Определение модуля числа
Определение комплексного числа. Сложение комплексных чисел. Умножение и деление
комплексных чисел
Геометрическое представление комплексных чисел
Определение корня n-ой степени и его свойств.
Преобразование иррациональных выражений. Вычисление корня из комплексного числа
Определение логарифма, десятичного и натурального логарифма. Запись основного
логарифмического тождества. Свойства логарифмов. Переход к новому основанию
Определение функции. Нахождение значений функции. Построение графиков линейной,
квадратичной функций
Показательная функция, ее свойства Построение графика показательной функции
Логарифмическая функция, ее свойства. Построение графиков логарифмических
функций
Показательные уравнения, неравенства. Решение различных видов показательных
уравнений, неравенств, систем
Логарифмические уравнения, неравенства. Системы логарифмических уравнений.
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Расположение прямых и плоскостей в пространстве
Параллельность прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости
Параллельность плоскостей
Куб и его сечения. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью
Перпендикулярность прямых в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости
Теорема о трех перпендикулярах. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
Определение основных понятий комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения
Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний
Запись формулы бинома Ньютона. Анализ свойств биноминальных коэффициентов
Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля
Декартова система координат на плоскости. Определение вектора, модуля вектора
Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число
Разложение вектора по направлениям. Определение угла между двумя векторами
Вычисление координат вектора, скалярного произведения векторов
Разложение вектора по координатным векторам. Введение формулы расстояния между
двумя точками
Вывод уравнений сферы, плоскости и прямой
Определение радианной меры угла, синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа.
Вращательное движение. Числовая окружность
Значения тригонометрических функций для углов 30º, 45º, 60º, 90º
Доказательство основных тригонометрических тождеств, формул приведения.
Запись формул синуса и косинуса двойного угла; формул половинного угла
Запись формул синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов
Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в
сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента
Функция у = sin x и у = соs x, их основные свойства и графики. Функции у = tg x,
у = сtg x, их свойства и графики
Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа. Решение простейших
тригонометрических уравнений
Решение простейших тригонометрических неравенств
Определение функции, ее области определения и множества значений; графика
функции. Построение графиков функций, заданных различными способами
Запись свойств функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность,
периодичность. Нахождение промежутков возрастания и убывания, наибольшего и
наименьшего значения, точек экстремума
Определение обратных функций. Нахождение области определения и области значений
обратной функции. Построение графика обратной функции
Преобразование графиков. Решение уравнений графическим способом. Решение
неравенств графическим способом.
Определение многогранника и его основных элементов. Определение и построение
прямой и наклонной призмы. Определение правильной призмы
Определение и построение параллелепипеда, куба
Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Построение сечения
куба, призмы и пирамиды
Определение и построение пирамиды, правильной пирамиды усеченной пирамиды,
тетраэдра
Правильные многогранники. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр,
куб, октаэдр, додекаэр и икосаэдр)
Определение и графическое изображение: сферы, центра сферы, радиуса сферы,
диаметра сферы
Определение и графическое изображение: шара, центра шара, радиуса шара, диаметра
шара
Уравнение сферы, вывод уравнения сферы в прямоугольной системе координат
Взаимное расположение сферы и плоскости: не имеют общих точек, имеют множество
общих точек, одна общая точка. Графическое изображение
Касательная плоскость к сфере: теорема, доказательство, обратная теорема
Площадь сферы
Определение касательной к сфере, точки касания
Взаимное расположение прямой и сферы
Шаровой сегмент
Шаровой сектор
Шаровой слой
Определение и графическое изображение: цилиндра, образующих цилиндра, оси
цилиндра, оснований цилиндра, высоты цилиндра, радиуса, диаметра цилиндра.
Определение и графическое изображение: осевого сечения, сечения цилиндра
перпендикулярной к оси плоскостью.
Прямой круговой цилиндр.
Развертка боковой поверхности цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра.
Формула площади полной поверхности цилиндра
Определение и графическое изображение: конуса, образующих конуса, оси конуса,
основания конуса, вершины конуса, боковой поверхности конуса, высоты конуса,
сечения конуса.
Определение боковой, полной поверхности конуса, формула нахождения площади
боковой, полной поверхности конуса.
Определение и графическое изображение: усеченного конуса, оснований усеченного
конуса, высоты усеченного конуса, боковой поверхности усеченного конуса,
образующих усеченного конуса.
Определение боковой, полной поверхности усеченного конуса, формула нахождения
площади боковой, полной поверхности усеченного конуса
Определение производной функции, её геометрического и физического смысла.
Изучение правил и формул дифференцирования основных элементарных функций
Определение второй производной, ее геометрического и физического смысла.
Вычисление производной обратной и сложной функции
Вывод уравнения касательной. Применение производной к исследованию функций и
построению графиков
Определение первообразной, неопределенного и определенного интеграла
Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной
трапеции. Формула Ньютона—Лейбница
Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площадей криволинейных
трапеций
Вычисление объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра
Вычисление объема пирамиды, конуса, шара
Вычисление площади поверхности цилиндра, конуса, сферы
Определение события, вероятности события. Сложение и умножение вероятностей.
Испытания Бернулли
Дискретная случайная величина. Закон распределения случайной величины
Преобразование уравнений и неравенств в равносильные данным. Решение
рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических
уравнений и уравнений с параметрами
1ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ
1. Классификация чисел: действительные (рациональные, иррациональные) и мнимые числа. Комплексные числа.2. Аналитический и рекуррентный способы задания последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
3.Логарифм (дать определение). Основное логарифмическое тождество. Деся-тичный логарифм. Натуральный логарифм. Формула перехода.
4. Математическое описание равномерно темперированного музыкального строя: единицы измерения интервала, значение интервала между соседними звуками. Зависимость частот колебания от частоты соседнего звука. Формула для расчёта произвольного интервала.
5. Математическое описание чистого музыкального строя: единицы измерения интервала, значение интервала между соседними звуками. Зависимость частот колебания от частоты соседнего звука. Формула для расчёта произвольного интервала.
6. Математическое описание индийского музыкального строя: единицы изме-рения интервала, значение интервала между соседними звуками. Зависимость частот колебания от частоты соседнего звука. Формула для расчёта произволь-ного интервала.
7. Математическое описание Пифагорова музыкального строя: единицы изме-рения интервала, значение интервала между соседними звуками. Зависимость частот колебания от частоты соседнего звука. Пифагорова комма. Формула для расчёта произвольного интервала.
8. Дифференциал (дать определение). Классическое определение производной. Формулы дифференцирования.
9. Первообразная и неопределённый интеграл. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Графическое представление интеграла.
10. Скалярное произведение векторов в пространстве. Векторное произведение.
11. Тела вращения: шар, сфера, цилиндр, конус.
12. Многогранники: призма, параллелепипед, куб. Радиус сферы, описанной
около куба. Радиус сферы, вписанной в куб.
13. Пирамида. Тетраэдр. Правильный тетраэдр. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр. Тео-рема о равенстве 109о28' углов при центре правильного тетраэдра.
14. Теорема о равенстве площади боковой поверхности прямой призмы произ-ведению периметра основания этой призмы на длину её бокового ребра.
15. Информатика (дать определение). Информация (дать определение).Коды естественные и искусственные. Объёмный и содержательный подходы к изме-рению информации.
16. Двоичная и шестнадцатеричная системы счисления. Отличия систем счис-ления от систем кодирования.
17. Четверичная и восьмеричная системы счисления.
18. Перестановка, сочетание, размещение, размещение с повторением. Форму-лы для расчёта числа: перестановок, сочетаний, размещений, размещений с по-вторениями.
19. Свойства логарифмов и формулы дифференцирования.
20. Объёмы: шара, цилиндра, конуса. Площади боковой и полной поверхности
прямого цилиндра. Площади боковой и полной поверхности конуса. Площадь
сферы.
Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и
9гр)специальности 270102.65, 270114.651 семестр
Теоретическая часть.1 часть.1
1.Матрицы. Действия с ними.
2.Определители квадратных матриц. Свойства.
3.Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя n-го порядка через сумму определителей (n-1)-го порядка.
4.Системы линейных уравнений: метод Крамера.
5.Системы линейных уравнений: метод обратной матрицы.
6.Элементарные преобразования. Ранг матрицы. Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли, ее следствия.
7.Векторы. Действия с ними. Способы задания векторов. Направляющие косинусы. Проекция вектора на ось.8.Линейная зависимость векторов. Теоремы о линейно зависимых векторах в пространствах 32,RRи nR. Базис пространства. Ориентация пространства.
9.Скалярное произведение двух векторов. Свойства. Вычисление в координатной форме.
10.Векторное произведение двух векторов. Свойства. Вычисление в координатной форме. Геометрический смысл модуля векторного произведения.
11.Смешанное произведение трех векторов. Свойства. Вычисление в координатной форме. Геометрический смысл модуля смешанного произведения.
12.Линейные пространства. Примеры. Базис линейного пространства. Пример.
13.Линейные преобразования. Действия с линейными преобразованиями. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.
14.Системы координат на плоскости: декартовы и полярные координаты. Их связь. Понятие аффинных координат.
15.Прямая на плоскости: общее уравнение. Взаимное расположение двух прямых
на плоскости.
16.Прямая на плоскости: каноническое уравнение. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
17.Прямая на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
18.Прямая на плоскости: уравнение прямой в отрезках, расстояние от точки до
прямой.
19.Эллипс. Вывод канонического уравнения.
20.Эксцентриситет эллипса. Основное свойство директрис эллипса.
21.Гипербола. Вывод канонического уравнения. Директрисы гиперболы.
22.Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы (без вывода).
Асимптоты гиперболы
23.Парабола. Вывод канонического уравнения. Директриса параболы.
24.Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос и поворот
осей. Матрица поворота. Связь старых и новых координат. Обратное
преобразование.
25.Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса
26.Плоскость в пространстве. Три вида уравнений(общее, «в отрезках», через
три точки). Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до
плоскости.
27.Прямая в пространстве. Три вида уравнений(канонические, параметрические,
в виде пересечения двух плоскостей). Переход от одного задания прямой к
другому. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от
точки до прямой.
28.Классификация поверхностей второго порядка.
29.Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
виду с помощью собственных чисел и собственных векторов. Квадратичная форма.
Матрица квадратичной формы.
2 часть.
30.Множества. Унарные и бинарные операции над множествами
31.Функция. Определение. Характеристики функции. Элементарные функции.
32.Последовательность. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства (связь между бесконечно малой и бесконечно большой, сумма бесконечно малых, произведение бесконечно малых, произведение бесконечно малой на ограниченную).
33.Предел последовательности. Определение. Основные теоремы о пределах
последовательности
39.Сравнения бесконечно малых и бесконечно больших. Определения. Таблица эквивалентностей.
40.Непрерывность функции в точке и на интервале. Определения. Теоремы о непрерывных функциях.
41.Точки разрыва функции, их классификация.
42.Производная функции. Определение. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.Свойства.
43.Геометрический, механический и физический смыслы производной. Уравнение
касательной и нормали к кривой.
44.Производные сложной, обратной и неявно-заданной функций.
45.Производныеосновных элементарных функций, их вывод.
46.Дифференциал функции. Определение. Свойства. Применение.
47.Теорема Ролля. Геометрическая интерпретация.
48.Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
49.Теорема Коши.
50.Правило Лопиталя для вычисления пределов.
51.Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора Остаточный член формулы Тейлора.
52.Возрастание и убывание функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на отрезке.
53.Экстремум функции. Определение. Необходимый признак. Первый достаточный признак экстремума функции одной переменной.
54.Экстремум функции. Определение. Второй достаточный признак экстремума функции одной переменной.
55.Направление выпуклости графика функции. Достаточный признак
выпуклостиграфика функции.
56.Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба
57.Асимптоты кривой. Определение. Виды асимптот. Вывод формул коэффициентов в уравнении наклонной асимптоты.
58.Дифференциал длины дуги кривой в декартовых, полярных и параметрических координатах.
59.Кривизна кривой. Радиус и центр кривизны.
60.Эволюта. Вывод параметрического уравнения эволюты. Эвольвента.
61.Функция двух переменных. Определение. Предел функции двух переменных. Методы вычисления пределов. Непрерывность.
62.Частные производные функции двух переменных. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Уравнение касательной и нормали к поверхности.
63.Производная по направлению функции двух переменных. Градиент функции двух переменных.
64.Полный дифференциал функции двух переменных. Приложения дифференциала.
65.Производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных. Теорема о смешанных производных.
66.Формула Тейлора для функции двух переменных.
67.Экстремум функции двух переменных. Определение. Необходимые и достаточные условия.
68.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.
69.Условный экстремум функции двух переменных. Функция Лагранжа
////////////////////////////